高起专成人高考数学文史试题历年成考数学试题答案与解答提示
一、集合与简易逻辑
2001 年
(1) 设全集 M={1,2,3,4,5} ， N={2,4,6} ， T={4,5,6} ，则 (M T) N 是（ ）
(A) }6,5,4,2{ (B) }6,5,4{ (C) }6,5,4,3,2,1{ (D) }6,4,2{
(2) 命题甲：A=B，命题乙：sinA=sinB . 则（ ）
(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件；
(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。
2002 年
（1） 设集合 }2,1{A ，集合 }5,3,2{B ，则 BA 等于（ ）
（A）{2} （B）{1,2,3,5} （C）{1,3} （D）{2,5}
（2） 设甲： 3x ，乙： 5x ，则（ ）
（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件；
（C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
2003 年
（1）设集合 2 2( , ) 1M x y x y ，集合 2 2( , ) 2N x y x y ，则集合 M 与 N 的关系是
（A） M N=M （B） M N= （C） N MØ （D） M NØ
（9）设甲： 1k ，且 1b ；乙：直线 y kx b 与 y x 平行。则
（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2004 年
（1）设集合 , , ,M a b c d ， , ,N a b c ，则集合 M N=
（A） , ,a b c （B） d （C） , , ,a b c d （D）
（2）设甲：四边形 ABCD 是平行四边形 ；乙：四边形 ABCD 是平行正方，则
（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；
（C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
2005 年
（1）设集合 P= 1 2 3 4,，，， 5 ， Q= 2,4,6,8,10 ，则集合 P Q=
（A） 2 4， （B） 1 2,3,4,5,6,8,10， （C） 2 （D） 4
（7）设命题甲： 1k ，命题乙：直线 y kx 与直线 1y x 平行，则
（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2006 年
（1）设集合 M= 1 01 2 ，，， ， N= 1 2 3，， ，则集合 M N=
（A） 01， （B） 01 2，， （C） 1 01 ，， （D） 1 01 2 3 ，，，，
（5）设甲： 1x ；乙： 2 0x x .
（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；
（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2007 年
（8）若 x y、 为实数，设甲： 2 2 0x y ；乙： 0x ， 0y 。则
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2008 年
（1）设集合 A= 2 4 6，， ， B= 1 2 3，， ，则 A B=
（A） 4 （B） 1,2,3,4,5,6 （C） 2,4,6 （D） 1,2,3
（4）设甲： 1, :sin6 2x x 乙 ，则
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
二、不等式和不等式组
2001 年
(4) 不等式 53 x 的解集是（ ）
(A) }2|{ xx (B) { | 8 2}x x x 或 (C) }0|{ xx (D) }2|{ xx
3 5 5> 3 5 8> 2 8 2x x x x x 或
2002 年
（14） 二次不等式 0232 xx 的解集为（ ）
（A） }0|{ xx （B） }21|{ xx （C） }21|{ xx （D） }0|{ xx
2003 年
（5）、不等式 2|1| x 的解集为（ ）
（A） }13|{ xxx 或 （ B） }13|{ xx （C） }3|{ xx （D） }1|{ xx
2004 年
（5）不等式 12 3x 的解集为
（A） 12 15x x （B） 12 12x x （C） 9 15x x （D） 15x x
2005 年
（2）不等式3 2 7
4 5 21
x
x
的解集为
（A） ( ,3) (5,+ ) （B） ( ,3) [5,+ ) （C） (3,5) （D）[3,5)
1
2
33 2 7 3 9 0 (3 9)(5 25) 04 5 21 5 25 0 5
xx x x xx x x
2006 年
（2）不等式 3 1x 的解集是
（A） 4 2x x （B） 2x x （C） 2 4x x （D） 4x x
（9）设 ,a b R ，且 a b ，则下列不等式中，一定成立的是
（A） 2 2a b （B） ( 0)ac bc c （C） 1 1
a b
（D） 0a b
2007 年
（9）不等式 3 1 1x 的解集是
（A） R （B） 20 3x x x
或 （C） 2
3x x
（D） 20 3x x
2008 年
（10）不等式 2 3x 的解集是
（A） 5 1x x x 或 （B） 5 1x x （C） 1 5x x x 或 （D） 1 5x x
(由 x 2 3 3 2 3 1 5x x )
三、指数与对数
2001 年
(6) 设 7.6log 5.0a ， 3.4log 2b ， 6.5log 2c ，
则 , ,a b c 的大小关系为（ ）
(A) acb (B) bca
(C) cba (D) bac
( 0.5loga x 是减函数, >1x 时, a 为负； 2logb x 是增函数， >1x 时 a 为正.故 0.5 2 2log 6.7
2(1,2)2
0 1 ,sin 0 3 <0 0 3x x x x x
（19）
1
2
2log 8 16 = 1
1
32
2 2 2log 8 16 log 2 4 3log 2 4 3 4 1
2007 年
（1）函数 lg -1y x （ ）的定义域为
（A）R （B） 0x x （C） 2x x （D） 1x x
（2）
0
4 4
1lg 8 lg 2 =4
（A）3 （B）2 （C）1
0 3 1
2 2
4 4 4 4
1 3 1lg 8 lg 2 =lg 4 lg 4 1= 1=14 2 2
（D）0
（5） 2xy 的图像过点
（A） 1( 3, )8
（B） 1( 3, )6
（C） ( 3, 8) （D） ( 3, )
（15）设 1a b ，则
（A）log 2 log 2a b （B） 2 2log loga b （C） 0.5 0.5log loga b （D）log 0.5 log 0.5b a
2008 年
（3） 0
2
1log 4 ( ) =3
（A）9 （B）3 （C）2 （D）1 0 2
2 2
1log 4 ( ) =log 2 1=2 1=13
（6）下列函数中为奇函数的是
（A） 3logy x （B） 3xy （C） 23y x （D） 3siny x
（7）下列函数中，函数值恒大于零的是
（A） 2y x （B） 2xy （C） 2logy x （D） cosy x
（9）函数 lg 3-y x x 的定义域是
（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（ ∞，3]
[由 lg x 得 >0x ，由 3- x 得 3x ， 0 3 = 0< 3x x x x x x 故选（C）]
（11）若 1a ，则
（A） 1
2
log 0a （B） 2log 0a （C） 1 0a （D） 2 1 0a
1 1
2 2
1
1
2
log log , , 0 A
1log 0 A2
y
a
y a y a y
y a a y
分析①： 故选
分析②： 是减函数，由 的图像知在点（1 0）右边 ，故选（ ）
设 ， ， （ ）
四、函数
2001 年
(3) 已知抛物线 22 axxy 的对称轴方程为 1x ,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）
(A) )3,1( (B) )1,1( (C) )0,1( (D) )3,1(
0
0
2 2
0
1,
=1 22
4 ( 2) ( 2) 4 ( 2) 34 4
x
ax a
ay
(7) 如果指数函数 xay 的图像过点 )8
1,3( ，则 a 的值为（ ）
x
y
1.3logy x
2logy x
0.5logy x
0.77logy x
3 3 0.3 0.3
0.4 0.3 0.4 0.3
( ) ( )
[ (1,0) ] [ (1,0) ]
( ) ( )
. log log log log
.
.
log log log log
0.5 0.4, 4 5;
0.5> 0.5, 5<
数 数
点 的左边 点 的右边
函数 函数
①同底异真对数值大小比较：
增函数真 大对 大，减函数真大对小如
②异底同真对数值大小比较：
同性时：左边 底大对也大，右边 底大对却小
异性时：左边减 大而增 小，右边减小而增大
如 0.4 3 4 3
3 4 3 4 3 4
log log log log
log log log log log log
5; 0.5> 0.5, 5< 5
lg 2 lg 2 lg 2 lg 26 8( 6 1 , 8 1 , 6 8)lg3 lg 4 lg3 lg 4
③异底异真对数值大小比较：
同性时：分清增减左右边，去同剩异作比较.
异性时：不易不求值而作比较，略.
