高考数学二轮复习专题三数列与不等式

高考数学二轮复习专题三数列与不等式

高考数学二轮复习专题三 数列与不等式 ‎【重点知识回顾】‎ ‎1． 数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识．难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点．‎ ‎2． 数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想．‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．等差数列与等比数列的综合 等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高．‎ 例1．设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 解析：设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和．‎ 例2．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列．若=1，则=（ ）‎ ‎（A）7 （B）8 （3）15 （4）16‎ 解析：4，2，成等差数列，，即，‎ ‎，，因此选C．‎ 点评：该类题目综合考查了 等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力．‎ ‎2．函数与不等式综合 不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：‎ ‎①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量；‎ ‎②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；‎ ‎③在定义域内，求出函数的最值；‎ ‎④正确写出答案．‎ x ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ y ‎ O ‎ ‎-2 ‎ z=ax+by ‎ ‎3x-y-6=0 ‎ x-y+2=0 ‎ 例３．设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ） ‎ A． B． C． D． 4‎ 答案：A 解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而=，故选A．‎ 点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的 最小值常用乘积进而用基本不等式解答．‎ 例4‎ ‎．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元．‎ 答案：70‎ ‎0‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ y x l M 解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得 目标函数为．‎ 二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．‎ 如图：作直线，即．‎ 平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．‎ 联立解得．点的坐标为．‎ ‎（元）．‎ 点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．‎ 例5．设为实数，函数． ‎ ‎(1)若，求的取值范围； ‎ ‎(2)求的最小值； ‎ ‎(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集．‎ 解析：（1）若，则；‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，，‎ 综上；‎ ‎（3）时，得，‎ 当时，；‎ 当时，△>0，得：；‎ 讨论得：当时，解集为；‎ 当时，解集为；‎ 当时，解集为．‎ 点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．‎ ‎3．函数与数列的综合 高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力．‎ 例6．知函数．‎ ‎（Ⅰ）设是正数组成的数列，前n项和为，其中．若点(n∈N*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间内的极值．‎ 解析：(Ⅰ)证明： 因为所以，‎ 由点在函数的图象上,‎ ‎， 又，‎ ‎ 所以，是的等差数列，‎ ‎ 所以,又因为,所以,‎ ‎ 故点也在函数的图象上．‎ ‎(Ⅱ)解:,令得．‎ 当x变化时,﹑的变化情况如下表:‎ ‎ x ‎(-∞,-2)‎ ‎-2‎ ‎(-2,0)‎ f(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎ ‎↘‎ 注意到,从而 ‎①当,此时无极小值；‎ ‎②当的极小值为,此时无极大值；‎ ‎③当既无极大值又无极小值．‎ 点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．‎ ‎4．数列与不等式、简易逻辑等的综合 数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高．‎ 例7．设若是与的等比中项，则的最小值为（ ）‎ ‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ 答案：B 解析：因为，所以，‎ ‎，当且仅当即时“=”成立，故选择B．‎ 点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．‎ 例8．设数列满足为实数．‎ ‎（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，证明：．‎ 解析： (1) 必要性： ，又 ，即．‎ 充分性 ：设，对用数学归纳法证明，‎ ‎ 当时，．假设，‎ ‎ 则，且，‎ ‎，由数学归纳法知对所有成立．‎ ‎(2) 设 ，当时，，结论成立．‎ 当 时，，‎ ‎ ,由（1）知，所以 且 ， ‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎．‎ ‎(3) 设 ，当时，，结论成立，‎ ‎ 当时，由（2）知，‎ ‎，‎ ‎ ．‎ 点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．‎ ‎５．数列与概率的综合 数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想．‎ 例9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　）‎ ‎　Ａ．          Ｂ．         Ｃ．        Ｄ．‎ 解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：‎ ‎（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B．‎ 点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．‎ ‎【模拟演练】‎ ‎1．公差不为零的等差数列的前项和为．若是的等比中项, ,则等于 ( ) ‎ A． 18 B． 24 C． 60 D． 90‎ ‎2． 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若，则的值为( )‎ A B C D ‎ ‎3．已知函数，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4． 已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________．高 ‎5．设数列的前项和为，点均在函数的图象上．‎ 则数列的通项公式为 ．‎ ‎6．命题实数满足，其中，命题实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围．‎ ‎7．已知二次函数的二次项系数为 a ，且不等式 的解集为（1 , 3）．‎ ‎（l）若方程有两个相等的根，求的解析式； ‎ ‎（2）若的最大值为正数，求 a 的取值范围．‎ ‎8．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．‎ ‎（Ⅰ）将y表示为x的函数： ‎ ‎（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．‎ 参考答案 ‎1．答案：C 解析：由得得,再由得:则,所以,故选C．‎ ‎2．答案：A 解析： ∵；． ‎ ‎∴． ‎ ‎3． 答案：C 解析：依题意得或 所以或 解得：，故选C．‎ ‎4．答案：4 ‎ 解析：∵＝≥＝4．‎ ‎5．答案：‎ 解析：由题意得，即．‎ 当n≥2时， ;‎ 当n=1时，×-2×‎1-1-6‎×1-5．‎ 所以．‎ ‎6．解析：设，‎ ‎=‎ 因为是的必要不充分条件，所以，且推不出 而，‎ 所以，则或 即或．‎ ‎7．解析：（1）因为的解集为（1，3），所以且． ‎ 因而 （1）‎ 由方程得： （2）‎ 因为方程（2）有两个相等的根．‎ 所以，即．‎ 解得：（舍去）或，‎ 将代入（1）得的解析式为：，‎ ‎（2），‎ 有a < 0，可得的最大值为，‎ 所以 > 0，且a < 0．‎ 解得：，‎ 故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是．‎ ‎8．解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360，‎ 由已知xa=360,得a=，所以y=225x+． ‎ ‎(II)‎ ‎．当且仅当225x=时，等号成立．‎ 即当x=‎24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．‎