高考文理科数学平面向量练习题

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高考文理科数学平面向量练习题

高二下学期数学文科复习专题一 平面向量 题型一:向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向 量、相等向量等概念,理解向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同;两个 向量无法比较大小,它们的模可比较大小。 如果 和 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 有且只有一 对实数 λ1、λ2,使 =λ1 +λ2 . 注意:若 和 是同一平面内的两个不共线向量, 【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题,主要以选择题或填空题为主,考 查的难度属中档类型。 例 1 直角坐标系 中, 分别是与 轴正方向同向的单位向量.在直角三角 形 中,若 ,则 的可能值个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解:如图,将 A 放在坐标原点,则 B 点坐标为(2,1),C 点坐标为(3,k),所以 C 点在直线 x=3 上,由图知,只可能 A、B 为直角,C 不可能为直角.所以 k 的可 能值个数是 2,选 B 点评:本题主要考查向量的坐标表示,采用数形结合法,巧妙求解,体现平面 向量中的数形结合思想。 变式:如图,平面内有三个向量 、 、 ,其中与 与 的夹角为 120°, 与 的夹角为 30°,且| |=| |=1, | | = ,若 =λ +μ (λ,μ∈R), 则λ+μ的值为 . 解:过 C 作 与 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由角 BOC=90° 角 AOC=30°, = 得平行四边形的边长为 2 和 4, 2+4=6 点评:本题考查平面向量的基本定理,向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为基底表示出 来后,求相应的系数,也考查了平行四边形法则。 变式 2.已知向量 和 的夹角为 , ,则     . 1e 2e a a 1e 2e 1e 2e xOy i j , x y, ABC jkiACjiAB  +=+= 3,2 k OA OB OC OA OB OA OC OA OB OC 32 OC OA OB OA OC OC 32 =+ µλ a b 0120 | | 1,| | 3a b= =  | 5 |a b− =  解: = , 7 点评:向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容,难度不大,只要细心,运算 不要出现错误即可。 题型二:向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法 则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算,理解两个向量共线的含义,会判断两个 向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算,体会平面向量的数量积与向量投影的关系,并 理解其几何意义,掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量积的运算,能运用数量积表示 两个向量的夹角,会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模和向量夹 角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合。 例 2 设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=(  ) A.(-15,12)   B.0 C.-3 D.-11 解:(a+2b) ,(a+2b)·c ,选 C   点评:本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法运算,结果 也是一个向量,还考查了向量的数量积,结果是一个数字。 变式 1。已知平面向量 ,且 ∥ ,则 =(  ) A.(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 解:由 ∥ ,得 m=-4,所以, =(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8),故选(C)。 点评:两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量的 倍,也是共线向量,注意运算 的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆。 变式 2.已知平面向量 =(1,-3), =(4,-2), 与 垂直,则 是( ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 解:由于 ∴ ,即 ,选A 点评:本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算,注意不要出现运算出错,因为 这是一道基础题,要争取满分。 ( )22 2 2 5 5 25 10a b a b a a b b− = − = − • +        2 2125 1 10 1 3 3 492  × − × × × − + =   5a b− =  (1, 2) 2( 3,4) ( 5,6)− + − = − ( 5,6) (3,2) 3= − ⋅ = − ),2(),2,1( mba −== a b ba 32 + a b ba 32 + λ a b a bλ +  a λ ( ) ( )4, 3 2 , 1, 3 ,a b a a b aλ + = λ + − λ − = − λ + ⊥      ( ) ( )4 3 3 2 0λ + − − λ − = 10 10 0 1λ + = ∴λ = − O P Q B a b 题型三:定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练应用,求点分有向线段所 成比时,可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式,主要以选择题或填空题型出现,难度一般。由于向 量应用的广泛性,经常也会与三角函数,解析几何一并考查,若出现在解答题中,难度以中 档题为主,偶尔也以难度略高的题目。 例 3.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 则 与 (   ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解:由定比分点的向量式得: 同理,有: 以上三式相加得 所以选 A. 点评:利用定比分点的向量式,及向量的运算,是解决本题的要点. 变式 1:已知两点 , , ,则 P 点坐标是 ( ) A. B. C. D. 正确答案:选 B 变式 2:如图,设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点, 若 =a, =b,则 =    , =    (用 a、b 表示) 课后练习: 1、若 , , 则 ( B ) A.(-2,-2)  B.(-2,2) C.(4,12) D.