高考数学二轮复习专题强化练专题15圆锥曲线人教版含解析

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高考数学二轮复习专题强化练专题15圆锥曲线人教版含解析

‎2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题15 圆锥曲线 一、选择题 ‎1.(2015·四川文,7)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=(  )‎ A. B.2 C.6 D.4 ‎[答案] D ‎[解析] 由题意,a=1,b=,故c=2,‎ 渐近线方程为y=±x,‎ 将x=2代入渐近线方程,得y1,2=±2,故|AB|=4,选D.‎ ‎2.设P是椭圆+=1上一点,M、N分别是两圆:(x+2)2+y2=1和(x-2)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值,最大值分别为(  )‎ A.4,8    B.2,6   ‎ C.6,8    D.8,12‎ ‎[答案] A ‎[解析] 如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=‎2a=6,连接PA,PB,分别与两圆相交于M、N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=4;连接PA,PB并延长,分别与两圆相交于M′、N′两点,此时|PM′|+|PN′|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=8,即最小值和最大值分别为4、8.‎ ‎[方法点拨] 涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题,及到抛物线焦点(或准线)距离的问题,可优先考虑圆锥曲线的定义.‎ ‎3.(文)(2015·唐山一模)已知抛物线的焦点F(a,0)(a<0),则抛物线的标准方程是(  )‎ A.y2=2ax B.y2=4ax C.y2=-2ax D.y2=-4ax ‎[答案] B ‎[解析] 设抛物线方程为y2=mx,由焦点为F(a,0),a<0知m<0,∴=a,∴m=‎4a,故选B.‎ ‎(理)(2015·河北衡水中学一模)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过F的直线与抛物线C交于A、B两点,如果·=-12,,那么抛物线C的方程为(  )‎ A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x ‎[答案] C ‎[解析] 由题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线方程为x=my+,代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,设A(x1,y1)、B(x2,y2),得·=x1x2+y1y2=+y1y2=m2y1y2+(y1+y2)++y1y2=-p2=-12⇒p=4,即抛物线C的方程为y2=8x.‎ ‎[方法点拨] 求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲线,焦点在哪个轴上,然后利用条件求a、b、p的值.‎ ‎4.(文)(2015·南昌市一模)以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线C的离心率为(  )‎ A.2或 B.2或 C. D.2‎ ‎[答案] B ‎[解析] (1)当双曲线的焦点在x轴上时,由题意知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=tan=,所以b=a,c==‎2a,故双曲线C的离心率e===2;‎ ‎(2)当双曲线的焦点在y轴上时,由题意知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=tan=,所以a=b,c==2b,故双曲线C的离心率e===.‎ 综上所述,双曲线C的离心率为2或.‎ ‎(理)(2015·东北三省三校二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,以F‎1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a,则双曲线的离心率为(  )‎ A.3 B.2 ‎ C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 由已知得:O(0,0)到直线+=1的距离为:d=,由题意得:2+d2=r2即2+2=c2‎ 整理得:c4-a2c2+a4=0,即e4-e2+1=0,解得:e2=2或e2=(舍),∴e=.‎ ‎[方法点拨] 1.求椭圆、双曲线的离心率问题,关键是根据已知条件确定a、b、c的关系,然后将b用a、c代换,求e=的值;另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系.‎ ‎2.注意圆锥曲线的对称性在解题中的应用.‎ ‎5.(文)设F1、F2分别是椭圆E:x2+=1(00,b>0)和椭圆+=1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2| (  )‎ A.m2-a2 B.- ‎ C.(m-a) D. m-a ‎[答案] D ‎[解析] 不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P在双曲线的右支上,由题意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=+,|PF2|=-,故|PF1|·|PF2|=m-a.‎ ‎7.(文)(2015·湖南文,6)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 考查双曲线的几何性质.‎ 由题设利用双曲线的渐近线方程经过的点(3,-4),得到a、b关系式,然后求出双曲线的离心率即可.因为双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),∴3b=4a,∴9(c2-a2)=16a2,∴e==,故选D.