北京各区高考数学模拟题压轴题含答案

北京各区高考数学模拟题压轴题含答案

‎1（2017海淀二模）对于无穷数列，记，若数列满足：“存在，使得只要（且），必有”，则称数列具有性质.‎ ‎（Ⅰ）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？‎ ‎（Ⅱ）求证：“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件；‎ ‎（Ⅲ）已知是各项为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，求证：存在整数，使得是等差数列.‎ ‎2（2017海淀一模）已知含有个元素的正整数集具有性质：对任意不大于(其中)的正整数存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于.‎ ‎（Ⅰ）写出的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：“成等差数列”的充要条件是“”；‎ ‎（Ⅲ）若，求当取最小值时，的最大值.‎ ‎3（2017西城二模）设集合．如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”．‎ ‎（Ⅰ）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若为集合的“相关数”，证明：；‎ ‎（Ⅲ）给定正整数．求集合的“相关数”的最小值．‎ ‎4（2017西城一模）如图，将数字全部填入一个行列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为，第二行填入的数字依次为．‎ 记．‎ ‎（Ⅰ）当时，若，，，写出的所有可能的取值；‎ ‎（Ⅱ）给定正整数．试给出的一组取值，使得无论填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法，的所有取值的奇偶性相同．‎ ‎5（2017东城二模）对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量.对于两个维向量，定义.‎ ‎（Ⅰ）若，，求的值.‎ ‎（Ⅱ）现有一个维向量序列：，若 且满足：，.求证：该序列中不存在维向量.‎ ‎（Ⅲ）现有一个维向量序列：，若 且满足：，，，若存在正整数使得，为维向量序列中的项，求出所有的.‎ ‎6（2017东城一模）已知集合，并且．定义（例如：‎ ‎）．‎ ‎（Ⅰ）若，，集合的子集满足：，且，求出一个符合条件的；‎ ‎（Ⅱ）对于任意给定的常数以及给定的集合，求证：存在集合，使得，且.‎ ‎（Ⅲ）已知集合满足：，，，，其中为给定的常数，求的取值范围．‎ ‎7（2017朝阳二模）各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：‎ ‎① ；② ；③是的因数（）．‎ ‎（Ⅰ）当时，写出数列的前五项； ‎ ‎（Ⅱ）若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．‎ ‎8（2017朝阳一模）对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.‎ ‎（Ⅰ）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）；‎ ‎（Ⅱ）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；‎ ‎（Ⅲ）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.‎ ‎9（2017丰台二模）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.‎ ‎（Ⅰ）若具有性质“”，且，，，求；‎ ‎（Ⅱ）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，互质，求证：具有性质“”.‎ ‎10（2017丰台一模）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．‎ ‎（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列为“K数列”，且其前n项和满足 ‎？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由．‎ ‎11（2017昌平二模）设集合，.对数列，规定：‎ ① 若,则；‎ ② 若，则.‎ 例如：当，时，.‎ ‎(I)已知等比数列，，且当时，，求数列的通项公式；‎ ‎(II)已知数列，证明：对于任意的，且，存在，使；‎ ‎(III)已知集合, ，．设中最大元素为，中最大元素为，求证：.‎ ‎12（2017.1石景山期末）集合的若干个子集的集合称为集合的一个子集族．对于集合 的一个子集族满足如下条件：若，则，则称子集族是“向下封闭”的．‎ ‎（Ⅰ）写出一个含有集合的“向下封闭”的子集族并计算此时的值（其中表示集合中元素的个数，约定；表示对子集族中所有成员求和）；‎ ‎（Ⅱ）是集合的任一“向下封闭的”子集族，对,记，‎ ‎（其中max表示最大值），‎ ‎（ⅰ）求； （ⅱ）若是偶数，求．‎ ‎1（2017海淀二模）（Ⅰ）数列不具有性质；具有性质.‎ ‎（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列，是有限集，但是由于，‎ 所以不具有性质；‎ ‎（必要性）因为数列具有性质，‎ 所以一定存在一组最小的且，满足，即 由性质的含义可得 所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：为一个周期中的各项，‎ 所以数列中最多有个不同的项，‎ 所以最多有个元素，即是有限集.