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文档介绍
2013全国各地高考理科数学9套及详解汇编一
2013 全国各地高考数学试题及详解汇编（理科●一） 目 录 1．新课标卷 1…………………………………………………………………………2 2．新课标Ⅱ卷…………………………………………………………………..……10 3. 大纲卷……………………………………………………………...………………21 4．北京卷………………………………………………………..……………………27 5．山东卷……………………………………………………………………..………37 6．陕西卷……………………………………………………………………..………41 7．湖北卷…..…………………………………………………………………………49 8．天津卷…..…………………………………………………………………………61 9．重庆卷………………………………………………………………………..……71 2013 年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合 A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－ 5＜x＜ 5｝，则 ( ) A、A∩B= B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(- ,0)∪(2,+ ), ∴A∪B=R,故选 B. 2、若复数 z 满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则 z 的虚部为 ( ) A、－4 （B）－4 5 （C）4 （D）4 5 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题. 【解析】由题知 z = | 4 3 | 3 4 i i = 2 24 3 (3 4 ) (3 4 )(3 4 ) i i i = 3 4 5 5 i ，故 z 的虚部为 4 5 ，故选 D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查， 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生 视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽 样方法是按学段分层抽样，故选 C. 4、已知双曲线 C ： 2 2 2 2 1x y a b （ 0, 0a b ）的离心率为 5 2 ，则C 的渐近线方程为 A . 1 4y x B . 1 3y x C . 1 2y x D . y x 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题. 【解析】由题知， 5 2 c a ，即 5 4 = 2 2 c a = 2 2 2 a b a ，∴ 2 2 b a = 1 4 ，∴ b a = 1 2 ，∴C 的渐近线 方程为 1 2y x ，故选 C . 5、运行如下程序框图，如果输入的 [ 1,3]t ，则输出 s 属于 A .[-3,4] B .[-5,2] C .[-4,3] D .[-2,5] 【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题. 【解析】有题意知，当 [ 1,1)t 时， 3s t [ 3,3) ，当 [1,3]t 时， 24s t t [3,4] ， ∴输出 s 属于[-3,4]，故选 A . 6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一 个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水 深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A、500π 3 cm3 B、866π 3 cm3 C、1372π 3 cm3 D、2048π 3 cm3 【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易 题. 【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的 距离为 R-2，则 2 2 2( 2) 4R R ，解得 R=5，∴球的体积为 34 5 3 =500π 3 3cm ，故选 A. 7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 1mS ＝－2， mS ＝0， 1mS ＝3，则 m ＝ ( ) A、3 B、4 C、5 D、6 【命题意图】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易 题. 【解析】有题意知 mS = 1( ) 2 mm a a =0，∴ 1a =－ ma =－（ mS - 1mS ）=－2， 1ma = 1mS - mS =3，∴公差 d = 1ma - ma =1，∴3= 1ma =－ 2 m ，∴ m =5，故选 C. 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A .16 8 B .8 8 C .16 16 D .8 16 【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体 积公式，是中档题. 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为 21 2 4 4 2 22 =16 8 ，故选 A . 