江苏省盐城市高考数学三模试卷

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文档介绍

江苏省盐城市高考数学三模试卷

‎2016年江苏省盐城市高考数学三模试卷 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎1.(5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7,9},C=A∩B,则集合C的子集的个数为  .‎ ‎2.(5分)若复数z满足(2﹣i)z=4+3i(i为虚数单位),则|z|=  .‎ ‎3.(5分)甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球,现从两盒中随机各取一个球,则至少有一个红球的概率为  .‎ ‎4.(5分)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是2,则数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的标准差为  .‎ ‎5.(5分)如图所示,该伪代码运行的结果为  .‎ ‎6.(5分)以双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心,a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切,则该双曲线的离心率为  .‎ ‎7.(5分)设M,N分别为三棱锥P﹣ABC的棱AB,PC的中点,三棱锥P﹣ABC的体积记为V1,三棱锥P﹣AMN的体积记为V2,则=  .‎ ‎8.(5分)已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为  .‎ ‎9.(5分)若f(x)=sin(x+θ)﹣cos(x+θ)(﹣≤θ≤)是定义在R上的偶函数,则θ=  .‎ ‎10.(5分)已知向量,满足=(4,﹣3),||=1,|﹣|=,则向量,的夹角为  .‎ ‎11.(5分)已知线段AB的长为2,动点C满足•=λ(λ为负常数),且点C总不在以点B为圆心,为半径的圆内,则实数λ的最大值是  .‎ ‎12.(5分)若函数f(x)=ex+x3﹣﹣1的图象上有且只有两点P1,P2,使得函数g(x)=x3+的图象上存在两点Q1,Q2,且P1与Q1、P2与Q2分别关于坐标原点对称,则实数m的取值集合是  .‎ ‎13.(5分)若数列{an}满足:对任意的n∈N*,只有有限个正整数m使得am<n成立,记这样的m的个数为bn,则得到一个新数列{bn}.例如,若数列{an}是1,2,3,…,n…,则数列{bn}是0,1,2,…,n﹣1,…现已知数列{an}是等比数列,且a2=2,a5=16,则数列{bn}中满足bi=2016的正整数i的个数为  .‎ ‎14.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足b2﹣a2=ac,则﹣的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 二、解答题(共6小题,满分90分)‎ ‎15.(14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B=60°,a+c=4.‎ ‎(1)当a,b,c成等差数列时,求△ABC的面积;‎ ‎(2)设D为AC边的中点,求线段BD长的最小值.‎ ‎16.(14分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱AB,PC的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥平面PAD;‎ ‎(2)求证:平面PDE⊥平面PEC.‎ ‎17.(14分)一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜,他在正方形的边BC,CD上分别取点E,F(不与正方形的顶点重合),连接AE,EF,FA,使得∠EAF=45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区,△AEF部分规划为蜂巢区,△CEF部分规划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2,蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2,则这三个区域的总投入最少需要多少元?‎ ‎18.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1的左顶点为A,右焦点为F,P,Q为椭圆C上两点,圆O:x2+y2=r2(r>0).‎ ‎(1)若PF⊥x轴,且满足直线AP与圆O相切,求圆O的方程;‎ ‎(2)若圆O的半径为,点P,Q满足kOP•kOQ=﹣,求直线PQ被圆O截得弦长的最大值.‎ ‎19.(16分)已知函数f(x)=mlnx(m∈R).‎ ‎(1)若函数y=f(x)+x的最小值为0,求m的值;‎ ‎(2)设函数g(x)=f(x)+mx2+(m2+2)x,试求g(x)的单调区间;‎ ‎(3)试给出一个实数m的值,使得函数y=f(x)与h(x)=(x>0)的图象有且只有一条公切线,并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.‎ ‎20.(16分)已知数列{an}满足a1=m,an+1=(k∈N*,r∈R),其前n项和为Sn.‎ ‎(1)当m与r满足什么关系时,对任意的n∈N*,数列{an}都满足an+2=an?‎ ‎(2)对任意实数m,r,是否存在实数p与q,使得{a2n+1+p}与{a2n+q}是同一个等比数列?