2011年北京市高考理科数学试题及答案

2011年北京市高考理科数学试题及答案

‎ 2011年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合，.若,则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）复数 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 开 始 ‎（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ 是 ‎（D）‎ 否 输出 结 束 ‎（5）如图，分别与圆切于点，延长与圆交于另一点。‎ 给出下列三个结论：‎ ① ‎；‎ ② ‎；‎ ③ ‎ ‎ 其中，正确结论的序号是 ‎ （A）① ② （B）② ③‎ ‎ （C）① ③ （D）① ② ③‎ ‎（6）根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时15分钟， ‎ 那么和的值分别是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中 ‎ 最大的是 ‎4‎ （A） ‎8‎ ‎3‎ ‎4‎ 侧（左）视图 正（主）视图 ‎（B）‎ ‎ （C） 10‎ 俯视图 ‎（D）‎ ‎（8）设，，，（），记为平行四边形内 部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的 值域为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）在中，若，，则 ； 。‎ ‎（10）已知向量，，，若与共线，则 。‎ ‎（11）在等比数列中，若，，则公比 ；‎ ‎ 。‎ ‎（12）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个。‎ ‎ （用数字作答）‎ ‎（13）已知函数过关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 。‎ ‎（14）曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点 的轨迹，给出下列三个结论：‎ ① 曲线过坐标原点；‎ ② 曲线关于坐标原点对称；‎ ③ 若点在曲线上，则的面积不大于；‎ 其中，所有正确结论的序号是 。‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题共13分）‎ 已知函数，‎ ‎（I）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（16）（本小题共14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，底面 是菱形，。‎ ‎（I）求证：平面 ‎（Ⅱ）若，求与所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长；‎ ‎（17）（本小题共13分）‎ 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以表示。‎ 乙 组 甲 组 ‎ 9 9 0 8 9‎ ‎ 1 1 1 0‎ ‎（I）如果，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；‎ ‎（Ⅱ）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望；‎ 注：方差，其中为的平均数 ‎（18）（本小题共13分）‎ ‎ ‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围；‎ ‎（19）（本小题共14分）‎ 已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及离心率；‎ ‎（Ⅱ）将表示为的函数，并求的最大值；‎ ‎（20）（本小题共13分）‎ 若数列（）满足，则称为数列，记。‎ ‎（Ⅰ）写出一个满足，且的数列；‎ ‎（Ⅱ）若，证明数列是递增数列的充要条件是；‎ ‎（Ⅲ）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得，如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由。‎ ‎2011年北京市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1．C 2．A 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．C 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9．；2． 10．1 11．﹣2，‎ ‎12．14　 13．（0，1） 14．②③‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎15．解：（Ⅰ）∵‎ ‎=4cosx（）﹣1‎ ‎=sin2x+2cos2x﹣1‎ ‎=sin2x+cos2x ‎=2sin（2x+）‎ 所以函数的最小正周期为π ‎（Ⅱ）∵﹣≤x≤，‎ ‎∴﹣≤2x+≤‎ ‎∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2‎ 当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1‎ ‎16．