(-4,-12) 2、已知平面向量 → a =(1,1), → b =(1,-1),则向量 1 2 → a - 3 2 → b = ( D ) A、(-2,-1) B、(-2,1) C、(-1,0) D、(-1,2) 3、已知平面向量 =(1,-3), =(4,-2), 与 垂直,则 是( A   ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 4、若平面向量 与向量 =(1,-2)的夹角是 180°,且| |= ,则 =(B ) A.(-1,2) B.(-3,6) 2 ,DC BD=  2 ,CE EA=  2 ,AF FB=  AD BE CF+ +   BC 2 1 2 ,1 2 3 3 AC ABAD AC AB += = ++     1 2 ,3 3B E B C B A= +   1 2 ,3 3C F C A C B= +   1 ,3A D B E C F B C+ + = −    ( )3,2M ( )5, 5N − − 1 2MP MN=  ( )8,1− 31, 2  − −   31, 2      ( )8, 1− OA OB OP 2 1 3 3 +a b OQ 1 2 3 3 +a b (3,5)AB = (1,7)AC = BC = a b a bλ +  a λ b a b 3 5 b C.(3,-6) D.(-3,6)或(3,-6) 5、在 是(B ) A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 6、直角坐标平面内三点 ,若 为线段 的三等分点, 则 · =( C ) (A)20  (B)21  (C)22  (D)23 7.在四边形 ABCD 中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,其中 a、b 不共线,则四 边形 ABCD 为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 【解析】 ∵ = =-8a-2b=2 ,∴ . ∴四边形 ABCD 为梯形. 正确答案:选 C 8.已知 那么 与 夹角为 A、 B、 C、 D、 正确答案:选 C 9.已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 = , = , = , 则下列各式: ① = - ② = + ③ =- + ④ + + = 其中正确的等式的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 正确答案:选 B 10.已知向量 a=(3,-4),b=(2,x), c=(2,y)且 a∥b,a c.求|b-c|的值. 解:∵ a∥b,∴ 3x+8=0. ∴x= . ∴ b=(2, ) . ∵ a c, ∴ 6-4y=0. ∴ y= . ∴ c=(2, ). 而 b-c =(2, )-(2, )=(0,- ), ∴ |b-c|= . 11.设向量 与向量 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 解:∵ ,故 , 解之 . ABCABBCABABC ∆=+⋅∆ 则中,若 ,02 ( ) ( ) ( )1,2 3, 2 9,7A B C−、 、 E F、 BC AE AF AB BC CD AD CDBCAB ++ BC BCAD // ( ) ( )3, 4, 2 23,a b a b a b= = + + =       a b 60° 90° 120° 150° BC a CA b AB c EF 2 1 c 2 1 b BE a 2 1 b CF 2 1 a 2 1 b AD BE CF 0 ⊥ 3 8− 3 8− ⊥ 2 3 2 3 3 8− 2 3 25 6 25 6 21 72 eet + 21 ete + 0))(72( 2121 <++ eteeet 07152 2 <++ tt 2 17 −<<− t 另有 ,解之 , ∴ . 12.四边形 中, (1)若 ,试求 与 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 ,求 的值及四边形 的面积。 解: (1) 则有 化简得: (2) 又 则 化简有: 联立 解得 或 则四边形 为对角线互相垂直的梯形 当 此时 当 此时 λλ tt == 7,2 14,2 14 −=−= λt )2 1,2 14()2 14,7( −−∪−−∈t ABCD )3,2(),,(),1,6( −−=== CDyxBCAB DABC // x y BDAC ⊥ yx, ABCD ),( yxBC = )2,4()2,4()( +−−−=−+−=++−=−= yxyxCDBCABADDA DABC // 0)4()2( =−−⋅−+−⋅ xyyx 02 =+ yx )1,6( ++=+= yxBCABAC )3,2( −−=+= yxCDBCBD BDAC ⊥ 0)3()1()2()6( =−⋅++−⋅+ yyxx 0152422 =−−++ yxyx    =−−++ =+ 01524 02 22 yxyx yx    = −= 3 6 y x    −= = 1 2 y x DABC // BDAC ⊥ ABCD    = −= 3 6 y x )0,8()4,0( −== BDAC 162 1 =⋅⋅= BDACS ABCD    −= = 1 2 y x )4,0()0,8( −== BDAC 162 1 =⋅⋅= BDACS ABCD 高二下学期数学文科复习专题二 三角函数 题型一、三角函数的定义,诱导公式 例 1.已知角 终边上一点 P(-4,3),求 的值 【解】∵ ∴ 变式 1.设角 的值等于( C ) A. B.- C. D.- 变式 2.已知 那么 ( B ) A. B. C. D. 题型二、三角函数的求值、化简问题 例 2.已知 , ,且 . (1)求 的值;(2)求 . 解:(1)由 , ,得 . ∴ . 于 是 . (2)由 ,得 .又∵ , ∴ . 由 ,得 1cos 7 α = 13cos( ) 14 α β− = π0 2 β α< < < tan 2α β 1cos 7 α = π0 2 α< < 2 21 4 3sin 1 cos 1 ( )7 7 α α= − = − = sin 4 3 7tan 4 3cos 7 1 αα α= = × = 2 2 2tan 2 4 3 8 3tan 2 1 tan 471 (4 3) αα α ×= = = −− − π0 2 β α< < < 0 2 πα β< − < 13cos( ) 14 α β− = 2 213 3 3sin( ) 1 cos ( ) 1 ( )14 14 α β α β− = − − = − = ( )β α α β= − − cos cos[ ( )]β α α β= − − α )2 9sin()2 11cos( )sin()2cos( απαπ απαπ +− −−+ 4 3tan −== x yα 4 3tancossin sinsin )2 9sin()2 11cos( )sin()2cos( −==⋅− ⋅−= +− −−+ ααα αα απαπ απαπ 则,6 35πα −= )(cos)sin(sin1 )cos()cos()sin(2 22 απαπα απαπαπ +−−++ +−−+ 3 3 3 3 3 3 ,)15 14tan( a=− π =°1992sin 21 || a a + 21 a a + 21 a a + − 21 1 a+ −  ∴ . 变式 1.若 < θ < π,且 cosθ= −3/5 ,则 sin(θ+ )等于( B ) A . B . C . D . 变式 2:已知向量 ,且 (1)求 tanA 的值;(2)求函数 R)的值域 解:(1)由题意得 m·n=sinA-2cosA=0,因为 cosA≠0,所以 tanA=2。 (2)由 tanA=2 得 因为 x R,所以 ,当 时,f(x)有最大值 ; 当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是 题型三、三角函数的图像与性质问题 例 3.