寒假班数学杨X——高考题型和方法—解析几何部分

寒假班数学杨X——高考题型和方法—解析几何部分

‎ （专题一）设而不求和韦达定理的应用 所谓设而不求是指：________________________________________________________‎ ‎_________________________________________________________‎ 在处理直线和圆椭双抛的位置关系时，涉及到五类解析几何的典型命题，分别是：‎ ‎1、最值命题：___________________________________________________‎ ‎2、定点定值命题：_______________________________________________‎ ‎3、对称性命题：_________________________________________________‎ ‎4、切线问题：___________________________________________________‎ ‎5、轨迹问题：___________________________________________________‎ 特别要区别的是，直线和圆的位置关系一般使用_______________________‎ 直线和直线的位置关系一般使用________________________‎ 可以看出，设而不求主要用于求解最值命题和定点定值命题，命题的内容主要涉及中点问题、向量综合问题，泛勾股命题，弦长公式应用，弦三角面积公式应用，的应用。其中中点问题和的应用我们将在下一专题重点讲解。‎ 重点讲解：‎ ‎1、联立直线和椭圆（双曲线）：‎ ‎ ‎ ‎2、联立直线和抛物线：‎ ‎ ‎ 一、 向量综合问题和泛勾股定理 讲解：‎ 解析几何与向量综合时出现的向量内容：‎ ‎（1）给出与相交已知过的中点;‎ ‎（2）给出已知是的中点;‎ ‎（3）给出已知与的中点三点共线;‎ ‎（4）①②存在实数存在实数,已知三点共线.‎ ‎（5）①给出已知是直角, ②给出已知是钝角, ②给出已知是锐角,‎ ‎（6）给出已知是的平分线 ‎（7）在平行四边形中，给出已知是菱形;‎ ‎（8） 在平行四边形中，给出已知是矩形;‎ ‎（9）在中，给出已知是的外心 ‎（10） 在中，给出已知是的重心 ‎（11）在中，给出已知是的垂心（12）在中，给出已知通过的内心；‎ ‎（13）在中，给出已知是的内心 ‎ （14） 在中，给出已知是中边的中线; ‎ 例：已知椭圆，过作两条直线与分别交椭圆于A,B,C,D四点，已知。‎ ‎（1）若AB的中点为M，CD的中点为N，求证：‎ ‎ ①为定值，并求出该定值；②直线MN过定点，并求出该定点；‎ ‎（2）求四边形ACBD的最大值。‎ 例2：设分别是椭圆C：的左右焦点 ‎(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标 ‎(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程 ‎(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为  试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。‎ 同类训练：‎ 练1、已知椭圆满足，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；‎ ‎（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ 练2、已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 一、 弦长公式应用，弦三角面积公式应用 讲解：‎ 与弦长和弦三角有关的重要结论：‎ 1、 若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则;.‎ 2、 给定椭圆：（a＞b＞0）,则对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过定点M(.‎ 3、 设为椭圆C: (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,记P0P1, P0P2斜率为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是.‎ 4、 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则斜率（常数）.‎ 5、 设A,B为椭圆上两点，直线AB与椭圆相交于,则.‎ 1、 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.;‎ 2、 设点为椭圆（ a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆过定点的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时取.当弦AB垂直于长轴所在直线时取.‎ 3、 MN是经过椭圆（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则.‎ 4、 过椭圆（ a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则.‎ 例1：已知椭圆，常数、，且．‎ ‎（1）当时，过椭圆左焦点的直线交椭圆于点，与轴交于点，若，求直线的斜率；（2）过原点且斜率分别为和（）的两条直线与椭圆的交点为（按逆时针顺序排列，且点位于第一象限内），试用表示四边形的面积；[来源:学_‎ 例2、已知椭圆（）满足，且短轴长为2．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，，求直线的方程．‎ 同类训练：‎ 练1、设椭圆的焦点分别为、直线交x轴于点A，且 ‎ （I）试求椭圆的方程；‎ ‎ （II）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．‎ 练2、设椭圆满足，右焦点到直线的距离O为坐标原点。‎ ‎ （I）求椭圆C的方程；‎ ‎ （II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。‎ 练3、过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：⊥；‎ ‎（Ⅱ）记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。‎ 一、 参变量韦达定理 讲解：‎ 例1：平面上定点到定直线的距离，为该平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且．‎ ‎（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线交轨迹于、两点，交直线于点，‎ 已知，，求证：为定值 例2、是抛物线的焦点，是准线与轴的交点，斜率为的直线经过点。‎ （1） 当取不同实数值时，求直线与抛物线交点的个数；‎ （2） 如直线与抛物线相交于两点，求证：是定值；‎ （3） 在轴上是否存在这样的定点，对任意的过点的直线，当与抛物线相交于两点时，均能使为定值。