宁夏六盘山高级中学高考数学四模试卷理科解析

宁夏六盘山高级中学高考数学四模试卷理科解析

‎2017年宁夏六盘山高级中学高考数学四模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，正确的只有一项．‎ ‎1．设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，3） B．[2，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，2）‎ ‎2．复数z=|﹣i|+i2017（i为虚数单位），则复数z为（　　）‎ A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i ‎3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）‎ A．y=x2+1 B．y=|lgx| C．y=cosx D．y=ex﹣1‎ ‎4．若点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣2）的距离大1，则点P的轨迹方程为（　　）‎ A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y ‎5．等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（　　）‎ A． B． C．20 D．40‎ ‎6．已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则=（　　）‎ A．﹣6 B．12 C．6 D．﹣12‎ ‎7．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；‎ ‎②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；‎ ‎③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；‎ ‎④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．①③‎ ‎9．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（　　）‎ A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4‎ ‎10．若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为，则下列命题是真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．（¬p）∧q C．p∧（¬q） D．¬q ‎11．已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎12．已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f′（x），若方程f'（x）=0无解，且f[f（x）﹣2017x]=2017，当g（x）=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣，]上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，] C．[﹣1，] D．[，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足 ‎，则该学校今年计划招聘教师最多　 　人．‎ ‎14．在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x项的系数a是，则2xdx=　 　．‎ ‎15．执行如图所示的程序框图，若输入p=5，q=6，则输出a的值为　 　．‎ ‎16．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11=2（Sm﹣Sn）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．‎ ‎18．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．‎ ‎（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．‎ ‎19．2017年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：‎ 上春晚次数x（单位：次）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 粉丝数量y（单位：万人）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎（1）若该演员的粉丝数量g（x）≤g（1）=0与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程=x+，并就此分析，该演员上春晚12次时的粉丝数量；‎ ‎（2）若用（i=1，2，3，4，5）表示统计数据时粉丝的“即时均值”（四舍五入，精确到整数），从这5个“即时均值”中任选2数，记所选的2数之和为随机变量η，求η的分布列与数学期望．‎ 参考公式： =， =﹣．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．‎ ‎21．设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系中，圆C的方程为 ‎（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．‎ ‎（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．‎ ‎　‎ ‎2017年宁夏六盘山高级中学高考数学四模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，正确的只有一项．‎ ‎1．设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，3） B．[2，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，2）‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．‎ ‎【分析】运用指数函数的值域，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x＜2}，‎ 由x∈R，2x＞0，可得 B={y|y=2x﹣1}={y|y＞﹣1}，‎ 则A∩B={m|﹣1＜m＜2}=（﹣1，2）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．复数z=|﹣i|+i2017（i为虚数单位），则复数z为（　　）‎ A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i ‎【考点】A1：虚数单位i及其性质．‎ ‎【分析】i4=1，可得i2017=（i4）504•i=i．再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵i4=1，∴i2017=（i4）504•i=i，‎ ‎∴z=+i=2+i，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）‎ A．y=x2+1 B．y=|lgx| C．y=cosx D．y=ex﹣1‎ ‎【考点】3L：函数奇偶性的性质；52：函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】先判定函数的奇偶性、再确定函数是否存在零点．