若存在,请求出p,q满足的条件;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)当m=r=1时,若对任意的n∈N*,都有Sn≥λan,求实数λ的最大值.‎ ‎ ‎ 四.数学附加题部分(本部分满分0分,考试时间30分钟)[选做题](在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题0分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)A.(选修4-1:几何证明选讲)‎ ‎21.如图,AB是圆O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.‎ 求证:∠DEA=∠DFA.‎ ‎ ‎ B.(选修4-2:矩阵与变换)‎ ‎22.已知矩阵M=的两个特征向量a1=,a2=,若β=,求M2β.‎ ‎ ‎ C.(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ ‎23.已知直线l的参数方程为,曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ,试判断直线l与曲线C的位置关系.‎ ‎ ‎ D.(选修4-5:不等式选讲)‎ ‎24.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,求++的最小值.‎ ‎ ‎ 四.[必做题](第25、26题,每小题0分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎25.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,假设每局比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙、乙胜丙的概率都为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.‎ ‎(1)求第3局甲当裁判的概率;‎ ‎(2)记前4局中乙当裁判的次数为X,求X的概率分布与数学期望.‎ ‎26.记f(n)=(3n+2)(C+C+C+…+C)(n≥2,n∈N*).‎ ‎(1)求f(2),f(3),f(4)的值;‎ ‎(2)当n≥2,n∈N*时,试猜想所有f(n)的最大公约数,并证明.‎ ‎ ‎ ‎2016年江苏省盐城市高考数学三模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎1.(5分)(2016•盐城三模)已知集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7,9},C=A∩B,则集合C的子集的个数为 8 .‎ ‎【考点】交集及其运算.菁优网版权所有 ‎【专题】集合思想;定义法;集合.‎ ‎【分析】由A与B,求出两集合的交集确定出C,即可作出判断.‎ ‎【解答】解:∵A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7,9},‎ ‎∴C=A∩B={1,3,5},‎ 则集合C的子集个数为23=8,‎ 故答案为:8‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2016•盐城三模)若复数z满足(2﹣i)z=4+3i(i为虚数单位),则|z|=  .‎ ‎【考点】复数求模.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题;规律型;数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】利用复数的模的求法否则化简求解即可.‎ ‎【解答】解:复数z满足(2﹣i)z=4+3i,‎ 可得|2﹣i||z|=|4+3i|,‎ 可得|z|==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2016•盐城三模)甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球,现从两盒中随机各取一个球,则至少有一个红球的概率为  .‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计.‎ ‎【分析】先求出试验发生的总事件数是3×3=9,再求出从两盒中随机各取一个球,则没有红球的种数只有1种,根据对立事件的概率公式计算即可.‎ ‎【解答】解:试验发生的总事件数是3×3=9,‎ 从两盒中随机各取一个球,则没有红球的种数只有1种,‎ 故现从两盒中随机各取一个球,则至少有一个红球的概率为1﹣=‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2016•盐城三模)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是2,则数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的标准差为 2 .‎ ‎【考点】极差、方差与标准差.菁优网版权所有 ‎【专题】对应思想;综合法;概率与统计.‎ ‎【分析】根据方差公式求出数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差,从而求出标准差.‎ ‎【解答】解:∵一组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是2,‎ 则数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差是22•2=8,‎ 其标准差为:2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2016•盐城三模)如图所示,该伪代码运行的结果为 11 .