湖南师范大学附属中学高三下学期高考模拟三数学文试题

湖南师范大学附属中学高三下学期高考模拟三数学文试题

‎ ‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数对应的点在直线上，则实数的值为（ ）‎ A．0 B．‎1 C．-1 D．3‎ ‎2.若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 的值等于（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B．‎8 C． D．‎ ‎5.已知点的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数取得最小值的最优解有无数个，则的取值为（ ）‎ A．1 B．‎2 C．6 D．8‎ ‎6.如图是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.直线与椭圆恒有交点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在处南偏西30°且相距20海里的处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往处求助，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.设命题，使，则使得为真命题的一个充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.如图，在等腰直角三角形中，设向量为边上靠近点的四等分点，过点作的垂线，点为垂线上任意一点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知正项数列满足，且，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其回归直线方程是，且，请估算时，____________．‎ ‎14.已知立方体分别是棱，中点，从中任取两点确定的直线中，与平面平行的有__________条．‎ ‎15.在数列中，若存在一个确定的正整数，对任意满足，则称是周期数列，叫做它的周期．已知数列满足 ‎，当数列的周期为3时，则的前2016项的和___________．‎ ‎16.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是_____________．‎ 三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 某中学的高三一班中男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．‎ ‎（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；‎ ‎（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；‎ ‎（3）在（2）中的实验结束后，第一次做实验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 已知向量，设函数．‎ ‎（1）若，求的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积的最大值．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，平面平面，四边形平行四边形，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知圆，点是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段 的垂直平分线和半径相交于点 .‎ ‎（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹曲线的方程；‎ ‎（2）若直线是过点且相互垂直的两条直线，其中直线交曲线于两点，直线与圆相交于两点，求四边形面积等于14时直线的方程．‎ ‎21. （本小题满分 12分）‎ 已知．‎ ‎（1）若是的极值点，讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：在定义域内无零点．‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知为圆的一条直径，以端点为圆心的圆交直线于两点，交圆于两点，过点作垂直于的直线，交直线于点．‎ ‎（1）求证：四点共圆；‎ ‎（2）若，求外接圆的半径．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线 是过点，倾斜角为的直线，以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的一个参数方程；‎ ‎（2）曲线与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．‎ 参考答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎1. 【解析】因为，对应的点为，所以，选．‎ ‎2. 【解析】取，排除选项，取，排除选项，取，排除选项，显然，对不等式的两边同时乘成立，故选．‎ ‎3. 【解析】故选．‎ ‎4. 【解析】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的正方形，右侧面是腰长为的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积，选．‎ ‎5. 【解析】当时，，当时，目标函数在线段上的所有点处都取得最小值，∴，选．‎ ‎6. 【解析】由题意知，，∵，∴，∴，∵，∴的离心率是，选 ‎7. 【解析】恒过点，由点在椭圆内或椭圆上得：‎ 得且，选.‎ ‎8. 【解析】在中，．‎ 由余弦定理，得，所以．‎ ‎10. 【解析】以点为原点建立直角坐标系，所以，不妨设取点，∴，故选．‎ ‎11. 【解析】∵，∴，∴.‎ ‎∴，‎ ‎∵恒成立，∴，故选.‎ ‎12. 【解析】由，可知函数图像关于对称，又因为为偶函数，所以函数图像关于轴对称.所以函数的周期为2，要使函数有且仅有三个零点，即函数和函数图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，，故正确.‎ 二、填空题 ‎13. 【解析】由题意知，故样本中心为，代入回归直线方程，得．所以时，．‎ ‎14．6【解析】连接，∵，∴四点共面，由，可得平面与平面平行，所以符合条件的共6条.‎ ‎15. 1344 【解析】∵，∴.‎ ‎16. 【解析】令，‎ ‎∴，‎ 设，令，∴，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴当时，，∴函数有零点需满足，即．‎ 三、 解答题 ‎17.【解析】（1）由题意可知，抽样比，所以某同学被抽到的概率为.‎ 课外兴趣小组中男同学（人），女同学1（人）……………………………………………2分 ‎（2）把3名男同学和1名女同学分别记为，则选取两名同学的基本事件有，共12个，其中恰有一名女同学的有6个.‎ 所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为…………………………7分 ‎（3）由题意可知两名同学做实验得到的数据的平均数及方差分别为：‎ 由于，因此，第二位同学的实验更稳定…………………………………………12分 ‎18.【解析】（1）‎ ‎…………………………………3分 ‎，‎ 即，‎ 所以的单调递增区间为…………………………………………6分 ‎（2）因为，所以.‎ 又因为，所以，故，‎ 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 于是在中，，‎ 故，当且仅当时等号成立，‎ 所以的面积的最大值为………………………………………………………12分 ‎19.【解析】①∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面……………………………………………………………………………2分 平面，∴，……………………………………………3分 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴………………………………………………………4分 且，∴平面……………………………………………6分 ‎（2）‎ 设的中点为，连接，‎ ‎∵，∴………………………………………………7分 ‎∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面…………………………………………9分 ‎∵平面，‎ 所以点到平面的距离就等于点到平面的距离，‎ 即点到平面的距离为的长…………………………………………10分 ‎∴，‎ ‎∵，………………………………………11分 ‎∴，即三棱锥的体积为…………………………………12分 ‎20.【解析】（1）连接，∵，∴，‎ 故点的轨迹是以点为焦点，为长轴的椭圆，‎ 所以，‎ 点的轨迹曲线的方程为：…………………………………………………5分 ‎（2）①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为：，直线的方程为：，故，∴，不合题意，故直线的斜率存在．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，‎ ‎∴.‎ 联立，‎ ‎∴，‎ ‎∴，……………………………………………………8分 ‎∴，‎ ‎∴…………………………………………10分 ‎∴，∴，‎ 此时，直线的方程为或……………………………………12分 ‎21.【解析】（1）∵，由是的极值点，知，‎ 故，∴，………………………………………………………………2分 ① 当时，，则，所以在内单调递增；‎ ② 当时，，则，所以在内单调递减……………5分 ‎（2）因为函数的定义域为，‎ 当时，，∴………………………………………6分 令，令，∴，‎ ‎∴在上递减，又，，……………………………8分 ‎∴在上有唯一的零点，‎ ‎∴，∴…………………………………………9分 当时，则，所以在内单调递增；‎ 当时，则，所以在内单调递减.‎ ‎∴…………………………………11分 故当时，，故，‎ 所以当时，在定义域内无零点…………………………………………………12分 ‎22.【解析】（1）因为为圆的一条直径，‎ 所以．　‎ 又，‎ 故四点在以为直径的圆上.‎ 所以，四点共圆…………………………………………………………4分 ‎（2）由题意得与圆相切于点，‎ 由切割线定理得，‎ 即，‎ 所以，‎ 又，则，得.‎ 连接（图略），由（1）可知，为外接圆的直径.‎ ‎，‎ 故的外接圆的半径为………………………………………………………………10分 ‎23.【解析】（1）∵，∴，即曲线的普通方程为：，‎ 曲线的一个参数方程为：（为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）设，∴．‎ 把代入方程中，得：，‎ 整理得：，∴，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎24.【解析】（1）由或，‎ ‎∴或，‎ 故原不等式的解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）由，得对任意的恒成立，‎ 当时，不等式成立；‎ 当时，问题等价于对任意的非零实数恒成立，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分