‎ ‎【解答】解：对于A，函数是偶函数，不存在零点，不正确；‎ 对于B，函数不是偶函数，不正确；‎ 对于C，既是偶函数又存在零点，正确；‎ 对于D，函数不是偶函数，不正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．若点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣2）的距离大1，则点P的轨迹方程为（　　）‎ A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y ‎【考点】J3：轨迹方程．‎ ‎【分析】由题意得，点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，可得轨迹方程．‎ ‎【解答】解：∵点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣1）的距离大2，‎ ‎∴点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，‎ 故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，方程为x2=﹣8y．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（　　）‎ A． B． C．20 D．40‎ ‎【考点】8G：等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据通项公式列方程组解出首项和公比，再计算a5．‎ ‎【解答】解：设公比为q，则q＞0，‎ 由题意得：，‎ 解得，∴a5=2×=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则=（　　）‎ A．﹣6 B．12 C．6 D．﹣12‎ ‎【考点】9R：平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】建立坐标系，求出两向量的坐标，再计算数量积．‎ ‎【解答】解：以A为原点建立坐标系，如图所示：‎ 则A（0，0），B（6，0），M（6，2），N（3，6），‎ ‎∴=（6，2），=（﹣3，6），‎ ‎∴=﹣18+12=﹣6．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，‎ 停止射击时甲射击了两次包括两种情况：‎ ‎①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，‎ 此时的概率P1=P（••A）=（1﹣）×（1﹣）×=，‎ ‎②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，‎ 此时的概率P2=P（•••B）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×=，‎ 故停止射击时甲射击了两次的概率P=P1+P2=+=；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；‎ ‎②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；‎ ‎③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；‎ ‎④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．①③‎ ‎【考点】2K：命题的真假判断与应用；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】对于①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立；‎ 对于②可以看成m是平面α的法向量，n是平面β的法向量即可；‎ 对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；‎ 对于④m∥α，n∥β，且m∥n，α，β也可能相交．‎ ‎【解答】解：①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立，所以错误；‎ ‎②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；‎ ‎③因为m∥α，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥β可得出n⊥β，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，故成立；‎ ‎④m∥α，n∥β，且m∥n，α，β也可能相交，如图所示，‎ ‎，所以错误，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（　　）‎ A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．‎ ‎【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（ 2）2x=12.6，x=1.6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为，则下列命题是真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．（¬p）∧q C．p∧（¬q） D．¬q ‎【考点】CF：几何概型．‎ ‎【分析】分别求出相应的概率，确定p，q的真假，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得都是正品的概率为 ‎=，即p是假命题；‎ 如图正方形的边长为4：‎ 图中白色区域是以AB为直径的半圆 当P落在半圆内时，∠APB＞90°；‎ 当P落在半圆上时，∠APB=90°；‎ 当P落在半圆外时，∠APB＜90°；‎ 故使∠AMB＞90°的概率P=．‎ 即q为真命题，‎ ‎∴（¬p）∧q为真命题，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】KC：双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设A（﹣a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，﹣3m），则直线AM：，直线BN：．由直线AM，BN的交点D（c，y），得，则，即可 ‎【解答】解：如图，设A（﹣a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，﹣3m）．‎ 则直线AM：，直线BN：．‎ ‎∵直线AM，BN的交点D（c，y），‎ ‎∴，则，‎ ‎∴双曲线的离心率为5．‎ 故答案为：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f′（x），若方程f'（x）=0无解，且f[f（x）﹣2017x]=2017，当g（x）=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣，]上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，] C．[﹣1，] D．[，+∞）‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由题意可知：f（x）为R上的单调函数，则f（x）﹣2017x为定值，由指数函数的性质可知f（x）为R上的增函数，则g（x）在[﹣，]单调递增，求导，则g'（x）≥0恒成立，则k≤sin（x+）min，根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：若方程f'（x）=0无解，‎ 则 f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，‎ ‎∀x∈R都有f[f（x）﹣2017x]=2017，‎ 则f（x）﹣2017x为定值，‎ 设t=f（x）﹣2017x，则f（x）=t+2017x，易知f（x）为R上的增函数，‎ ‎∵g（x）=sinx﹣cosx﹣kx，‎ ‎∴，‎ 又g（x）与f（x）的单调性相同，‎ ‎∴g（x）在R上单调递增，则当x∈[﹣，]，g'（x）≥0恒成立，‎ 当时，，，‎ ‎，‎ 此时k≤﹣1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多　10　人．‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设z=x+y，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=x+y得y=﹣x+z，‎ 平移直线y=﹣x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，‎ 直线y=﹣x+z的截距最大，‎ 此时z最大．但此时z最大值取不到，‎ 由图象当直线经过整点E（5，5）时，z=x+y取得最大值，‎ 代入目标函数z=x+y得z=5+5=10．‎ 即目标函数z=x+y的最大值为10．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎14．在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x项的系数a是，则2xdx=　﹣99　．‎ ‎【考点】DC：二项式定理的应用．‎ ‎【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中的含x项的系数a的值，再求定积分，可得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：二项式（x2﹣）5的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r=1，可得r=3，‎ 故含x项的系数a=﹣=﹣10，则2xdx=2xdx=x2=1﹣100=﹣99，‎ 故答案为：﹣99．‎ ‎　‎ ‎15．执行如图所示的程序框图，若输入p=5，q=6，则输出a的值为　30　．‎ ‎【考点】EF：程序框图．‎ ‎【分析】‎ 根据得到该程序的功能是求p、q两个数的最小公倍数，由此写出程序执行的步骤，结合题意即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序按如下步骤运行 ‎①第一次循环，i=1，a=5×1=5，判断q是否整除a；‎ ‎②由于q=6不整除a=5，进入第二次循环，得到i=2，a=5×2=10，判断q是否整除a；‎ ‎③由于q=6不整除a=10，进入第三次循环，得到i=3，a=5×3=15，判断q是否整除a；‎ ‎④由于q=6不整除a=15，进入第四次循环，得到i=4，a=5×4=20，判断q是否整除a；‎ ‎⑤由于q=6不整除a=20，进入第五次循环，得到i=5，a=5×5=25，判断q是否整除a；‎ ‎⑥由于q=6不整除a=25，进入第六次循环，得到i=6，a=5×6=30，判断q是否整除a；‎ ‎⑦由于q=6整除a=30，结束循环体并输出最后的a、i值 因此输出的a=30且i=6．‎ 故答案为30．‎ ‎　‎ ‎16．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11=2（Sm﹣Sn）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是　9　．‎ ‎【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】设公差d不为0的等差数列{an}，运用等比数列中项的性质，化简可得a1=2d，再由等差数列的求和公式，化简可得（m﹣n）（m+n+3）=12，通过m＞n，且m，n为自然数，列举判断即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：设公差d不为0的等差数列{an}，‎ a2，a5，a11成等比数列，‎ 可得a52=a2a11，‎ 即为（a1+4d）2=（a1+d）（a1+10d），‎ 化简可得a1=2d，‎ a11=2（Sm﹣Sn），‎ 即有12d=2[ma1+d﹣na1﹣d]，‎ ‎12d=4md﹣4nd+d（m2﹣m﹣n2+n），‎ 即有（m﹣n）（m+n+3）=12，‎ 由于m＞n＞0，m，n∈N*，‎ 可得m+n+3≥6，m﹣n≤2，‎ 若m=2，3，n=1则方程不成立；‎ 若m=3，4，n=2，则方程不成立；‎ 若m=4，5，n=3，则方程不成立；‎ 若m=5，n=4，则方程成立；‎ m=6，n=4则方程不成立．‎ 故m+n=5+4=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．‎ ‎【考点】HR：余弦定理；GQ：两角和与差的正弦函数；H1：三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的值域确定出f（x）最小值即可；‎ ‎（Ⅱ）由f（C）=0及第一问化简得到的解析式，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出关系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a与b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣（cos2x+1）﹣1=sin2x﹣cos2x﹣2=2sin（2x﹣）﹣2，‎ ‎∵ω=2，﹣1≤sin（2x﹣）≤1，‎ ‎∴f（x）的最小正周期T=π；最小值为﹣4；‎ ‎（Ⅱ）∵f（C）=2sin（2C﹣）﹣2=0，‎ ‎∴sin（2C﹣）=1，‎ ‎∵C∈（0，π），∴2C﹣∈（﹣，），‎ ‎∴2C﹣=，即C=，‎ 将sinB=2sinA，利用正弦定理化简得：b=2a，‎ 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2，‎ 把c=代入得：a=1，b=2．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．‎ ‎（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．‎ ‎【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG，DG，证明平面ABF∥平面EDG，可得结论；‎ ‎（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG，DG，则平面EDG为所求．‎ ‎∵AD=2，BG=2，AD∥BC，‎ ‎∴四边形ADGB是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DG，‎ ‎∵AB⊄平面EDG，DG⊂平面EDG，‎ ‎∴AB∥平面EDG．‎ 同理AF∥平面EDG，‎ ‎∵AB∩AF=A，‎ ‎∴平面ABF∥平面EDG，‎ ‎∵FB⊂平面ABF，‎ ‎∴BF∥平面EDG；‎ ‎（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD为y轴，AF为z轴，过A垂直于AD的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则F（0，0，4），E（0，2，1），B（，﹣1，0），C（，3，0），‎ ‎∴=（0，﹣2，3），=（0，4，0），=（﹣，3，1），‎ 设平面BCE的法向量为=（x，y，z），则，‎ 取=（，0，3），则直线EF与平面BCE所成角的正弦值==．‎ ‎　‎ ‎19．