‎ ‎【考点】循环结构.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题;图表型;试验法;算法和程序框图.‎ ‎【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的S,i的值,当S=25时不满足条件S≤20,退出循环,输出i的值为11.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序,可得 S=0,i=1‎ 满足条件S≤20,执行循环体,S=1,i=3‎ 满足条件S≤20,执行循环体,S=4,i=5‎ 满足条件S≤20,执行循环体,S=9,i=7‎ 满足条件S≤20,执行循环体,S=16,i=9‎ 满足条件S≤20,执行循环体,S=25,i=11‎ 不满足条件S≤20,退出循环,输出i的值为11.‎ 故答案为:11.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2016•盐城三模)以双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心,a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切,则该双曲线的离心率为  .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】根据圆和渐近线的垂直关系建立方程条件进行求解即可.‎ ‎【解答】解:由题意知圆心F(c,0),双曲线的渐近线为y=±x,不妨设其中一条为bx﹣ay=0,‎ ‎∵圆与渐近线相切,‎ ‎∴圆心到渐近线的距离d==b=a,‎ 即c=‎ 即离心率e==,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2016•盐城三模)设M,N分别为三棱锥P﹣ABC的棱AB,PC的中点,三棱锥P﹣ABC的体积记为V1,三棱锥P﹣AMN的体积记为V2,则=  .‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题;转化思想;等体积法;立体几何.‎ ‎【分析】由题意画出图形,利用N为棱PC的中点,且三棱锥P﹣ABC的体积记为V1,得到,再由M为棱AB的中点,得到,由等积法得到,则可求.‎ ‎【解答】解:如图,‎ ‎∵N为棱PC的中点,且三棱锥P﹣ABC的体积记为V1,‎ ‎∴,‎ 又M为棱AB的中点,‎ 则,‎ ‎∴,‎ 即.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2016•盐城三模)已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为  .‎ ‎【考点】简单线性规划.菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合;转化法;不等式.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,结合直线斜率的应用,利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,‎ ‎=,则对应的几何意义是区域内的点到点(﹣,)的斜率,‎ 由图象知AD的斜率最大,‎ 由得,即A(1,4),‎ 此时==,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2016•盐城三模)若f(x)=sin(x+θ)﹣cos(x+θ)(﹣≤θ≤)是定义在R上的偶函数,则θ= ﹣ .‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用.菁优网版权所有 ‎【专题】函数思想;分析法;三角函数的求值.‎ ‎【分析】对f(x)化简,由偶函数得到正弦函数是需要左右平移+kπ,k∈Z个单位,得到θ的值.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=sin(x+θ)﹣cos(x+θ)=2sin(x+θ﹣),‎ 是定义在R上的偶函数,‎ ‎∴θ﹣=+kπ,k∈Z ‎∴θ=+kπ,‎ ‎∵﹣≤θ≤,‎ ‎∴k=﹣1时,‎ θ=﹣.‎ 故答案为θ=﹣.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2016•盐城三模)已知向量,满足=(4,﹣3),||=1,|﹣|=,则向量,的夹角为  .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 ‎【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用.‎ ‎【分析】对|﹣|=两边平方,计算,代入向量的夹角公式得出夹角.‎ ‎【解答】解:||==5,‎ ‎∵|﹣|=,∴=26﹣2=21,‎ ‎∴=.‎ ‎∴cos<>==.‎ ‎∴向量的夹角为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2016•盐城三模)已知线段AB的长为2,动点C满足•=λ(λ为负常数),且点C总不在以点B为圆心,为半径的圆内,则实数λ的最大值是 ﹣ .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题;作图题;数形结合;转化思想;数形结合法;三角函数的求值;平面向量及应用.