函数 的图象为 C, 如下结论中正确的是__①②③_. (写出所有正 确结论的编号) ①图象 C 关于直线 对称;②图象 C 关于点 对称; ③函数 )内是增函数;④由 的图象向右平移 个单位可 以得到图象 C。 变式 1. 已知函数 (1)求函数 的最小正周期和最值; (2)指出 图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。 解 : ( 1 ) 最 小 正 周 期 , 的 最 大 值 为 , 最 小 值 为 (2) 变式 2: 已知函数 ( )的最小正周期为 . cos cos( ) sin sin( )α α β α α β= − + − 1 13 4 3 3 3 1 7 14 7 14 2 = × + × = π 3 β = (sin ,cos ), (1, 2)m A A n= = −  0.m n⋅ =  ( ) cos2 tan sin (f x x A x x= + ∈ 2 21 3( ) cos2 2sin 1 2sin 2sin 2(sin ) .2 2f x x x x x x= + = − + = − − + ∈ [ ]sin 1,1x∈ − 1sin 2x = 3 2 33, .2  −   ( ) 3sin(2 )3f x x π= − 11 12x π= 2( ,0)3 π 5( ) ( ,12 12f x π π−在区间 3sin 2y x= 3 π ( ) 2sin cos( ) 3sin( )cos sin( )cos2 2f x x x x x x x π ππ= − − + + + ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x= T π= ( )y f x= 3 512 2 + = 3 112 2 − = 3 3sin(2 ) sin 22 6 12 2y x y x π π= + − =  左移 单位,下移 单位 1( ) ( 3sin cos )cos 2f x x x xω ω ω= + + 0ω > π 2 π 3 π ( ) 10 334 −− ( ) 10 334 − ( ) 10 334 +− ( ) 10 334 + (1)求函数 的单调递增区间; (2)画函数 f(x)在区间[0, ]上的图象; (3)将函数 图象按向量 平移后所得的图象关于原点对称,求向量 的坐标 (一个即可). 解:(1) 由周期为 得 ,故 由 得 ,所以函数 的增区间为 Z (2)如下表: 图象如下: (3) 题型四、三角形中的三角函数问题 例 4. 在△ABC 中, , , 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 A 的大小;(2) 若 = , + =3,求 和 的值。 解:(1)在△ABC 中有 B+C=π-A,由条件可得 4[1-cos(B+C)] -4cos2A+2=7 ∵cos(B+C)= -cosA ∴4cos2A-4cosA+1=0 解得 (2)由 变 式 1. 已 知 在 中 , 三 条 边 所 对 的 角 分 别 为 , 向 量 , 且满足 。 ( )f x π ( )f x a a ( )f x sin(2 ) 16x πω= + + π 1π = ( ) sin(2 ) 16f x x π= + + 22 6 2x π π π− ≤ + ≤ 3 6x π π− ≤ ≤ ( )f x [ , ],3 6k k k π ππ π− + ∈ ( , 1)12a π= − a b c 28sin 2cos2 7.2 B C A + − = a 3 b c b c .3),,0(,2 1cos ππ =∴∈= AAA 又 bcacbbc acbA 3)(,2 1 22 1cos 22 222 =−+=−+= 即知 3 1 23, 3, 2. .2 2 1 b c b ba b c bc bc c c + = = =  = + = = ⇒  = = =   又 代入得 由 或 ABC∆ cba ,, CBA ,, )cos,(sin AAm = → )sin,(cos BBn = → Cnm 2sin=⋅ →→ x 0 y 2 1 0 1 6 π 5 12 π 2 3 π 11 12 π π 2 6x π+ 6 π 2 π π 3 2 π 2π 13 6 π 3 2 3 2 (1)求角 的大小;(2)若 成等比数列,且 ,求 的值。 解:(1)∵ , , ; ∴ ;∴ ∴ ;∴ ;又 为 的内角;∴ ; (2)∵ 成等比数列,∴ , 由正弦定理知: ;又且 ,即 , ∴ ;∴ ;∴ ;∴ 变式 2:已知 A、B、C 是 的三个内角,a,b,c 为其对应边, 向量 (1)求角 A;(2)若 解:(1)   (2) 由正弦定理,得 故 . 、 C 为 的 内 角 , 又 为正三角形。 课后练习 1.已知 ,则 的值是( C ) A. B. C. D. 2.函数 的最小值和最大值分别为( C ) A. , B. , C. , D. , C BCA sin,sin,sin 18)( =−⋅ →→→ ACABCA c )cos,(sin AAm = → )sin,(cos BBn = → Cnm 2sin=⋅ →→ CBABA 2sinsincoscossin =+ CBA 2sin)sin( =+ CCC cossin2sin = 2 1cos =C C ABC∆ 3 π=C BCA sin,sin,sin BAC sinsinsin 2 = abc =2 18)( =−⋅ →→→ ACABCA 18=⋅ →→ CBCA 18cos =Cab 36=ab 362 == abc 6=c ABC∆ .1),sin,(cos),3,1( =⋅=−= nmAAnm 且 .,cos cos),1,2( SABCc b C BAB 的面积求∆== 1=⋅ nm 1cossin3 =−∴ AA 2 1)6sin( =−∴ π A π<< A0 πππ 6 5 66 <−<−∴ A .66 ππ =−∴ A .3 π=∴ A ,cos cos c b C B = ∴ ,sin sin cos cos C B C B = ,0cossinsincos =−∴ CBCB 0)sin( =− CB B ABC∆ .CB =∴ ,3 π=A .3 π==∴ CB ABC∆∴ ,514 =+=AB .34 5 4 3 2 ==∴ ABS π 4cos sin 36 5 α α − + =   7πsin 6 α +   2 3 5 − 2 3 5 4 5 − 4 5 ( ) cos2 2sinf x x x= + 1− 1 2− 2 3− 3 2 2− 3 2 3.下列函数中,最小正周期是 ,且图象关于直线 对称的是( B ) A. B. C. D. 4.函数 的一个减区间为 ( C ) A. B. C. D. 5.为了得到函数 的图像,可以将函数 的图像( D ) A 向右平移 个单位 B 向右平移 个单位 C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位 6.已知函数 ,则函数的最小正周期 T 和它的图象的一条对称轴 方程是( D ) A.T=2π,一条对称轴方程为 B.T=2π,一条对称轴方程为 C.T=π,一条对称轴方程为 D.T=π,一条对称轴方程为 7.若 ,则 的值为 8.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 、b、c ,若 , 则 9.设 ,则函数 的最小值为 10.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 则 A = 11.已知 的面积为 . (1)求 的值;(2)求 的值。 