2014年版高考数学理二轮分类练习题目7

2014年版高考数学理二轮分类练习题目7

备战2014数学分类突破赢高考7‎ ‎1．已知函数f(x)＝4sin ωxcos＋(ω＞0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．‎ 解：(1)f(x)＝4sin ωx＋ ‎＝2sin ωxcos ωx－2sin2ωx＋ ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx ‎＝2sin.‎ ‎∵T＝＝π，∴ω＝1.‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.‎ ‎∴－≤sin≤1，即－1≤f(x)≤2，‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.‎ ‎2．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．‎ ‎(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；‎ ‎(2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望．‎ 解：(1)设 “甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，‎ 则P(A)＝＝＝.‎ 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.‎ ‎(2)由题意知随机变量X的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝＝＝，‎ P(X＝1)＝＝＝，‎ P(X＝2)＝＝＝，‎ P(X＝3)＝＝＝.‎ 所以随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 从而有E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，‎ 所以随机变量X的数学期望为1.‎ ‎3.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B‎1C1中，AC＝AA1＝2AB＝2，∠BAC＝90°，点D是侧棱CC1延长线上一点，EF是平面ABD与平面A1B‎1C1的交线．‎ ‎(1)求证：EF⊥A‎1C；‎ ‎(2)当平面DAB与平面CA1B1所成锐二面角的余弦值为时，求DC1的长．‎ 解：(1)证明：∵三棱柱ABCA1B‎1C1为直三棱柱，‎ ‎∴平面ABC∥平面A1B‎1C1.‎ 又平面ABC∩平面ABD＝AB，平面A1B‎1C1∩平面ABD＝EF，‎ ‎∴EF∥AB.‎ ‎∵三棱柱ABCA1B‎1C1为直三棱柱，且∠BAC＝90°，‎ ‎∴AB⊥AA1，AB⊥AC.‎ 而AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC‎1A1.‎ 又A‎1C⊂平面ACC‎1A1，‎ ‎∴AB⊥A‎1C.‎ ‎∴EF⊥A‎1C.‎ ‎(2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.‎ 设C1D＝t(t＞0)，‎ 则B(1,0,0)，C(0,2,0)，D (0,2,2＋t)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)．‎ ‎∴＝(1,0,0)，＝(0,2，－2)．‎ 设平面CA1B1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，‎ 则得令z1＝1，则y1＝1，‎ ‎∴n＝(0,1,1)．‎ 同理可求得平面DAB的一个法向量为m＝.‎ 由|cos〈n，m〉|＝＝，‎ 得t＝1或t＝－(舍去)．‎ ‎∴DC1＝1.‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan.‎ ‎(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn＜(n∈N*)的n的最大值．‎ 解：(1)在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝.‎ 当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，‎ ‎∴2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1.‎ ‎∵bn＝2nan，‎ ‎∴bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1.‎ 又b1＝‎2a1＝1，‎ ‎∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．‎ 于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝.‎ ‎(2)∵cn＝log2＝log22n＝n，‎ ‎∴＝＝－，‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋＋＝1＋－－.‎ 由Tn＜，得1＋－－＜，‎ 即＋＞.‎ 设f(n)＝＋(n∈N*)，‎ 则f(n)＝＋单调递减，‎ ‎∵f(4)＝，f(5)＝，‎ ‎∴n的最大值为4.‎