9、设 m 为正整数， 2( ) mx y 展开式的二项式系数的最大值为 a ， 2 1( ) mx y 展开式的二项式系数的最大值为b ，若 13 a =7b ， 则 m ＝ ( ) A、5 B、6 C、7 D、8 【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】由题知 a = 2 m mC ，b = 1 2 1 m mC ，∴13 2 m mC =7 1 2 1 m mC ，即 13 (2 )! ! ! m m m = 7 (2 1)! ( 1)! ! m m m ， 解得 m =6，故选 B. 10、已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 ( ) A、x2 45 ＋y2 36 ＝1 B、x2 36 ＋y2 27 ＝1 C、x2 27 ＋y2 18 ＝1 D、x2 18 ＋y2 9 ＝1 【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题. 【解析】设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2x x =2， 1 2y y =－2， 2 2 1 1 2 2 1x y a b ① 2 2 2 2 2 2 1x y a b ② ①－②得 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y a b ， ∴ ABk = 1 2 1 2 y y x x = 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) b x x a y y = 2 2 b a ，又 ABk = 0 1 3 1 = 1 2 ，∴ 2 2 b a = 1 2 ，又 9= 2c = 2 2a b ， 解得 2b =9， 2a =18，∴椭圆方程为 2 2 118 9 x y ，故选 D. 11、已知函数 ( )f x = 2 2 , 0 ln( 1), 0 x x x x x ，若| ( )f x |≥ ax ，则 a 的取值范围是 A . ( ,0] B .( ,1] C .[-2,1] D .[-2,0] 【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。 【 解 析 】 ∵ | ( )f x |= 2 2 , 0 ln( 1), 0 x x x x x ， ∴ 由 | ( )f x | ≥ ax 得 ， 2 0 2 x x x ax 且 0 ln( 1) x x ax ， 由 2 0 2 x x x ax 可得 2a x ，则 a ≥-2，排除Ａ，Ｂ， 当 a =1 时，易证 ln( 1)x x 对 0x 恒成立，故 a =1 不适合，排除 C，故选 D. 12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n=1,2,3,… 若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an 2 ，cn＋1＝bn＋an 2 ，则() A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【命题意图】 【解析】B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作 答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____. 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题. 【解析】 b c = [ (1 ) ]t t b a b = 2(1 )t t a b b = 1 12 t t = 11 2 t =0，解得t = 2 . 14、若数列{ na }的前 n 项和为 Sn＝ 2 1 3 3na ，则数列{ na }的通项公式是 na =______. 【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和的关系， 是容易题. 【解析】当 n =1 时， 1a = 1S = 1 2 1 3 3a ，解得 1a =1， 当 n ≥2 时， na = 1n nS S = 2 1 3 3na －( 1 2 1 3 3na )= 1 2 2 3 3n na a ，即 na = 12 na ， ∴{ na }是首项为 1，公比为－2 的等比数列，∴ na = 1( 2)n . 15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______ 【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题， 是难题. 【解析】∵ ( )f x =sin 2cosx x = 5 2 55( sin cos )5 5x x 令 cos = 5 5 ， 2 5sin 5 ，则 ( )f x = 5(sin cos sin cos )x x = 5 sin( )x ， 当 x = 2 ,2k k z ，即 x = 2 ,2k k z 时， ( )f x 取最大值，此时 = 2 ,2k k z ，∴ cos = cos(2 )2k =sin = 2 5 5 . 16、若函数 ( )f x = 2 2(1 )( )x x ax b 的图像关于直线 x =－2对称，则 ( )f x 的最大值是 ______. 【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题. 【解析】由 ( )f x 图像关于直线 x =－2 对称，则 0= ( 1) ( 3)f f = 2 2[1 ( 3) ][( 3) 3 ]a b ， 0= (1) ( 5)f f = 2 2[1 ( 5) ][( 5) 5 ]a b ，解得 a =8，b =15， ∴ ( )f x = 2 2(1 )( 8 15)x x x ， ∴ ( )f x = 2 22 ( 8 15) (1 )(2 8)x x x x x = 3 24( 6 7 2)x x x = 4( 2)( 2 5)( 2 5)x x x 当 x ∈(－∞, 2 5 )∪(－2, 2 5 )时， ( )f x ＞0， 当 x ∈( 2 5 ,－2)∪( 2 5 ,+∞)时， ( )f x ＜0， ∴ ( )f x 在（－∞， 2 5 ）单调递增，在（ 2 5 ，－2）单调递减，在（－2， 2 5 ） 单调递增，在（ 2 5 ，+∞）单调递减，故当 x = 2 5 和 x = 2 5 时取极大值， ( 2 5)f = ( 2 5)f =16. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本小题满分12分） 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC内一点，∠BPC＝90° (1)若 PB=1 2 ，求 PA； (2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA 【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解 三角形及两角和与差公式，是容易题. 【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC= o60 ，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理得 2PA = o1 13 2 3 cos304 2 = 7 4 ，∴PA= 7 2 ； （ Ⅱ ） 设 ∠ PBA= ， 由 已 知 得 ， PB= sin ， 在 △ PBA 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， o o 3 sin sin150 sin(30 ) ，化简得， 3 cos 4sin ， ∴ tan = 3 4 ，∴ tan PBA = 3 4 . 18、（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明 AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直 的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能 力、逻辑推论证能力，是容易题. 【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE， 1A B ， 1A E ， ∵AB= 1AA ， 1BAA = 060 ，∴ 1BAA 是正三角形， ∴ 1A E ⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵ 1CE A E =E，∴AB⊥面 1CEA ， ∴AB⊥ 1AC ； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 EC⊥AB， 1EA ⊥AB， 又∵面 ABC⊥面 1 1ABB A ，面 ABC∩面 1 1ABB A =AB， ∴EC⊥面 1 1ABB A ，∴EC⊥ 1EA ， ∴EA，EC， 1EA 两两相互垂直，以 E 为坐标原点， EA 的方向为 x 轴正方向，| EA |为单位长度，建立 如图所示空间直角坐标系O xyz ， 有 题 设 知 A(1,0,0), 1A (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B( － 1,0,0), 则 BC = （ 1,0 ， 3 ）, 1BB = 1AA =(－1,0, 3 ), 1AC =(0,－ 3 , 3 ), ……9 分 设 n= ( , , )x y z 是平面 1 1CBB C 的法向量， 则 1 0 0 BC BB n n ，即 3 0 3 0 x z x y ，可取 n=（ 3 ，1，-1）， ∴ 1cos , AC n = 1 1 | AC AC n | n || 10 5 ， ∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 . ……12 分 19、（本小题满分 12 分） 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件 产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质 品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品， 则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是 否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品 作质量检验所需的费用记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望。 【命题意图】 【解析】设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A，第一次取出的 4 件产品中 全为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C，第二次取出的 1 件产品是 优质品为事件 D，这批产品通过检验为事件 E，根据题意有 E=(AB)∪(CD),且 AB 与 CD 互斥， ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= 3 2 4 4 1 1 1( ) ( )2 2 2C + 41 1( )2 2 = 3 64 .…6 分 （Ⅱ）X 的可能取值为 400,500,800，并且 P(X=400)=1- 3 3 4 4 1 1 1( ) ( )2 2 2C = 11 16 ，P(X=500)= 1 16 ，P(X=800)= 3 3 4 1 1( )2 2C = 1 4 ， ∴X 的分布列为 X 400 500 800 P 11 16 1 16 1 4 ……10 分 EX=400× 11 16 +500× 1 16 +800× 1 4 =506.25 ……12 分 (20)(本小题满分 12 分) 已知圆 M : 2 2( 1) 1x y ,圆 N : 2 2( 1) 9x y ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切， 圆心 P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长 时，求|AB|. 