高考试题分类考点20平面向量的数量积平面向量应用举例

高考试题分类考点20平面向量的数量积平面向量应用举例

考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例 一、选择题 ‎1.（2012·江西高考理科·Ｔ7）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝（ ）‎ ‎(A)2 (B)4 (C)5 (D)10‎ ‎【解题指南】用向量法求解.‎ ‎【解析】选D.‎ ‎.‎ ‎2.（2012·安徽高考理科·Ｔ8）在平面直角坐标系中，点，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点的坐标是（ ）‎ ‎【解题指南】先写出向量，在把向量按逆时针旋转，计算出向量，即得点的坐标.‎ ‎【解析】选.将向量按逆时针旋转后得，则.‎ ‎3.（2012·辽宁高考理科·Ｔ3）已知两个非零向量，满足|+|=||，则下列 结论正确的是（ ）‎ ‎(A)∥(B)⊥ ‎(C)︱︱=︱︱ (D)+= ‎【解题指南】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系.‎ ‎【解析】选B. ‎ ‎.‎ ‎4.（2012·辽宁高考文科·Ｔ1）已知向量，若，则（ ）‎ ‎【解题指南】按照数量积的坐标运算，展开即可解决问题.‎ ‎【解析】选D..‎ ‎5.（2012·福建高考文科·Ｔ3）已知向量，，则的充要条件是（ ）‎ ‎(A) (B)(C)(D)‎ ‎【解题指南】垂直表明数量积为0，结合平面向量的数量积的坐标运算公式进行求解 .‎ ‎【解析】选D.，解得.‎ ‎6.（2012·广东高考理科·Ｔ8）对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=( )‎ ‎(A)(B)1 (C)(D)‎ ‎【解题指南】解决本小题首先搞清的定义，然后根据 再结合确定是解决本题的关键.‎ ‎【解析】选C.‎ ‎7.（2012·广东高考文科·Ｔ10）对任意两个非零的平面向量，定义. 若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且和都在集合中，则=( )‎ ‎(A)（B）（C）1 （D）‎ ‎【解析】选D.‎ ‎8.（2012·陕西高考文科·Ｔ7）设向量=（1，）与=（，2）垂直，则等于 （ ）‎ ‎(A) (B) (C)0 (D)‎ ‎【解析】选C. 已知=（1，），=（，2）， ∵，∴，∴0即，故选C.‎ ‎9.（2012·天津高考理科·Ｔ7）已知△为等边三角形，AB=2，设点P,Q满足若（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【解题指南】根据向量的线性运算及数量积进行运算.‎ ‎【解析】选A.‎ ‎∵=，-=，‎ 又∵，且，，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 所以，解得.‎ 二、填空题 ‎10.（2012·浙江高考文科·Ｔ15）与（2012·浙江高考理科·Ｔ15）相同 在△ABC中，M是线段BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.‎ ‎【解析】不妨设△ABC为等腰三角形，则，‎ ‎．‎ ‎【答案】-16‎ ‎11.（2012·安徽高考理科·Ｔ14）若平面向量满足，则的最小值是 ‎【解析】‎ ‎【答案】‎ ‎12.（2012·北京高考文科·Ｔ13）与（2012·北京高考理科·Ｔ13）相同 已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点.则的值为，的最大值为_________.‎ ‎【解题指南】利用图形中的直角关系建系，用坐标计算，也可以适当选取基向量进行计算.‎ ‎【解析】方法一：如图所示，以AB，AD所在直线分别为x,y轴建立坐标系，设，，则，B（1，0），C（1，1），，，.‎ ‎.‎ 方法二：选取作为基向量，设，，则 ‎..‎ ‎【答案】11‎ ‎13.（2012·湖南高考文科·Ｔ15）如图，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且，则= .‎ ‎【解题指南】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行线性运算，向量垂直时数量积为零，向量的平方等于模的平方.‎ ‎【答案】18‎ ‎14.（2012·江苏高考·Ｔ9）如图，在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值是.‎ ‎【解题指南】先建立坐标系，再恰当地表示向量，最后用数量积公式求解.‎ ‎【解析】以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为 y轴建立直角坐标系xOy,则设 所以 ‎【答案】‎ ‎15. （2012·安徽高考文科·Ｔ11）‎ 设向量,⊥,则||=____________.‎ ‎【解题指南】根据向量的坐标运算，求出，由，得，从而求出.‎ ‎【解析】‎ ‎【答案】‎ ‎16.（2012·江西高考文科·Ｔ12）设单位向量 =（x，y），=（2，-1）.若，则=_______________.‎ ‎【解题指南】由已知条件联立方程组求得向量的坐标，然后求.‎ ‎【解析】由已知可得，又因为为单位向量，所以，联立解得 故=.‎ ‎【答案】‎ ‎17.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ15）与（2012·新课标全国高考理科·Ｔ13）相同 已知向量夹角为45 ，且,则.‎ ‎【解题指南】将|‎2a－b|平方展开，将|a|，代入展开式，把展开式看作关于|b|的方程，解得|b|.‎ ‎【解析】的夹角为，，‎ ‎，.‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎18. （2012·山东高考理科·Ｔ17）‎ 已知向量，函数的最大值为6.‎ ‎（1）求.‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.‎ ‎【解题指南】（1）先利用数量积的坐标运算，再利用和差倍角公式化为的形式.（2）先利用图象变换法求出的解析式，再利用整体代入法求值域.‎ ‎【解析】(1) ，‎ 所以的最大值为A，函数的最大值为6，‎ 所以A=6.‎ ‎(2) 将函数的图象向左平移个单位得到 的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以在上的值域为.‎