‎ ‎（Ⅲ）因为数列具有性质，数列具有性质，‎ 所以存在，使得，，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，‎ 由性质的含义可得，，‎ 若，则取，可得；‎ 若，则取，可得.‎ 记，则对于，有，，显然，‎ 由性质的含义可得，，‎ 所以 所以.所以，‎ 又是满足，的最小的正整数，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，，‎ 所以，，，‎ 取，则，‎ 所以，若是偶数，则；‎ 若是奇数，则，‎ 所以，‎ 所以是公差为1的等差数列.‎ ‎2（2017海淀一模）解：（Ⅰ）. ‎ ‎（Ⅱ）先证必要性 ‎ 因为，又成等差数列，故，所以； ‎ ‎ 再证充分性 因为，为正整数数列，故有 ‎,‎ 所以,‎ 又，故，故为等差数列. ‎ ‎（Ⅲ）先证明.‎ 假设存在，且为最小的正整数.‎ 依题意,则 ‎，又因为,‎ 故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和.‎ 故假设不成立，即成立.‎ 因此,‎ 即，所以. ‎ 因为，则，‎ 若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，‎ 故，即. ‎ 此时可构造集合. ‎ 因为当时，可以等于集合中若干个元素的和，‎ 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，‎ ‎……‎ 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，‎ 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，‎ 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，‎ 所以集合满足题设，‎ 所以当取最小值11时，的最大值为1009. ‎ ‎3（2017西城二模）解：（Ⅰ）当时，，．[ 1分]‎ ①对于的含有个元素的子集，‎ 因为，‎ 所以不是集合的“相关数”．……[ 2分]‎ ②的含有个元素的子集只有，‎ 因为，‎ 所以是集合的“相关数”．……[ 3分]‎ ‎（Ⅱ）考察集合的含有个元素的子集．[ 4分]‎ 中任意个元素之和一定不小于．‎ 所以一定不是集合的“相关数”．……[ 6分]‎ 所以当时，一定不是集合的“相关数”．……[ 7分]‎ 因此若为集合的“相关数”，必有．‎ 即若为集合的“相关数”，必有．……[ 8分]‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ．‎ 先将集合的元素分成如下组：‎ ‎．‎ 对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合．‎ ‎⋯⋯‎‎[10分]‎ 再将集合的元素剔除和后，分成如下组：‎ ‎．‎ 对于的任意一个含有个元素的子集，必有一组属于集合．‎⋯⋯‎ [11分]‎ 这一组与上述三组中至少一组无相同元素，‎ 不妨设与无相同元素．‎ 此时这个元素之和为．[12分]‎ 所以集合的“相关数”的最 ‎4（2017西城一模）解：（Ⅰ） 的所有可能的取值为3，5，7，9. [ 3分]‎ ‎（Ⅱ） 令 ，则无论填写的顺序如何，都有．‎ ‎ [ 5分]‎ 因为 ，‎ 所以 ，． [ 6分]‎ 因为 ，‎ 所以 ． [ 8分]‎ 注：，或均满足条件．‎ ‎（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变． ‎ 不妨设，记，，其中．‎ 则 ． [ 9分]‎ 因为 ，‎ 所以 与具有相同的奇偶性． [11分]‎ 又因为 与具有相同的奇偶性，‎ 所以 与的奇偶性相同，‎ 所以 的所有可能取值的奇偶性相同． [13分]‎ 解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变． ‎ 考虑如下表所示的任意两种不同的填法，，，‎ 不妨设，，其中 ． [ 9分]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 对于任意，‎ ① 若在两种填法中都位于同一行，‎ 则在的表达式中或者只出现在中，或只出现在 中，且出现两次，‎ 则对而言，在的结果中得到． [11分]‎ ② 若在两种填法中位于不同行，‎ 则在的表达式中在与中各出现一次，‎ 则对而言，在的结果中得到．‎ 由 ① ② 得，对于任意，必为偶数．‎ 所以，对于表格的所有不同的填法，所有可能取值的奇偶性相同． [13分]‎ ‎5（2017东城二模）解：（Ⅰ）由于，，由定义，可得. …………4分 ‎（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含维向量序列，‎ 使得，.‎ 因为向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，‎ 不妨设的第个分量变化了次之后变成，‎ 所以将中所有分量 变为 共需要 ‎ ‎ 次，此数为奇数.‎ 又因为，说明中的分量有个数值发生改变，‎ 进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾. ‎ 所以该序列中不存在维向量. ……………9分 ‎（Ⅲ）此时. ……………13分 ‎ 易见当为12的因子时，给 (1分).‎ 答出给(1分).‎ 答出中任一个给(1分)，都对给(2分)‎ ‎6（2017东城一模）解：（Ⅰ）由于，，‎ 所以，，‎ ‎，，回答其中之一即可 ………3分 ‎（Ⅱ）若集合，如果集合中每个元素加上同一个常数，形成新的集合. ……………5分 根据定义可以验证：. ……………6分 取，此时.