‎ ‎(理)(2015·重庆文,9)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A‎1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A‎2C,则该双曲线的渐近线的斜率为(  )‎ A.± B.± ‎ C.±1 D.± ‎[答案] C ‎[解析] 考查双曲线的几何性质.‎ 由已知得右焦点F(c,0)(其中c2=a2+b2,c>0),A1(-a,0),A2(a,0);B(c,-),C(c,);从而A1B―→=(c+a,-),=(c-a,),又因为A1B⊥A2C,所以A1B―→·A2C―→=0,即(c-a)·(c+a)+(-)·()=0;化简得到=1⇒=±1,即双曲线的渐近线的斜率为±1;故选C.‎ ‎8.(2015·新课标Ⅰ理,5)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] A ‎[解析] 考查向量数量积;双曲线的标准方程.‎ 由题知F1(-,0),F2(,0),-y=1,所以MF1―→·MF2―→=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=x+y-3=3y-1<0,解得-<y0<,故选A.‎ 二、填空题 ‎9.(文)已知直线y=a交抛物线y=x2于A、B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________.‎ ‎[答案] a≥1‎ ‎[解析] 显然a>0,不妨设A(,a),B(-,a),C(x0,x),则=(--x0,a-x),‎ =(-x0,a-x),∵∠ACB=90°.‎ ‎∴·=(-x0,a-x)·(--x0,a-x)=0.‎ ‎∴x-a+(a-x)2=0,且x-a≠0.‎ ‎∴(a-x)(a-x-1)=0,∴a-x-1=0.‎ ‎∴x=a-1,又x≥0.∴a≥1.‎ ‎(理)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a0)经过C、F两点,则=________.‎ ‎[答案] +1‎ ‎[解析] 由题可得C(,-a),F(+b,b),‎ ‎∵C、F在抛物线y2=2px上,∴ ‎∴=+1,故填+1.‎ ‎10.(文)(2015·湖南理,13)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 考查双曲线的标准方程及其性质.‎ 根据对称性,不妨设F(c,0),短轴端点为(0,b),从而可知点(-c,2b)在双曲线上,∴-=1⇒e==.‎ ‎(理)(2015·南昌市二模)过原点的直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左右两支分别相交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,若|FA|+|FB|=4,·=0,则双曲线C的方程是________.‎ ‎[答案] -y2=1‎ ‎[解析] 由已知得:c=,FA⊥FB,设右焦点为F1,则四边形FAF1B为矩形,∴|AB|=‎2c=2且|FA|2+|FB|2=(|FA|+|FB|)2-2|FA|·|FB|=16-2|FA|·|FB|,‎ ‎|AB|2=|FA|2+|FB|2,‎ ‎∴|FA|·|FB|=2,∴(|FA|-|FB|)2=(|FA|+|FB|)2-4|FA|·|FB|=8,∴||FA|-|FB||=2,‎ 即||AF|-|AF1||=2,∴a=,‎ ‎∴b2=1,∴双曲线标准方程为-y2=1.‎ 三、解答题 ‎11.(文)(2015·湖南文,20)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.‎ ‎(1)求C2的方程;‎ ‎(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.‎ ‎[分析] 考查直线与圆锥曲线的位置关系;椭圆的性质和转化思想,设而不求、整体代换思想及运算求解能力等.‎ ‎(1)由F也是椭圆C2的一个焦点及C1与C2的公共弦长列方程组求解;‎ ‎(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),根据=,可得,(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2,‎ 设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.‎ ‎[解析] (1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1  ①;‎ 又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为:x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±,),‎ ‎∴+=1②,‎ 联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为 +=1.‎ ‎(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ C(x3,y3),D(x4,y4),‎ ‎ 因与同向,且|AC|=|BD|,‎ 所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x3-x4=x1-x2,于是 ‎(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2 ③‎ 设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由得x2-4kx-4=0,‎ 由x1,x2是这个方程的两根,‎ ‎∴x1+x2=4k,x1x2=-4 ④‎ 由 得(9+8k2)x2+16kx-64=0,‎ 而x3,x4是这个方程的两根,‎ x3+x4=-,x3x4=-  ⑤‎ 将④、⑤代入③,得16(k2+1)=+.‎ 即16(k2+1)=,‎ 所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,‎ 即直线l的斜率为±.‎ ‎(理)(2015·洛阳市期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,kOA·kOB=-,判断△AOB的面积是否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.