（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 专题能力训练18 直线与圆锥曲线 理

（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 专题能力训练18 直线与圆锥曲线 理

专题能力训练18　直线与圆锥曲线 一、能力突破训练 ‎1.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BMw经过OE的中点,则C的离心率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎3.如果与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为(　　)‎ A.4 B‎.2‎ C.2 D.‎ ‎4.(2018全国Ⅰ,理11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= (　　)‎ A. B‎.3 ‎C.2 D.4‎ ‎5.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为　　　　　. ‎ ‎6.(2018全国Ⅰ,理19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).‎ 14‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.‎ ‎7.‎ 如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.‎ ‎(1)求直线AP斜率的取值范围;‎ ‎(2)求|PA|·|PQ|的最大值.‎ 14‎ ‎8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.‎ 14‎ ‎9.(2018全国Ⅱ,理19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程.‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 14‎ 二、思维提升训练 ‎10.(2018全国Ⅲ,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k=　　　　　. ‎ ‎11.定长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,动点P满足=2.‎ ‎ (1)求点P的轨迹曲线C的方程;‎ ‎ (2)若过点(1,0)的直线与曲线C交于M,N两点,求的最大值.‎ ‎12.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ 14‎ ‎13.(2018全国Ⅲ,理20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).‎ ‎(1)证明:k<-;‎ ‎(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.‎ 14‎ 专题能力训练18　直线与圆锥曲线 一、能力突破训练 ‎1.A　解析 由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.‎ 设OE的中点为G,‎ 由△OBG∽△FBM,得,‎ 即,整理,得,‎ 故椭圆的离心率e=,故选A.‎ ‎2.B　解析 抛物线x2=4y的焦点为(0,1),双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,所以=2,双曲线的渐近线为y=±x=±2x,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是故选B.‎ ‎3.C　解析 设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2=2.‎ ‎4.B　解析 由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.‎ 不妨设∠OMN=90°,则|MN|=|OM|.‎ 又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos 30°=,所以|MN|=3.‎ ‎5　解析 双曲线的渐近线为y=±x.由得A 14‎ 由得B ‎∵F为△OAB的垂心,∴kAF·kOB=-1.‎ 即=-1,解得,‎ ‎,即可得e=‎ ‎6.解 (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.‎ 由已知可得,点A的坐标为 所以AM的方程为y=-x+或y=x-‎ ‎(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,‎ 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=‎ 由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得 kMA+kMB=‎ 将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,‎ 所以x1+x2=,x1x2=‎ 则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.‎ 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.‎ 综上,∠OMA=∠OMB.‎ 14‎ ‎7.解 (1)设直线AP的斜率为k,k==x-,‎ 因为-0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=‎ 由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得 因此所求圆的方程为 14‎ ‎(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ 二、思维提升训练 ‎10.2　解析 设直线AB:x=my+1,‎ 联立y2-4my-4=0,‎ y1+y2=‎4m,y1y2=-4.‎ 而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),‎ ‎=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).‎ ‎∵∠AMB=90°,‎ ‎=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)‎ ‎=(m2+1)y1y2+(‎2m-1)(y1+y2)+5‎ ‎=-4(m2+1)+(‎2m-1)‎4m+5‎ ‎=‎4m2-4m+1=0.‎ ‎∴m=k==2.‎ ‎11.解 (1)设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),‎ 由=2得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),‎ 即 因为=9,所以+(3y)2=9,化简,得+y2=1,‎ 所以点P的轨迹方程为+y2=1.‎ ‎(2)当过点(1,0)的直线为y=0时,=(2,0)·(-2,0)=-4,‎ 14‎ 当过点(1,0)的直线不为y=0时,可设为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立并化简,得(t2+4)y2+2ty-3=0,‎ 由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-,‎ ‎=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)+t+1==-4+‎ 又由Δ=4t2+12(t2+4)=16t2+48>0恒成立,所以t∈R,‎ 对于上式,当t=0时,()max=‎ 综上所述,的最大值为 ‎12.解 (1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,‎ 故∠EBD=∠ACD=∠ADC.‎ 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.‎ 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,‎ 从而|AD|=4,‎ 所以|EA|+|EB|=4.‎ 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,‎ 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为=1(y≠0).‎ ‎(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为 y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 所以|MN|=|x1-x2|=‎ 过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,‎ 14‎ 所以|PQ|=2=4‎ 故四边形MPNQ的面积 S=|MN||PQ|=12‎ 可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).‎ 当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.‎ 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).‎ ‎13.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.‎ 两式相减,并由=k得k=0.‎ 由题设知=1,=m,于是k=- ①‎ 由题设得0

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