‎ ‎【分析】由题意建立坐标系,假设点C在圆内,B(0,0),A(2,0),C(rcosa,rsina),(r<),从而利用坐标表示出向量,从而可得λ=﹣2rcosa+r2,从而求得.‎ ‎【解答】解:由题意建立坐标系如右图,‎ 假设点C在圆内,‎ 则B(0,0),A(2,0),C(rcosa,rsina),(r<),‎ 则=(2﹣rcosa,﹣rsina),=(﹣rcosa,﹣rsina),‎ ‎∴λ=(2﹣rcosa,﹣rsina)•(﹣rcosa,﹣rsina)‎ ‎=﹣2rcosa+r2(cos2a+sin2a)‎ ‎=﹣2rcosa+r2,‎ ‎∴r2﹣2r≤λ≤r2+2r,‎ 故﹣<λ<,‎ ‎∵点C总不在以点B为圆心,为半径的圆内,‎ ‎∴λ≤﹣或λ≥(舍);‎ 故实数λ的最大值是﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2016•盐城三模)若函数f(x)=ex+x3﹣﹣1的图象上有且只有两点P1,P2,使得函数g(x)=x3+的图象上存在两点Q1,Q2,且P1与Q1、P2与Q2分别关于坐标原点对称,则实数m的取值集合是 {﹣} .‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用.菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想;分析法;函数的性质及应用.‎ ‎【分析】设P1(x1,y1),P2(x2,y2),由关于原点对称可得Q1,Q2的坐标,分别代入f(x),g(x)的解析式,相加可得方程m=xex﹣x2﹣x有且只有两个不等的实根.令h(x)=xex﹣x2﹣x,求出导数,得到单调区间和极值,即可得到所求m的值的集合.‎ ‎【解答】解:设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则Q1(﹣x1,﹣y1),Q2(﹣x2,﹣y2),‎ 由题意可得y1=ex1+x13﹣x1﹣1,﹣y1=﹣x13﹣,‎ 即有y1﹣y1=ex1﹣x1﹣1﹣=0,‎ 即为m=x1ex1﹣x12﹣x1,‎ 同理可得m=x2ex2﹣x22﹣x2,‎ 即有方程m=xex﹣x2﹣x有且只有两个不等的实根.‎ 令h(x)=xex﹣x2﹣x,导数为h′(x)=(x+1)ex﹣x﹣1‎ ‎=(x+1)(ex﹣1),‎ 由h′(x)=0,解得x=﹣1或x=0,‎ 当﹣1<x<0时,h′(x)<0,h(x)递减;‎ 当x>0或x<﹣1时,h′(x)>0,h(x)递增.‎ 即有h(x)在x=0处取得极小值,且为0;‎ x=﹣1处取得极大值,且为﹣.‎ 则m=0或﹣.‎ 当m=0时,xex﹣x2﹣x=0(x≠0)只有一解.‎ 故答案为:{﹣}.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2016•盐城三模)若数列{an}满足:对任意的n∈N*,只有有限个正整数m使得am<n成立,记这样的m的个数为bn,则得到一个新数列{bn}.例如,若数列{an}是1,2,3,…,n…,则数列{bn}是0,1,2,…,n﹣1,…现已知数列{an}是等比数列,且a2=2,a5=16,则数列{bn}中满足bi=2016的正整数i的个数为 22015 .‎ ‎【考点】数列的应用.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】先求出数列{an}的通项公式,再根据新定义,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵数列{an}是等比数列,且a2=2,a5=16,‎ ‎∴an=2n﹣1,‎ ‎∴数列{bn}是0,1,3,3,3,3,3,3,…,‎ ‎∵bi=2016,‎ ‎∴数列{bn}中满足bi=2016的正整数i的个数为22016﹣22015=22015,‎ 故答案为:22015.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2016•盐城三模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足b2﹣a2=ac,则﹣的取值范围是  .‎ ‎【考点】三角形中的几何计算.菁优网版权所有 ‎【专题】综合题;函数思想;转化思想;综合法;解三角形.‎ ‎【分析】根据正弦定理化简已知式子,由二倍角的余弦公式变形、和差化积公式和诱导公式化简后,由内角的范围和正弦函数的性质求出A与B关系,由锐角三角形的条件求出B的范围,利用商得关系、两角差的正弦公式化简所求的式子,由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵b2﹣a2=ac,‎ ‎∴由正弦定理得,sin2B﹣sin2A=sinAsinC,‎ ‎,‎ ‎,‎ 由和差化积公式得cos2A﹣cos2B=﹣2sin(A+B)sin(A﹣B),代入上式得,‎ ‎﹣sin(A+B)sin(A﹣B)=sinAsinC,‎ ‎∵sin(A+B)=sinC≠0,∴﹣sin(A﹣B)=sinA,即sin(B﹣A)=sinA,‎ 在△ABC中,B﹣A=A,得B=2A,则C=π﹣3A,‎ ‎∵△ABC为锐角三角形,∴,‎ 解得,则,‎ ‎∴==‎ ‎==,‎ 由得,sinB∈(,1),则,‎ ‎∴取值范围是,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 二、解答题(共6小题,满分90分)‎ ‎15.(14分)(2016•盐城三模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B=60°,a+c=4.‎ ‎(1)当a,b,c成等差数列时,求△ABC的面积;‎ ‎(2)设D为AC边的中点,求线段BD长的最小值.