解:(1)∵ , ① π 3x π= sin(2 )3y x π= − sin(2 )6y x π= − sin(2 )6y x π= + sin( )2 6 xy π= + ( ) 2cos( )6f x x π= + 2[ , ]3 3 π π− 4[ , ]3 3 π π 5[ , ]6 6 π π− 7[ , ]6 6 π π sin(2 )6y x π= − cos2y x= 6 π 2 3 π 3 π 3 π xxy 2cos)4(sin2 2 −+= π 8 π=x 8 3π=x 8 π=x 8 3π=x cos2 2 π 2sin 4 α α = − −   cos sinα α+ 1 2 a ( ) CaAcb coscos3 =− =Acos 3 3 0 2x π ∈  , 22sin 1 sin 2 xy x += 3 3, 3, 30 ,a b c= = = ° 6 π ABC∆ 2,32 =•− ACAB Atan )4 πcos( 12cos2sin22sin2 2 A AAA − −+ 32sin||||2 1 −=••=∆ AACABS ABC 又∵ ,∴ . ② 由①、②得 . (2) 12.求值: 解:原式= = = 13. 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 ,求: (1)A 的大小;(2) 的值. 解:(1) (2) 14.已知函数 ( )的最小正周期为 (1)求 的值;(2)求函数 在区间 上的取值范围 解:(1) . 因为函数 的最小正周期为 ,且 ,所以 ,解得 . 2=• ACAB 2cos|||| =•• AACAB 32tan −=A AA AA Aπ AAA sincos )cos(sin2 )4cos( 12cos2sin22sin2 2 + −= − −+ 2(tan 1) 2(2 3 1) 6 .1 tan 31 2 3 A A − − −= = = −+ + − 0 0 0 0 cos40 sin50 (1 3 tan10 ) sin 70 1 cos40 + + ° + cos10 3sin10cos40 sin50 cos10 sin 70 2 cos20 °+ °°+ °⋅ ° °⋅ ° 2cos(60 10 )cos40 sin50 cos10 sin 70 2 cos20 °− °°+ °⋅ ° °⋅ ° 2 2 2 2 3b c a bc+ = + 2sin cos sin( )B C B C− − 2 2 2 2 cos ,a b c bc A= + − 2 2 2 3 3cos , .2 2 2 6 b c a bcA Abc bc π+ −= = = =故 所以 2sin cos sin( )B C B C− − 2sin cos (sin cos cos sin )B C B C B C= − − sin cos cos sinB C B C= + 1sin( ) sin( ) sin .2B C A Aπ= + = − = = 2 π( ) sin 3sin sin 2f x x x xω ω ω = + +   0ω > π ω ( )f x 2π0 3     , 1 cos2 3( ) sin 22 2 xf x x ω ω−= + 3 1 1sin 2 cos22 2 2x xω ω= − + π 1sin 2 6 2xω = − +   ( )f x π 0ω > 2π π2ω = 1ω = ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 . 因 为 , 所 以 ,所以 .因此 , 即 的取值范围为 . 15.已知函数 (1)将函数 化简成 的形式, 并指出 的周期; (2)求函数 上的最大值和最小值。 解:(1)f(x)= sinx+ . 故 f(x)的周期为 2kπ{k∈Z 且 k≠0}. (2)由π≤x≤ π,得 .因为 f(x)= 在[ ]上 是减函数,在[ ]上是增函数.故当 x= 时,f(x)有最小值- ;而 f(π)=- 2,f( π)=- <-2,所以当 x=π时,f(x)有最大值-2。 2007 年高考“平面向量”题 1.(全国Ⅰ) 已知向量 , ,则 与 A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向 解:已知向量 , , ,则 与 垂直,选 A。 2.(全国 II) 在 中,已知 是 边上一点,若 , 则 ( ) π 1( ) sin 2 6 2f x x = − +   2π0 3x≤ ≤ π π 7π26 6 6x− −≤ ≤ 1 πsin 2 12 6x − −  ≤ ≤ π 1 30 sin 2 6 2 2x − +  ≤ ≤ ( )f x 30 2     , 2( ) sin cos cos 2.2 2 2 x x xf x = + − ( )f x sin( ) ( 0, 0, [0,2 ))A x B Aω ϕ ϕ ϕ π+ + > > ∈ ( )f x 17( ) [ , ]12f x ππ在 2 1 2 3)4sin(2 2 2 3)cos(sin2 122 cos1 −+=−+=−+ π xxxx 12 17 πππ 3 5 44 5 ≤+≤ x 2 3)4sin(2 2 −+ π x 4 5, ππ 12 17,4 5 ππ 4 5π 2 23 + 12 17 4 66 + ( 5,6)a = − (6,5)b = a b ( 5,6)a = − (6,5)b = 30 30 0a b⋅ = − + =  a b ABC△ D AB 12 3AD DB CD CA CBλ= = +    , λ = A. B. C. D. 解:在∆ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 =2 , = ,则 = ,∴ λ= ,选 A。 把函数 的图像按向量 平移,得到 的图像,则 ( ) A. B. C. D. 解:把函数 y=ex 的图象按向量 =(2,0)平移,即向右平移 2 个单位, 平移后得到 y=f(x)的图象,f(x)= ,选 C。 在 中,已知内角 ,边 .设内角 ,周长为 . (1)求函数 的解析式和定义域; (2)求 的最大值. 解:(1) 的内角和 ,由 得 .应用正弦定理,知 , . 因为 , 所以 , (2)因为 , 2 3 1 3 1 3 − 2 3 − AD DB CD CBCA λ+ 3 1 2 2 ( )3 3CD CA AD CA AB CA CB CA= + = + = + −        1 2 3 3CA CB+  3 2 exy = (2 0)= ,a ( )y f x= ( )f x = e 2x + e 2x − 2ex− 2ex+ a 2xe − ABC△ A π= 3 2 3BC = B x= y ( )y f x= y ABC△ A B C+ + = π 0 0A B C π= > >3, , 20 B π< < 3 2 3sin sin 4sinsin sin BCAC B x xA = = =π 3 2sin 4sinsin BCAB C xA π = = − 3  y AB BC AC= + + 2 24sin 4sin 2 3 0 3y x x x π π   = + − + < <   3    14 sin cos sin 2 32y x x x  3= + + +  2  54 3sin 2 3x x π π π π   = + + < + <   6 6 6 6    所以,当 ,即 时, 取得最大值 . 3.(北京卷)已知向量 .若向量 , 则实数 的值是 . 解:已知向量 .向量 , , 则 2+λ+4+λ=0,实数 =-3. 在 中,若 , , ,则 . 解:在 中,若 , ,∴ A 为锐角, , ,则根据正弦定理 = 。 4 .( 天 津 卷 ) 在 中 , , , 是 边 的 中 点 , 则 . 解: 所以 5.(上海卷) 若向量 的夹角为 , ,则 . 