【命题意图】 【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M（-1，0）,半径 1r =1，圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 2r =3. 设动圆 P 的圆心为 P （ x ， y ），半径为R. （Ⅰ）∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切，∴|PM|+|PN|= 1 2( ) ( )R r r R = 1 2r r =4， 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 3 的椭圆(左 顶点除外)，其方程为 2 2 1( 2)4 3 x y x . （Ⅱ）对于曲线C上任意一点 P （ x ， y ），由于|PM|-|PN|= 2 2R ≤2，∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2. ∴当圆P的半径最长时，其方程为 2 2( 2) 4x y ， 当l 的倾斜角为 090 时，则l 与 y 轴重合，可得|AB|= 2 3 . 当l 的倾斜角不为 090 时，由 1r ≠R知l 不平行 x 轴，设l 与 x 轴的交点为Q，则 | | | | QP QM = 1 R r ， 可求得Q（-4，0），∴设l ： ( 4)y k x ，由l 于圆M相切得 2 | 3 | 1 1 k k ，解得 2 4k . 当 k = 2 4 时，将 2 24y x 代入 2 2 1( 2)4 3 x y x 并整理得 27 8 8 0x x ，解得 1,2x = 4 6 2 7 ，∴|AB|= 2 1 21 | |k x x =18 7 . 当 k =－ 2 4 时，由图形的对称性可知|AB|=18 7 ， 综上，|AB|=18 7 或|AB|= 2 3 . （21）（本小题满分共 12 分） 已知函数 ( )f x ＝ 2x ax b ， ( )g x ＝ ( )xe cx d ，若曲线 ( )y f x 和曲线 ( )y g x 都过 点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 4 2y x （Ⅰ）求 a ，b ， c ， d 的值 （Ⅱ）若 x ≥－2 时， ( )f x ≤ ( )kg x ，求 k 的取值范围。 【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、 函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】（Ⅰ）由已知得 (0) 2, (0) 2, (0) 4, (0) 4f g f g ， 而 ( )f x = 2x b ， ( )g x = ( )xe cx d c ，∴ a =4，b =2， c =2， d =2；……4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 2( ) 4 2f x x x ， ( ) 2 ( 1)xg x e x ， 设函数 ( )F x = ( ) ( )kg x f x = 22 ( 1) 4 2xke x x x （ 2x ）， ( )F x = 2 ( 2) 2 4xke x x = 2( 2)( 1)xx ke ， 有题设可得 (0)F ≥0，即 1k ， 令 ( )F x =0 得， 1x = ln k ， 2x =－2， （1）若 21 k e ，则－2＜ 1x ≤0，∴当 1( 2, )x x 时， ( )F x ＜0，当 1( , )x x 时， ( )F x ＞0，即 ( )F x 在 1( 2, )x 单调递减，在 1( , )x 单调递增，故 ( )F x 在 x = 1x 取最小 值 1( )F x ，而 1( )F x = 2 1 1 12 2 4 2x x x = 1 1( 2)x x ≥0， ∴当 x ≥－2 时， ( )F x ≥0，即 ( )f x ≤ ( )kg x 恒成立， (2)若 2k e ，则 ( )F x = 2 22 ( 2)( )xe x e e ， ∴当 x ≥－2 时， ( )F x ≥0，∴ ( )F x 在(－2,+∞)单调递增，而 ( 2)F =0， ∴当 x ≥－2 时， ( )F x ≥0，即 ( )f x ≤ ( )kg x 恒成立， (3)若 2k e ，则 ( 2)F = 22 2ke = 2 22 ( )e k e ＜0， ∴当 x ≥－2 时， ( )f x ≤ ( )kg x 不可能恒成立， 综上所述， k 的取值范围为[1, 2e ]. 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果 多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框 涂黑。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图， 直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分 线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。 （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为 1，BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求 △BCF 外接圆的半径。 【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题. 【解析】（Ⅰ）连结DE，交BC与点G. 由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠ BCE，BE=CE， 又∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE= 090 ，由勾股定理可得DB=DC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，∴BG= 3 2 . 