北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑二

北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑二

学科：数学 教学内容：导数与微分经点答疑（二）‎ ‎2．函数f（x）的不可导点有哪些类型？‎ ‎（1）函数f（x）在不连续点不可导．‎ 如，符号函数sgnx，在x＝0点不连续，在x＝0点不可导．‎ ‎（2）函数f（x）在连续点不可导有以下几种类型：‎ ‎①左、右可导，但左、右导数不相等；‎ 例如，函数f（x）＝|x|，在点x＝0左、右可导，但左、右导数不相等．‎ ‎②左、右两侧至少有一侧不可导；‎ ‎③左、右导数至少有一个是无限大．‎ ‎3．函数f(x)在点可导，是否函数f(x)在点的某邻域内每一点都可导？‎ 在点0可导，（当然在点0连续），事实上 显然，函数f（x）在任意点x≠0都不连续，即除点0外，函数f（x）在任意点都不可导．‎ 由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导．‎ ‎4．什么是导函数？导数与导函数有什么区别与联系？怎样求导函数？‎ 如果函数f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，称函数f（x）在开区间（a,b）内可导，并称函数f（x）是（a,b）内的可导函数．如果函数f（x）在闭区间[a,b]内可导，且与都存在，称函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，此时称f（x）为闭区间[a，b]上的可导函数．‎ 如果函数f（x）在区间I可导，此时对每一个点x∈I，都有惟一一个导数与之对应，这样按照函数的定义，在I上定义了一个新的函数，称为函数f（x）在I上的导函数，记 注意到，前面介绍的函数f（x）在点处的导数是一个值，这里给出的导函数是一个函数，这是二者的根本区别．函数f（x）在点的导数与函数f（x）在I上的导函数的关系是：导数等于导函数在点处的函数值，即 有时，在导函数与导数不至于发生混淆的情况下，导函数简称导数．例如，求某一函数的导数，而没有特别指明是某一点的导数，这时实际上是求导函数的．‎ 从导函数的结构我们可以看出，导函数的结构从形式上就是函数f（x）在任一点x处的导数．因此要求函数f（x）在区间I上的导函数，只需要求出f（x）在I上任一点x处的导数即可，而要求f（x）在点x处的导数，只需把极限求出来即可 例1 求函数y＝x的导数．‎ 思路启迪 在本题中，实际上是求函数y＝f（x）的导函数的，只须把函数f（x）在任一点x处的导数求出来即可．‎ 规范解法 ∵f（x）＝x,‎ f（x＋△x）＝x＋△x,△x≠0，‎ ‎△y＝f（x＋△x）－f（x）‎ ‎＝x＋△x－x＝△x．‎ 例2 求函数 思路启迪 这里是求导函数的，可先求出处的导数，再把换成x即为所求．‎ 规范解法 ‎5.导数的几何意义是什么？它有哪些物理意义？‎ 由引例2，我们知道，若函数f（x）在点可导，则曲线y＝f（x）在点的切线存在，且切线的斜率k就是函数f（x）在点处的导数,即 故函数y＝f（x）在点处的导数的几何意义是：表示曲线y＝f（x）在点处切线的斜率，即．‎ 因此，若函数f（x）在点处可导，则曲线y＝f（x）在点处的切线方程是：．法线方程是 导数的物理意义，根据函数f（x）的物理意义不同而不同．如若当函数f（x）表示质点作变速直线运动的路程时（x表示时间），其导数表示质点在时刻x 的瞬时速度；当函数f（x）表示质点的速度函数时，其导数表示质点的瞬时加速度；当函数f（x）表示电量函数时（x表示时间），其导数表示时刻x的瞬时电流强度．等等．‎ 例1 求曲线在点（1，1）处的切线方程与法线方程．‎ 思路启迪 按照导数的几何意义，只要求出函数在点x＝1处的导数即为该曲线在点（1，1）处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程．‎ 规范解法 于是所求的切线方程为y－1＝3（x－1）,即3x－y－2＝0．‎ 例2 求曲线 思路启迪 根据导数的几何意义，求曲线y＝f（x）上切线平行于已知直线的点，也即是求函数y＝f（x）在哪些点的导数与已知直线的斜率相等．因此，只要找出函数y＝f（x）与已知直线的斜率相等的点即可．