解: 。 6.(重庆卷)已知向量 且 则向量 等于 (A) (B) (C) (D) 解:设 联立解得 选 D 在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC= 。 x π π+ =6 2 x π= 3 y 6 3 2 4 11( ) ( ),, ,a = b = ( )λ⊥b a + b λ 2 4 11a b( ) ( ) ,, ,= = (2 ,4 )a bλ λ λ+ = + +  ( )b a bλ⊥  + λ ABC△ 1tan 3A = 150C =  1BC = AB = ABC△ 1tan 3A = 150C =  10sin 10A = 1BC = AB = sin sin BC C A ⋅ 10 2 ABC△ 2AB = 3AC = D BC AD BC =   1 ( ), ,2AD AC AB BC AC AB= + = −      2 21 1 5( ) ( ) (| | | | ) .2 2 2AD BC AC AB AC AB AC AB= + ⋅ − = − =         a b , 60 1a b= =  ( )a a b− =    ( ) 22 1 1cos60 1 2 2a a b a a b a a b− = − ⋅ = − ⋅ ° = − =          (4,6), (3,5),OA OB= =  , // ,OC OA AC OB⊥    OC     − 7 2,7 3     − 21 4,7 2      − 7 2,7 3      − 21 4,7 2 ( , ) , 4 6 0,C x y OC OA x y⊥ ⇒ + =   // 5( 4) 3( 6) 0,AC OB x y⇒ − − − =  3 2( , ).7 7C − A B D C 解:由余弦定理得: 7.(辽宁卷)若向量 与 不共线, ,且 , 则向量 与 的夹角为( ) A.0 B. C. D. 解:因为 ,所以向量 与 垂直,选 D. 若函数 的图象按向量 平移后,得到函数 的图象, 则向量 ( ) A. B. C. D. 解:函数 为 ,令 得平移公式, 所以向量 ,选 C. 8.(江苏卷)在平面直角坐标系 中,已知 的顶点 和 , 顶点 在椭圆 上,则    . 解: 设三角形三边为 a,b,c,因为 B 在椭圆上,长半轴为 5,所以 , 设 ,则 = 9.(广东卷)若向量 、 满足| |=| |=1, 与 的夹角为 ,则 + A. B. C. D.2 解:a﹒a+ a﹒b=12+1×1× = ,故选 B。 已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、 ( ,0). (1)若 ,求 的值; 2 2 21 2 2 1 2 cos60 3. 3.AC AC= + − × × × = ∴ = a b 0≠a b  −     a ac = a ba b a c π 6 π 3 π 2 0)( 2 2 =⋅ ⋅ −=⋅ →→ →→ → →→→ ba ba aaca a c ( )y f x= a ( 1) 2y f x= + − a = (1 2)−, (1 2), ( 1 2)− −, ( 1 2)− , ( 1) 2y f x= − − )1(2 −=+ xfy 2,1 ' +=−= yyxx a = (1 2)−, xOy ABC∆ ( 4,0)A − (4,0)C B 2 2 125 9 x y+ = sin sin sin A C B + =    = =+ 8 10 b ca kC c B b A a === sinsinsin b ca B CA +=+ sin sinsin 5 4 a b a b a b 60° a a   a b =   1 2 3 2 31 2 + 2 1 2 3 C c 0AB AC =   c (2)若 ,求sin∠A的值. 解:(1) , 由 ,即 -3(c-3)+( -4)2=0。 有 c= (2)当 c=5 时, 进而 10.(福建卷)对于向量 , , 和实数 ,下列命题中真命题是(  ) A.若 ,则 或 B.若 ,则 或 C.若 ,则 或 D.若 ,则 解: a⊥b 时也有 a·b=0,故 A 不正确;同理 C 不正确;由 a·b=a·c 得不到 b=c,如 a 为零向量或 a 与 b、c 垂直时,选 B. 11.(安徽卷)在四面体 O-ABC 中, D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点,则 = (用 a,b,c 表示). 解: = = 。 12.(湖南卷) 若 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) A. B. C. D. 解:由向量的减法知 选 B. 在 中,角 所对的边分别为 ,若 , , ,则 . 解:由正弦定理得 ,所以 A= 5c = ( 3, 4)AB = − − ( 3, 4)AC c= − − 0AB AC⋅ =  3 25 (2, 4)AC = − 6 16 1cos cos , 5 2 5 5 A AC AB − +∠ = < >= = ×   2 2 5sin 1 cos 5A A∠ = − ∠ = a b c λ 0=a b 0=a 0=b 0λ =a 0λ = 0=a 2 2=a b =a b = −a b = a b a c =b c ,,, cOCbOBaAB === OE OE 1 1 ( )2 2OA AE OA AD OA AO OD+ = + = + +       1 1 ( )2 4OA OB OC+ +   1 1 1 2 4 4a b c= + +   O E F, , EF OF OE= +   EF OF OE= −   EF OF OE= − +   EF OF OE= − −   EF OF OE= −   ABC△ A B C, , a b c, , 1a = 3c = π 3C = A = 2 1 3 2 3 sinsinsinsin ===⇒= c CaAC c A a π 6 13 .(湖 北 卷 ) 设 , 在 上 的 投 影 为 , 在 轴 上 的 投 影 为 2 , 且 ,则 为( ) A. B. C. D. 解:设 a 在 b 的夹角为θ,则有|a|cosθ= ,θ=45°,因为 b 在 x 轴上的投影为 2, 且|b|<1,结合图形可知选 B. 14.(江西卷)在平面直角坐标系中,正方形 的对角线 的两端点 分别为 , ,则 . 解: 15.(山东卷)已知向量 ,若 与 垂直,则 ( ) A. B. C. D.4 解: ,由 与 垂直可得: , 。选 C. 在 中,角 的对边分别为 . (1)求 ; (2)若 ,且 ,求 . 解:(1) 又 解得 . , 是锐角. . (4 3)= ,a a b 5 2 2 b x | | 14≤b b (214), 22 7  −  , 22 7  −  , (2 8), 2 25 OABC OB (0 0)O , (11)B , AB AC =   (0,1) ( 1,1) 0 ( 1) 1 1 1.AB AC = ⋅ − = × − + × =   (1 ) ( 1 )n n= = −, , ,a b 2 −a b b =a 1 2 2 2 (3, )n−a b = 2 −a b b 2(3, ) ( 1, ) 3 0 3n n n n⋅ − = − + = ⇒ = ± 2=a ABC△ A B C, , tan 3 7a b c C =, , , cosC 5 2CB CA =   9a b+ = c sintan 3 7 3 7cos CC C = ∴ = , 2 2sin cos 1C C+ = 1cos 8C = ± tan 0C > C∴ 1cos 8C∴ = (2) , , . 又 . . . . 16.(陕西卷) 如图,平面内有三个向量 、 、 ,其中 与 的 夹角为 120°, 与 的夹角为 30°,且 = =1, = .