新课标备战高考数学理二轮专题复习3数列与不等式

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新课标备战高考数学理二轮专题复习3数列与不等式

‎2012届高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 ‎【重点知识回顾】‎ ‎1. 数列在高考中,一般设计一个客观题和一个解答题,主要考查数列和不等式部分的基本知识,对基本运算能力要求较高,解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识.难度较大,尤其是数列、函数和不等式的综合考题,又加入了逻辑推理能力的考查,成为了近几年数列考题的新热点.‎ ‎2. 数列与不等式部分的重点为:等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和;不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用;该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力,考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想.‎ ‎【典型例题】‎ ‎1.等差数列与等比数列的综合 等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识,考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用,对基本的运算要求比较高.‎ 例1.设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 答案:A 解析:设数列的公差为,则根据题意得,解得或(舍去),所以数列的前项和.‎ 例2.等比数列的前n项和为,且4,2,成等差数列.若=1,则=( )‎ ‎(A)7 (B)8 (3)15 (4)16‎ 解析:4,2,成等差数列,,即,‎ ‎,,因此选C.‎ 点评:该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等,基础性较强,综合程度较小,要求具有较熟练的运算能力.‎ ‎2.函数与不等式综合 不等式与函数有着密切的联系,其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一,经常以选择题或填空题出现.有不少关于最值方面的问题,通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值,考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现.在应用不等式解决实际问题时,要注意以下四点:‎ ‎①理解题意,设变量.设变量时一般把要求最值的变量定为自变量;‎ ‎②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;‎ ‎③在定义域内,求出函数的最值;‎ ‎④正确写出答案.‎ x ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ y ‎ O ‎ ‎-2 ‎ z=ax+by ‎ ‎3x-y-6=0 ‎ x-y+2=0 ‎ 例3.设x,y满足约束条件 ,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,则的最小值为( ) ‎ A. B. C. D. 4‎ 答案:A 解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.‎ 点评:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的 最小值常用乘积进而用基本不等式解答.‎ 例4.本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是 万元.‎ 答案:70‎ ‎0‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ y x l M 解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟,总收益为元,由题意得 目标函数为.‎ 二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.‎ 如图:作直线,即.‎ 平移直线,从图中可知,当直线过点时,目标函数取得最大值.‎ 联立解得.点的坐标为.‎ ‎(元).‎ 点评:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题.用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力,随着课改的深入,这类试题应该是高考的热点题型之一.‎ 例5.设为实数,函数.‎ ‎(1)若,求的取值范围;‎ ‎(2)求的最小值;‎ ‎(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ 解析:(1)若,则;‎ ‎(2)当时,,‎ 当时,,‎ 综上;‎ ‎(3)时,得,‎ 当时,;‎ 当时,△>0,得:;‎ 讨论得:当时,解集为;‎ 当时,解集为;‎ 当时,解集为.‎ 点评:本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.‎ ‎3.函数与数列的综合 高考试题中经常将函数与数列综合在一起,设计综合性较强的解答题,考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力.‎ 例6.知函数.‎ ‎(Ⅰ)设是正数组成的数列,前n项和为,其中.若点(n∈N*)在函数的图象上,求证:点也在的图象上;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间内的极值.