高考数学正余弦定理

高考数学正余弦定理

正弦、余弦定理 一. 教学内容：‎ 正弦、余弦定理 二. 教学重、难点：‎ ‎1. 重点：‎ ‎ 正弦、余弦定理。‎ ‎2. 难点：‎ 运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。‎ ‎【典型例题】‎ ‎[例1] 已知在中，，，解此三角形。‎ 解：由正弦定理得 ‎∵ ‎ ‎，，‎ ‎∴ 有两解，即或 或 由 得或 ‎∴ ，，或，，‎ ‎[例2] 不解三角形，判断下列三角形解的个数。‎ ‎（1），，‎ ‎（2），，‎ ‎（3），，‎ ‎（4），，‎ 解：‎ ‎（1），∴ 有一解。‎ ‎（2） ∴ 无解 ‎（3）而 ‎∴ 当B为锐角时，满足的，故对应的钝角B有，也满足A+B，故有两解。‎ ‎（4）‎ ‎∴ ∴ ∴ 无解 ‎[例3] 已知在中，，，解此三角形。‎ 解：由余弦定理得：‎ ‎∴ ∴ ‎ 又 ∴ ，或 ‎∴ 或 ‎∴ ，，或，，‎ ‎[例4] 已知、、是中，、、的对边，S是的面积，若，，，求的长度。‎ 解：‎ ‎∵ ，，‎ ‎∴ ∴ 或 ‎∴ 当时， ∴ ‎ 当时， ∴ ‎ ‎[例5] 在中，A、B、C成等差数列，，求证：‎ 证明：‎ 方法一：由正弦定理：‎ 得 ‎  ‎ ‎ ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∴ ‎ 方法二：∵ ， ∴ ‎ ‎∴ ∴ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ∴ ∴ ‎ 即 ∴ 又 ∴ ‎ ‎[例6] 在中，已知，，求A、B。‎ 解：‎ 由余弦定理，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ∴ ‎ 由正弦定理：‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ∴ ∴ B为锐角 ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎[例7] 已知中，，外接圆半径为。‎ ‎（1）求 ‎（2）求面积的最大值 解：‎ ‎（1）由 ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ‎ 又 ∴ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ 当 即时，‎ ‎[例8] 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c依次成等比数列，求的取值范围。‎ 解：‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ∴ ∴ ‎ ‎[例9] 在中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角。‎ 解：‎ 设，，，且 ‎∵ C是钝角 ∴ ‎ 解得 ∵ ∴ 或3‎ 当时，（舍去）‎ 当时， ∴ ‎ ‎∴ 最大角为 ‎【模拟试题】‎ ‎（答题时间：60分钟）‎ 一. 选择题：‎ ‎1. 在中，一定成立的等式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. 在中，若，则是（ ）‎ ‎ A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 ‎3. 已知中，AB=1，BC=2，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 中，若，则B为（ ）‎ ‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎5. 的三边满足，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 在中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 中，“”是“A=B”的（ ）条件 ‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎8. 中，，则A等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 中，，，，则这个三角形是（ ）‎ ‎ A. 等边三角形 B. 三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 ‎10. 在中，，则=（ ）‎ A. 2R B. R C. 4R D. R 二. 填空：‎ ‎1. 在中，已知，，，则最大角的余弦值为 。‎ ‎2. 在中，，则三角形为 。‎ ‎3. 在中，2，则最小角为 。‎ ‎4. 若，则A= 。‎ 三. 解答题：‎ ‎1. 在中，BC=，，a，b是的两个根，且 ‎=1，求（1）角C的度数 （2）AB的长 （3）的面积。‎ ‎2. 在中，，，，求、和。‎ ‎3. 若2，3，x为三边组成一个锐角三角形，求的范围。‎ ‎4. 在中，若，，试判断形状。‎ ‎【试题答案】‎ 一.‎ ‎1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. C 8. C 9. D 10. A 二.‎ ‎1. 2. 等腰三角形 3. 4. ‎ 三.‎ ‎1. 解：‎ ‎（1） ∴ ‎ ‎（2）∵ 、是的两个根 ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎（3）‎ ‎2. 解：∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎3. 解：∵ 为锐角 ∴ 且 ‎ ∴ ∴ ∴ ‎ ‎4. 解：∵ ‎ ‎∴ ∴ 为且 ‎∴ ， ∴ ‎ 由 ∴ ∴ ‎ ‎∵ 为锐角 ∴ ∴ ∴ ‎ ‎∴ 是等腰直角三角形 ‎ ‎