‎ ‎[解析] (1)由题意得c=1,又e==,‎ 所以a=2,从而b2=a2-c2=3,‎ 所以椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,‎ 由Δ=(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0得m2<3+4k2.‎ ‎∵x1+x2=-,x1·x2=,‎ ‎∴y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.‎ 由kOA·kOB=-=-得y1y2=-x1x2,‎ 即=-·,化简得2m2-4k2=3,满足Δ>0.‎ 由弦长公式得|AB|=|x1-x2|‎ ‎=·=.‎ 又点O到直线l:y=kx+m的距离d=,‎ 所以S△AOB=·d·|AB|=· ‎== ‎==,‎ 故△AOB的面积为定值.‎ ‎12.(文)(2014·东北三校二模)已知圆M:x2+(y-2)2=1,直线l:y=-1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.‎ ‎(1)求E的方程;‎ ‎(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且·=-16,求证:直线AB恒过定点.‎ ‎[解析] (1)⊙O的圆心M(0,2),半径r=1,设动圆圆心P(x,y),由条件知|PM|-1等于P到l的距离,‎ ‎∴|PM|等于P到直线y=-2的距离,∴P点轨迹是以M(0,2)为焦点,y=-2为准线的抛物线.‎ 方程为x2=8y.‎ ‎(2)设直线AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 将直线AB的方程代入到x2=8y中得x2-8kx-8b=0,所以x1+x2=8k,x1x2=-8b,‎ 又因为·=x1x2+y1y2=x1x2+=-8b+b2=-16⇒b=4‎ 所以直线BC恒过定点(0,4).‎ ‎(理)(2014·山东理,21)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,‎ ‎(ⅰ)证明:直线AE过定点,并求出定点坐标;‎ ‎(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解析] (1)由题意知F(,0),‎ 设D(t,0)(t>0),则FD的中点为(,0).‎ 因为|FA|=|FD|,‎ 由抛物线的定义知3+=|t-|,‎ 解得t=3+p或t=-3(舍去),‎ 由=3,解得p=2.‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)(ⅰ)由(1)知F(1,0).‎ 设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),‎ 因为|FA|=|FD|,得|xD-1|=x0+1,‎ 由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).‎ 故直线AB的斜率kAB=-.‎ 因为直线l1和直线AB平行,‎ 设直线l1的方程为y=-x+b,‎ 代入抛物线方程得y2+y-=0,‎ 由题意Δ=+=0,‎ 得b=-,‎ 设E(xE,yE),则yE=-,xE=.‎ 当y≠4时,kAE==-=,‎ 可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),‎ 由y=4x0,‎ 整理可得y=(x-1),‎ 故直线AE恒过点F(1,0).‎ 当y=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).‎ 所以直线AE过定点F(1,0).‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE过焦点F(1,0),‎ 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+(+1)=x0++2.‎ 设直线AE的方程为x=my+1,‎ 因为点A(x0,y0)在直线AE上,‎ 故m=.‎ 设B(x1,y1).‎ 直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),‎ 由于y0≠0,‎ 可得x=-y+2+x0,‎ 代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.‎ 所以y0+y1=-,‎ 可求得y1=-y0-,x1=+x0+4.‎ 所以点B到直线AE的距离为 d= ‎==4(+).‎ 则△ABE的面积S=×4(+)(x0++2)≥16,‎ 当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.‎ 所以△ABE的面积的最小值为16.‎ ‎[方法点拨] 定点问题的求解策略 把直线或曲线方程中的变量x、y当作常数看待,把方程一端化为零,既然直线或曲线过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x、y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.‎ ‎13.(文)(2014·甘肃省三诊)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点,且kOA·kOB=-,试判断△AOB的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.‎ ‎[解析] (1)由题意知e==,‎ ‎∴e2===,即a2=b2,‎ 又b==,∴a2=4,b2=3,‎ 故椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得 ‎(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,‎ ‎△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0.‎ x1+x2=-,x1·x2=.‎ y1·y1=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.‎ kOA·kOB=-,=-,‎ y1y2=-x1x2,=-· ‎2m2‎‎-4k2=3,‎ ‎|AB|= ‎==.