‎ 解析:(Ⅰ)证明: 因为所以,‎ 由点在函数的图象上,‎ ‎, 又,‎ ‎ 所以,是的等差数列,‎ ‎ 所以,又因为,所以,‎ ‎ 故点也在函数的图象上.‎ ‎(Ⅱ)解:,令得.‎ 当x变化时,﹑的变化情况如下表:‎ ‎ x ‎(-∞,-2)‎ ‎-2‎ ‎(-2,0)‎ f(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎ ‎↘‎ 注意到,从而 ‎①当,此时无极小值;‎ ‎②当的极小值为,此时无极大值;‎ ‎③当既无极大值又无极小值.‎ 点评:‎ 本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力.‎ ‎4.数列与不等式、简易逻辑等的综合 数列是培养推理论证能力的极好载体,将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查,是新课程高考中的一个亮点,常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体,对能力的要求较高.‎ 例7.设若是与的等比中项,则的最小值为( )‎ ‎ A.8 B.4 C.1 D.‎ 答案:B 解析:因为,所以,‎ ‎,当且仅当即时“=”成立,故选择B.‎ 点评:本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力.‎ 例8.设数列满足为实数.‎ ‎(Ⅰ)证明:对任意成立的充分必要条件是;‎ ‎(Ⅱ)设,证明:;‎ ‎(Ⅲ)设,证明:.‎ 解析: (1) 必要性: ,又 ,即.‎ 充分性 :设,对用数学归纳法证明,‎ ‎ 当时,.假设,‎ ‎ 则,且,‎ ‎,由数学归纳法知对所有成立.‎ ‎(2) 设 ,当时,,结论成立.‎ 当 时,,‎ ‎ ,由(1)知,所以 且 , ‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎.‎ ‎(3) 设 ,当时,,结论成立,‎ ‎ 当时,由(2)知,‎ ‎,‎ ‎ .‎ 点评:该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等,具有较高的难度,对逻辑推理能力的考查要求较高.‎ ‎5.数列与概率的综合 数列与概率的综合考查,虽然不是经常但很有新意,这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想.‎ 例9.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(  )‎ ‎ A.          B.         C.        D.‎ 解析:一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个,其中为等差数列有三类:‎ ‎(1)公差为0的有6个;(2)公差为1或-1的有8个;(3)公差为2或-2的有4个,共有18个,成等差数列的概率为,选B.‎ 点评:本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面,有采取分类讨论,分类时要做到不遗漏,不重复.‎ ‎【模拟演练】‎ ‎1.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于( )‎ A. 18 B. 24 C. 60 D. 90‎ ‎2. 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示,若,则的值为( )‎ A B C D ‎ ‎3.已知函数,则不等式的解集是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4. 已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是________.‎ ‎5.设数列的前项和为,点均在函数的图象上.‎ 则数列的通项公式为 .‎ ‎6.命题实数满足,其中,命题实数满足或,且是的必要不充分条件,求的取值范围.‎ ‎7.已知二次函数的二次项系数为 a ,且不等式 的解集为(1 , 3).‎ ‎(l)若方程有两个相等的根,求的解析式; ‎ ‎(2)若的最大值为正数,求 a 的取值范围.‎ ‎8.围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元).‎ ‎(Ⅰ)将y表示为x的函数: ‎ ‎(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.答案:C 解析:由得得,再由得:则,所以,故选C.‎ ‎2.答案:A 解析: ∵;. ‎ ‎∴. ‎ ‎3. 答案:C 解析:依题意得或 所以或 解得:,故选C.‎ ‎4.答案:4 ‎ 解析:∵=≥=4.‎ ‎5.答案:‎ 解析:由题意得,即.‎ 当n≥2时, ;‎ 当n=1时,×-2×‎1-1-6‎×1-5.‎ 所以.‎ ‎6.解析:设,‎ ‎=‎ 因为是的必要不充分条件,所以,且推不出 而,‎ 所以,则或 即或.‎ ‎7.解析:(1)因为的解集为(1,3),所以且. ‎ 因而 (1)‎ 由方程得: (2)‎ 因为方程(2)有两个相等的根.‎ 所以,即.‎ 解得:(舍去)或,‎ 将代入(1)得的解析式为:,‎ ‎(2),‎ 有a < 0,可得的最大值为,‎ 所以 > 0,且a < 0.‎ 解得:,‎ 故当的最大值为正数时,实数a的取值范围是.‎ ‎8.解析:(1)如图,设矩形的另一边长为a m,则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360,‎ 由已知xa=360,得a=,所以y=225x+. ‎ ‎(II)‎ ‎.当且仅当225x=时,等号成立.‎ 即当x=‎24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.‎ ‎.精品资料。欢迎使用。‎ ‎.精品资料。欢迎使用。‎
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