若点存在，则找出满足条件的点；若不存在，则说明理由。‎ A B C x y F1‎ F2‎ 同类训练：‎ 练1如图，A为椭圆上的一个动点，‎ 弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，‎ 恰好有AF1：AF2＝3：1.‎ ‎(Ⅰ) 求的值；‎ ‎(Ⅱ) 设.‎ ‎　　　①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，‎ 求的值；‎ ‎②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是 否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.‎ 练2：直角坐标系中，△为正三角形，。‎ （1） 求证：点在同一条抛物线上，并求出该抛物线的方程。‎ （2） 设直线过坐标原点，点关于的对称点在轴上，求直线的方程。‎ （3） 直线过（1）中抛物线的焦点并交于，若，抛物线的准线与轴交于，问：的夹角是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由。‎ 能力形成诊断测试 ‎（限时60分钟，总分100分）‎ 一、 填空题 ‎1(2006春季11) 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原 点，则三角形面积的最小值为 .‎ ‎2(2006年8)在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是 ；‎ ‎3(2006年11) 若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，则、分别应满足的条件是 ．‎ ‎4(2007春季7) 在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则 实数 .‎ ‎5(2007年8) 如果不论实数b 取何值，直线与双曲线总有公共点，那么k的取值范围为 。‎ ‎6．(2008春季12) 已知，直线：和. 设是上与两点距离平方和最小的点，则△的面积是 ‎ ‎7（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）已知双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，点在该双曲线上，则 ‎8．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)已知圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．‎ ‎9 （上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文理科）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为_______________.‎ ‎10．（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）设曲线定义为到点和距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线绕坐标原点逆时针旋转，则此时曲线的方程为_____________．‎ ‎11．（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）设双曲线的半焦距为．已知原点到直线：的距离等于，则的最小值为_________．‎ ‎12、（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）以双曲线的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为的圆的方程为 ____________.‎ ‎13. （2010年4月上海四区联合高考模拟）[理科]已知抛物线上的两点A、B的横坐标恰是方程（是实数）的两个实根，则直线的方程是 .‎ ‎ 14. (上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为．若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为 。 ‎ 一、 选择题 ‎15(2006春季15) 若，则“”是“方程表示双曲线”的 ( )‎ ‎ （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.‎ ‎ （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.‎ ‎16(2005年15) 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 ‎17(2008春季14) 已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为，则为 （ ）‎ ‎ （A）. （B）. （C）. （D）.‎ ‎18．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）已知曲线：，下列叙述中错误的是（ ）．‎ A．垂直于轴的直线与曲线只有一个交点 B．直线（）与曲线最多有三个交点 C．曲线关于直线对称 D．若，为曲线上任意两点，则有 解答题 ‎1（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ 已知椭圆：（），其焦距为，若（），则称椭圆为“黄金椭圆”．‎ ‎（1）求证：在黄金椭圆：（）中，、、成等比数列．‎ ‎（2）黄金椭圆：（）的右焦点为，为椭圆上的 任意一点．是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆：（）的左、右[来源:学科网ZXXK]‎ 焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、．‎ 试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．‎ ‎2（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科） （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）‎ 已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为,。‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知,,是椭圆C上异于、的任意一点，直线、分别交y轴于、,求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若,,且，，分别以OG、OH为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标。‎ ‎ （专题二）切线问题和轨迹问题 线曲相切是线曲关系判定的临界状态，基于相切可以类比判定相交和相离。而切线问题可以分为已知切线斜率k和已知切点两种。