2017年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：‎ 上春晚次数x（单位：次）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 粉丝数量y（单位：万人）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎（1）若该演员的粉丝数量g（x）≤g（1）=0与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程=x+，并就此分析，该演员上春晚12次时的粉丝数量；‎ ‎（2）若用 ‎（i=1，2，3，4，5）表示统计数据时粉丝的“即时均值”（四舍五入，精确到整数），从这5个“即时均值”中任选2数，记所选的2数之和为随机变量η，求η的分布列与数学期望．‎ 参考公式： =， =﹣．‎ ‎【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）由题意，计算、，求出回归系数，写出回归方程，计算x=12时的方程即可；‎ ‎（2）经计算可知这五个“即时均值”分别为：5、5、7、10、10，‎ 得出η的可能取值，计算对应的概率值，写出η的分布列，计算数学期望值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知，‎ 计算=×（2+4+6+8+10）=6，‎ ‎=×（10+20+40+80+100）=50；‎ 回归系数为 ‎===12，‎ ‎=﹣=50﹣12×6=﹣22，‎ ‎∴回归方程为=12x﹣22；‎ 当x=12时， =12×12﹣22=122，‎ 所以该演员上春晚12次时的粉丝数约为122万人；‎ ‎（2）经计算可知，这五个“即时均值”分别为：5、5、7、10、10，‎ ‎∴η的可能取值有10、12、15、17、20；‎ 计算P（η=10）=，P（η=12）=，‎ P（η=15）=，P（η=17）=，‎ P（η=20）=；‎ ‎∴η的分布列为：‎ η ‎10‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎17‎ ‎20‎ P ‎∴数学期望为E（η）=10×+12×+15×+17×+20×=．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．‎ ‎【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件求出a，b即可求解椭圆C的方程．‎ ‎（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，直线AD：y=k2x+1，同理有，推出k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．联立直线与椭圆方程，求出相关点的坐标，求出直线BD的方程，推出直线BD过定点．‎ ‎【解答】解：（1）由题设知，，，又a2﹣b2=c2，‎ 解得a=2，b=1．‎ 故所求椭圆C的方程是．‎ ‎（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，‎ 对于直线AD：y=k2x+1，同理有，‎ 于是k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1•k2=1．‎ 考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．‎ 由，得，于是有．‎ 直线BD的斜率为，‎ 直线BD的方程为，‎ 令x=0，得，‎ 故直线BD过定点．‎ ‎　‎ ‎21．设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求导，由题意可得f'（1）=1，代入即可求得a的值；‎ ‎（2）由题意可知：4lnx≤m（3x﹣‎ ‎﹣2）恒成立，构造辅助函数，求导，分类讨论即可求出m的取值范围 ‎【解答】解：（1）f′（x）=‎ 由题设f′（1）=1，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=0．‎ ‎（2），∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即4lnx≤m（3x﹣﹣2）‎ 设g（x）=4lnx﹣m（3x﹣﹣2），即∀x∈[1，|+∞），g（x）≤0，‎ ‎∴g′（x）=﹣m（3+）=，g′（1）=4﹣4m ‎①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾 ‎②若m∈（0，1），当x∈（1，），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）≥g（1）=0，与题设矛盾．‎ ‎③若m≥1，当x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立 综上所述，m≥1．‎ ‎　‎ 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．‎ ‎（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．‎ ‎【考点】QH：参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（I）将曲线方程化成直角坐标方程，计算圆心到直线的距离与圆的半径比较大小得出结论；‎ ‎（II）由题意可知直线与圆相离，且圆心到直线l的距离为2，故到直线l的距离等于2的点在过圆心且与直线l平行的直线上，求出此直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应的参数，得出该点的坐标．‎ ‎【解答】解：（I）圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，‎ ‎∴圆心坐标为（1，1），半径r=．‎ m=3时，直线l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．‎ ‎∴圆心C到直线l的距离d==＜r．‎ ‎∴直线l与圆C相交．‎ ‎（II）直线l的普通方程为x+y﹣m=0．‎ ‎∵C上有且只有一点到直线l的距离等于，‎ ‎∴直线l与圆C相离，且圆心到直线的距离为．‎ ‎∴圆C上到直线l的距离等于2的点在过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线上．‎ ‎∴过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线的参数方程为：（t为参数）．‎ 将：（t为参数）代入圆C的普通方程得t2=2，‎ ‎∴t1=，t2=﹣．‎ 当t=时，，当t=﹣时，．‎ ‎∴C上到直线l距离为2的点的坐标为（0，2），（2，0）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．‎ ‎【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3R：函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，求出右边的最小值，即可求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，即可求g（x）的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，g（x）=﹣|x﹣1|，∴﹣|x﹣1|≤|x﹣2|+b，‎ ‎∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，‎ ‎∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1…‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，…‎ 可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减 …‎ ‎∴g（x）max=g（1）=1．…‎ ‎　‎ ‎2017年6月19日