‎ 规范解法 故所求的点是（1，1）和（1，－1）．‎ 点评 解决此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义．‎ ‎6．函数的可导性与连续性的关系是什么？‎ 由具有极限的函数与无穷小量的关系我们知道，存在一个当△x→0时的无穷小量α， 即函数y＝f（x）在点x处连续．因此我们有：‎ 若函数y＝f（x）在点x可导，则函数y＝f（x）在点x必连续．‎ 反之，不一定成立，即若函数y＝f（x）在点x处连续，但它在点x不一定可导．‎ 例 函数 规范解法 如图3-3，f（x）在点x＝0连续，事实上：f（0）＝0．‎ 故f（x）在点x＝0连续．‎ 但是，f（x）在点x＝0不可导（见1中的例2）．‎ 由上面的讨论可知，函数f（x）在点x连续是函数f（x）在点x可导的必要条件，但非充分条件．即函数f（x）在点x处可导必连续，连续不一定是可导，不连续一定不可导．‎ ‎7．若函数f（x）与g（x）在点都不可导，它们的和H（x）＝f（x）+g（x）与积 G（x）＝f（x）·g（x）在点是否也不可导？‎ 不一定．例如，函数f（x）＝|x|与g（x）＝－|x|．‎ 在x＝0都不可导，但是，它们的和与积H（x）＝f（x）+g（x）＝0与在x＝0却都可导．‎ ‎8．求哪些函数个别点的导数或左、右导数应用导数的定义？‎ ‎（1）函数在个别点的函数值单独定义的，其余点的函数值用统一解析式定义的（函数在个别点连续）．例如，函数 在点x＝0的导数要应用导数的定义．‎ ‎（2）求分段函数在分段点的导数．例如，函数 求函数f（x）在点x＝0的左、右导数，函数g（x）在点x＝0与x＝1的左、右导数要应用导数的定义．‎ ‎9．导数有哪些基本公式和运算法则?‎ 在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求函数的方法．但是，如果对每一个函数，都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的．因此，我们希望找到一些简单函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程．‎ 证明：设y＝f（x）＝C，‎ ‎[注：以后可以证明，当n取任意实数时，这个公式仍然成立．]‎ 例1 求 规范解法 公式 请读者自己证明．‎ 证明：设 特别，当a＝e时，有 公式（6） 公式（7） 证明：设 令，则 又当△t→0时，有t→0，于是 特别，当a＝e时，有 例2 求 规范解法 法则（1） 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）．即 用同样的方法可将此结果推广到有限个函数代数和的导数情形．‎ 例3 求下面函数的导数 思路启迪 这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案．‎ 规范解法 法则（2）两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函乘以第二个函数的导数．即 证明：设y＝uv，u（x）、（x）均可导，当x取增量△x（△x≠0）时，有相应的增量△u、△v、△y，于是在x处 对于有限个函数的乘积的导数可类推．例如三个可导的函数u（x），和的乘积的导数是： 例4 求函数 思路启迪 该函数是由两个基本初等函数与cosx的积所构成，而与cosx的导数（公式）我们知道，两个函数的积的求导法法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与和cosx的求导公式，该题将迎刃而解．‎ 规范解法 由两个函数和积的求导法则得 例5 设 思路启迪 本例与上例基本相同，所不同的是本函数是由三个函数的积所构成，因此只要正确运用积的求导法则及公式即可．‎ 例6 当 思路启迪 要使抛物线 规范解法 法则（3）两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数；它的分母是原来的商的分母的平方．即：‎ 例7 设 思路启迪 注意到正切函数tanx是由正弦函数sinx与余弦函数cosx的商所构成，商的求导法则我们学过，而正弦函数与余弦函数的导数（公式）我们知道，因此若能正确地运用求导法则及求导公式，该函数的导数也就解决了．‎ 规范解法 从而得 类似可得