值得注意的是：对于双曲线和抛物线，‎ 重点讲解：‎ ‎1、已知切线斜率k求椭双抛的切线问题：‎ ‎2、伴随直线问题：‎ ‎3、直线和圆的位置关系判定：‎ ‎4、直线和椭圆的位置关系判定：‎ ‎5、直线和双曲线的位置关系判定：‎ ‎6、直线和抛物线的位置关系判定：‎ ‎ ‎ 一、 等距点分析：‎ 讲解：‎ 例1、已知椭圆的方程为，长轴是短轴的2倍，且椭圆过点，斜率为的直线过点，为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件．‎ ‎（1）写出椭圆方程，并求点到直线的距离；‎ ‎（2）若椭圆上恰好存在3个这样的点，求的值．‎ 同类训练：‎ 练1、如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。‎ ‎ （I）求得取值范围；‎ ‎ （II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标 ‎(III)如果过抛物线E上恰好存在两个点MN到直线y=2x+b的距离为2，求b的取值范围。w.w.w.k ‎ 一、 斜率规划：‎ 讲解：‎ 例1、已知双曲线C的方程为，，顶点到渐近线的距离为。‎ ‎（I）求双曲线C的方程； ‎ ‎(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(III)如果过双曲线C上总存在两点M、N关于直线y=k(x+1)轴对称，求k的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 同类训练：‎ 练1：已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ (1) 求线段的中点的轨迹的方程;‎ (2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.‎ (3) 设直线y=kx+1与轨迹交于M、N两点,求MN中垂线的纵截距范围 一、 ‎（与切线有关的最值、定值）‎ 与切线有关的重要结论：‎ 1、 椭圆上点P处的切线平分△PF‎1F2在点P处的外角.（双曲线是平分内角）‎ 2、 为圆锥曲线上一点，则曲线上过点的切线方程为 3、 圆的切线长公式：___________________________‎ 4、 经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则 例1、已知双曲线的，直线m过点与双曲线交于M、N两点，关于x轴对称，又直线过右焦点 ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。‎ x y O P Q A M F1‎ B F2‎ N 例2、设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段O的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求面积的最大值．‎ 例3、有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.‎ ‎（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积 ‎8.已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．‎ ‎（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；‎ ‎ （Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．‎ 同类训练：‎ 练1、设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.‎ ‎（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系； ‎ （2） 求证：直线恒过定点.‎ 练2、过椭圆上一动点引圆的两条切线，为切点，直线与轴分别交于两点。‎ （1） 求直线方程；‎ （2） 若椭圆的短轴长为，并且，求椭圆的方程；‎ （3） 椭圆上是否存在点，由点向圆所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。‎ 练3、给定椭圆，称圆心在原点半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为。‎ （１） 求椭圆的方程和“准圆”的方程；‎ （２） 点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过点作直线，使得与 椭圆都有且值有一个交点，且分别交其“准圆”于点。‎ ① ‎ 当是为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；‎ ② ‎　求证：为定值。‎ 练4、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.‎ ‎ （I）求抛物线方程；‎ ‎ （II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上；‎ ‎ （III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围. ‎ 一、 轨迹问题 讲解：‎ 1、 直接法：____________________________________________________________________‎ 2、 定义法：_________________________________________________________________‎ 3、 间接法：_________________________________________________________________‎ 特别的：交轨法：______________________________________________________________‎ ‎ 相关点法：___________________________________________________________‎ 与轨迹有关的重要结论：‎ 1． PT平分△PF‎1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影点H的轨迹是：‎ 2． 椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 3． 若在椭圆内，则以为中点的弦方程是.‎ 4． 若在椭圆内，则过的弦的中点轨迹方程是.‎ 5． 在椭圆中，定长为‎2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为,其中,当时, .‎ 6． 已知椭圆（ a＞b＞0） 弦AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.‎ 例1、已知点，动点满足条件，记动点的轨迹为。‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过作直线交曲线于两点，使得2，求直线的方程。‎ ‎（3）若从动点向圆：作两条切线，切点为、，令|PC|=d,‎ 试用d来表示，并求的取值范围。‎ 例2、已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线和，和相交于点M；‎ ‎（Ⅰ）证明：直线和的斜率之积为定值；‎ ‎（Ⅱ）求点M的轨迹方程。