如：
(A) 2 (B) 2 (C)
2
1 (D)
2
1
(10) 使函数 )2(log 2
2 xxy 为增函数的区间是（ ）
(A) ),1[ (B) )2,1[ (C) ]1,0( (D) ]1,(
(13)函数
2
655)( xxf
xx
是（ ）
(A) 是奇函数 (B) 是偶函数
(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数
(16) 函数 )34(log
3
1 xy 的定义域为____________。
(21) (本小题 11 分) 假设两个二次函数的图像关于直线 1x 对称，其中一个函数的表达式为
122 xxy ,求另一个函数的表达式。
解法一 函数 122 xxy 的对称轴为 1x ，
顶点坐标: 0 = 1x ，
2
0
2 4 1 ( 1) 24 4 1y a
设函数 2y x b x c 与函数 122 xxy 关于 1x 对称，则
函数 2y x b x c 的对称轴 3x
顶点坐标: 0 =3x ， 0 2y
由 0 2
bx a
得： 02 2 1 3 6b ax ，
由
2
0 0
4
4
b acy ya
得：
2 2
04 4 ( 2) 6 74 4
ay bc a
所以，所求函数的表达式为 2 6 7y x x
解法二 函数 122 xxy 的对称轴为 1x ，所求函数与函数 122 xxy 关于 1x 对称，则
所求函数由函数 122 xxy 向 x 轴正向平移 4 个长度单位而得。
设 0 0( , )M x y 是函数 122 xxy 上的一点，点 ( , )N x y 是点 0 0( , )M x y 的对称点，则
2
0 0 02 1y x x ， 0
0
4x x
y y
，将 0
0
4x x
y y
代入 2
0 0 02 1y x x
得: 2 6 7y x x .即为所求。
x
y
(0,1]
1
3
log (4 3) 0
30<4 3 1 3<4 4 14
x
x x x
减函数，真数须在 之间，对数才为正
x
y2 2
2
2
2
2 0 2 0 0 2
2
2 12 2 ( 1)
(0 1] log (2 ) .
x x x x x
y x x
bx a
y x x
开口向下，对称轴为：
为 增区间
∵
∴ ， 的 2
2log (2 )y x x
2=2y x x
(22) (本小题 11 分) 某种图书定价为每本 a 元时，售出总量为 b 本。如果售价上涨 x %，预计售出总量
将减少 0.5x %，问 x 为何值时这种书的销售总金额最大。
解 涨价后单价为 (1 )100
xa 元/本，售量为 0.5(1 )100
xb 本。设此时销售总金额为 y ，则：
20.5 0.5 0.5= (1 ) (1 )= (1 )100 100 100 10000
x x x xy a b ab ，令 0.5= ( )=0100 10000
xy ab ，得 50x
所以， 50x 时，销售总金额最大。
2002 年
（9） 若函数 )(xfy 在 ],[ ba 上单调，则使得 )3( xfy 必为单调函数的区间是（ ）
A． ]3,[ ba B． ]3,3[ ba C． ]3,3[ ba D． ],3[ ba
( ) ( 3) ( ) ( 3)
( 3) ( ) 3
( ) ( 3) 3 -3;
( ) ( 3) 3 -3.
( 3) [ 3,
y f x y f x y f x y f x
f x y f x
f a f x x a x a
f b f x x b x b
y f x a b
因 与 对应关系相同，故它们的图像相同；因 与 的
自变量不同，故它们的图像位置不同， 的图像比 左移 个长度单位.
因 时，必有 ，即
时，必有 ，即
所以， 的单调区间是 3]
（10） 已知
3
104log)2( 2
xxf ，则 )1(f 等于（ ）
（A）
3
14log 2 （B）
2
1 （C）1 （D）2
2 2 2 2
4 / 2 10 2 10 2 1 10( ) log log , (1) log log 4 23 3 3
x xf x f
，
（13） 下列函数中为偶函数的是（ ）
（A） )1cos( xy （B） xy 3 （C） 2)1( xy （D） xy 2sin
（21）（本小题 12 分） 已知二次函数 2 3y x bx 的图像与 x 轴有两个交点，且这两个交点间的距离
为 2，求b 的值。
解 设两个交点的横坐标分别为 1x 和 2x ，则 1x 和 2x 是方程 2 3=0x bx 的两个根，
得： 1 2x x b ， 1 2 3x x
又得： 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 24 12 2x x x x x x x x b ， b= 4
（22）（本小题 12 分） 计划建造一个深为 4m ，容积为 31600m 的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造
价为 20 元，池底每平方米的造价为 40 元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？
解 设池底边长为 x 、 y ，池壁与池底造价的造价之和为u ，则 1600 4004xy ， 400y x
400 40040 20 4(2 2 ) 40 400 20 4(2 2 ) 16000 160( )u xy x y x xx x
22016000 160 ( ) 40x
x
故当 20 0x
x
，即当 20x 时，池壁与池底的造价之和最低且等于：
400 40016000 160 ( ) 16000 160 (20 ) 22400( )20u x x 元
答：池壁与池底的最低造价之和为 22400 元
2003 年
（3）下列函数中，偶函数是
（A） 3 3x xy （B） 2 33y x x （C） 1 siny x （D） tany x
（10）函数 3 22 1y x x 在 1x 处的导数为
（A）5 （B）2 （C）3 （D）4 2
1 1(6 2 ) 6 2 4x xy x x
（11） 2lg( 1)y x x 的定义域是
（A） 1x x （B） 2x x （C） 1 2x x x 或 （D）
（17）设函数 2( -1) 2 2f t t t ，则函数 2( ) 1f x x
（20）（本小题 11 分） 设 ( )f x ax ， ( ) bg x x ， 1(2) g( )= 82f ， 1 1( ) g(3)=3 3f ，求 a b、 的值.
解 依题意得：
1(2) ( ) 2 2 8 2
1 1( ) (3)3 3 3 3
f g a b
a bf g
， • 2
1
a b
a b
即 ①
② ， 1 2
1 2
2 1
1 2
a a
b b
解得 ，
（21）（本小题 12 分） 设 2 2( ) 2f x x ax a 满足 (2) ( )f f a ，求此函数的最大值.
解 依题意得：
2 2 2 24 4 2a a a a a ，即 2 4 0a a ，得： 1 2 2a a
2 2 2( ) 4 4 ( 4 4) ( 2) 8f x x x x x x ，
可见，该函数的最大值是 8（当 2x 时）
2004 年
（10）函数 3( ) sinf x x x
（A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数也又是偶函数
（15） 3( ) 3f x x ，则 (3)=f
（A）27 （B）18 （C）16 （D）12
（17） 5sin 12cosy x x 13
5 12 513( sin cos ) 13(sin cos cos sin )=sin cos =13 13 13y x x x x x
（ ）， ，
（20）（本小题满分 11 分） 设函数 ( )y f x 为一次函数， (1)=8f ， ( 2)= 1f ，求 (11)f
解 依题意设 ( )y f x kx b ，得 (1) 8
( 2) 2 1
f k b
f k b
，得 3
5
k
b
， ( ) 3 5f x x ， (11)=38f
（22）（本小题满分 12 分）在某块地上种葡萄，若种 50 株，每株产葡萄 70kg ；若多种一株，每株减产1kg 。
试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值，并求出这个最大值.
解 设种 x （ 50x ）株葡萄时产量为 S，依题意得
2 2 2lg( 1) 0 1 1 2 0 1 2 1 2x x x x x x x x x x x 或 或
x
y
270-( -50) 120S x x x x ， 0
120 602 2 1
bx a
（ ） ， 2
0S =120 60 60 =3600(kg)
所以，种 60 株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为 3600 kg .
2005 年
（3）设函数 2( ) 1f x x ，则 ( 2)f x
（A） 2 4 5x x （B） 2 4 3x x （C） 2 2 5x x （D） 2 2 3x x
（6）函数 1y x 的定义域是
（A） 1x x （B） 1x x （C） 1x x （D） 1 1x x x 或
1 0 1 1 1 1 1x x x x x 即： 或 ，
（9）下列选项中正确的是
（A） siny x x 是偶函数 （B） siny x x 是奇函数
（C） siny x x 是偶函数 （D） siny x x 是奇函数
（18）设函数 ( )f x ax b ，且 5(1) 2f ， (2) 4f ，则 (4)f 的值为 7
注：
5 3 3 3(1) ( ) 1 (4) 4 1 72 2 2 2(2) 2 4 1
f a b a f x x f
f a b b
（23）（本小题满分 12 分）
已知函数 2
1 2 5y x x 的图像交 y 轴于 A 点，它的对称轴为l ；函数 2 1xy a a （ ）的图像交 y 轴
于 B 点，且交l 于 C.