‎ d==≥=,‎ S=|AB|d= ‎== ‎==.‎ ‎[方法点拨] 定值问题的求解策略 ‎(1)在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就是“定值”问题,解决这类问题常通过取特殊值,先确定“定值”是多少,再进行证明,或者将问题转化为代数式,再证明该式是与变量无关的常数,或者由该等式与变量无关,令其系数等于零即可得到定值.‎ ‎(2)求解定值问题的三个步骤 ‎①由特例得出一个值,此值一般就是定值;‎ ‎②证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数(某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值;‎ ‎③得出结论.‎ ‎(理)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)如图,A、B、D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:‎2m-k为定值.‎ ‎[解析] (1)因为e==,‎ 所以a=c,b=c.代入a+b=3得,‎ c=,a=2,b=1.‎ 故椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)方法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2)(k≠0,k≠±).①‎ ‎①代入+y2=1,解得P(,-).‎ 直线AD的方程为:y=x+1.②‎ ‎①与②联立解得M(,),‎ 由D(0,1),P(,-),N(x,0)三点共线知 =,解得N(,0).‎ 所以MN的斜率为m= ‎==,‎ 则2m-k=-k=(定值).‎ ‎(2)方法二:设P(x0,y0)(x0≠0,±2),则k=,‎ 直线AD的方程为:y=(x+2).‎ 直线BP的方程为y=(x-2),‎ 直线DP的方程为:y-1=x,令y=0,由于y0≠1可得N(,0).‎ 联立 解得M(,),‎ 因此MN的斜率为 m== ‎==,‎ 所以2m-k=- ‎= ‎= ‎= ‎=(定值).‎ ‎14.(文)(2015·辽宁葫芦岛市一模)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C交于M、N两点,线段MN的垂直平分线与y轴交点P,求△MON(O为坐标原点)面积的最大值.‎ ‎[解析] (1)∵e=,∴a2=‎3c2=‎3a2-3b2,∴‎2a2=3b2‎ 将x=-c代入椭圆方程得:y2=,y=±,‎ 由题意:=,∴2a=b2 ,‎ 解得:a2=3,b2=2‎ ‎∴椭圆C的方程为:+=1‎ ‎(2)联立方程组:消去y整理得:(3k2+2)x2+6ktx+3t2-6=0  ①‎ ‎∴Δ=36k2t2-4(3k2+2)·(3t2-6)=24(3k2+2-t2)>0,∴3k2+2>t2  ②‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解,由韦达定理得:‎ x1+x2=, y1+y2=k(x1+x2)+2t=+2t= 设MN的中点为G(x0,y0),则 x0==,y0== ‎∴线段MN的垂直平分线方程为:‎ y-=- 将P代入得:+= 化简得:3k2+2=4t 代入②式得:4t>t2,∴00,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.‎ ‎(1)求双曲线E的离心率;‎ ‎(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1、l2于A,B两点(A、B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎[解析] (1)∵双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,∴=2,‎ ‎∴=2,故c=a,‎ 从而双曲线E的离心率e==.‎ ‎(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.‎ 设直线l与x轴相交于点C,‎ 当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E只有一个公共点,‎ 则|OC|=a,|AB|=4a,‎ 又∵△OAB的面积为8,∴|OC|·|AB|=8,‎ 因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1,若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能是-=1.‎ 以下证明:当直线l与x轴不垂直时,双曲线E:-=1也满足条件,设直线l的方程为y=kx+m,依题意得k>2或k<-2,‎ 则C(-,0),记A(x1,y1)、B(x2,y2).‎ 由得y1=,同理得y2=.‎ 由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得|-|·|-|=8,‎ 即m2=4|4-k2|=4(k2-4),由得,‎ ‎(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0,∵4-k2<0‎ ‎∴Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),‎ 又∵m2=4(k2-4),∴Δ=0,即直线l与双曲线E有且只有一个公共点,‎ 因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.‎ ‎[方法点拨] 1.求曲线的轨迹方程时,先看轨迹的形状是否预知,若能依据条件确定其形状,可用定义法或待定系数法求解;若动点P与另一动点Q有关,Q在已知曲线上运动,可用代入法求动点P的轨迹方程;否则用直译法求解.‎ ‎2.存在性问题主要体现在以下几方面:‎ ‎(1)点是否存在;‎ ‎(2)曲线是否存在;‎ ‎(3)命题是否成立.‎ 解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素,经过推理论证,如果可以得到成立的结果,就可以作出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论,则说明假设不存在,其一般步骤为:‎ 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