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题;转化思想;转化法;解三角形;不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】(1)由已知利用等差数列的性质可求b=2,由余弦定理可得ac=4,利用三角形面积公式即可求值得解.‎ ‎(2)设AD=CD=d,由cos∠ADB+cos∠CDB=0,结合余弦定理可得BD2=﹣d2=8﹣ac﹣d2,又利用余弦定理可得4d2=16﹣3ac,从而解得d2=4﹣,利用基本不等式可得:BD2=4﹣≥4﹣()2=3,即可得解.‎ ‎【解答】解:(1)因为a,b,c成等差数列,a+c=4.‎ 所以b==2,…(2分)‎ 由余弦定理,得b2=a2+c2﹣2accosB=(a+c)2﹣3ac=16﹣3ac=4,解得ac=4,…(6分)‎ 从而S△ABC=acsinB=2×=.…(8分)‎ ‎(2)因为D为AC边的中点,所以可设AD=CD=d,‎ 由cos∠ADB+cos∠CDB=0,得+=0,‎ 即BD2=﹣d2=8﹣ac﹣d2,…(10分)‎ 又因为b2=a2+c2﹣2accosB=(a+c)2﹣3ac=16﹣3ac,‎ 即4d2=16﹣3ac,‎ 所以d2=4﹣,…(12分)‎ 故BD2=4﹣≥4﹣()2=3,当且仅当a=c时取等号,‎ 所以线段BD长的最小值为.…(14分)‎ ‎ ‎ ‎16.(14分)(2016•盐城三模)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱AB,PC的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥平面PAD;‎ ‎(2)求证:平面PDE⊥平面PEC.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】(1)取PD的中点G,连接AG,FG,则由中位线定理可知四边形AEFG是平行四边形,于是EF∥AG,从而得出EF∥平面PAD;‎ ‎(2)由PD⊥平面ABCD得出PD⊥CE,由勾股定理的逆定理得出CE⊥DE,于是CE⊥平面PDE,故而平面PDE⊥平面PEC.‎ ‎【解答】证明:(1)取PD的中点G,连接AG,FG.‎ ‎∵F,G分别是PC,PD的中点,‎ ‎∴GF∥DC,GF=DC,‎ 又E是AB的中点,‎ ‎∴AE∥DC,且AE=DC,‎ ‎∴GF∥AE,且GF=AE,‎ ‎∴四边形AEFG是平行四边形,故EF∥AG.‎ 又EF⊄平面PAD,AG⊂平面PAD,‎ ‎∴EF∥平面PAD.‎ ‎(2)∵PD⊥底面ABCD,EC⊂底面ABCD,‎ ‎∴CE⊥PD.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,‎ ‎∴DE=AD,CE=AD,CD=2AD,‎ ‎∴DE2+CE2=CD2,即CE⊥DE,‎ 又PD⊂平面PDE,DE⊂平面PDE,PD∩DE=D,‎ ‎∴CE⊥平面PDE.‎ ‎∵CE⊂平面PEC,‎ ‎∴平面PDE⊥平面PEC.‎ ‎ ‎ ‎17.(14分)(2016•盐城三模)一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜,他在正方形的边BC,CD上分别取点E,F(不与正方形的顶点重合),连接AE,EF,FA,使得∠EAF=45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区,△AEF部分规划为蜂巢区,△CEF部分规划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2,蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2,则这三个区域的总投入最少需要多少元?‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想;分析法;导数的概念及应用;三角函数的求值.‎ ‎【分析】方法一、设阴影部分面积为S,三个区域的总投入为T,可得T=2×105S+105(1﹣S)=105(S+1),设∠EAB=α(0°<α<45°),由解三角形可得S=(tanα+),令x=tanα∈(0,1),可得S=(x﹣),变形整理,运用基本不等式可得最小值;‎ 方法二、设阴影部分面积为S,三个区域的总投入为T.设∠DAF=α,∠BAE=β(0°<α,β<45°),由解三角形可得S=(tanα+tanβ),运用两角和的正切公式和基本不等式,即可得到所求最小值.‎ ‎【解答】解法一:设阴影部分面积为S,三个区域的总投入为T.‎ 则T=2×105S+105(1﹣S)=105(S+1),‎ 从而只要求S的最小值.‎ 设∠EAB=α(0°<α<45°)‎ 在△ABE中,因为AB=1,∠B=90°,‎ 所以BE=tanα,‎ 则S△ABE=AB•BE=tanα;‎ 又∠DAF=45°﹣α,所以S△ADF=tan(45°﹣α);‎ 所以S=(tanα+tan(45°﹣α))=(tanα+),‎ 令x=tanα∈(0,1),‎ 则S=(x﹣)=[(x+1)+﹣2]≥(2﹣2)=﹣1.‎ 当且仅当x+1=,即x=﹣1时取等号,‎ 从而三个区域的总投入T的最小值约为×105元.‎ ‎(说明:这里S的最小值也可以用导数来求解).‎ 因为S′=,则由S′=0,得x=﹣1.‎ 当x∈(0,﹣1)时,S′<0,S递减;当x∈(﹣1,1)时,S′>0,S递增.‎ 所以当x=﹣1时,S取得最小值为﹣1.‎ 解法二:设阴影部分面积为S,三个区域的总投入为T.‎ 则T=2×105S+105(1﹣S)=105(S+1),从而只要求S的最小值.‎ 设∠DAF=α,∠BAE=β(0°<α,β<45°),则S=(tanα+tanβ),‎ 因为α+β=90°﹣∠EAF=45°,‎ 所以tan(α+β)==1,‎ 所以tanα+tanβ=1﹣tanαtanβ≥1﹣()2,‎ 即2S≥1﹣S2,解得S≥﹣1,即S取得最小值为﹣1,‎ 从而三个区域的总投入T的最小值约为×105元.