上海高考数学理科真题含解析

上海高考数学理科真题含解析

‎2016年上海高考数学（理科）真题 一、解答题（本大题共有14题，满分56分）‎ ‎1. 设，则不等式的解集为________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，即，故解集为 ‎2. 设，其中为虚数单位，则_________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，故 ‎3. :, :, 则的距离为__________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎4. 某次体检，位同学的身高（单位:米）分别为，则这组数据的中位数是___‎ ‎（米）‎ ‎【答案】‎ ‎5. 已知点在函数的图像上，则的反函数____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，故，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎6. 如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，‎ 则该正四棱柱的高等于____________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】, ‎ ‎7. 方程在区间上的解为________________‎ 8‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎8. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ‎ 通项 取 常数项为 ‎9. 已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎10. 设，若关于的方程组无解，则的取值范围是_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，，且，∴‎ ‎11. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大 值为___________‎ ‎【答案】‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，已知, , 是曲线上一个动点，则的取值范围 是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设, ，, ‎ 8‎ ‎13. 设, ，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组 的组数为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(i)若 若，则； 若，则 ‎(ii)若，若，则；若，则 共组 ‎14. 如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ ‎15. 设，则“”是“”的( )‎ ‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】时，达到最大 ‎17. 已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是( )‎ 8‎ ‎ A. , B. , ‎ ‎ C. , D. , ‎ ‎【答案】B ‎【解析】, , ‎ ‎，即 若，则，不可能成立 若，则，B成立 ‎18. 设是定义域为的三个函数，对于命题:①若，，均为增函数，则中至少有一个为增函数；②若，，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数，下列判断正确的是( )‎ ‎ A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 ‎ C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】①不成立，可举反例 ‎, , ‎ ‎②‎ 前两式作差，可得 结合第三式，可得, ‎ 也有 ‎∴②正确 故选D 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19. （本题满分12分）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧 ‎(1) 求三棱锥的体积 ‎(2) 求异面直线与所成角的大小 ‎【解析】(1) 连，则 ‎∴为正三角形 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2) 设点在下底面圆周的射影为，连，则 8‎ ‎∴为直线与所成角（或补角）‎ 连 ‎, ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴为正三角形 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线与所成角大小为 ‎20．（本题满分14分）‎ 有一块正方形菜地, 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜 地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和 的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，‎ 点的坐标为，如图 ‎(1) 求菜地内的分界线的方程 ‎(2) 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上 纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并 判断哪一个更接近于面积的经验值 ‎【解析】(1) 设分界线上任一点为，依题意 可得 ‎(2) 设，则 ‎ ‎∴‎ ‎∴设所表述的矩形面积为，则 设五边形面积为，则 ‎, ‎ ‎∴五边形的面积更接近的面积 ‎21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点 8‎ ‎(1) 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程 ‎(2) 设，若的斜率存在，且，求的斜率 ‎【解析】(1)由已知, ‎ 取，得 ‎∵, ‎ ‎∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∴渐近线方程为 ‎(2)若，则双曲线为 ‎∴, ‎ 设, ，则 ‎, , ‎ ‎∴‎ ‎ (*)‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴代入(*)式，可得 直线的斜率存在，故 ‎∴‎ 设直线为，代入 得 ‎∴，且 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线的斜率为 ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知，函数 ‎(1) 当时，解不等式 ‎(2) 若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围 ‎(3) 设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求 8‎ 的取值范围 ‎【解析】(1)‎ ‎∴不等式的解为或 ‎(2)依题意，‎ ‎∴ ①‎ 可得 即 ②‎ 当时，方程②的解为，代入①式，成立 当时，方程②的解为，代入①式，成立 当且时，方程②的解为 若为方程①的解，则，即 若为方程①的解，则，即 要使得方程①有且仅有一个解，则 综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或 ‎(3)在上单调递减 依题意，‎ 即 ‎∴，即 设，则 当时，‎ 当时，‎ ‎∵函数在递减 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴的取值范围为 ‎23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 ‎ 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.‎ 8‎ ‎(1) 若具有性质. 且, , , , ，求；‎ ‎(2) 若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，‎ ‎，判断是否具有性质，并说明理由；‎ ‎(3) 设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条 件为“是常数列”.‎ ‎【解析】(1) ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2)设的公差为，的公差为，则 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵, ‎ 而, ‎ 但 故不具有性质 ‎(3) 充分性：若为常数列，设 则 若存在使得，‎ 则, ‎ 故具有性质 必要性：若对任意，具有性质 则 设函数, ‎ 由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点 ‎∴一定能找到一个，使得 ‎∴‎ ‎∴‎ 故 ‎∴是常数列 8‎