（Ⅰ）求 ABC 的面积
（Ⅱ）设 3a ，求 AC 的长
解（Ⅰ） 2
1 2 5y x x 的对称轴方程为： 2 12 2
bx a
依题意可知A B C、 、 各点的坐标为 A(0,5) 、 B(0,1) 、 C(1, )a
得： 2 2AB = (0 0) (5 1) =4
在 ABC 中，AB 边上的高为 1（ 1x ），因此， ABC
1S = 4 1=22
（Ⅱ）当 3a 时，点 C 的坐标为 C（1，3），故 2 2AC = (0 ) (5 ) = 5
2006 年
（4）函数 2 2 3y x x 的一个单调区间是
（A） 0, （B） 1, （C） ,2 （D） ,3
（7）下列函数中为偶函数的是
（A） 2xy （B） 2y x （C） 2logy x （D） 2cosy x
（8）设一次函数的图像过点（1，1）和（2，0），则该函数的解析式为
（A） 1 2
3 3y x （B） 1 2
3 3y x （C） 2 1y x （D） 2y x
C
A
B
l 2 3xy
2
1 2 5y x x
x
y
1 1 2
1 1 2
1 1 0 1 1 23( 1) 11 1 ( 2) 3 3 3
y y y y y y x y xx x x x x
（10）已知二次函数的图像交 x 轴于（1，0）和（5，0）两点，则该图像的对称轴方程为
（A） 1x （B） 2x （C） 3x （D） 4x
（17）已知 P 为曲线 3y x 上的一点，且 P 点的横坐标为 1，则该曲线在点 P 处的切线方程是
（A）3 2 0x y （B）3 4 0x y （C）3 2 0x y （D）3 2 0x y
2
1 13 3, (1,1), 1 3( 1) 3 2 0x xk y x P y x x y 点的坐标：
（20）直线 3 2y x 的倾斜角的度数为 60
180 < 0 , tan 3 2 3, arctan 3 60y x
2007 年
（1）函数 lg -1y x （ ）的定义域为
（A）R （B） 0x x （C） 2x x （D） 1x x
（5） 2xy 的图像过点
（A） 1( 3, )8
（B） 1( 3, )6
（C） ( 3, 8) （D） ( 3, )
（6）二次函数 2 4 5y x x 图像的对称轴方程为
（A） 2x （B） 1x （C） 0x （D） 1x
（7）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是
（A） 2
1( ) 1f x x
（B） 2( )f x x x （C） ( ) cos 3
xf x （D） 2( )f x x
2
2 2 ( ) ( )(B) ( ) ( ) ( ) ( )
f x x xf x x x x x f x
（10）已知二次函数 2y x px q 的图像过原点和点 ( 4 0) ， ，则该二次函数的最小值为
（A）－8 （B）－4 （C）0 （D）12
2 2
min
0(0,0) ( 4,0) 4 ( 2) 4 416 4 0 4
q y x x x yp p
函数图像过 和
（18）函数 2y x x 在点 (1,2) 处的切线方程为 3 1y x
1 1(2 1) 3, 2 ( 1) 3 1x xk y x y k x y x
（21）设 21( )2 4
xf x x ，则 ( )f x 2 2x x 2 21( ) (2 ) 2 24f x x x x x
2008 年
（5）二次函数 2 2 2y x x 图像的对称轴方程为
（A） 1x （B） 0x （C） 1x （D） 2x
（6）下列函数中为奇函数的是
（A） 3logy x （B） 3xy （C） 23y x （D） 3siny x
（7）下列函数中，函数值恒大于零的是
（A） 2y x （B） 2xy （C） 2logy x （D） cosy x
（8）曲线 2 1y x 与直线 y kx 只有一个公共点，则 k=
（A） 2 或 2 （B）0 或 4 （C） 1 或 1 （D）3 或 7
（9）函数 lg 3-y x x 的定义域是
（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（ ∞，3]
[由 lg x 得 >0x ，由 3- x 得 3x ， 0 3 = 0< 3x x x x x x 故选（C）]
（13）过函数 6y x
上的一点 P 作 x 轴的垂线 PQ，Q 为垂足，O 为坐标原点，则 OPQ 的面积为
（A）6 （B）3 （C）12 （D）1
[设 Q 点的坐标为 x ，则 Q
1 1 6 32 2OPS yx xx ]
五、数列
2001 年
(11) 在等差数列 na 中， 85 a ，前 5 项之和为 10，前 10 项之和等于（ ）
(A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70
注： 1 5 5 5
5
5( ) 5( 4 ) 5(8 4 8)S = = = =102 2 2
a a a d a d ， =3d
10 6 5 5 5
10 5 5 5
5( ) 5( 5 + ) 5(2 6 ) 5(2 8 6 3)S =S =S =S =10 =952 2 2 2
a a a d a d a d
(23) (本小题 11 分) 设数列 na ， nb 满足 11 a ， 01 b 且
nn
nn
n
n
ba
ba
b
a
2
32
1
1
,......3,2,1n 。
(i)求证 nn ba 3 和 nn ba 3 都是等比数列并求其公比；
(ii)求 na ， nb 的通项公式。
证(i)
1 1
-1 -1
1 2 7 29 2 3
0 1 4 4 3 2
n n n
n n n
a a b
b a b
：，，， ， ，
：，，， ，
nn ba 3 :1 2 3 7 4 3 29 15 3 3n na b ， ， ， ， ，
nn ba 3 :1 2 3 7 4 3 29 15 3 3n na b ， ， ， ， ，
可见 nn ba 3 与 nn ba 3 的各项都不为 0.
1 13 =2 3 3 2 3 = 2+ 3 3 2 3 = 2+ 3 3n n n n n n n n n na b a b a b a b a b
1 13= = 2+ 3
3
n n
n n
a bq
a b
， 所以， nn ba 3 是等比数列且其公比为 =2+ 3q
1 13 =2 3 3 2 3 = 2 3 3 2 3 = 2 3 3n n n n n n n n n na b a b a b a b a b
1 13 =2 3
3
n n
n n
a b
a b
所以， 3n na b 是等比数列且其公比为 =2 3q
(ii) 由 1
1
n
na a q 得
2y x 2y x
x
y
2
2 2
2
2
2
1 2 1
12 2 1, 2
2
y x y x y x
y xyy x y x x k yx y x
的切线 就与 只有一个公共点，
n 1
n 1
3 =(2 3)
3 =(2 3)
n n
n n
a b
a b
， 得：
n 1 n 1
n 1 n 1
1= (2 3) (2 3)2
3= (2 3) (2 3)6
n
n
a
b
2002 年
（12） 设等比数列 }{ na 的公比 2q ，且 2 4 8a a ，则 71 aa 等于（ ）
（A）8 B．16 （C）32 （D）64
3 2 22
1 7 4 2 4• 8 2 32aa a a q a a qq （ ）
（ 24 ）（ 本 小 题 12 分 ） 数 列 }{ na 和 数 列 }{ nx 的 通 项 公 式 分 别 是
22
1212 2
nn
nan ，
2
1 2( 1) 1n nx n a a a 。
（Ⅰ）求证{ }nx 是等比数列；
（Ⅱ）记 nn xxxS 21 ，求 nS 的表达式。
证（Ⅰ）因 >0na ， 2( 1) 1 >n ，故 }{ nx 为正数列。当 n>2 时
2 2 2
1 2
22 2 21 1 2 1
2 2
22
( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 1= = = 2 1 2 21 1 1
( 1) 1 1= 2 = 22 21
nn
n
n n
n a a a n nx nax n nn a a a n n
n n
n nn
可见 }{ nx 的公比是常数 2 ，故 }{ nx 是等比数列。
（Ⅱ）由 1
35 2 1 25x ，
1
2n
n
xq x
得：
31
1 2
3 2 3 3 2
(1 ) 2(1 2 ) 2( 2 1)( 2 1) ( 2 1) ( 2 2)1 1 2
2 2 2 2 ( 2) ( 2) 2 2 2
n n
n n
n n
n n n n
a qS x x x q
2003 年
（23）已知数列 na 的前 n 项和 2 3n nS a .
（Ⅰ）求 na 的通项公式，
（Ⅱ）设
2
n
n n
nab ，求数列 nb 的前 n 项和.
解（Ⅰ）当 1n 时， 1 1 12 3a S a ，故 1 3a ，
当 2n 时， -1 1 12 3 (2 3) 2 2n n n n n n na S S a a a a ，
故 12n na a ， 1
1 1
2 2n n
n n
a aq a a
，所以， 1 1
1 3 2n n
na a q
（Ⅱ）
13 2 3
22 2
n
n
n n n
na n nb
，
∵
1
3
2
3( 1) 1
2
n
n
n
b nq b n n
，∴ nb 不是等比数列
∵ 1
3( 1)3 3
2 2 2n n
nnd b b
， ∴ nb 是等差数列
nb 的前 n 项和： 1
3 3( )( ) 32 2 ( 1)2 2 4
n
n
n nb b n nS n
2004 年
（7）设 na 为等差数列， 5 9a ， 15 39a ，则 10a
（A） （B） （C） （D）
10 1 5 15 1 10 10 5 15 10 5 15
19 , 2 18 2 , ( ) 242a a d a a a d a a a a a a a
是 的等差中项，和
（23）（本小题满分 12 分） 设 na 为等差数列且公差 d 为正数， 2 3 4 15a a a ， 2a ， 3 1a ， 4a 成
等比数列，求 1a 和 d .