‎ ‎ ‎ ‎18.(16分)(2016•盐城三模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1的左顶点为A,右焦点为F,P,Q为椭圆C上两点,圆O:x2+y2=r2(r>0).‎ ‎(1)若PF⊥x轴,且满足直线AP与圆O相切,求圆O的方程;‎ ‎(2)若圆O的半径为,点P,Q满足kOP•kOQ=﹣,求直线PQ被圆O截得弦长的最大值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.菁优网版权所有 ‎【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】(1)由题意方程求出P的坐标,得到直线PA的方程,由点到直线的距离公式求出圆的半径,则圆的方程可求;‎ ‎(2)由已知求得圆的方程,当PQ⊥x轴时,由kOP•kOQ=﹣求出OP的斜率,可得P的坐标,由对称性得到Q的坐标,则直线PQ被圆O截得弦长可求;当PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y=kx+b,由kOP•kOQ=﹣,得到P,Q横坐标的和与积的关系,联立直线方程和椭圆方程可得k与b的关系,再由垂径定理求得弦长最大值,综合两种情况求得直线PQ被圆O截得弦长的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)∵椭圆C的方程为+=1,‎ ‎∴A(﹣2,0),F(1,0),‎ ‎∵PF⊥x轴,‎ ‎∴P(1,),而直线AP与圆O相切,‎ 根据对称性,可取P(1,),‎ 则直线AP的方程为y=,‎ 即x﹣2y+2=0.‎ 由圆O与直线AP相切,得r=,‎ ‎∴圆O的方程为;‎ ‎(2)由题意知,圆O的方程为x2+y2=3.‎ ‎①当PQ⊥x轴时,,‎ ‎∴,‎ 不妨设OP:y=,‎ 联立,解得P(,),‎ 此时得直线PQ被圆O截得的弦长为;‎ ‎②当PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y=kx+b,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2≠0),‎ 首先由,得3x1x+4y1y2=0,‎ 即3x1x2+4(kx1+b)(kx2+b)=0,‎ ‎(*).‎ 联立,消去x,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2﹣12=0,‎ 将代入(*)式,得2b2=4k2+3.‎ 由于圆心O到直线PQ的距离为,‎ ‎∴直线PQ被圆O截得的弦长为,‎ 故当k=0时,l有最大值为.‎ 综上,直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎19.(16分)(2016•盐城三模)已知函数f(x)=mlnx(m∈R).‎ ‎(1)若函数y=f(x)+x的最小值为0,求m的值;‎ ‎(2)设函数g(x)=f(x)+mx2+(m2+2)x,试求g(x)的单调区间;‎ ‎(3)试给出一个实数m的值,使得函数y=f(x)与h(x)=(x>0)的图象有且只有一条公切线,并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.菁优网版权所有 ‎【专题】函数思想;综合法;导数的概念及应用.‎ ‎【分析】(1)函数整理为y=mlnx+x,求导,由题意可知,函数的最小值应在极值点处取得,令f′(x)=0,代入求解即可;‎ ‎(2)函数整理为g(x)=mlnx+mx2+(m2+2)x,求导得g′(x),对参数m进行分类讨论,逐一求出单调区间;‎ ‎(3)设出A,B的坐标,求出坐标间的关系,得到函数ω(x)=lnx﹣1+,通过讨论函数的单调性判断即可.‎ ‎【解答】解:(1)y=f(x)+x=mlnx+x,(x>0),‎ y′=+1,‎ m≥0时,y′>0,函数在(0,+∞)递增,无最小值,‎ m<0时,y′=,令y′>0,解得:x>﹣m,令y′<0,解得:0<x<﹣m,‎ ‎∴函数y=f(x)+x在(0,﹣m)递减,在(﹣m,+∞)递增,‎ 故函数在x=﹣m处取得最小值,‎ ‎∴mln(﹣m)﹣m=0,解得:m=﹣e;‎ ‎(2)g(x)=f(x)+mx2+(m2+2)x ‎=mlnx+mx2+(m2+2)x,‎ ‎∴g′(x)=,‎ 当m=0时,g(x)=2x,定义域内递增;‎ 当m≠0时,‎ 令g′(x)=0,∴x=﹣或x=﹣,‎ 当m>0时,g′(x)>0,g(x)定义域内递增;‎ 当m<0时,当m>﹣时,函数的增区间为(0,﹣)u(﹣,+∞),减区间为(﹣,﹣);‎ ‎ 当m<﹣时,函数的增区间为(0,﹣)u(﹣,+∞),减区间为(﹣,﹣);‎ 当m=﹣时,定义域内递增.‎ ‎(3)m=符合题意,理由如下:此时f(x)=lnx,‎ 设函数f(x)与h(x)上各有一点A(x1,lnx1),B(x2,),‎ 则f(x)以点A为切点的切线方程为y=x+lnx1﹣,‎ h(x)以点B为切点的切线方程为y=x+,‎ 由两条切线重合,得 (*),‎ 消去x1,整理得lnx2=1﹣,即lnx2﹣1+=0,‎ 令ω(x)=lnx﹣1+,得ω′(x)=,‎ 所以函数ω(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,‎ 又ω(1)=0,所以函数ω(x)有唯一零点x=1,‎ 从而方程组(*)有唯一解,即此时函数f(x)与h(x)的图象有且只有一条公切线.‎ 故m=符合题意.