‎ 通过验证，此时，且. ……………8分 ‎ ‎（Ⅲ）由于 ‎………11分 ‎ 由于，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以.………13分 ‎7（2017朝阳二模）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 又数列的前3项互不相等，‎ ‎（1）当时，‎ 若，则，‎ 且对，都为整数，所以；‎ 若，则，‎ 且对，都为整数，所以；‎ ‎（2）当时，‎ 若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；‎ 若，则，‎ 且对，都为整数，所以；‎ 综上，的值为. ………8分 ‎（Ⅲ）对于，令，‎ ‎ 则.‎ ‎ 又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个.故存在正整数，当时，必有成立.‎ ‎ 当时，则.‎ 从而.‎ 由题设知，又及均为整数，‎ 所以，故常数.‎ 从而常数.‎ 故存在正整数，使得时，为常数. ………13分 ‎8（2017朝阳一模）解：（Ⅰ）集合不是“和谐集”. ……………3分 ‎（Ⅱ）设集合所有元素之和为.‎ 由题可知，（）均为偶数，‎ 因此（）的奇偶性相同.‎ ‎（ⅰ）如果为奇数，则（）也均为奇数，‎ 由于，所以为奇数.‎ ‎（ⅱ）如果为偶数，则（）均为偶数，‎ 此时设，则也是“和谐集”.‎ 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”.‎ 此时各项之和也为奇数，集合中元素个数为奇数.‎ 综上所述，集合中元素个数为奇数. …………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合中元素个数为奇数，‎ 当时，显然任意集合不是“和谐集”.‎ 当时，不妨设，‎ 将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，‎ 则有 ①，或者 ②；‎ 将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，‎ 则有 ③，或者 ④.‎ 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；‎ 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾.‎ 因此当时，集合一定不是“和谐集”.‎ 当时，设，‎ 因为，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以集合是“和谐集”.‎ 集合中元素个数的最小值是7. ………………13分 ‎ ‎ ‎9（2017丰台二模）解 ：（Ⅰ）因为具有性质“”，所以，.‎ 由，得，由，得. …………2分 因为，所以，即. …………4分 ‎（Ⅱ）不具有性质“”. …………5分 设等差数列的公差为，由 ，，‎ 得，所以，故. …………6分 设等比数列的公比为，由 ，，‎ 得，又，所以，故， …………7分 所以.‎ 若具有性质“”，则，.‎ 因为，，所以，故不具有性质“”. ……8分 ‎（Ⅲ）因为具有性质“”，所以，.①‎ 因为具有性质“”，所以，.②‎ 因为，，互质，‎ 所以由①得；由②，得， …………9分 所以，即. …………10分 ‎②-①，得，， …………11分 所以，， ……………12分 所以具有性质“”. ………13分 ‎ ‎10（2017丰台一模）解：（Ⅰ）由题意得，① ‎ ‎ ，② ‎ 解①得 ；‎ ‎ 解②得 或． ‎ ‎ 所以，故实数的取值范围是． …………4分 ‎（Ⅱ）假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，‎ ‎ 由 ，得 ， ‎ 由题意，得对均成立，即 ① 当时，;‎ ② 当时，， ‎ 因为，所以，与矛盾，故这样的等差数列不存在． …………8分 ‎（Ⅲ）设数列的公比为，则，‎ 因为的每一项均为正整数，且，‎ 所以，且.‎ ‎ 因为，‎ 所以在中，“”为最小项．‎ 同理，在中，“”为最小项． ‎ 由为“K数列”，只需， 即 ，‎ 又因为不是“K数列”， 且“”为最小项，所以， 即 ，‎ 由数列的每一项均为正整数，可得 ，‎ 所以或. ‎ ① 当时，， 则，‎ 令，则，‎ 又，‎ 所以为递增数列，即 ，‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以对任意的，都有，即数列为“K数列”．‎ ‎ ‎ ② 当时，，则．因为，‎ 所以数列不是“K数列”． ‎ ‎ 综上：当时，数列为“K数列”，‎ ‎ 当时，数列不是“K数列” ． …………13分 ‎11（2017昌平二模）解：（I） 设，‎ 由题意，化简得，即，或．‎ 所以数列的通项公式为，或．………………4分 ‎（II）当时，，令，有；‎ 当，时，，‎ 令，则．‎ 所以，，，使． ………8分 ‎（III）当时，‎ 因为中最大元素为，得，‎ 中最大元素为，得 ‎，‎ 所以，即符合题意. ‎ 当，时,即 又，所以即时. ‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，与已知矛盾，故不合题意．‎ 综上，． ………………13分 ‎12（2017.1石景山期末）解：（Ⅰ）含有集合的“向下封闭”的子集族　……2分 此时 …………4分 ‎（Ⅱ）设的所有不超过个元素的子集族为 ‎（ⅰ）易知当时，达到最大值，‎ 所以　…6分 ‎（ⅱ）设是使得的任一个“向下封闭”的子集族，记，其中为不超过元的子集族，为元或元的子集 则= 　………8 分 现设有（）个的元子集，由于一个元子集至多出 现在个的元子集中，而一个元子集中有个元子集，故个元子集至少产生个不同的元子集．‎ 由（ⅰ）得 ‎…13分