设DE中点为O，连结BO，则∠BOG= o60 ，∠ABE=∠BCE=∠CBE= o30 ， ∴CF⊥BF， ∴Rt△BCF的外接圆半径等于 3 2 . （23）（本小题 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲 线 C1 的参数方程为 4 5cos 5 5sin x t y t (t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin 。 （Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两 曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题. 【解析】将 4 5cos 5 5sin x t y t 消去参数t ，化为普通方程 2 2( 4) ( 5) 25x y ， 即 1C ： 2 2 8 10 16 0x y x y ，将 cos sin x y 代入 2 2 8 10 16 0x y x y 得， 2 8 cos 10 sin 16 0 ， ∴ 1C 的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0 ； （Ⅱ） 2C 的普通方程为 2 2 2 0x y y ， 由 2 2 2 2 8 10 16 0 2 0 x y x y x y y 解得 1 1 x y 或 0 2 x y ，∴ 1C 与 2C 的交点的极坐标分别为 （ 2, 4 ）， (2, )2 . （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ( )f x =| 2 1| | 2 |x x a , ( )g x = 3x . （Ⅰ）当 a =2 时，求不等式 ( )f x ＜ ( )g x 的解集； （Ⅱ）设 a ＞-1,且当 x ∈[ 2 a ， 1 2 )时， ( )f x ≤ ( )g x ,求 a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围，是容易题. 【解析】当 a =-2时，不等式 ( )f x ＜ ( )g x 化为| 2 1| | 2 2 | 3 0x x x ， 设函数 y =| 2 1| | 2 2 | 3x x x ， y = 15 , 2 12, 12 3 6, 1 x x x x x x ， 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当 (0,2)x 时， y ＜0，∴原不等式解集是 { | 0 2}x x . （Ⅱ）当 x ∈[ 2 a ，1 2 )时， ( )f x =1 a ，不等式 ( )f x ≤ ( )g x 化为1 3a x ， ∴ 2x a 对 x ∈[ 2 a ， 1 2 )都成立，故 2 a 2a ，即 a ≤ 4 3 ， ∴ a 的取值范围为（-1， 4 3 ]. 2013 年全国新课标 2 卷理数试题答案及解析 一、选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则 M∩N= （ ） （A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝ （C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2， 3} 答案：A [ 解 析 ] 该 题 主 要 考 查 集 合 交 集 运 算 与 不 等 式 的 解 法 ， 由 }31|{},4)1(|{ 2 xxRxxxM 所以由交集的定义可知 }2,1,0{ NM （2）设复数 z 满足（1-i）z=2 i，则 z= （ ） （A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i 答案：A [ 解 析 ] 本 题 主 要 考 查 复 数 的 基 本 运 算 ， 由 题 目 中 的 表 达 式 可 得 iii ii i iz 1)1)(1( )1(2 1 2 （3）等比数列｛an｝的前 n 项和为 nS ，已知 123 10aaS ， 95 a ，则 1a （ ） （A） 1 3 （B） 1 3 （C） 1 9 （D） 1 9 答案：C [ 解 析 ] 本 题 主 要 考 查 等 比 数 列 的 基 本 公 式 的 运 用 ， 由 题 中 123 10aaS 得 出 12321 10aaaaa ，从而就有 99 1 32 13 a aqaa ，又由 9 19 1 4 15 aqaa 4、已知 ,m n 为异面直线， m 平面 ， n 平面 。直线l 满足 l m ，l n ，l ， l ，则（ ） （A） / / 且 / /l （B） 且l （C） 与 相交，且交线垂直于l （D） 与 相交，且交线平行于l 答案：D [解析]本题主要考查空间线面关系的判定，若 // ，由题中条件可知 nm // ，与题中 nm, 为异面直线矛盾，故 A 错；若 l 则有 nl // ，与题设条件 nl 矛盾，故 B 错；由于 nm , ，则 nm, 都垂直于 , 的交线，而 nm和 是两条异面直线，可将 m 平移至与 n 相交，此时确定一个平面 ，则 , 的交线垂直于平面 ，同理也有 l ，故l 平行于 , 的交线，D 正确 C 错。 （5）已知 5)1)(1( xax 的展开式中 2x 的系数为 5，则 a = （A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1 答案：D [解析]本题考查二项式展开式中各项系数的确定，因为 5)1( x 的展开式中的通项可表示为 rr r xCT 51 ， 从 而 有 5)1( x 中 xx 与2 的 系 数 分 别 为 510 1 5 2 5 CC 和 ， 所 以 原 式 555 )1()1()1)(1( xaxxxax 中 2x 系数为 15510 aa . （6）执行右面的程序框图，如果输入的 N=10，那么输出的 s= 执行右面的程序框图，如果输入的 10N ，那么输出的 S （ ） （A） 1 1 11 2 3 10 （B） 1 1 11 2! 