解 由 2 3 4 33 15a a a a ，得 3 5a ， 2 4 10a a ①
由 2a ， 3 1a ， 4a 成等比数列，得 2 2
2 4 3( 1) (5 1) 16a a a ②
由 2 4
2 4
10
16
a a
a a
①
② ，得 1
2
2
2 3
2
8( , )
a
a a
大于 舍去 ， 3 2
1 2
5 2 3
2 3 1
d a a
a a d
2005 年
（13）在等差数列 na 中， 3 1a ， 8 11a ，则 13a
（A） （B） （C） （D）22
8 3 13 3
8 3 13 8 13 3 13 8 3
(8 3) 1 5 11, 2, (13 3) 1 10 1 10 2 21
2 = =2 =2 11 1=21
a a d d d a a d d
a a a a a a a a a
或者这样解： 是 的等差中项和 ， + ，
（22）（本小题满分 12 分） 已知等比数列 na 的各项都是正数， 1 2a ，前 3 项和为 14。求：
（Ⅰ）数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）设 2logn nb a ，求数列 nb 的前 20 项之和。
解（Ⅰ）
3 3 2
1
3
(1 ) 2(1 ) 2(1 )(1 ) 141 1 1
a q q q q qS q q q
，
得 2 6q q ， 1
2 ,
2
3( )
q
q
不合题意 舍去 ，所以， 1 1
1 2 2 2n n n
na a q
（Ⅱ） 2 2log log 2n
n nb a n ，
数列 nb 的前 20 项的和为 20
(1 20) 201 2 3 20 2102S
2006 年
（6）在等差数列 na 中， 3 1a ， 5 7a ，则 7a
（A）11 （B）13 （C）15 （D）17
5 3 7 5(7 3) 1 2 7, 4, 2 7 2 ( 4)= 15a a d d d a a d
（22）（本小题 12 分） 已知等比数列 na 中， 3 16a ，公比 1
2q 。求：
（Ⅰ）数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）数列 na 的前 7 项的和。
解（Ⅰ） 2
3 1a a q ，
2
1
1 =162a
， 1=64a ，
1
1 7 6 1 7
1
164 2 2 2 22
n
n n n n
na a q
（Ⅱ）
7
7
1
7
164 1 2(1 ) 1 1128 1 =128 1 12711 2 1281 2
na qS q
2007 年
（13）设等比数列 na 的各项都为正数， 1 1a ， 3 9a ，则公比 q
（A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3
（23）（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 (2 1)nS n n ,
（Ⅰ）求该数列的通项公式；
（Ⅱ）判断 39na 是该数列的第几项.
解（Ⅰ） 当 2n 时， -1 (2 1) ( 1) 2( 1) 1 4 1n n na S S n n n n n
当 1n 时， 1 1 1 (2 1 1) 3a S ，满足 4 1na n ，
所以， 4 1na n
（Ⅱ） 4 1 39na n ，得 10n .
2008 年
（15）在等比数列 na 中, 2 =6a ， 4 =24a ， 6 =a
（A）8 （B）24 （C）96
2 2
2 4
2 6 4 6
2
24 966
aa a a a a
（D）384
（22）已知等差数列 na 中， 1 9a ， 3 8 0a a
（Ⅰ）求等差数列的通项公式
（Ⅱ）当 n 为何值时，数列 na 的前 n 项和 nS 取得最大值，并求该最大值
解（Ⅰ）设该等差数列的公差为 d ，则
3 1 2a a d ， 8 1 7a a d ， 3 8 1 1 12 7 2 9 0a a a d a d a d
将 1 9a 代入 12 9 0a d 得： 2d ，
该等差数列的通项公式为 1 ( -1) 9 ( -1) ( 2) 11 2na a n d n n
（Ⅱ）数列 na 的前 n 项之和
21( ) (9 11 2 ) 102 2
n
n
n a a n nS n n
10 2 0nS n 令 ， 5n ， 2
max 5(10 ) 25n nS n n
六、导数
2001 年
(22) (本小题 11 分) 某种图书定价为每本 a 元时，售出总量为 b 本。如果售价上涨 x %，预计售出总量
将减少 0.5x %，问 x 为何值时这种书的销售总金额最大。
解 涨价后单价为 (1 )100
xa 元/本，售量为 0.5(1 )100
xb 本。设此时销售总金额为 y ，则：
20.5 0.5 0.5= (1 ) (1 )= (1 )100 100 100 10000
x x x xy a b ab , 令 0.5= ( )=0100 10000
xy ab ，得 50x
所以， 50x 时，销售总金额最大。
2002 年
（7） 函数 21 32y x x 的最小值是
（A） 5
2 （B） 7
2 （C） 3 （D） 4
2
min
1 1 1 72 1, , 2 32 2 2 2y x x y
（ ） （ ）
（22）（本小题 12 分） 计划建造一个深为 4m ，容积为 31600m 的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造
价为 20 元，池底每平方米的造价为 40 元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？
解 设池底边长为 x 、 y ，池壁与池底造价的造价之和为u ，则 1600 4004xy ， 400y x
2
2
400 40040 20 4(2 2 ) 40 400 160( ) 16000 160( ) 160(1 )
4001 0 20( 20 )u =
u xy x y x y x u =x x
x xx
令 0，得 舍去
，
，
min 20
400 40016000 160 ( ) 16000 160 (20 ) 22400( )20xu x x
元
答：池壁与池底的最低造价之和为 22400 元
2003 年
（10）函数 3 22 1y x x 在 1x 处的导数为
（A）5 （B）2 （C）3 （D）4 2
1 1(6 2 ) 4x xy x x
2004 年
（15） 3( ) 3f x x ，则 (3)=f
（A）27 2
3(3) 3 27xf x （B）18 （C）16 （D）12
2005 年
（17）函数 ( 1)y x x 在 2x 处的导数值为 5 2 2(2 1) 5x xy x
（21）求函数 3 3y x x 在区间[0,2]的最大值和最小值（本小题满分 12 分）
解 令 2 23 3 3( 1) 3( 1)( 1) 0y x x x x ，得 1 1x ， 2 1x （不在区间[0,2]内，舍去）
3 3
0 1 20, 1 3 1 2, 2 3 2 2x x xy y y
可知函数 3 3y x x 在区间[0,2]的最大值为 2，最小值为2.
2006 年
（17）已知 P 为曲线 3y x 上的一点，且 P 点的横坐标为 1，则该曲线在点 P 处的切线方程是
（A）3 2 0x y （B）3 4 0x y （C）3 2 0x y （D）3 2 0x y
2
1 13 3, (1,1), 1 3( 1) 3 2 0x xk y x P y x x y 点的坐标：
2007 年
（12）已知抛物线 2 4y x 上一点 P 到该抛物线的准线的距离为 5，则过点 P 和原点的直线的斜率为
（A） 4 4
5 5
或 （B） 5 5
4 4
或 （C）1 1或 （D） 3 3或
2 2 12 4 = , 5 4 4 12
yy px y x p x p x y k x
由 和 得 2
（18）函数 2y x x 在点（1，2）处的切线方程为 3 1y x
［ 1 1(2 1) 3x xk y x ， 2 ( 1)y k x ，即 3 1y x ］
2008 年
（8）曲线 2 1y x 与直线 y kx 只有一个公共点，则 k
（A） 2 或 2 （B）0 或 4 （C） 1 或 1 （D）3 或 7
（25）已知函数 4 2 5f x x mx （ ） ，且 2 24f （ ）
（Ⅰ）求 m 的值
（Ⅱ）求 f x（ ）在区间 2 2 ， 上的最大值和最小值
解（Ⅰ） 34 2f x x mx （ ） ， 32 4 2 2 2 24f m （ ） ， 2m
（Ⅱ）令 3 34 2 =4 4 0f x x mx x x （ ） ，得： 1 0x ， 2 1x ， 3 1x
=5f（0） ， 1 =1 2 5=4f （ ） ， =1 2 5=4f （1） ， =16 8 5=13f （-2） ， =16 8 5=13f （2）
所以， f x（ ）在区间 2 2 ， 上的最大值为 13，最小值为 4.
