高考复习 解析几何 椭 圆
§9.5 椭 圆
1.椭圆的概念
在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a
b>0)
＋＝1 (a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距). ( √ )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆. ( × )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆. ( √ )
2.已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值是 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知a2＝m，b2＝2，∴c2＝m－2.
∵e＝，∴＝，∴＝，∴m＝.
3.(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.
4.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是__________.
答案 (0,1)
解析 将椭圆方程化为＋＝1，
∵焦点在y轴上，∴>2，即k<1，又k>0，∴0b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________.
答案 －1
解析 设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则|AF1|＝c，|AF2|＝c，有2a＝(1＋)c，
∴e＝＝＝－1.
题型一 椭圆的定义及标准方程
例1 (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________.
(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)、P2(－，－)，则椭圆的方程为________.
思维启迪 (1)题主要考虑椭圆的定义；
(2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况；
(3)可以用待定系数法求解.
答案 (1)B (2)＋y2＝1或＋＝1
(3)＋＝1
解析 (1)点P在线段AN的垂直平分线上，
故|PA|＝|PN|，
又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，
由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.
(2)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3，
又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0).
∵椭圆过点P(3,0).∴＋＝1，即b＝3.
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程.
则
①、②两式联立，解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件.
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式.
(1)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
(2)已知P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.
答案 (1)＋＝1 (2)12
解析 (1)方法一 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
又点(，－)在所求椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝20， ①
在△PF1F2中，由余弦定理，
得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝256. ②
①2－②得|PF1|·|PF2|＝48.
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝12.
题型二 椭圆的几何性质
例2 (1)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率.
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是
椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和
最小值.
思维启迪 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题(1)的关键是根据题意求出a，c的值；解题(2)的关键是表示出·，根据椭圆的性质确定变量的取值范围.
解 (1)设椭圆的焦半径为c，设另一个焦点为F，如图所示，
∵AB＝AC＝1，△ABC为直角三角形，
∴1＋1＋＝4a，则a＝.
设FA＝x，∴
∴x＝，∴1＋()2＝4c2，∴c＝，e＝＝－.
(2)设P点坐标为(x0，y0).由题意知a＝2，
∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
所求椭圆方程为＋＝1.
∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.
又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，
＝(2－x0，－y0)，
∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
当x0＝2时，·取得最小值0，
当x0＝－2时，·取得最大值4.
思维升华 (1)求椭圆的离心率的方法
①直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值.
②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.
③通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点.
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长.
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.
思维启迪 直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解.
解 (1)由已知得b＝4，且＝，即＝，
∴＝，解得a2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，
∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，
设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知＝2，
又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，
即得Q的坐标为(3，－2).
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且＋＝1，＋＝1，
以上两式相减得＋＝0，
∴kMN＝＝－·
＝－×＝，
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，
即6x－5y－28＝0.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝ (k为直线斜率).
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2).
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积.
解 (1)由已知得c＝2，＝，解得a＝2.
又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
由
消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b>0)的左焦点为F1，
上顶点为B2，右顶点为A2，过点A2作x轴的垂线交直线F1B2于
点P，若|PA2|＝3b，则椭圆C的离心率为________.
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、
F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为
________.
思维启迪 椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a，b，c的一个关系式即可.若得到的关系式含b，可利用a2＝b2＋c2转化为只含a，c的关系式.
解析 (1)由题设知＝⇒
＝＝，e＝.
(2)依题意及正弦定理，
得＝(注意到P不与F1F2共线)，
即＝，
∴－1＝，∴＝＋1>，
即e＋1>，∴(e＋1)2>2.
又0b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为( )
A.9 B.1
C.1或9 D.以上都不对
答案 C
解析 ，解得a＝5，b＝3，c＝4.
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.
2.设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.5
答案 A
解析 由题意知|OM|＝|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2×5－6＝4.
3.已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于 ( )
A.4 B.8 C.4或8 D.以上均不对
答案 C
解析 由，得2b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.－2
答案 B
解析 由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，
且三者成等比数列，则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，
即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，
所以e2＝，所以e＝.
5.已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为 ( )
A. B.1 C.2 D.4
答案 C
解析 圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，
∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0).
由题意知直线l的方程为x＝－c，
又∵直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.
二、填空题
6.(2013·福建)椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________.
答案 －1
解析 由直线方程为y＝(x＋c)，
知∠MF1F2＝60°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，
所以∠MF2F1＝30°，
MF1⊥MF2，
所以|MF1|＝c，|MF2|＝c
所以|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a.
即e＝＝－1.
7.已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A、B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________.
答案 3
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.
8.椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________.
答案 (－，)
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y).
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0， ①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
x2<2，∴x2<.
解得－b>0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值.
解 (1)由题意，得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e.
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点.若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程.
解 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
因为|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.
整理得2()2＋－1＝0，解得＝－1(舍)，或＝.
所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，
可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c).
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c.
得方程组的解
不妨设A(c，c)，B(0，－c)，
所以|AB|＝ ＝c.
于是|MN|＝|AB|＝2c.
圆心(－1，)到直线PF2的距离
d＝＝.
因为d2＋()2＝42，
所以(2＋c)2＋c2＝16.
整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1.(2013·四川)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，
∴－＝－，y0＝，
把P代入椭圆方程得＋＝1，
而2＝，∴e＝＝.选C.
2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(0，]
C.(0，) D.[，1)
答案 C
解析 ∵满足·＝0的点M在圆x2＋y2＝c2上，
∴圆x2＋y2＝c2在椭圆内部，即cb>0)，
由题意得解得a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，
设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，
(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0.
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)·(16k－16k1－8)＝32(6k1＋3)>0，
所以k1>－.
又x1＋x2＝，x1x2＝，
因为·＝2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k)＝2＝.
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝.
所以[－2·＋4]·(1＋k)＝＝，解得k1＝±.
因为k1>－，所以k1＝.
于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.
