高考数学 等比数列
2013年高考数学第一轮复习单元
第15讲 等比数列
一．【课标要求】
1．通过实例，理解等比数列的概念；
2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系
二．【命题走向】
等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具
预测2013年高考对本讲的考察为：
（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目；
（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；
（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力
三．【要点精讲】
1．等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。
3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）
4．等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，（错位相减法）。
说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。
四．【典例解析】
题型1：等比数列的概念
例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：四个命题中只有最后一个是真命题。
命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；
命题2中可知an+1=an×，an+1
an，即an+1>an，此时该数列为递增数列；
命题3中，若a=b=0，c∈R，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。
点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。
例2．命题1：若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；
命题2：若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0)，则数列{an}是等差数列；
命题3：若数列{an}的前n项和Sn=na－n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列；
上述三个命题中，真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解： 由命题1得，a1=a+b，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比数列，则=a，即=a，所以只有当b=－1且a≠0时，此数列才是等比数列。
由命题2得，a1=a+b+c，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差数列，则a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有当c=0时，数列{an}才是等差数列。
由命题3得，a1=a－1，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=a－1，显然{an}是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a－1≠0；即a≠1时数列{an}才又是等比数列。
点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是an=，正确判断数列{an}是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择A。
题型2：等比数列的判定
例3．已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解1】：∵等比数列中 ∴当公比为1时，， ；
当公比为时，， 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D；
【解2】：∵等比数列中 ∴
∴当公比时，；
当公比时， ∴ 故选D；
点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。
例4．设为数列的前项和，，，其中是常数．
（I） 求及；（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
解（Ⅰ）当，（）
经验，（）式成立，
（Ⅱ）成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，
题型3：等比数列的通项公式及应用
例5．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列
解：设所求的等比数列为a，aq，aq2；则2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；
解得a=2，q=3或a=，q=－5；故所求的等比数列为2，6,18或，－，。
点评：第一种解法利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。
例6．等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和
解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,, 当时,,
又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以
（2）当b=2时，, 则
相减,得
所以
例7．已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和
（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；（Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，＜
【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法
解：(1)由于
当时,
又当时
数列项与等比数列,其首项为1,公比为
(2)由(1)知
由即即
又时成立,即由于恒成立. 因此,当且仅当时,
点评：对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式，对应好首项和公比求出最终结果即可
例8．设｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3．分别求出｛an｝及｛bn｝的前10项的和S10及T10；
解：∵｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，∴a2＋a4＝2a3，b2b4＝b32．
已知a2＋a4＝b3，b2b4＝a3，∴b3＝2a3，a3＝b32．得 b3＝2b32．
∵b3≠0 ∴b3＝，a3＝．由a1＝1，a3＝知｛an｝的公差为d＝，
∴S10＝10a1＋．由b1＝1，b3＝知｛bn｝的公比为q＝或q＝．
当q＝时，，当q＝时，。
点评：本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力。
题型5：等比数列的性质
例9．（1）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（ ）
（A）33 （B）72 （C）84 （D）189
解：（1）答案：C；解：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=－3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故选C。
例10．（1）设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q。
解：（1）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，依题意设：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560。
∵S2n≠2Sn ，∴q≠1；从而 =80，且=6560。两式相除得1+qn=82 ，即qn=81。
∴a1=q－1＞0 即q＞1,从而等比数列｛an｝为递增数列，故前n项中数值最大的项为第n项。
∴a1qn-1=54,从而(q－1)qn-1=qn-qn-1=54。∴qn-1=81－54=27 ∴q==3。∴a1=q－1=2
故此数列的首为2，公比为3。
题型6：等差、等比综合问题
例11．已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。
(Ⅰ)求数列的首项和公比；
(Ⅱ)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列．求数列的前10项之和
解：(Ⅰ)依题意可知：，
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以数列的的首项为,公差，,即数列的前10项之和为155。
点评：对于出现等差、等比数列的综合问题，一定要区分开各自的公式，不要混淆。
五．【思维总结】
1．等比数列的知识要点（可类比等差数列学习）
（1）掌握等比数列定义＝q（常数）（nN），同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由an·an＋2＝来判断；
（2）等比数列的通项公式为an＝a1·qn－1；
（3）对于G 是a、b 的等差中项，则G2＝ab，G＝±；
（4）特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q＝1与q≠1两类，当q＝1时，Sn＝na1，当q≠1时，Sn＝，Sn＝。
2．等比数列的判定方法
①定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；
②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列
3．等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；
②对于等比数列，若，则，也就是：，如图所示：。
③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列
如下图所示：