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)(2016•盐城三模)已知数列{an}满足a1=m,an+1=(k∈N*,r∈R),其前n项和为Sn.‎ ‎(1)当m与r满足什么关系时,对任意的n∈N*,数列{an}都满足an+2=an?‎ ‎(2)对任意实数m,r,是否存在实数p与q,使得{a2n+1+p}与{a2n+q}是同一个等比数列?若存在,请求出p,q满足的条件;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)当m=r=1时,若对任意的n∈N*,都有Sn≥λan,求实数λ的最大值.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.菁优网版权所有 ‎【专题】分类讨论;方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】(1)由题意a1=m,an+1=(k∈N*,r∈R),得a2=2a1=2m,a3=a2+r=2m+r,由a3=a1,得m+r=0.当m+r=0时,可得:an+1=(k∈N*),即可得出.‎ ‎(2)依题意,a2n+1=a2n+r=2a2n﹣1+r,则a2n+1+r=2(a2n﹣1+r),由a1+r=m+r,当m+r≠0时,{a2n+1+r}是等比数列,且a2n+1+r==(m+r)•2n.‎ 为使{a2n+1+p}是等比数列,则p=r.同理,当m+r≠0时,a2n+2r=(m+r)•2n,则{a2n+2r}是等比数列,则q=2r.即可得出.‎ ‎(3)当m=r=1时,由(2)可得a2n﹣1=2n﹣1,a2n=2n+1﹣2,当n=2k时,an=a2k=2k+1﹣2;当n=2k﹣1时,an=a2k﹣1=2k﹣1,进而得出.‎ ‎【解答】解:(1)由题意a1=m,an+1=(k∈N*,r∈R),‎ 得a2=2a1=2m,a3=a2+r=2m+r,‎ 首先由a3=a1,得m+r=0.‎ 当m+r=0时,可得:an+1=(k∈N*),‎ ‎∴a1=a3=…=m,‎ a2=a4=…=2m,‎ 故对任意的n∈N*,数列{an}都满足an+2=an.‎ 即当实数m,r满足m+r=0时,题意成立.‎ ‎(2)依题意,a2n+1=a2n+r=2a2n﹣1+r,则a2n+1+r=2(a2n﹣1+r),‎ 因为a1+r=m+r,所以当m+r≠0时,{a2n+1+r}是等比数列,且a2n+1+r==(m+r)•2n.‎ 为使{a2n+1+p}是等比数列,则p=r.‎ 同理,当m+r≠0时,a2n+2r=(m+r)•2n,则{a2n+2r}是等比数列,则q=2r.‎ 综上所述:‎ ‎①若m+r=0,则不存在实数p,q,使得{a2n+1+p}与{a2n+q}是等比数列;‎ ‎②若m+r≠0,则当p,q满足q=2p=2r时,{a2n+1+p}与{a2n+q}是同一个等比数列.‎ ‎(3)当m=r=1时,由(2)可得a2n﹣1=2n﹣1,a2n=2n+1﹣2,‎ 当n=2k时,an=a2k=2k+1﹣2,‎ Sn=S2k=(2+22+…+2k)+(22+23+…+2k+1)﹣3k=+﹣3k=3(2k+1﹣k﹣2).‎ 所以=3,‎ 令ck=,则ck+1﹣ck=﹣=<0,‎ 所以,,‎ 当n=2k﹣1时,an=a2k﹣1=2k﹣1,Sn=S2k﹣a2k=3(2k+1﹣k﹣2)﹣(2k+1﹣2)=2k+2﹣3k﹣4,‎ 所以=4﹣,同理可得≥1,λ≤1,‎ 综上所述,实数λ的最大值为1.‎ ‎ ‎ 四.数学附加题部分(本部分满分0分,考试时间30分钟)[选做题](在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题0分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)A.(选修4-1:几何证明选讲)‎ ‎21.(2016•盐城三模)如图,AB是圆O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.‎ 求证:∠DEA=∠DFA.‎ ‎【考点】圆周角定理;圆內接多边形的性质与判定.菁优网版权所有 ‎【专题】证明题.‎ ‎【分析】做出辅助线,根据AB是一条直径,得到它所对的圆周角是一个直角,根据两条直线垂直,得到它们所形成的角是一个直角,这样得到四边形两个相对的角互补,得到四点共圆,根据同弧所对的圆周角相等,得到结论.‎ ‎【解答】证明:连接AD,∵AB为圆的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ 又EF⊥AB,∠EFA=90°‎ ‎∴A、D、E、F四点共圆.‎ ‎∴∠DEA=∠DFA.‎ ‎ ‎ B.(选修4-2:矩阵与变换)‎ ‎22.(2016•盐城三模)已知矩阵M=的两个特征向量a1=,a2=,若β=,求M2β.‎ ‎【考点】特征值与特征向量的计算.菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想;综合法;矩阵和变换.‎ ‎【分析】由矩阵特征值和特征向量的性质,列方程组求得m,n和λ1,λ2的值,求得矩阵M,由β==+2=α1+2α2,根据矩阵乘法及特征值的定义,即可求得M2β的值.‎ ‎【解答】解:设矩阵M特征向量α1对应的特征值为λ1,特征向量α2对应的特征值为λ2,‎ 则由=λ1,即=,‎ ‎=λ2,即=‎ ‎∴,‎ ‎∴矩阵M=,…(4分)‎ 又β==+2=α1+2α2,…(6分)‎ ‎∴M2β=M2(α1+2α2)=α1+2α2=4+2=..…(10分)‎ ‎ ‎ C.(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ ‎23.(2016•盐城三模)已知直线l的参数方程为,曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ,试判断直线l与曲线C的位置关系.