若 = 的值为 . 解:过 C 作 与 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由角 BOC=90° 角 AOC=30°, = 得平行四边形的边长为 和 , + = . 17.(四川卷)设 , , 为坐标平面上三点, 为坐标原点, 若 与 在 方向上的投影相同,则 与 满足的关系式为(  ) ( A )     ( B )     ( C )     ( D ) 解:由 与 在 方向上的投影相同,可得: , 即 , .选 A. 18.(浙江卷)若非零向量 、 满足| 一 |=| |,则 (A) |2 |>| 一 2 | (B) |2 |<| 一 2 | (C) |2 |>|2 一 | (D) |2 |<|2 一 | 5 2CB CA⋅ =   5cos 2ab C∴ = 20ab∴ = 9a b+ = 2 22 81a ab b∴ + + = 2 2 41a b∴ + = 2 2 2 2 cos 36c a b ab C∴ = + − = 6c∴ = OA OB OC OA OB OA OC OA OB OC 2 3 OC µλµλµλ +∈+ 则R),,(OBOA OA OC OC 22 3 62 3 64 =+ µλ 3 62 3 64 62 ( ,1)A a (2, )B b (4,5)C O OA OB OC a b 4 5 3a b− = 5 4 3a b− = 4 5 14a b+ = 5 4 14a b+ = OA OB OC OA OC OB OC⋅ = ⋅    ( ,1) (4,5) (2, ) (4,5),a b⇒ ⋅ = ⋅ 4 5 8 5a b+ = + 4 5 3a b− = a b a b b b a b b a b a a b a a b C AO B 解:若两向量共线,则由于 是非零向量,且 , 则必有 a=2b;代入可知只有 A、C 满足;若两向量不共线, 注意到向量模的几何意义,故可以构造如图所示的三角形, 使其满足 OB=AB=BC;令 a, b,则 a-b, ∴ a-2b 且 ; 又 BA+BC>AC ∴ ∴ ,选 A. 已知△ABC 的周长为 +1,且 sinA+sin B= sin C (I)求边 AB 的长; (Ⅱ)若△ABC 的面积为 sin C,求角 C 的度数. 解:(I)由题意及正弦定理,得 AB+BC+AC= +1. BC+AC= AB, 两式相减,得: AB=1. (Ⅱ)由△ABC的面积= BC·ACsinC= sin C,得 BC·AC= ,∴ , 由余弦定理,得 ,所以C=600. 19.(宁夏、海南卷)已知平面向量 ,则向量 (  ) A. B. C. D. 解: 选 D. 如图,测量河对岸的塔高 时,可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 .现 CA = ,a b − =a b b OA = OB = BA = − =a b b − +a b b 2> −a b 2 2> −b a b 2 2 1 6 2 2 1 2 1 6 1 3 ( )22 2 2 42 2 3 3AC BC AC BC AC BC+ = + − ⋅ = − = 2 2 2 1cos 2 2 AC BC ABC AC BC + −= =⋅ (11) (1 1)= = −,, ,a b 1 3 2 2 − =a b ( 2 1)− −, ( 21)− , ( 1 0)− , ( 1 2)− , 1 3 2 2 − =a b ( 1 2).− , AB B C D 测 得 , 并 在 点 测 得 塔 顶 的 仰 角 为 , 求 塔 高 . 解:在 中, . 由正弦定理得 . 所以 . 在 中, . 《平面向量》综合测试题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 若 A(2,-1),B(-1,3),则 的坐标是 ( ) A.(1,2) B.(-3,4) C. (3,-4) D. 以上都不对 2.与 a=(4,5)垂直的向量是 ( ) A.(-5k,4k) B. (-10,2) C. ( ) D.(5k, -4k) 3. △ABC 中, =a, =b,则 等于 ( ) A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a 4.化简 (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b)的结果是 ( ) A. a b B.0 C. a+ b D. a- b 5.已知|p|= ,|q|=3, p 与 q 的夹角为 ,则以 a=5p+2q,b=p-3q 为邻边的平行四边形的一条 对角线长为 ( ) BCD BDC CD sα β∠ = ∠ = =, , C A θ AB BCD△ πCBD α β∠ = − − sin sin BC CD BDC CBD =∠ ∠ sin sin sin sin( ) CD BDC sBC CBD β α β ∠= =∠ + · ABCRt△ tan sintan sin( ) sAB BC ACB θ β α β= ∠ = + · AB 5 4,k k − BC AC AB 5 2 3 1 15 2 5 1 ± 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 22 4 π A.15 B. C. 16 D.14 6.已知 A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 p∥ ,则 k 的值为 ( ) A. B. C. D. 7. 已知△ABC 的三个顶点,A、B、C 及平面内一点 P 满足 ,则点 P 与△ ABC 的关系是 ( ) A. P 在△ABC 的内部 B. P 在△ABC 的外部 C. P 是 AB 边上的一个三等分点 D. P 是 AC 边上的一个三等分点 8.已知△ABC 的三个顶点,A (1,5),B(-2,4),C(-6,-4),M 是 BC 边上一点,且△ABM 的面积 是△ABC 面积的 ,则线段 AM 的长度是 ( ) A.5 B. C. D. 9.设 e1,e2 是夹角为 450 的两个单位向量,且 a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( ) A. B.9 C. D. 10.若|a|=1,|b|= ,(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A.300 B.450 C.600 D.750 11. 把 一 个 函 数 的 图 象 按 向 量 a=( ,-2) 平 移 后 , 得 到 的 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=sin(x+ )-2,则原函数的解析式为 ( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx 12.在△ABC 中, =c, = a, =b,则下列推导中错误的是 ( ) A.若 a·b<0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若 a·b=0,则△ABC 为直角三角形 C. 若 a·b=b·c,则△ABC 为等腰三角形 D. 若 c·( a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) 13.在△ABC 中,已知 且 则这个三角形的形状是 . 14.一艘船从 A 点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 ,则船实际航行的速度的大小和方向是 . 15. 若向量 ,现用 a、b 表示 c,则 c= . 16.