解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，‎ 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC ‎（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，‎ 所以BO=1，AO=OC=，‎ 以O为坐标原点，分别以OB，OC，为x轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则 P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）‎ 所以，‎ 设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|‎ ‎（III）由（II）知，设，‎ 则 设平面PBC的法向量=（x，y，z）‎ 则=0，‎ 所以令，‎ 平面PBC的法向量所以，‎ 同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，‎ 所以=0，即﹣6+=0，解得t=，‎ 所以PA=．‎ ‎17．解：（I）当X=8，乙组同学植树棵树是8，8，9，10‎ 平均数是=‎ 方差为+=‎ ‎（II）当X=9时，甲同学的指数棵树是9，9，11，11；‎ 乙组同学的植树棵树是9，8，9，10，‎ 分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有4×4=16种结果，‎ 这两名同学植树的总棵树Y可能是17，18，19，20，21，‎ 事件Y=17，表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，‎ ‎∴P（Y=17）= P（Y=18）= P（Y=19）= P（Y=20）=， P（Y=21）=‎ ‎∴随机变量的期望是EY==19‎ ‎18．解：（Ⅰ）=，‎ 令f′（x）=0，得x=±k 当k＞0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：‎ 所以，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣k），和（k，+∞），单调递减区间是（﹣k，k）；‎ 当k＜0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：‎ 所以，f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k），和（﹣k，+∞），单调递增区间是（k，﹣k）；‎ ‎（Ⅱ）当k＞0时，，∵f（k+1）=，‎ ‎∴不会有任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，‎ 当k＜0时，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（﹣k）=，‎ ‎∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤，⇔f（﹣k）=≤，‎ 解得﹣，‎ 故对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，k的取值范围是﹣．‎ ‎19．解：（I）由题意得a=2，b=1，所以c=∴椭圆G的焦点坐标 离心率e=．‎ ‎（II）由题意知：|m|≥1，‎ 当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，） 点B（1，﹣） 此时|AB|=；‎ 当m=﹣1时，同理可得|AB|=；‎ 当m≠±1时，设切线l的方程为：y=k（x﹣m），由⇒（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=‎ 又由l与圆圆x2+y2=1相切∴圆心到直线l的距离等于圆的半径即=1⇒m=，‎ 所以|AB|=‎ ‎==，由于当m=±1时，|AB|=，‎ 当m≠±1时，|AB|=，此时m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） ‎ 又|AB|=≤2（当且仅当m=±时，|AB|=2），‎ 所以，|AB|的最大值为2．‎ 故|AB|的最大值为2．‎ ‎20．解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列An是递增数列 ‎ 所以ak+1﹣ak=1（k=1，2，…，1999）‎ ‎ 所以An是首项为12，公差为1的等差数列．‎ ‎ 所以a2000=12+（2000﹣1）×1=2011‎ ‎ 充分性：由于a2000﹣a1999≤1‎ ‎ a1999﹣a1998≤1‎ ‎ …‎ ‎ a2﹣a1≤1，‎ ‎ 所以a2000﹣a1≤1999，即a2000≤a1+1999‎ ‎ 又因为a1=12，a2000=2011‎ ‎ 所以a2000=a1+1999‎ ‎ 故ak+1﹣ak=1＞0（k=1，2，…，1999），即An是递增数列．‎ ‎ 综上所述，结论成立．‎ ‎（Ⅲ）设ck=ak+1﹣ak（k=1，2，…，n﹣1），则ck=±1‎ 因为a2=a1+c1‎ ‎ a3=a1+c1+c2‎ ‎…‎ ‎ an=a1+c1+c2+…+cn﹣1‎ 所以S（An）=na1+（n﹣1）c1+（n﹣2）c2+（n﹣3）c3+…+cn﹣1‎ ‎=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1﹣[（1﹣c1）（n﹣1）+（1﹣c2）（n﹣2）+…+（1﹣cn﹣1）]‎ ‎=‎ 因为ck=±1，所以1﹣ck为偶数（k=1，2，…，n﹣1））‎ 所以（1﹣c1）（n﹣1）+（1﹣c2）（n﹣2）+…+（1﹣cn﹣1）为偶数 所以要使S（An）=0，必须=使为偶数 即4整除n（n﹣1），亦即n=4m或n=4m+1（m∈N*）‎ 当n=4m（m∈N*）时，E数列An的项满足a4k+1=a4k﹣1=0，a4k﹣2=﹣1，a4k=1（k=1，2，…，n﹣1））‎ 此时，有a1=0且S（An）=0成立 当n=4m+1（m∈N*）时，E数列An的项满足a4k+1=a4k﹣1=0a4k﹣2=﹣1a4k=1（k=1，2，…，n﹣1））‎ a4k+1=0时，亦有a1=0且S（An）=0成立 当n=4m+2或n=4m+3（m∈N*）（m∈N*）时，n（n﹣1）不能被4整除，此时不存在数列数列An，使得a1=0且S（An）=0成立