‎ 同类训练：‎ 练1、已知和，点满足，为直角坐标原点，‎ ‎(1)求点的轨迹方程； ‎ ‎(2)任意一条不过原点的直线与轨迹方程相交于点两点，三条直线，，的斜率分别是、、，，求；‎ 练2、已知椭圆满足，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （I）求，的值；‎ ‎ （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？‎ 若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。‎ 一、 曲线系问题 定点直线系：_________________________________________‎ 平行直线系:__________________________________________‎ 共焦点双曲线系:__________________________________________‎ 共焦点椭圆系:__________________________________________‎ 共渐近线双曲线系:__________________________________________‎ 共交点曲线系:__________________________________________‎ 两圆相交所成公共弦方程:__________________________________________‎ 例1、已知椭圆的焦点坐标分别为，长轴长是短轴长的两倍。‎ （1） 求椭圆的标准方程；‎ （2） 设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，证明：对椭圆上的任意一点，总存在，使得（为坐标原点）；‎ （3） 在轴的正半轴上是否存在一个定点，过定点作任意一条直线与椭圆交于两点，使得为一个定值。若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由。‎ 例2、如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且和分别在轴和轴上 .‎ ‎（1）求证：;‎ ‎（2）若四边形的面积为8，对角线的长为2，且，求的值；‎ ‎（3）设四边形的一条边的中点为，且垂足为.试用平面解析几何的研究方法判断点、、是否共线，并说明理由.‎ x y 同类训练：‎ 练1、已知椭圆：（），其左、右焦点分别为、，且、、成等比数列．‎ ‎（1）求的值．[来 ‎（2）若椭圆的上顶点、右顶点分别为、，求证：．‎ ‎（3）若为椭圆上的任意一点，是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由． ‎ 练2、如图1，已知半径为的圆的内接四边形的对角线和相互垂直且交点为.‎ x y 第23题图-1‎ 第23题图-2‎ ‎（1）若四边形中的一条对角线的长度为（），试求：四边形面积的最大值；‎ ‎（2）试探究：当点运动到什么位置时，四边形的面积取得最大值，最大值为多少？‎ ‎（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（）的内接四边形的对角线和相互垂直且交于点. 试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定.【本小题将根据你所提出的猜想的质量和证明的完整性给予不同的评分】‎ 能力形成诊断测试 ‎（限时60分钟，总分100分）‎ 一、 填空题 ‎1（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知实数成等差数列，点在直线上的射影是Q，则Q的轨迹方程是_________________。 ‎ ‎2（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科）已知点P（-1，1）和点Q（2，2）,若直线：与线段PQ不相交，则实数的取值范围是 。 ‎ ‎3（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）在平面直角坐标系中，定义点之间的“直角距离”为。若到点的“直角距离”相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 ‎ ‎4(上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为 .‎ ‎5(上海市松江区2010年4月高考模拟文科)已知直线与圆相交于、两点，，则·= ‎ ‎6．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)平面上三条直线将平面划分为六部分，的取值集合为 ．‎ ‎7(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)设圆的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为 。‎ ‎8．(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)（理）在空间直角坐标系中，满足条件的点构成的空间区域的体积为（分别表示不大于的最大整数），则= _‎ ‎9 (上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)在平面直角坐标系中，定义、两点之间的“直角距离”为。已知，点 为直线上的动点，则的最小值为 。‎ ‎10．(上海市五校2011年联合教学调研理科已知点及抛物线上一动点，则的最小值为 。‎ ‎11．(上海市十三校2011年高三第二次联考理科) 若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是 ‎ ‎12、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科) 将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则n的范围是 。 ‎ ‎13. (上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)若则的最大值是 ． ‎ ‎14. (上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)（理）在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点．‎ 对于以下结论：①符合的点的轨迹围成的图形的面积为2；‎ ②为直线上任意一点，则的最小值为；‎ ‎③设为直线上的任意一点，则“使最小的点有无数个”的必要不充分条件是“”；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号) ‎ 一、 选择题 ‎15（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知圆与轴的两个交点为、，若圆内的动点使、、成等比数列，则的取值范围为--------------（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎16已知为圆的两条互相垂直的弦，交于点，则四边形面积的最大值为----------------------------------------------------------------（ ）‎ A 4 B ‎5 C 6 D 7‎ ‎17（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎18．