给出下列命题:①若 a2+b2=0,则 a=b=0; ②已知 A B ,则 ③已知 a,b,c 是三个非零向量,若 a+b=0,则|a·c|=|b·c| ④已知 ,e1,e2 是一组基底,a=λ1e1+λ2e2 则 a 与 e1 不共线,a 与 e2 也不共线; ⑤若 a 与 b 共线,则 a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,17-21 题每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分,解答应写出文 15 AB 10 9− 10 9 10 19− 10 19 PA PB PC AB+ + =    4 1 85 2 5 85 2 23 2918 + 223 + 2 3 π 6 π AB BC CA ,4== ACAB ,8=⋅ ACAB hkm /32 hkm /2 )4,7(),1,2(),2,3( −=−=−= cba ),,( 11 yx ),( 22 yx );2,2(2 1 2121 yyxxAB ++= 0,0 21 >> λλ 字说明、证明过程或演算步骤) 17.如图,ABCD 是一个梯形, , M 、N 分别是 的中点,已知 a, b,试用 a、b 表示 和 18.设两个非零向量 e1、e2 不共线.如果 =e1+e2, 2e1+8e2, =3(e1-e2) ⑴求证:A、B、D 共线; ⑵试确定实数 k,使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线. 19.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为 AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点 D 与向量 的坐标. 20.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求 AB 边上的中线 CM 的长;⑵在 AB 上 取一点 P,使过 P 且平行与 BC 的直线 PQ 把 的面积分成 4:5 两部分,求 P 点的坐标. CDABCDAB 2,// = ABDC, =AB =AD ,DC BC  .MN AB =BC CD AD ABC∆ A BN MD C 21.已知 a、b 是两个非零向量,证明:当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时,a+λb 的模取得最小值. 22.已知二次函数 f(x) 对任意 x∈R,都有 f (1-x)=f (1+x)成立,设向量 a=(sinx,2), b=(2sinx, ), c=(cos2x,1),d=(1,2)。 (1)分别求 a·b 和 c·d 的取值范围; (2)当 x∈[0,π]时,求不等式 f(a·b)>f(c·d)的解集。 2 1 答案 一、BCDBA;DDADB;BD 二、13.等边三角形;14.大小是 4km/h,方向与水流方向的夹角 为 600 ; 15.a-2b ; 16.①③④ 三、17.∵| |=2| |∴ ∴ a, b- a , = a-b 18.⑴∵ 5e1+5e2= , ∴ 又有公共点 B,∴A、B、D 共线 ⑵设存在实数 λ 使 ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ 且 kλ=1 ∴k= 19.⑴ 由 可 知 AB⊥AC⑵ 设 D ( x,y ) ,∴ ∵ ∴5(x-2)+5(y-4)=0 ∵ ∴5(x+1)-5(y+2)=0 ∴ ∴D( ) 20.⑴ ⑵ 设 P ( x,y ) 21. 当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时,b·(a+λb)=0,∴λ= - | a+λb |= = 当 λ= - 时,| a+λb |取得最小值. ∴当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时,a+λb 的模取得最小值. 22. (1)a·b=2sin2x+1 1 c·d=2cos2x+1 1 (2)∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于 x=1 对称 当二次项系数 m>0 时, f(x)在(1, )内单调递增, 由 f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即 2sin 2x+1>2cos2x+1 又∵x∈[0,π] ∴x∈ 当二次项系数 m<0 时,f(x)在(1, )内单调递减, 由 f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即 2sin 2x+1<2cos2x+1 又∵x∈[0,π] ∴x∈ 、 AB CD DCAB 2= 2 1 2 1 == ABDC =BC 2 1 MN 4 1 BD BC CD= + =   AB5 BDAB // 1± 0=⋅ ACAB ACAB ⊥ )2,1(),5,5(),4,2( ++==−−= yxBDBCyxAD BCAD ⊥ BCBD //      = = 2 5 2 7 y x 2 5,2 7 )2 3,2 3( −=AD 2 26||),2 5,2 1()2 3,2 5( =−−=∴ CMCMM 4 4 | | 2 2,5 9 | | 3 3 APQ APQ BPQC ABC S S AP AP ABS S AB ∆ ∆ ∆ = ∴ = ∴ = ∴ =   )1,3(3 2)2,1( −=−−∴ yx )3 4,3(P∴ 2 a b b 2 2 22λ λ+ +b a b a 2 2 2 2 2 2( ) ( )λ + + − a b a bb ab b 2 a b b ≥ ≥ +∞ ⇒ 3( , )4 4 π π +∞ ⇒ 3[0, ) ( , ]4 4 π π π 故当 m>0 时不等式的解集为 ;当 m<0 时不等式的解集为 2012 年高考试题分类汇编:平面向量 一、选择题 1.【2012 高考全国文 9】 中, 边的高为 ,若 , , , , ,则 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 2.【2012 高考重庆文 6】设 ,向量 且 ,则 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 3.【2012 高考浙江文 7】设 a,b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得 b=λa D.若存在实数λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C 4.【2012 高考四川文 7】设 、 都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充 分条件是( ) A、 且 B、 C、 D、 【答案】D 5.【2012 高考陕西文 7】设向量 =(1. )与 =(-1, 2 )垂直,则 等于 ( ) A B C .0 D.-1 【答案】C. 6.【2012 高考辽宁文 1】已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x = 3( , )4 4 π π 3[0, ) ( , ]4 4 π π π ABC∆ AB CD CB a=  CA b=  0a b⋅ =  | | 1a = | | 2b = AD = 1 1 3 3a b−  2 2 3 3a b−  3 3 5 5a b−  4 4 5 5a b−  x R∈ ( ,1), (1, 2),a x b= = −  a b⊥  | |a b+ =  5 10 2 5 10 a b | | | | a b a b =     | | | |a b=  //a b  a b= −  //a b  2a b=  a cosθ b cosθ cos2θ 2 2 1 2 (A) —1 (B) — (C) (D)1 【答案】D 【点评】本题主要考查向量的数量积,属于容易题。 