七、平面向量
2001 年
(18)过点 (2,1) 且垂直于向量 ( 1,2) a 的直线方程为 2 0x y 。
1( 1,2) 2 1 ( 2)2k k y k x
所在直线的斜率 与 垂直的直线的斜率 所求直线， ，a a
2002 年
（17）已知向量 (3,4)a ，向量b
与 a 方向相反，并且| | 10b ，则 b
等于 ( 6, 8)b 。
解 设 ( , )b x y ，因向量 b
与 a 方向相反（一种平行），故 3 4
x y ，即 4 3x y ① ，
2 2• 3 4 | || | cos180 3 4 10 50a b x y a b ②
将①与②组成方程组： 4 3
3 4 = 50
x y
x y
①
② ，解得： 6
8
x
y
，故 ( 6, 8)b
也可这样简单分析求解：
因| | 5a ，| | 10b ，| |b
是| |a 的二倍，b
与 a 方向相反，故 2 = 2 (3,4)=( 6, 8)b a
2003 年
(13)已知向量 a 、 b 满足| | =4a ，| | =3b ， =30 a,b ，则 =a b
（A） 3 （B） 6 3 = cos =4 3cos30 =6 3
a b a b a,b （C）6 （D）12
2004 年
（14）如果向量 (3, 2) a ， ( 1,2) b ，则 (2 ) ( )a + b a - b 等于
（A）28 （B）20 （C）24 （D）10
2 =2(3, 2)=(6, 4), 2 =(6, 4)+( 1,2)=(5, 2) =(3, 2) ( 1,2)=(4, 4)
(2 ) ( )=(5, 2) (4, 4)=28
，a a + b a b
a + b a b
2005 年
（14）已知向量 a,b 满足 3a ， 4b ，且 a 和 b 的夹角为120 ，则 a b
（A） 6 3 （B） 6 3 （C） （D）6
2y x 2y x
x
y
2
2 2
2
2
2
1 2 1
12 2 1, 2
2
y x y x y x
y xyy x y x x k yx y x
的切线 就与 只有一个公共点，
2006 年
（3）若平面向量 (3, )xa ， (4, 3) b ， a b ，则 x 的值等于
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3 4 ( 3 ) 0, 4x x
2007 年
（3）已知平面向量 AB=(2, 4) ， AC=( 1,2) ，则 BC=
（A） (3, 6) （B） (1, 2) （C） ( 3,6) ( 1,2) (2, 4)=( 3,6) （D） ( 2, 8)
2008 年
（18）若向量 2x（ ，）a ， 2 3 （ ，）b ， //a b ，则 x 4
3
2 4, 2 2 3
x x
八、三角的概念
2001 年
(5) 设角的终边通过点 512P （ ，），则 sincot 等于（ ）
(A)
13
7 (B)
13
7 (C)
156
79 (D)
156
79
2 2
5 12 12 5 12 79cot = , sin = = , cot sin = =12 13 12 13 156( 5) 12
（5） 已知
5
1cossin ， 7sin cos 5 ，则 tan 等于（ ）
（A）
3
4 （B）
4
3 （C）1 （D）－1
1 8 8sin cos 2sin = 2sin 455 5, , tan = = =7 6 2cos 6 3sin cos 2cos = 55 5
得
得
① ①+② ：
② ①-② ：
2003 年
（4）已知 < <2
，则 2 4sin sin =
（A） sin co （B） sin co （C）sin 2 （D） sin 2
2 4 2 2 2 2
2 4
sin cos (sin cos >0 )sin sin = sin 1 sin = sin cos = sin cos = sin cos ,(sin cos <0)
< < , sin >0 , cos <0, sin cos <0, sin sin = sin cos2
， 时（ ） 时
∵ ∴ ∴
2007 年
（11）设 1sin = 2
， 为第二象限角，则 cos =
（A） 3
2
=150
cos150 =
（B） 2
2
（C） 1
2
（D） 3
2
九、三角函数变换
2002 年
（3） 若 ]2,[ x ，
2
3cos x ，则 x 等于（ ）
（A）
6
7 （B）
3
4 （C）
3
5 （D）
6
11
[ ,2 ]2 150 ( )3 7arccos( )= 210 2102 180 62 210 ( )
xx n x
x x
x n x
在第二象限时
在第三象限时
2003 年
（19）函数 cos3 sin3y x x 的最大值是 2
2 2 2
max sin6 1cos 3 sin 3 2cos3 sin3 1 sin6 , = 1 sin6 , 2xy x x x x x y x y y
2004 年
（9）sin cos =12 12
（A） 1
2
（B） 1
4
1 1sin2 6 4
原式 （C） 3
2
（D） 3
4
（17）函数 5sin 12cosy x x 的最小值为13
5 12 513( sin cos ) 13(sin cos cos sin )=sin cos =13 13 13y x x x x x
（ ），
2005 年
（10）设 (0, )2
， 3cos =5 ，则sin2 =
（A） 8
25
（B） 9
25
（C） 12
25
（D） 24
25
2
2 3 3 24(0, ), sin > , sin2 =2sin cos =2 1 cos cos =2 1 =2 5 5 25
∵ ∴ 0
2006 年
（）在 ABC 中， C=30 ，则 cosAcosB sinAsinB 的值等于
（A） 1
2
（B） 3
2
（C） 1
2
（D） 3
2
2 2
=cosAcos(150 A) sinAsin(150 A)
=cosA(cos150 cosA sin150 sinA) sinA( sin150 cosA cos150 sinA)
3 =cos Acos150 sin Acos150 =cos150 = 2
原式
2007 年
（19）sin (45 )cos cos(45 )sin 的值为
sin (45 )cos cos(45 )sin =sin (45 )=sin 45
十、三角函数的图像和性质
2001 年
(14)函数 xxy 3sin33cos 的最小正周期和最大值分别是（ ）
(A) 2 13
， (B) 2 23
， (C) 2 2， (D) 2 1，
1 3cos3 3sin3 =2 ( cos3 sin3 )=2(sin cos3 cos sin3 )= 2cos(3 )2 2
2 2 1 3sin cos cos(3 )= 13 2 2
y x x x x x x x
T x
当 时 函数取得最大值， ， ， ， 2
2005 年
（4）函数 sin 2
xy 的最小正周期是
（A）8 （B）4 2 41/ 2T
（C） 2 （D）
（20）（本小题满分 11 分）
（Ⅰ）把下表中 x 的角度值化为弧度值，计算 tan -siny x x 的值填入表中：
x 的角度值 0 9 18 27 36 45
x 的弧度值
10
tan -siny x x
(精确到 0.0001)
（Ⅱ）参照上表中的数据，在下面的直角坐标系中画出函数 tan -siny x x 在区间 0 4
， 上的图像
解（Ⅰ）
x 的角度值 0 9 18 27 36 45
x 的弧度值 0 20
10
3
20
5
4
tan -siny x x
(精确到 0.0001)
0 0.0019 0.0159 0.0553 0.1388 0.2929
（Ⅱ）
2006 年
20
10
3
20
4
5
/x rad
y
0
0.1
0.2
0.3
20
10
3
20
4
5
/x rad
y
0
0.1
0.2
0.3
（18）函数 sin 2y x 的最小正周期是
2007 年
(4)函数 1sin 3y x 的最小正周期为
（A）
3
（B） 2 （C） 6 （D）8
2008 年
（2）函数 y cos 3
x 的最小正周期是
（A） 6 （B） 3 （C） 2 （D）
3
十一、解三角形
2001 年
(20) (本小题 11 分) 在 ABC 中，已知 45A ， 30B ， AB=23.26 ，求 AC （用小数表示，结
果保留到小数点后一位）。
解 AB AC=sinC sinB
， 23.26 AC=sin(180 45 30 ) sin30
， 23.26sin30AC= 12.0sin75
2002 年
（20)（本小题 11 分） 在 ABC 中，已知 60A ，且 2BC AB ，求sinC （精确到 0.001）。
解 AB BC=sinC sin60
AB AB 3 3sinC= sin60 = = 0.612BC 22AB 2 2
2003 年
（22）（本小题 12 分）
如图，某观测点 B 在 A 地南偏西10 方向，由 A 地出发有一条走向为南偏东12 的公路，由观测点 B
发现公路上距观测点 10km 的 C 点有一汽车沿公路向 A 驶去，到达 D 点时，测得 90DBC ，
10BD km ，问汽车还要行驶多少 km 才可到达 A 地（计算结果保留两
位小数）
解 10 12 22BAD
∵ 90DBC ， BC BD ，
∴ BCD 是等边直角三角形， 45BDC
45 22 23ABD BDC BAD
10sin sin 23 10.43( )sin sin 22
BDAD ABD kmBAD
答：为这辆汽车还要行驶10.43km 才可到达 A 地
2004 年
（21）（本小题满分 12 分） 已知锐角 ABC 的边长 AB=10，BC=8，面积 S=32.求 AC 的长（用小数表示，
结果保留小数点后两位）
A B
C
60
2AB
A 东
D
C
B
北
10 12
10km
10km
A B
C
2
2 2 2 2 2
1 1 S= AB BC sinB= 10 8sinB=322 2
4 4 3sinB= cosB= 1 sin B= 1 =5 5 5
3 AC =AB BC 2AB BCcosB=10 8 2 10 8 =685
AC= 68 8.25
2
得：
，
，
解
2006 年
（23）（本小题 12 分） 已知在 ABC 中， BAC=60 ，边长 AB=5 ， AC=6 .
（Ⅰ）求 BC 的长
（Ⅱ）求 AB AC 值
2 2
2 2
BC= AB AC 2AB ACcos BAC
= 5 6 2 5 6cos 60 = 31
（Ⅰ）解
（Ⅱ） AB AC= AB AC cos BAC=5 6 cos60 =15
2007 年
（22）（本小题满分 12 分） 已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（2，1）、B（1，0）、C（3，0），求
（Ⅰ） B 的正弦值；
（Ⅱ） ABC 的面积.