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程.菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想;转化思想;坐标系和参数方程.‎ ‎【分析】把直线l的参数方程消去参数t可得直线l的普通方程;曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,把ρ2=x2+y2,与=ρsinθ,可得曲线C的直角坐标方程.求出圆心到直线l的距离d,与半径半径即可得出位置关系.‎ ‎【解答】解:直线l的参数方程为,‎ 消去参数t可得直线l的普通方程为2x﹣y﹣2=0;‎ 曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,‎ 可得曲线C的直角坐标方程为:x2+(y﹣2)2=4,圆心(0,2),半径r=2.‎ 由圆心到直线l的距离d==<2,可得直线l与曲线C相交.‎ ‎ ‎ D.(选修4-5:不等式选讲)‎ ‎24.(2016•盐城三模)已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,求++的最小值.‎ ‎【考点】二维形式的柯西不等式.菁优网版权所有 ‎【专题】选作题;转化思想;综合法;不等式.‎ ‎【分析】++=(++)(x+2y+3z)=1+4+9++++++,运用基本不等式,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:++=(++)(x+2y+3z)=1+4+9++++++‎ ‎≥14+2+2+2=36,‎ ‎(当且仅当x=y=z=时等号成立)‎ 所以++的最小值为36.…(10分)‎ ‎ ‎ 四.[必做题](第25、26题,每小题0分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎25.(2016•盐城三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,假设每局比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙、乙胜丙的概率都为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.‎ ‎(1)求第3局甲当裁判的概率;‎ ‎(2)记前4局中乙当裁判的次数为X,求X的概率分布与数学期望.‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.‎ ‎【分析】(1)第2局中可能是乙当裁判,其概率为,也可能是丙当裁判,其概率为,由此能求出第3局甲当裁判的概率.‎ ‎(2)由题意X可能的取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X的概率分布与数学期望.‎ ‎【解答】解:(1)第2局中可能是乙当裁判,其概率为,‎ 也可能是丙当裁判,其概率为,‎ ‎∴第3局甲当裁判的概率为=.…(4分)‎ ‎(2)由题意X可能的取值为0,1,2.…(5分)‎ P(X=0)==,…(6分)‎ P(X=1)==,…(7分)‎ P(X=2)==.…(8分)‎ ‎∴X的概率分布列为:‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎∴X的数学期望E(X)==.…(10分)‎ ‎ ‎ ‎26.(2016•盐城三模)记f(n)=(3n+2)(C+C+C+…+C)(n≥2,n∈N*).‎ ‎(1)求f(2),f(3),f(4)的值;‎ ‎(2)当n≥2,n∈N*时,试猜想所有f(n)的最大公约数,并证明.‎ ‎【考点】数学归纳法;归纳推理.菁优网版权所有 ‎【专题】证明题;转化思想;归纳法;推理和证明.‎ ‎【分析】(1)由组合数的性质可得f(n)=(3n+2)Cn+13,代值计算即可,‎ ‎(2)由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可.‎ ‎【解答】解:(1)因为f(n)=(3n+2)(C22+C32+C42+…+Cn2)=(3n+2)Cn+13,‎ 所以f(2)=8,f(3)=44,f(4)=140.‎ ‎(2)由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.‎ 下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可.‎ ‎(ⅰ)当n=2时,f(2)=8能被4整除,结论成立; ‎ ‎(ⅱ)假设n=k时,结论成立,即f(k)=(3k+2)Ck+13能被4整除,‎ 则当n=k+1时,f(k+1)=(3k+5)Ck+23=(3k+2)Ck+13+3Ck+23=(3k+2)(Ck+13+Ck+12)+(k+2)Ck+12,‎ ‎=(3k+2)Ck+13+(3k+2)Ck+12+(k+2)Ck+12,‎ ‎=(3k+2)Ck+13+4(k+1)Ck+12,‎ 此式也能被4整除,即n=k+1时结论也成立.‎ 综上所述,所有f(n)的最大公约数为4.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;qiss;whgcn;刘老师;w3239003;maths;sxs123;小田;zhczcb;炫晨;双曲线;lcb001;gongjy;沂蒙松;涨停;铭灏2016;zlzhan(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2016年11月9日
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