（上海市2009届高三年级八校联考数学理科卷16））如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 ‎ 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 ‎ 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )‎ 解答题 ‎1（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）‎ 设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点）与抛物线交于点(异于).‎ （1） 若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程；‎ （2） 若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；‎ （3） 对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.‎ ‎2(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科) (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．‎ ‎(1)求动点P所在曲线C的方程；‎ ‎(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；‎ ‎(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”) (限于时间，这里不需要举反例，或证明)．‎ ‎ （专题三）圆椭双抛性质综合应用和对称性命题 一、椭双抛通径公式：‎ 讲解：‎ 例：在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；‎ ‎（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线写出一个更一般的结论，并加以证明。‎ 同类训练：‎ 练1、已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.‎ ‎（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；‎ ‎（2）若，直线的斜率为，求证：；‎ ‎（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由. ‎ 练2、已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且 ‎．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由．‎ 二、椭双抛焦半径公式：‎ 讲解：‎ 例：在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．‎ 例2、已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 同类训练：‎ 练1、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆满足特征三角形的面积为，两焦点到椭圆任何一条切线的距离积为定值1。‎ （1） 若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；‎ （2） 写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？‎ （3） 如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明：‎ 三、椭双抛焦点弦公式：‎ 讲解：‎ 例1：已知O为坐标原点，分别为椭圆的上下焦点，过且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足 ‎(Ⅰ)证明：点P在C上；‎ ‎（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎（III）求和的内切圆面积比 同类训练：‎ 练1、已知是轴正方向的单位向量，设=, =,且满足.‎ (1) 求点的轨迹方程；‎ (2) 过点的直线交上述轨迹于两点,且,求直线的方程. ‎ 四、椭双抛焦点面积公式：‎ 讲解：‎ 例：平面内与两定点，的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；‎ ‎（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在曲线上，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ 同类训练：‎ 练1、已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为,。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知,, 是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且是钝角,求的取值范围。‎ ‎（3）直线与椭圆C交于两点，记△的面积为。在的条件下，求的最大值； ‎ 五、圆椭双抛参数方程：‎ 讲解：‎ x O A MAO N C P yxO 例1、已知圆. ‎ ‎（1）设点是圆C上一点，求的取值范围；‎ ‎（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹的内接矩形的最大面积.‎ 例2：已知为动点，直线的斜率之和为。‎ ‎ （１） 试求动点的轨迹方程；‎ ‎ （２） 是否存在定点，使得直线的斜率之和为常数。‎ 同类训练：‎ 练1、椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 六、双曲线渐近线性质：‎ 讲解：‎ 例1：已知曲线，点。‎ ‎ （１） 若曲线与曲线关于点成中心对称，即曲线绕着点逆时针旋转与曲线重合，求曲线的方程，并求出曲线与的交点坐标。‎ ‎ （２） 设点是曲线上的动点，求点到点的距离的最小值，并求出此时点的坐标。‎ 例2、设复平面上的动点所对应的复数为，且满足。‎ ‎ （１） 求动点的轨迹的方程；‎ ‎ （２） 过点，任意作互相垂直的两条直线分别交曲线于和两点，设，的中点分别为，求的最小值；‎ ‎ （３） 在（２）的条件下，求证直线恒过定点。‎ 同类训练：‎ 练1、已知双曲线为两条渐近线，为右焦点，过作直线∥，交双曲线于，。又过点作轴的垂线与交于第一象限内的点。‎ （１） 试用表示；‎ （２） 求证：为定值；‎ （３） 若，求的取值范围。‎ 七、椭双抛点差法公式和对称性命题(中点问题)：‎ 讲解：‎ 例1：已知直线l与椭圆C: 交于P.Q两不同点，且△OPQ的面积S=,其中Q为坐标原点。