高考理科数学天津卷试题及答案解析

高考理科数学天津卷试题及答案解析

‎2005年高考理科数学天津卷试题及答案 源头学子小屋 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 注意事项：‎ 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球的体积公式 ‎ ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 ‎ = 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率 V柱体=Sh 是P，那么n次独立重复试验中恰好发 其中S表示柱体的底面积，‎ 生k次的概率 h表示柱体的高 ‎ Pn（k）=CnPk(1-P)n-k 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的 ‎（1）设集合, , 则（　）‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(2)若复数（，为虚数单位位）是纯虚数，则实数的值为（　　）‎ ‎（A）-2 (B)4 (C) -6 (D)6‎ ‎(3)给出下列三个命题：①若,则；②若正整数和满足,则；③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1.当时,圆与圆相切 其中假命题的个数为（　　）‎ ‎(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3‎ ‎(4)设为平面，为直线，则的一个充分条件是（　　）‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(5)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（　　）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的和,则能组成落在矩形区域且内的椭圆个数为（　　）‎ ‎(A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 90‎ ‎(7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（　　）‎ ‎(A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度 ‎(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 ‎(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 ‎(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 ‎(9)设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（　　）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(10)若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 注意事项：‎ ‎1答卷前将密封线内的项目填写清楚 ‎2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 二、填空题：本大题共6小题， 每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上 ‎（11）设,则 ‎ ．‎ ‎（12）如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．‎ ‎（13）在数列{an}中,a1=1,a2=2,且则=_____．‎ ‎（14）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且| |=2,则= ．‎ ‎（15）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：‎ 投资成功 投资失败 ‎192次 ‎8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）‎ ‎（16）设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则=________________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎(17)(本小题满分12分)‎ 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知 ‎（Ⅰ）当时，求数列的前n项和 ‎（Ⅱ）求 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点 ‎（Ⅰ）求与底面ABC所成的角 ‎（Ⅱ）证明∥平面 ‎（Ⅲ）求经过四点的球的体积 ‎（20）（本小题满分12）‎ 某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线且点P在直线上，与水平地面的夹角为 ,tan=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）‎ ‎（21）（本小题满分14分）‎ 抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足 ‎（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程 ‎（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上 ‎（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围 ‎（22）（本小题满分14分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）证明,其中为k为整数；‎ ‎（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；‎ ‎（Ⅲ）设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,‎ 证明 ‎2005年高考理科数学天津卷试题及答案 参考答案 一、选择题（每小题5分，共50分）‎ 题号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎ 答案 D C B D C B A C A B 二、填空题（每小题4分，共24分）‎ ‎（11）； （12）；（13）2600；（14）；（15）4760；（16）0．‎ 三、解答题（共76分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分）‎ ‎（17）解：由余弦定理，因此．‎ 在中，．由已知条件，应用正弦定理 ‎，解得,‎ 从而．‎ ‎（18）解：（Ⅰ）当时，．这时数列的前项和 ‎．　　　①‎ ‎①式两边同乘以，得　　 ②　‎ ‎①式减去②式，得 若，‎ ‎，‎ 若，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），当时，，‎ 则．‎ 当时，‎ 此时，．‎ 若，．‎ 若，．‎ ‎（19）解：（Ⅰ）过作平面，垂足为．‎ 连结，并延长交于，于是为与底面所成的角．‎ ‎∵，∴为的平分线．‎ 又∵，∴，且为的中点．‎ 因此，由三垂线定理．‎ ‎∵，且，∴．‎ 于是为二面角的平面角，‎ 即．‎ 由于四边形为平行四边形，得．‎ ‎（Ⅱ）证明：设与的交点为，则点为的中点．连结．‎ 在平行四边形中，因为的中点，故．‎ 而平面，平面，所以平面．‎ ‎（Ⅲ）连结．在和中，由于，，，则 ‎≌，故．由已知得．‎ 又∵平面，∴为的外心．‎ 设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线．‎ 在中，．故所求球的半径，球的体积．‎ ‎（20）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，，．‎ 直线的方程为，即．‎ 设点的坐标为，则（）‎ 由经过两点的直线的斜率公式 ‎，‎ ‎．‎ 由直线到直线的角的公式得 ‎　　　（）‎ 要使达到最大，只须达到最小．‎ 由均值不等式．当且仅当时上式取等号．故当时最大．这时，点的纵坐标为．‎ 由此实际问题知，，所以最大时，最大．故当此人距水平地面‎60米高时，观看铁塔的视角最大．‎ ‎（21）解：（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为．‎ ‎（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．‎ 点和点的坐标是方程组　　的解．‎ 将②式代入①式得，‎ 于是，故　③‎ 又点和点的坐标是方程组 的解．将⑤式代入④式得．于是，故．‎ 由已知得，，则．　　⑥‎ 设点的坐标为，由，则．‎ 将③式和⑥式代入上式得，‎ 即．所以线段的中点在轴上．‎ ‎（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．‎ 由③式知，代入得．‎ 将代入⑥式得，代入得．‎ 因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为 ‎，．‎ 于是，，‎ ‎．‎ 因为钝角且、、三点互不相同，故必有．‎ 求得的取值范围是或．‎ 又点的纵坐标满足，故 当时，；当时，．‎ 即 ‎（22）解：（Ⅰ）证明：由函数的定义，对任意整数，有 ‎．‎ ‎（Ⅱ）证明：函数在定义域上可导，　　①‎ 令，得．‎ 显然，对于满足上述方程的有，‎ 上述方程化简为．此方程一定有解．‎ 的极值点一定满足．‎ 由，得．‎ 因此，．‎ ‎（Ⅲ）证明：设是的任意正实数根，即，‎ 则存在一个非负整数，使，即在第二或第四象限内．‎ 由①式，在第二或第四象限中的符号可列表如下：‎ 的符号 为奇数 ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 为偶数 ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ 所以满足的正根都为的极值点．‎ 由题设条件，，，…，，…为方程的全部正实数根且满足 ‎，‎ 那么对于，‎ ‎．　②‎ 由于　，，‎ 则，‎ 由于，由②式知．‎ 由此可知必在第二象限，‎ 即．　综上，．‎