7.【2012 高考广东文 3】若向量 , ,则 A. B. C. D. 【答案】A 8.【2012 高考广东文 10】对任意两个非零的平面向量 和 ,定义 . 若两个 非 零 的 平 面 向 量 , 满 足 与 的 夹 角 , 且 和 都 在 集 合 中,则 A. B. C. 1 D. 【答案】D 9.【2102 高考福建文 3】已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条件是 A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0 【答案】D 【解析】 ,故选 D 10.【2012 高考天津文科 8】在△ABC 中, A=90°,AB=1,设点 P,Q 满足 = , =(1- ) , R。若 =-2,则 = (A) (B) C) (D)2 【答案】B 二、填空题 1.【2012 高考新课标文 15】已知向量 夹角为 ,且 ;则 1 2 1 2 1 2 (1,2)AB = (3,4)BC = AC = (4,6) ( 4, 6)− − ( 2, 2)− − (2,2) α β = ⋅ ⋅ α βα β β β a b a b ,4 2 π πθ  ∈   a b b a 2 n n  ∈   Z =a b 5 2 3 2 1 2 00122)1( =⇔=×+⋅−⇔⊥ xxba ∠ AP  ABλ  AQ  λ AC  λ ∈ BQ  • CP  λ 1 3 2 3 4 3 ,a b  45° 1, 2 10a a b= − =   _____b = 【答案】 2.【2012 高考安徽文 11】设向量 , , ,若 , 则 ______.[ 【答案】 3.【2012 高考湖南文 15】如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, 且 = . 【答案】18 【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、 等价转化思想等数学思想方法. 4.【2012 高考浙江文 15】在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 =________. 【答案】-16 5.【2012 高考山东文 16】如图,在平面直角坐标系 中,一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于 (2,1)时, 的坐标为____. 【答案】 【 解 析 】 因 为 圆 心 移 动 的 距 离 为 2 , 所 以 劣 弧 , 即 圆 心 角 , 3 2 )2,1( ma = )1,1( += mb ),2( mc = bca ⊥+ )( =|| a 2 3AP = AP AC   AB AC⋅  xOy OP )2cos1,2sin2( −− 2=PA 2=∠PCA , 则 , 所 以 , ,所以 , ,所以 . 另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为 ,且 , 则 点 P 的 坐 标 为 , 即 . 6.【2012 高考江西文 12】设单位向量 m=(x,y),b=(2,-1)。若 ,则 =_______________ 【答案】 7.【2012 高考江苏 9】(5 分)如图,在矩形 中, 点 为 的 中点,点 在边 上,若 ,则 的值是 ▲ . 【答案】 。 【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。 22 π−=∠PCA 2cos)22sin( −=−= π PB 2sin)22cos( =−= π CB 2sin22 −=−= CBxp 2cos11 −=+= PByp )2cos1,2sin2( −−=OP    += += θ θ sin1 cos2 y x 22 3,2 −==∠ πθPCD      −=−+= −=−+= 2cos1)22 3sin(1 2sin2)22 3cos(2 π π y x )2cos1,2sin2( −−=OP 5 ABCD 2 2AB BC= =, , E BC F CD 2AB AF =   AE BF   2 8.【2012 高考上海文 12】在矩形 中,边 、 的长分别为 2、1,若 、 分 别是边 、 上的点,且满足 ,则 的取值范围是 【答案】[1,4]. 【解析】设 = (0≤ ≤1), 则 = , = , 则 = = = + + + , 又∵ =0, ∴ = , ∵0≤ ≤1,∴1≤ ≤4,即 的取值范围是[1,4]. 9.【2012 高考湖北文 13】已知向量 a=(1,0),b=(1,1),则 (Ⅰ)与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)由 ,得 .设与 同向的单位向量为 , 则 且 , 解 得 故 . 即 与 同向的单位向量的坐标为 . (Ⅱ)由 ,得 .设向量 与向量 的夹角为 ,则 . ABCD AB AD M N BC CD BM CN BC CD =     AM AN⋅  CD CN BC BM = λ λ BCBM λ= ADλ DCDN )1( λ−= AB)1( λ− ANAM ⋅ ))(( DNADBMAB ++ ])1()[( ABADADAB λλ −++ ADAB ⋅ 2 )1( ABλ− 2 ADλ ABAD ⋅− )1( λ ADAB ⋅ ANAM ⋅ λ34 − λ ANAM ⋅ ANAM ⋅ 3 10 10,10 10       2 5 5 − ( ) ( )1,0 , 1,1a = b = ( )2 3,1+a b = 2 +a b ( ),x yc = 2 2 1, 3 0, x y y x  + =  − = , 0x y > 3 10 ,10 10 .10 x y  =  = 3 10 10,10 10       c = 2 +a b 3 10 10,10 10       ( ) ( )1,0 , 1,1a = b = ( )3 2,1− −b a = 3−b a a θ ( ) ( ) ( )3 2,1 1,0 2 5cos 3 55 1 θ − −= = = −− ×  b a a b a a 【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向 的单位向量一般只有 1 个,但与某向量共线的单位向量一般有 2 个,它包含同向与反向两种. 不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查. 10【2102 高考北.京文 13】已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 的值为________, 的最大值为______。 【答案】1,1 【解析】根据平面向量的数量积公式 ,由图可知, ,因此 , ,而 就是向量 在 边上的 射影,要想让 最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点重合,射影为 ,所以长 度为 1. CBDE ⋅ DCDE ⋅ =⋅=⋅ DADECBDE θcos|||| DADE ⋅ ||cos|| DADE =⋅ θ 1|| 2 ==⋅ DACBDE =⋅=⋅ αcos|||| DCDEDCDE αcos|| ⋅DE αcos|| ⋅DE DE DC DCDE ⋅ DC
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