解（Ⅰ） B=45 ， 2sin B=sin 45 = 2
（Ⅱ） ABC 的面积 ABC
1S = 2 1=12
2008 年
（20）在 ABC 中，若 1sinA= 3
， C=150 ， BC=4 ，则 AB=
sin 4sin150, 61sin sin sin
3
BC AB BC CABA C A
（23）如图，塔 PO 与地平线 AO 垂直，在 A 点测得塔顶 P 的仰角 45PAO ，沿 AO 方向前进至 B 点，
测得仰角 60PBO ，A、B 相距 44m ，求塔高 PO 。（精确到 0.1m ）
解 由已知条件得： 30BPO ， AO PO ， 3tan tan30 3BO PO BPO PO PO
3 443AB AO BO PO BO PO PO
44 104.1( )
31 3
PO m
十二、直线
2001 年
A
60
C
B
5
6
A
B C
1 2 3
1
0 x
y
P
OBA
C
B
A
(18)过点 2 1（ ，）且垂直于向量 ( 1,2) a 的直线方程 。
( , ) (2 ,1 ) (2 ,1 )( 1,2)=0 2 0x y x y x y x y 设在所求直线上取点 得向量 则， ， ，即： ，b a b
2002 年
（4）点 P(3,2) 关于 y 轴的对称点的坐标为（ ）
（A） )2,3( （B） ( 3,2) （C） )2,0( （D） )2,3(
（18）在 x 轴上截距为 3 且垂直于直线 02 yx 的直线方程为 。
2( 2)1 12 0 , 22 k y xx y k k
的斜率 所求直线的斜率为 所求直线的方程：，
2003 年
（16）点 P(1 2)， 到直线 2 1y x 的距离为
0 0
2 2 2 2
2 1 ( 1) 2 1 5
52 ( 1)
Ax By Cd
A B
2004 年
（4）到两定点 ( 1,1)A 和 (3,5)B 距离相等的点的轨迹方程为 .
（A） 4 0x y （B） 5 0x y （C） 5 0x y （D） 2 0x y
2 2 2 2( 1) ( 1) ( 3) ( 5) 4 0x y x y x y ，
（12）通过点 (3,1) 且与直线 1x y 垂直的直线方程是 .
（A） 2 0x y （B）3 8 0x y （C） 3 2 0x y （D） 2 0x y
（20）（本小题满分 11 分） 设函数 ( )y f x 为一次函数， (1)=8f ， ( 2)= 1f ，求 (11)f
解 依题意设 ( )y f x kx b ，得 (1) 8
( 2) 2 1
f k b
f k b
，得 3
5
k
b
， ( ) 3 5f x x ， (11)=38f
2005 年
（16）过点 21（ ，）且与直线 1y x 垂直的直线方程为 3y x
2006 年
（8）设一次函数的图像过点 (1,1) ）和 ( 2,1) ，则该函数的解析式为
（A） 1 2
3 3y x （B） 1 2
3 3y x （C） 2 1y x （D） 2y x
（20）直线 3 2y x 的倾斜角的度数为 60 arctan 3 60
2008 年
（14）过点 (1,1) 且与直线 2 1 0x y 垂直的直线方程为
（A） 2 1 0x y （B） 2 3 0x y （C） 2 3 0x y （D） 2 1 0x y
［直线 2 1 0x y 的斜率为 1
2k ，所求直线的斜率为 2k ，由点斜式方程可知应选（A）］
（19）若 是直线 2y x 的倾斜角，则 = 3
4
3tan 1, 0, arctan( 1) 145 = 4
十三、圆
2006 年
（24）（本小题 12 分）
已知 o 的圆心位于坐标原点, o 与 x 轴的正半轴交于 A，与 y 轴的正半轴交于 B， AB =2 2
（Ⅰ）求 o 的方程；
（Ⅱ）设 P 为 o 上的一点，且 OP//AB ，求点 P 的坐标。
解（Ⅰ）依题设得 222 = ABr ， 22 2 2AB= 22 2r ，
故 o 的方程： 2 2 4x y
（Ⅱ）因为 A(2,0) ， B(0,2) ，所以 AB 的斜率为 1 。
过 o 且平行于 AB 的直线方程为 y x .
由 2 2 4
y x
x y
得： 1
1
2
2
x
y
， 2
2
2
2
x
y
所以，点 P 的坐标为 ( 2, 2) 或 ( 2, 2)
2008 年
（24）已知一个圆的圆心为双曲线
2 2
14 12
x y 的右焦点，并且此圆过原点.
（Ⅰ）求该圆的方程；
（Ⅱ）求直线 3y x 被该圆截得的弦长.
解（Ⅰ） 2 2 4 12 4c a b ，
双曲线
2 2
14 12
x y 的右焦点坐为 4 0（ ，），
圆心坐标 O 4 0（ ，），圆半径为 4r 。
圆的方程为 2 24 16x y （ ）
（Ⅱ）因直线 3y x 的倾角为 60 ，
故 OA=OBcos AOB=2 4cos60 =4
所以，直线 3y x 被该圆截得的弦长为 4
十四、圆锥曲线
2001 年
(3) 已知抛物线 22 axxy 的对称轴方程为 1x ,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）
(A) )3,1( (B) )1,1( (C) )0,1( (D) )3,1(
2
0 0 0 01, 2, 2 1 ( 2) 1 2 32
ax a y x ax
(8) 点 P 为椭圆 225925 22 yx 上一点， 1F 和 2F 是焦点，则 21 PFPF 的值为（ ）
(A) 6 (B) 5 (C) 10 (D) 3
2 2
1 225 9 225 5, 2 2 5 10x y a PF PF a
(9) 过双曲线 1936
22
yx 的左焦点 1F 的直线与这双曲线交于 A,B 两点，且 3AB ， 2F 是右焦点，则
22 BFAF 的值为（ ）
(A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27
O
A
B
2 2
14 12
x y
2 24 16x y （ ）
3y x
x
y
1P
x
B
A
y
2P
，
(24) (本小题 11 分) 已知椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x 和点 P( ,0)a ，设该椭圆有一关于 x 轴对称的内接正三角形，
使得 P 为其一个顶点。求该正三角形的边长。
解 设椭圆的关于 x 轴对称的内接正三角形为 PAB ， A ,x y ，则：
3a x
y
， 2
2 3a x
y
， 2
2
3
a xy
，
2 2
2 2
( ) 13
x a x
a b
，
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
3 3( 2 ) 3 , 1 2 3 0b x ba ax x b x ax a ba a
2 4 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 2 2
2 2 2
22 2
3 3 32 4 4 1 3 32 2
33 32 1 2
b a a b a ba a a b a baa x aax a bb a b x a
a a
由于 a x a ，所以，
2 2
2 2
3
3
a bx aa b
因 - 3a x
y
， -
3
a xy ， AB=2 y ，于是 PAB 的边长为
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
- 2 2 3 2 3 3 4 3AB=2 2 1 1 = =3 3 33 3 3 3
a x a x a a b a a b a b aby a a b a b a b
2002 年
（8） 平面上到两定点 )0,7(1 F ， )0,7(2F 距离之差的绝对值等于 10 的点的轨迹方程为（ ）
（A）
22
1100 16
yx （B）
22
1100 49
yx （C）
22
125 24
yx （D）
22
125 24
yx
2(C) (A) (B);2 10 5 25a a a 点的轨迹为双曲线，排除 排除 、， ， ，
x
y
B
A( , )x y
P
b
b
aa x
y
B
A( , )x y
P
b
b
aa
x
y
A
B
1F
2F
1 1
1 2 2 2 2 2
1 2
AB AF BF =3
AF AF =2 =12 AF BF 3=24 AF BF =27
BF BF =2 =12
a
a
（23）（本小题 12 分） 设椭圆 )0(16 2
22
yx 的焦点在 x 轴上，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两
点，使得 OP 所在直线的斜率为 1， OP OQ ，若 POQ 的面积恰为 3 2
4 ，求该椭圆的焦距。
解 设 1 1( , )P x y 、 2 2Q( , )x y ，因 OP OQ ，故 POQ=90 .又因 OP 所在直线的斜率为 1，故
2 2 2 2 2 2 2 2
Q 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 3 2
2 2 4POS OP OQ x y x y x y x y 。
将 2 2
1 1
3 2
4x y 代入 )0(16 2
22
yx ，得：
3 2 3 2 1( 0)24 4
，即 2 4 2 6=0 ，
解得： 1
2 2 2
2 2
= 2
=3 2( = =18> =6, )b a
舍去
由 22 2 2=6 = = 2 =2a b ， 得该椭圆的焦距： 2 22 2 2 6 2 4c a b
2003 年
（14）焦点 ( 5 0) ， 、 (5 0)， 且过点 (3 0)， 的双曲线的标准方程为
（A）
2 2
116 9
y x （B）
22
19 4
yx （C）
22
19 16
yx （D）
2 2
19 16
y x
2 2 2(A) (D) 5, 3, (B), (C)5 3 16, x c a b 焦点在 轴，排除 、 ； 排除 选
（15）椭圆
22
14 9
yx 与圆 2 2( 4) 2x y 的公共点的个数是
（A）4 （B）2 （C）1 （D）0
（24）已知抛物线 2 8y x 的焦点为 F，点 A、C 在抛物线上（AC 与 x 轴不垂直）.
（Ⅰ）若点 B 在抛物线的准线上，且 A、B、C 三点的纵坐标成等差数列，求证 BF AC ；
（Ⅱ）若直线 AC 过点 F，求证以 AC 为直径的圆与定圆 2 2( -3) 9x y 相内切.