‎ ‎（Ⅰ）证明X12+X22和Y12+Y22均为定值 ‎（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由。‎ 例2、如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB 同类训练：‎ 练1、已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且与以点为圆心，为半径的圆相切，又的右焦点与关于直线对称。‎ （1） 求双曲线的方程；‎ （2） 若是双曲线上的任一点，为双曲线的左焦点，从引的平分线的垂线，垂足为，试求点的轨迹方程；‎ （3） 设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过点及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围。‎ 练2、已知双曲线C：的一个焦点是，且。‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）设经过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线C的右支相交于不同的两点时，求实数的取值范围；并证明中点在曲线上。‎ ‎（3）设（2）中直线与双曲线C的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由。‎ 与椭双抛的性质有关的重要结论：‎ 1． 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.‎ 2． AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则.‎ 3． 若PQ是椭圆（a＞b＞0）的弦，且则.‎ 4． 椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.‎ 5． 椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.‎ 能力形成诊断测试 ‎（限时60分钟，总分100分）‎ 一、填空题 ‎1（上海市高考模拟试题3）已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么 .‎ ‎2（上海市宝山区2008学年高三年级第一次质量调研8）若方程的系数可以从这个数中任取个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是___________．(结果用数值表示) ‎ ‎3（08年上海市部分重点中学高三联考12）已知AB是椭圆的长轴，若把该长轴等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点，设左焦点为，则 ‎4（上海市黄浦区2010学年高三年级第一次质量调研）若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .‎ ‎5（上海市奉贤区2011年二模11题）若直线与抛物线的两个交点都在第二象限，则k的取值范围是______________. ‎ ‎ ‎ ‎6．（上海市宝山区2009年高三数学联考10）双曲线上的点P到点(5,0)的距离为8.5，则点P到点()的距离_______。‎ ‎7（上海虹口区11学年高三数学第一学期期末试卷2）直线xcosx+y—1=0的倾斜角θ的取值范围为__________。‎ ‎8．（上海市长宁区2009学年高三年级第一次质量调研6）已知直线l1：x+y—2=‎0 l2‎ ‎：7x—y+4=0 则l1与l2夹角的平分线方程为______。‎ ‎9 （上海市长宁区2007学年高三年级第一次质量调研7）过点(3，—3)且与圆(x—1)2+y2=4相切的直线方程是：___________。‎ ‎10．（上海市高考模拟试题6）过点(0，2)与抛物线y2=8x只有一个共点的直线有______条。‎ ‎11．(上海市十三校2010年高三第二次联考) 已知一条曲线上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到轴的距离的差都是2,则这曲线的方程是_____________‎ ‎12、(上海市松江区2010年4月高三学习诊断文科) 已知、是双曲线的焦点，点P是双曲线上一点，若P到焦点的距离为９，则P到焦点的距离为___________.‎ ‎13. (上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科) 若直线l：y=kx－2交抛物线y2=8x于A、B两点，且AB中点横坐标为2，则l与直线3x－y+2=0的夹角的正切值为___________‎ ‎14. (上海市五校2011年联合教学调研理科) 曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：‎ ‎ ① 曲线C过坐标原点；‎ ‎ ② 曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎ ③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a。‎ 其中，所有正确结论的序号是 ‎ 二、选择题 ‎15（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的任意一点，则的最大值是 （ ）‎ ‎、9 、16 、 、‎ ‎16（上海市2010年六校联考）半径不等的两定圆无公共点，动圆与都内切，则圆心O是轨迹是（ ）‎ A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 双曲线的一支或椭圆 D. 抛物线或椭圆 ‎17（上海市普陀区2010年高三质量检测）若圆 上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径r的取值范围是（ 　）．‎ A．（4，6）　　 B．[4，　　 C．（4，　　　D．[4，6]‎ ‎18．（上海市2010届高三年级十四校联考数学理科卷18）已知关于的方程有两个绝对值都不大于1的实数根，则点在坐标平面内所对应的区域的图形大致是 A B C D 一、 解答题 ‎1（08年上海市部分重点中学高三联考21）设分别是椭圆C：的左右焦点 ‎(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标 ‎(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程 ‎(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为  试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。‎ ‎2（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．‎ 已知为椭圆,的左右焦点，是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于，设 .‎ ‎（1）证明： 成等比数列；‎ ‎(2)若的坐标为，求椭圆的方程；‎ ‎（3）在(2)的椭圆中，过的直线与椭圆交于、两点，若椭圆上存在点，使得 ，求直线的方程．‎