3! 10! （C） 1 1 11 2 3 11 （D） 1 1 11 2! 3! 11! 答案：B [解析]该题考查程序的输出结果，重点是了解算法中循环结构的功能， k TT 的计算结果是 ! 1 k ， TSS 是求和的算法语句，结合以上两点， 当 10N 时， 11k 时结束循环，所以应该选 B。 （7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0）， （1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到 正视图可以为 答案：A [解析]该题考查三视图与空间坐标系综合应用，由点确定的坐标可以确定该图的直观图如 下： 从右到左投影到 xoz 平面的正投影为 A。 （8）设 6 3loga ， 10 5logb ， 14 7logc 则 （A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c 答案：D [ 解 析 ] 本 题 考 查 对 数 比 较 大 小 的 问 题 ， 将 题 中 的 条 件 进 行 变 形 可 知 2 3 2 3 3 3 6 3 log1logloglog a ， 2 5 2 5 5 5 10 5 log1logloglog b ， 2 7 2 7 7 7 14 7 log1logloglog c ， 又因为 2 7 2 5 2 3 logloglog ，所以有 cba 。 （9）已知 a＞0，x，y 满足约束条件 1 3 ( 3) x x y y a x ,若 z=2x+y 的最小值为 1，则 a= (A) 4 1 (B) 2 1 (C)1 (D)2 答案：B [解析]本题考查线性规划的应用，题目给出的可行域含有参数 a ，由于直线 )3( xay 过 定点 )0,3( 且 0a ，所以可行域如图所示。当直线 2x+y=z 过 x=1 与 y=a(x-3)的交点(1,-2a) 时 z 取得最小值 1，所以有 122 a ， 2 1a （10）已知函数 cbxaxxxf 23)( ，下列结论中错误的是 （A） 0)( 00 xfRx 使 （B）函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 （C）若 0x 是 )(xf 的极小值点，则 )(xf 在区间（-∞, 0x ）单调递减 （D）若 0x 是 )(xf 的极值点，则 )(' 0xf =0 答案：C [解析]本题主要考查对三次函数图像的理解，该三次函数的大至图像如下图： 当 x 趋于负无穷大时，函数值为负，当 x 趋于正无穷大时，函数值为正，而该函数在 R 是连 续的，所以就有 0)( 00 xfRx 使 ，A 的说法正确；函数 cbxaxxxf 23)( 可以由 函数 3)( xxg 经过平移得到，而 )(xg 关于原点对称，故 )(xf 是关于中心对称的图形，B 的说法正确；由极值点的定义，D 说法正确；由三次函数图像可知，若 0x 是 )(xf 的极小值 点，则 )(xf 在区间（-∞, 0x ）不单调，故 C 说法错，选 C。 （11）设抛物线 )0(22 ppxy 的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|=5 若以 MF 为直径的园过 点（0，3），则 C 的方程为 （A） xy 42 或 xy 82 （B） xy 22 或 xy 82 （C） xy 42 或 xy 162 （D） xy 22 或 xy 162 答案：C [解析]本题是圆的方程与抛物线的综合性问题，设点 M（x,y）,圆心 B（a,b）如图， 22 5 2 '''5' pFFMMBBMFMM 得由 ，从而可以得到 B 的横坐标 2 5a ,所 以 可 以 设 圆 B 的 方 程 为 4 25)()2 5( 22 byx ， 将 点 （ 0 ， 2 ） 代 入 得 24 25)2()2 5( 22 bb ， 从 而 可 以 得 到 点 M 的 坐 标 为 )4,25( p ， 代 入 82,16102 22 pppppxy 或解得得 ，故答案选 C（注：由于图片不清楚，有人写 出该题的题设应该是 )0(32 ppxy ，无论是哪种不会影响方法的正确性） （12）已知点 A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相 等的两部分，则 b 的取值范围是 （A）（0，1） (B) 2 21( ， )2 1 ( C) 2 21( ， ]3 1 (D) 3 1[ , )2 1 答案：B [解析]设直线 y=ax+b 与直线 BC：x+y=1 的交点为 D(xD,yD),与 x 轴的交 点为 E )0,( a b ,由题意可知，要平均分割三角形，则 b>0，所以 E 点只能处于 x 轴 负半轴，当 E 在 A 点与原点之间时，如图可得△DEB 的面积为 2 1 ，联立 直线 y=ax+b 与线 BC：x+y=1 得，yD= a ba 1 ，所以有 2 1 1)1(2 1 2 1 a ba a byBES DBDE 整理得 2 1,021 2 bb ba 得 。 当 E 与 A )0,1( 点重合时，直线 y=ax+b 想平分△ABC 的面积，必须过 B、C 的中点 )2 1,2 1( ，如下图此时可确定直线 y=ax+b 的方程为 3 1 3 1 xy ， 此时 3 1b 。 当 E 点处于 A 点左侧时，如图 此时若直线 y=ax+b 想平分△ABC 的面积，则 10 a ， 10 b ，且三角形 CDF 面积为 2 1 ， 联立直线 y=ax+b 与线 BC：x+y=1 得 a bxD 1 1 ，联立直线 y=ax+b 与线 BC：x+y=1 得 a bxF 1 1 ，所以有 2 1 1 2)1(2 1))(1(2 1 2 2 abxxbS FDCDF 0)1(21 22 ba ，解 得 2 212 21 b 综上所述 2 1 2 21 b ，故答案选 B 二、填空题 （13）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE BD =_______. 