证明：（Ⅰ）由 2 8y x 得抛物线准线方程 8/ 4 22 2
px ， F(2,0)
设
2
1
1( , )8
yA y 、
2
2
2( , )8
yC y ，则 1 2( 2, )2
y yB ，
AC 的斜率 2 1
2 2
2 1 1 2
8
8 8
AC
y yk y y y y
， BF的斜率
1 2
1 2
0 2
2 ( 2) 8BF
y y
y yk
PQ
x
y
0.5
2.5
0.5
0.5
0.5
2.5
x
y
2 2( 4) 2
( 4,0), . >2
x
x
x y
椭圆与 轴的交点是2，圆 的圆
心是 与 轴的交点是4- 因4-
故椭圆与圆相离，没有交点.
2 2 ，
∵ 1 2
1 2
8 18AC BF
y yk k y y
， ∴ BF AC
（Ⅱ）设 AC 的斜率为 k ，则 A、C、F 所在的直线的方程为 ( 2)y k x
设 1 1A( , )x y 、 2 2C( , )x y ，因 A、C 在抛物线上（AC 与 x 轴不垂直），故 k 满足下列方程组：
2
( 2)
8
y k x
y x
①
② 将①代入②消去 y 得：
2 2 ( 2) 8k x x ， 2 2 2 2(4 8) 0k x k x k ，
因 2 4 24 12 64 64 0b ac k k
故
2 2
1 2 2 2
(4 8) 4 8kc kx x a k k
将 2yx k 代入②消去 x 得： 2 8 16 0y yk ，
因
2
2
2
8 14 4 1 ( 16) 64( 64) 0b ac k k
故 1 2
8
8
1
ky y k
， 1 2 16y y ，因此，以 AC 为直径的圆的圆心为
2
2
2 4 4D( , )k
kk
因 2
2
1csc 1 tan ， 180 ，故 2 2
1 1csc 1 1tan k ，得：
2
2 1 2 1 2 12 2
2
2
1 2 1 22
1 1csc 1 1
1 ( ) 4
AC y y y y y yk k
k y y y yk
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 8 1 1 1( ) 4 -16 8 8k k k k
kk k k k
（ ）
AC 为直径的圆的半径
2
2
142
AC kR k
， 又定圆心为 E(3,0) ，半径 3r ，可得
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 4 4 4 1 4( 3) ( ) 4 3k k k kDE R r DEkk k k k
又，
因此，这两个圆相内切
2004 年
（6）以椭圆的标准方程为
2 2
116 9
x y 的任一点（长轴两端除外）和两个焦点为顶点的三角形的周长等于
（A）12 （B）8 2 7 2a c （C）13 （D）18
（13）如果抛物线上的一点到其焦点的距离为 8，则这点到该抛物线准线的距离为
（A）4 （B）8 （C）16 （D）32
x
y
2 8y x
E
D
A
C
l
B
2k 以 作图（ ）
F
（24）（本小题满分 12 分） 设 A、B 两点在椭圆
2
2 14
x y 上，点 1M 1, 2
是 A、B 的中点.
（Ⅰ）求直线 AB 的方程
（Ⅱ）若椭圆上的点 C 的横坐标为 3 ，求 ABC 的面积
解（Ⅰ）所求直线过点 1M(1, )2
，由直线的点斜式方程得所求直线的方程为 1( -1) 2y k x ，
A、B 两点既在直线 1( -1) 2y k x ，又在椭圆
2
2 14
x y ，即 A、B 两点的坐标满足方程组
2
2 14
1( -1) 2
x y
y k x
①
②
，将②代入①得： 2 2 21 1 1( ) 2 ( ) ( ) 1 04 2 2k x k k x k ③
此方程的判别式：
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
1 1 14 2 ( ) 4( ) ( ) 12 4 2
1 1 14 ( ) 4 ( ) (1 4 ) ( )2 2 2
1 3(1 4 ) ( ) 32 4
1 1 3 3 1 53 3 03 6 4 36 6 6
b ac k k k k
k k k k k k
k k k k
k k k
因此它有两个不等的实数根 1x 、 2x .
由 1 2
bx x a
得： 2
1 2 22
12 ( ) 4 22 21 1 4
4
k k k k
x x kk
，解得 1
2k
将 1k= 2
代入 1( -1) 2y k x 得直线 AB 的方程： 1 12y x
（Ⅱ）将 1
2k 代入方程③，解得 1
2
0
2
x
x
，又得 1
2
1
0
y
x
，
即 A、B 两点的坐标为 A（0，1），B（2，0），于是
2 2AB = (0 2) +(1 0) = 5
由于椭圆上的点 C 的横坐标为 3 ，故点 C 的坐标为 C（ 3 ， 1
2
）
点 C 到直线 AB 的距离为：
0 0
2 2 2 2
13 2 2Ax +By C 1 32d= = =
5A +B 1 +2
或 0 0
2 2 2 2
13 2 2Ax +By C 3 32d= = =
5A +B 1 +2
所以， ABC 的面积为：
ABC
1 1 1 3 1 3S = AB d= 5 =2 2 25
或 ABC
1 1 3 3 3 3S = AB d= 5 =2 2 25
A
B
1C
2C
1 12y x
x
y
2
2 14
x y
0.5
0.5 0.5
0.5
2005 年
（5）中心在原点，一个焦点在 (0,4) 且过点 (3,0) 的椭圆方程是
（A）
2 2
19 25
x y 24 3 25
y
c b a
焦点在 轴上
， ， （B）
2 2
19 16
x y （C）
2 2
125 41
x y （D）
2 2
19 4
x y
（8）双曲线
2 2
128 8
x y 的焦距是
（A） 4 5 （B） 2 5 （C）12 2 2 28 8 12c （D）6
（24）（本小题满分 12 分）
如图，设 1A 、 2A 是椭圆 1C ：
2 2
14 3
x y 长轴的两个端点，
l 是 1C 的右准线，双曲线 2C ：
2 2
14 3
x y
（Ⅰ）求l 的方程；
（Ⅱ）设 P 为l 与 2C 的一个交点，直线 PA1 与 1C 的另一个交
点为 Q，直线 PA2 与 1C 的另一个交点为 R.求 QR
解（Ⅰ）椭圆的半焦距 2 2 4 3 1c a b ，右准线l 的方程
2 4 41
ax c
（Ⅱ）由 P 为l 与 2C 的一个交点的设定，得 P(4,3) 或 P (4, 3) 。由于 2C 是对称曲线，故可在此两点
中的任意一点取作图求 QR ，现以 P (4,3) 进行计算。
由题设和直线的两点式方程得 PA1 的方程为 1 22y x （ ），PA2 的方程为 3 22y x （ ）
解 2 2
1 22
14 3
y x
x y
（ ）
得 Q 3（1，）2 ，解 2 2
3 22
14 3
y x
x y
（ ）
得 3R 1 2
（ ， ）， 3 3QR = ( )=32 2
2006 年
（15）设椭圆的标准方程为
2 2
116 12
x y ，则该椭圆的离心率为
（A） 1
2
16 12 1
216
ce a
（B） 3
3
（C） 3
2
（D） 7
2
2007 年
（12）已知抛物线 2 4y x 上一点 P 到该抛物线的准线的距离为 5，则过点 P 和原点的直线的斜率为
（A） 4
5
或 4
5
（B） 5 5
4 4
或 （C）1 1或 （D） 3 3或
2 2 12 4 = , 5 4 4 12
yy px y x p x p x y k x
由 和 得 2
（14）已知椭圆的长轴长为 8，则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为
x
y
Q
R
1A 2A
l 2C
P
P
（A）8 （B）6 （C）4 8/ 2 4d a （D）2
（24）（本小题 12 分）已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 3，并且过点 3 8（ ，），求：
（Ⅰ）双曲线的标准方程
（Ⅱ）双曲线焦点坐标和准线方程
解（Ⅰ）由已知得双曲线的标准方程为
2 2
2 2 1x y
a b
， 3 3c c aa ， ，
故 2 2 2 2 2 23 8b c a a a a （ ） ，
2 2
2 2 18
x y
a a
将点 3 8（ ，）代入
2 2
2 2 18
x y
a a
，
得： 2 21 8 3a b c ， ，
故双曲线的标准方程为
2
2 18
yx
（Ⅱ）双曲线焦点坐标： 3 0（ ，）， 3 0（ ，）双曲线准线方程：
2 1
3
ax c
十五、排列与组合
2001 年
(12) 有 5 部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中 2 部手机来自同一厂家，则此 2 部手机恰好相邻
的排法总数为（ ）
(A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60
解法一 分步法
①将同一厂家的 2 部手机看成“一”部手机，从“四”部手机任选“四”部的排列数为 4
4P ；
②被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列，排列数为 2
2P 。
根据分步计数原理，总排列数为 4 2
4 2P P =48( )种
解法二 分类法
将同一厂家的 2 部手机看成手机“1 ”.
