高考圆锥曲线题型归类总结

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高考圆锥曲线题型归类总结

‎ 高考圆锥曲线的七种题型 题型一:定义的应用 1、 圆锥曲线的定义:‎ ‎(1)椭圆 ‎ ‎(2)椭圆 ‎ ‎(3)椭圆 ‎ ‎2、定义的应用 ‎(1)寻找符合条件的等量关系 ‎(2)等价转换,数形结合 ‎3、定义的适用条件:‎ 典型例题 例1、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。‎ 例2、方程表示的曲线是 ‎ 题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): ‎ 1、 椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。‎ 2、 双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;‎ 3、 抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。‎ 典型例题 例1、已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 ‎ 例2、例 翰k为何值时,方程的曲线:‎ ‎(1)是椭圆;‎ ‎(2)是双曲线.‎ 题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题 1、 椭圆焦点三角形面积 ;双曲线焦点三角形面积 2、 常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、 四者的关系在圆锥曲线中的应用;‎ 典型例题 例1、椭圆上一点P与两个焦点的张角∠,求证:△F1PF2的面积为。‎ ‎ ‎ 例2、已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,.求该双曲线的标准方程 题型四:圆锥曲线中离心率,渐近线的求法 ‎1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值;‎ ‎2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围;‎ ‎3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知、是双曲线()的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )‎ A.   B.   C.   D. ‎ 例2、双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3) B. C.(3,+) D.‎ 例3、椭圆:的两焦点为,椭圆上存在 点使. 求椭圆离心率的取值范围;‎ 例4、已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ‎ (A)    (B)    (C)    (D)‎ 题型五:点、直线与圆锥的位置关系判断 1、 点与椭圆的位置关系 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 ‎2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:‎ ‎>0相交 ‎=0相切 (需要注意二次项系数为0的情况)‎ ‎<0相离 ‎3、弦长公式:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4、圆锥曲线的中点弦问题:‎ 1、 伟达定理:‎ 2、 点差法:‎ (1) 带点进圆锥曲线方程,做差化简 (2) 得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系 典型例题 例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.‎ 例2、已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,O为坐标原点,OC的斜率为/2,求椭圆的方程。‎ 题型六:动点轨迹方程:‎ ‎1、求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; ‎ ‎2、求轨迹方程的常用方法:‎ ‎(1)直接法:直接利用条件建立之间的关系;‎ 例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4,求P的轨迹方程.‎ (2) 待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。‎ 例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为                 ‎ ‎ ‎ (3) 定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;‎ 例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为                    ‎ 例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ ‎ 例5、一动圆与两圆⊙M:和⊙N:都外切,则动圆圆心的轨迹为         ‎ ‎ ‎ (4) 代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:‎ 例6、如动点P是抛物线上任一点,定点为,点M分所成的比为2,则M的轨迹方程为__________‎ ‎ ‎ ‎(5)参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。‎ 例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是 ‎ 题型七:(直线与圆锥曲线常规解题方法)‎ 一、设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b与x=my+n的区别)‎ 二、设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)‎ 三、联立方程组;‎ 四、消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)‎ 五、根据条件重转化;常有以下类型:‎ ‎ ①“以弦AB为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K是否存在)‎ ‎ ‎ ‎ ②“点在圆内、圆上、圆外问题”‎ ‎ “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”‎ ‎ >0;‎ ‎ ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系(或);‎ ‎ ④“共线问题”‎ ‎(如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法);‎ ‎(如:A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等);‎ ‎ ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系;‎ ‎ ⑥“弦长、面积问题”‎ ‎ 转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择);‎ 六、化简与计算;‎ 七、细节问题不忽略;‎ ①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.‎ 基本解题思想:‎ ‎1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;‎ ‎2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;‎ ‎3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。‎ ‎4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明 ‎5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;‎ ‎6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;‎ ‎7、思路问题:大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。‎ 典型例题:‎ 例1、已知点,直线:,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)已知圆过定点,圆心在轨迹上运动,且圆与轴交于、两点,设,,求的最大值.‎ 例2、如图半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q 为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.‎ ‎(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;‎ ‎(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设=λ,求λ的取值范围.‎ 例3、设、分别是椭圆:的左右焦点。‎ ‎(1)设椭圆上点到两点、距离和等于,写出椭圆的方程和焦点坐标;‎ ‎(2)设是(1)中所得椭圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程;‎ ‎(3)设点是椭圆上的任意一点,过原点的直线与椭圆相交于,两点,当直线 , 的斜率都存在,并记为, ,试探究的值是否与点及直线有关,并证明你的结论。‎ 例4、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ 例5、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,是椭圆在第一 象限弧上一点,且,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆 于A、B两点。‎ ‎(1)求P点坐标;‎ ‎(2)求证直线AB的斜率为定值;‎ ‎ ‎ 典型例题:‎ 例1、‎ 由①、②解得,. ‎ 不妨设,,‎ ‎∴,.‎ ‎∴ ‎ ‎ , ③‎ ‎ 当时,由③得,. ‎ 当且仅当时,等号成立.‎ 当时,由③得,. ‎ 故当时,的最大值为. ‎ 例2、解:(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系, ‎ ‎∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4.‎ ‎∴曲线C为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆.‎ 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.‎ ‎∴曲线C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=kx+2, ‎ 代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.‎ Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2>.由图可知=λ ‎ 由韦达定理得 将x1=λx2代入得 两式相除得 ‎ ‎ ‎ ①‎ M在D、N中间,∴λ<1 ②‎ 又∵当k不存在时,显然λ= (此时直线l与y轴重合)‎ 综合得:1/3 ≤λ<1.‎ 例3、解:(1)由于点在椭圆上,得2=4, …2分 ‎ 椭圆C的方程为 ,焦点坐标分别为 ……4分 ‎(2)设的中点为B(x, y)则点 ………………………5分 把K的坐标代入椭圆中得……………7分 线段的中点B的轨迹方程为 ………………………8分 ‎(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称 ‎ 设, ‎ 在椭圆上,应满足椭圆方程,得 ……10分 ‎== ……………………………13分 故:的值与点P的位置无关,同时与直线L无关, ………………14分 例4、解:(Ⅰ)椭圆的标准方程为. …………(5分)‎ ‎(Ⅱ)设,,‎ 联立得,‎ 又,‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右焦点,‎ ‎,即,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 解得:,,且均满足,‎ ‎1、当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;‎ ‎2、当时,的方程为,直线过定点.‎ 所以,直线过定点,定点坐标为. …………(14分)‎ 例5、解(1)。 ,设 则 ‎ 点在曲线上,则 ‎ 从而,得,则点的坐标为 ‎(2)由(1)知轴,直线PA、PB斜率互为相反数,设PB斜率为,‎ 则PB的直线方程为: 由得 设则 ‎ 同理可得,则 ‎ ‎ ‎ 所以:AB的斜率为定值 例6、 解:(1)由,‎ ‎ 得……………………3分 ‎ ∴夹角的取值范围是()……6分 ‎ (2)‎ ‎ ………8分 ‎………………10分 ‎∴当且仅当 或 …………12分 椭圆长轴 ‎ ‎ 或 故所求椭圆方程为.或 …………14分
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