2015高考数学（理）（几何概型）一轮复习学案

2015高考数学（理）（几何概型）一轮复习学案

学案62　几何概型 导学目标： 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．‎ 自主梳理 ‎1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎2．在几何概型中，事件A的概率计算公式 P(A)＝____________________________________________________________________.‎ 求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．‎ ‎3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：‎ ‎(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；‎ ‎(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．‎ ‎4．古典概型与几何概型的区别 ‎(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________；‎ ‎(2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．‎ 自我检测 ‎1．(2011·南阳调研)在长为‎12 cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于‎36 cm2与‎81 cm2之间的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．(2011·福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎3.‎ 如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．(2010·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．‎ ‎5．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．‎ 探究点一　与长度有关的几何概型 例1　国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？‎ 变式迁移1　在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．‎ 探究点二　与角度有关的几何概型 例2　(2011·承德模拟)如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMb.‎ 当a>b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率为P(A)＝＝.[6分]‎ ‎(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个 矩形区域，‎ 其面积SΩ＝2×3＝6.[8分]‎ 设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a0成立时的概率．‎ 学案62　几何概型 自主梳理 ‎2. ‎4．(1)相等的　(2)无限个 自我检测 ‎1．A　[∵AM 2∈[36,81]，∴AM∈[6,9]，‎ ‎∴P＝＝＝.]‎ ‎2．C　[这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为＝＝.‎ 故选C.]‎ ‎3．C　[当∠A′OA＝时，AA′＝OA，∴P＝＝.]‎ ‎4. 解析　由|x|≤1，得－1≤x≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P＝＝.‎ ‎5. 解析　∵去看电影的概率P1＝＝，‎ 去打篮球的概率P2＝＝，‎ ‎∴不在家看书的概率为P＝＋＝.‎ 课堂活动区 例1　解题导引　解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关．‎ 解　包含两个间谍谈话录音的部分在30 s和40 s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s之间时全部被擦掉，即在0到40 s之间，即0到 min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．‎ 记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A的发生就是在0到 min时间段内按错键．‎ P(A)＝＝.‎ 变式迁移1　 解析　‎ 记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得 P(A)＝＝.‎ 例2　解题导引　如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为 P(A)＝.‎ 解　在AB上取AC′＝AC，连接CC′，则 ‎∠ACC′＝＝67.5°.‎ 设A＝{在∠ACB内部作出一条射线CM，与线段AB交于点M，AM0，∴a－b>1，此为几何概型，所以事件“f(1)>‎0”‎的概率为P＝＝.(14分)‎