①手机“1 ”排在 1 位，有 3
3P 种排法（1 2 3 4，，，、1 2 4 3，，，1 3 2 4，，，、1 3 4 2，，，、1 4 2 3，，，、1 4 3 2，，，）；
②手机“1 ”排在 2 位，有 3
3P 种排法；
③手机“1 ”排在 3 位，有 3
3P 种排法；
④手机“1 ”排在 4 位，有 3
3P 种排法；
上述排法共 24 种，每种排法中手机“1 ”各有二种排法，故总排列数为： 24 2=48( ) 种
2002 年
（11） 用 0，1，2，3 可组成没有重复数字的四位数共有（ ）
（A）6 个 （B）12 个 （C）18 个 （D）24 个
解法一 ①从 0，1，2，3 这四个数字中取出四个数字的总排列数为 4
4P ；
②将 0 排在首位的排列数为 3
3P ，而 0 不能排在首位；
总排列数 4
4P 减去 0 排在首位的排列数 3
4P 即为所求。因此，用 0，1，2，3 可组成没有重
复数字的四位数的个数为 4 3
4 3P P =4 3 2 1 3 2 1=18 个（ ）
解法二 第一步：从 1，2，3 这三个数字中任取一个排在第一位，有 1
3P 种取法；
第二步：从剩下的三个数字中任取一个排在第二位，有 1
3P 种取法；
第三步：从剩下的二个数字中任取一个排在第三位，有 1
2P 种取法；
第四步：从剩下的一个数字中任取一个排在第四位，有 1
1P 种取法.
x
y
右准线左准线
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有 1 1 1 1
3 3 2 1P P P P 个 。
1 1 1 1
3 3 2 1P P P P =3 3 2 1=18 个（ ）.
解法三 第一步：从 1，2，3 这三个数字中任取一个排在第一位，有 1
3P 种取法；
第二步：把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位，有 3
3P 种取法；
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有 1 3
3 3P P 个 。
1 3
3 3P P =3 3 2 1=18 个（ ）
解法四 第一类：把 0 固定在个位上，1，2，3 排在千位、百位、十位的排法有 3
3P ；
第二类：把 0 固定在十位上，1，2，3 排在千位、百位、个位的排法有 3
3P ；
第三类：把 0 固定在百位上，1，2，3 排在千位、十位、个位的排法有 3
3P ；
根据分类计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数共有：
3 3 3 3
3 3 3 3P P P =3P =3 3 2 1=18 个（ ）
2003 年
（7）用 0，1，2，3，4 组成的没有重复数字的不同 3 位数共有
（A）64 个 （B）16 个 （C）48 个 （D）12 个
解法一 ①从 0，1，2，3，4 这五个数字中取出三个数字的总排列数为 3
5P ；
②将 0 排在首位的排列数为 2
4P ，而 0 不能排在首位；
总排列数 3
5P 减去 0 排在首位的排列数 2
4P 即为所求。因此，用 0，1，2，3 可组成没有重复数
字的四位数的个数为 3 2
5 4P P =5 4 3 4 3=48 个（ ）
解法二 第一步：.从 1，2，3，4 这四个数字中任取一个排在第一位，有 1
4P 种取法；
第二步：从剩下的四个数字（含 0）中任取一个排在第二位，有 1
4P 种取法；
第三步：从剩下的三个数字中任取一个排在第三位，有 1
3P 种取法；
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有 1 1 1
4 4 3P P P 个 。
1 1 1
4 4 3P P P =4 4 3=48 个（ ）.
解法三 第一步：从 1，2，3，4 这四个数字中任取一个排在第一位，有 1
4P 种取法；
第二步：从剩下的四个数字（含 0）中任取二个排在十位、个位，有 2
4P 种取法；
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有 1 2
4 4P P 个 。
1 2
4 4P P =4 4 3=48 个（ ）
解法四 第一类：把 0 固定在个位上，1，2，3，4 中任取二个排在百位、十位的排法有 2
4P ；
第二类：把 0 固定在十位上，1，2，3，4 中任取二个排在百位、个位的排法有 2
4P ；
第三类：0 不参加排列，1，2，3，4 中任取三个的排法有 3
4P ；
根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：
2 3
4 42P P =2 4 3+4 3 2=48 个（ ）
解法五 列举法(麻烦且容易漏列，但直接明了)
第一类：1 排在百位的数是102 103 104 120 123 124 130 132 134 140 142 143， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 12 个；
第二类：2 排在百位，与 1 排在百位同理，2 排在百位的数也是 12 个；
第三类：3 排在百位，与 1 排在百位同理，2 排在百位的数也是 12 个；
第四类：4 排在百位，与 1 排在百位同理，2 排在百位的数也是 12 个；
根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：12 4=48 个。
2004 年
（8）十位同学互赠贺卡，每人给其他同学各寄出贺卡一张，那么他们共寄出贺卡的张数是
（A）50 （B）100 （C） 1010 （D）90（ 2
102C ）
2005 年
（11）从 4 本不同的书中任意选出 2 本，不同的选法共有
（A）12 种 （B）8 种 （C）6 种 （ 2
4C ） （D）4 种
2006 年
（11）4 个人排成一行，其中甲、乙两人总排在一起，则不同的排法有
（A）种 （B）种 （C）种 （ 3 2
3 2P P ） （D）种
2007 年
（16）在一次共有 20 人参加的老同学聚会上，如果每二人握手一次，那么这次聚会共握手多少次？
（A）400 （B）380 （C）240 （D）190 2
20C
2008 年
（12）某学生从 6 门课程中选修 3 门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有
（A）4 种 （B）8 种 （C）10 种 （D）20 种
（甲课程必选，从其他 5 门课程任选 2 门的组合数为 2
5
( -1) ( - 1) 5 4 10! 2
m
n
m
m
P n n n mC P m
… ）
十六、概率与统计初步
2001 年
(15)任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是（ ）
(A)
4
1 (B)
3
1 (C)
4
3 (D)
8
3 1 1 3 1
3 3(1) 0.5 (1 0.5) 3/8P C
2002 年
（15） 袋中装有 3 只黑球，2 只白球，一次取出 2 只球，恰好黑白各一只的概率是（ ）
（A）
5
1 （B）
10
3 （C）
5
2 （D）
5
3 1 1
3 2
2
5
P P
C
（19）设离散型随机变量 的概率分布列是
－2 0 1 2
p 0．3 0．2 0．1 0．4
则 的数学期望是 0.3 （ 0.2 0.3+0 0.2+1 0.1+2 0.4 ）。
2003 年
（12）从 3 个男生和 3 个女生中选出二个学生参加文艺汇演，选出的全是女生的概率是
（A） 1
5
2
3
2
6
C
C
（B） 1
10
（C） 1
4
（D） 1
3
（18）某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的 10 场比赛，其得分情况如下
99， 104， 87， 88， 96， 94， 100， 92， 108， 110
则该篮球队得分的样本方差为 56.16
2004 年
（11）掷两枚硬币，它们的币值面都朝上的概率是
（A） 1
2
（B） 1
3
（C） 1
4
（D） 1
8
（19）从篮球队中随机选出 5 名队员，他们的身高分别为（单位 cm）
180， 188， 200， 195， 187
则身高的样本方差为 47.6
2005 年
（15）8 名选手在 8 条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有 2 名中国选手。按随机抽签的方式决定选手
的跑道，2 名中国选手在相邻的跑道上的概率为
（A） 1
2
（B） 1
4
7
7
8
8
2P
P
（C） 1
8
（D） 1
16
（19）从一批袋装食品中抽取 5 袋分别称重，结果（单位：g）如下：
98.6，100.1，101.4，99.5，102.2
该样品的方差为 1.7 （ 2g ）（精确到 0.1 2g ）
列表求解如下：
ix 98.6 100.1 101.4 99.5 102.2
x 1(98.6+100.1+101.4+99.5+102.2)=100.365
ix x 1.76 0.26 1.04 0.86 1.84
2
ix x 3.0976 0.0676 1.0816 0.7396 3.3856
2s 2 2
1
1 1( ) (3.0976 0.0676 1.0816 0.7396 3.3856) 1.7
n
i
i
s x xn n
2006 年
（16）两个盒子内各有三个同样的小球，每个盒子内的小球分别标有 1，2，3 这三个数字，从两个盒子中
分别任意取出一个小球，则取出的两个球上所标示数字的和为 3 的概率是
（A） 1
9
（B） 2
9
( 1 1
3 3P ) （C） 1
3
（D） 2
3
（21）任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球 8 个，它们的外径分别是（单位 mm）
13.7 12.9 14.5 13.8 13.3 12.7 13.5 13.6
则该样本的方差为 0.2725
2007 年
（17）已知甲打中靶心的概率为 0.8，乙打中靶心的概率为 0.9，两人各打靶一次，则两人都打不中的概率为
（A）0.01 （B）0.02 (1 0.8)(1 0.9) （C）0.28 （D）0.72
（20）经验表明，某种药物的固定剂量会使人心率增加，现有 8 个病人服用同一剂量的这种药物，心率增
加的次数分别为 13 15 14 10 8 12 13 11
则该样本的方差为 4.5
2008 年
（16）5 个人排成一行，则甲排在中间的概率是
（A） 1
2
（B） 2
5
（C） 1
5
（D） 1
10
（21）用一仪器对一物体的长度重复测量 5 次，得结果(单位:cm)如下:
1004 1001 998 999 1003
则该样本的样本方差为 5.2 cm2