答案：2 [解析]如图建立平面直角坐标系 从而有 )2,2(),2,1( BDAE ，所以 242 BDAE （14）从 n 个正整数 1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概 率为 ，则 n=________. 答案：8 [解析]本题考查古典概率的计算，由题可知所有基本事件总数为 2 )1(2 nnCn ，选出来的 正整数要求和为 5，则只能是 1+4＝5 和 2+3＝5 两种情况，所以有 8,14 12 2 nCn 解得 。 （15）设θ为第二象限角，若 tan )4( = 2 1 ，则 sinθ+cosθ=_________. 答案： 5 10 [ 解 析 ] 本 题 考 查 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 与 三 角 形 恒 等 变 换 的 问 题 ， 由 2 1 tan1 tan1)4tan( 得 3 1tan ， 又 因 为 为 第 二 象 限 角 ， 利 用 1cossin,cos sintan 22 可求得 10 103cos,10 10sin 所以有 5 10cossin （16）等差数列 na 的前 n 项和为 Sn ，已知 25,0 1510 SS ，则 nnS 的最小值为________. 答案： 2 49 [ 解 析 ] 本 题 考 查 等 差 数 列 与 导 数 的 综 合 问 题 ， 由 5213,09225,0 111510 dadaSS 得 ，联立后就可以解得 2 3,3 1 1 ad ，则 6 102 nnSn 令 6 10)( 23 nnnSnf n ，求导后可得 )203(6)(' nnnf ，因为 0n ， 故当 3 20n 时 )(nf 单调递减，当 3 20n 时， )(nf 单调递增，所以当 3 20n 时取得最小 值，又因为 n 为整数，所以当 n=6 或 n=7 时取最小， 24)6( f ， 2 49)7( f ，故最小 值为 2 49 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分） △ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=bcosC+csinB。 （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）若 b=2，求△ABC 面积的最大值。 解析：本题考查正、余弦定理的应用，解题过程如下： (1)因为 a=bcosC+csinB 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB 因为 sinC>0,所以有 cosB=sinB 从而有 B=45 º (2)由余弦定理可知： acac accab 22 45cos2222 所以有 )22(2 ac ，当且仅当 ca 取等号 122 2)22(22 1sin2 1 BacS 故面△ABC 面积的最大值为 12 。 如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， D ， E 分别是 AB ， 1BB 的中 点， 1 2 2AA AC CB AB 。 （Ⅰ）证明： 1 / /BC 平面 1 1ACD ； （Ⅱ）求二面角 1D AC E 的正弦值。 证明：（1）连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 平分 AC1 又因为 D 为 AB 的中点，所以有 FD//BC1 FD 面 A1CD BC1 面 A1CD 所以 BC1//平面 A1CD 二、因为 AC=CB= /2AB，从而有 AC2+CB2=AB2 所以 AC CB 如图建立空间直角坐标系，设 AC＝1 则各点坐标为 C（0，0，0） A1（1，0，1），D（1/2,1/2，0）,B（0，1，0） E（0，1，1/2） 则 )2 1,1,0( )0,2 1,2 1( )1,0,1(1 CE CD CA 设平面 A1CD 和平面 A1CE 的法向量分别为 ),,(),,( 22221111 zyxnzyxn 和 则 0 0 1 11 nCD nCA 0 0 2 2 nCE nCD 解得： )2,1,2(),1,1,1( 21 nn ， 3 6,sin3 3,cos 21 21 21 21 nnnn nnnn 则二面角 D-A1C-E 的正弦值为 3 6 。 （19）（本小题满分 12 分） 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润 500元，未 售出的产品，每1 t 亏损300 元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直 方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品。以 X （单位：t ， 100 150X ）表示市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的 利润。 （Ⅰ）将T 表示为 X 的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000 元的概率； （Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区 间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 [100,110)x ，则取 105X ，且 105X 的概率等于需求量落入[100,110) 的T 的数学期望。 解析：（1）当100 130X 时， 500 300 (130 ) 800 39000T X X X 当130 150X 时， 65000T 所以 T 与 X 的函数关系式为 800 39000(100 130) 65000(130 150) X XT X （2）当800 39000 57000X 时，即 120X 时，概率 P=0.7 （3）X 可能的取值为： X 105 115 125 135 145 P 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 T 45000 53000 61000 65000 65000 所 以 5940015.06500025.0650003.0610002.0530001.045000 ET ( 元 ) （20）(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b 右焦点的直线 3 0x y 交 M 于 ,A B 两点， P 为 AB 的中点，且OP 的斜率为 1 2 。 （Ⅰ）求 M 的方程； （Ⅱ） ,C D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线CD AB ，求四边形的最大值。 解析：（1）设 1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , ),A x y B x y P x y 将 A、B 代入得到 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1(1) 1(2) x y a b x y a b ，则（1）-（2）得到 2 02 1 2 1 2 0 xy y b x x a y ， 由直线 AB： 3 0x y 的斜率 k=-1 所以 2 0 2 0 1xb a y ，OP 的斜率为 0 0 1 2 x y ，所以 2 22a b 由 2 2 2a b c 得到 2 26, 3a b 所以 M 得标准方程为 2 2 16 3 x y （1） 若四边形 ACBD 的对角线CD AB ，由面积公式 ABCDS 2 1 可知， 当 CD 最长时四边形 ACBD 面积最大，由直线 AB： 3 0x y 的斜率 k=-1，设 CD 直线 方程为 mxy ，与椭圆方程 2 2 16 3 x y 联立得： 06243 22 mmxx ， 3 62,3 4 2 2121 mxxmxx 则 9 87224)(1 2 21 2 21 2 mxxxxkCD CD ，当 m=0 时 CD 最大 值为 4， 联立直线 AB： 3 0x y 与椭圆方程 2 2 16 3 x y 得 0343 2 xx 同理利用弦长公式 3 644)(1 21 2 21 2 xxxxkAB AB 3 68 2 1 maxmax ABCDS ACBD 。 （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ln( )xf x e x m 。 （Ⅰ）设 0x 是 ( )f x 的极值点，求 m ，并讨论 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）当 2m 时，证明 ( ) 0f x 。 A. mx 1-exf x X=0 是极值点 00f 即： 1m0m 1-e0 1x 1-e1x 1x 1-exf x x （x>-1） 当 )(,0)(),,0( )(,0)(,0,1-x xfxfx xfxf， X=0 处取的极小值 B. 0)( xf 恒成立，即当 m≤2 时， 0)ln( mxex 恒成立。 令： xemxmg )ln()( 即 g（m）>0 在 2,(m 上恒成立 易知，g（m）单调递减 即 g（2）>0 即： 0)2ln( xex 恒成立 令 2 1)2( 2 1)( )2ln()( x xe xexh xexh x x x 易知 1)2()( xex x 单调递增，设其零点为 x0，且 x0>—2 递增在上递减在上 ),(,),2()( 00 xxxh 且 0 0 12 01)2( 0 0 x x ex xe 01ln)2ln()()( 000 0 0 00 xeeexexhxh x x xx 即 0)( xf 恒成立 2013 年高考理科数学（大纲卷） （1）设集合 1,2,3 , 4,5 , | , , ,A B M x x a b a A b B 则 M中元素的个数为 （ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （2） 3 1+ 3i （A） 8 （B）8 （C） 8i （D）8i （3）已知向量 1,1 , 2,2 , , =m n m n m n 若 则 ( ) （A） 4 （B） -3 （C） 2 （D） -1 （4）已知函数 -1,0 2 1f x f x 的定义域为 ，则函数 的定义域为( ) （A） 1,1 （B） 11, 2 （C） -1,0 （D） 1 ,12 （5）函数 1=log 1 0f x xx 的反函数 1 =f x ( ) （A） 1 02 1x x （B） 1 02 1x x （C） 2 1x x R （D） 2 1 0x x （6）已知数列 na 满足 1 2 43 0, , 103n n na a a a 则 的前 项和等于 ( ) （A） -10-6 1-3 （B） -101 1-39 （C） -103 1-3 （D） -103 1+3 （7） 3 4 2 21 1+x y x y 的展开式中 的系数是 ( ) （A）56 （B）84 （C）112 （D）168 （8）椭圆 2 2 1 2 2: 1 , ,4 6 x yC A A P C PA 的左、右顶点分别为 点 在 上且直线 斜率的取值 范围是 12, 1 , PA 那么直线 斜率的取值范围是 ( ) （A） 1 3 2 4 ， （B） 3 3 8 4 ， （C） 1 12 ， （D） 3 14 ， （9）若函数 2 1 1= ,2f x x ax ax 在 是增函数，则 的取值范围是 ( ) （A） -1，0 （B） - 1， （C） 0，3 （D ） 3 ，+ （10）已知正四棱锥 1 1 1 1 1 12 ,ABCD A B C D AA AB CD BDC 中， 则 与平面 所成角的正弦 值等于( ) （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 1 3 （11）已知抛物线 2: 8 2,2 , CC y x M k C 与点 过 的焦点，且斜率为 的直线与 交于 , 0,A B MA MB k 两点,若 则 ( ) （A） 1 2 （B） 2 2 （C） 2 （D） 2 （12）已知函数 =cos sin 2 ,f x x x 下列结论中正确的是 ( ) （A） ,0y f x 的图像关于 中心对称 （B） 2y f x x 的图像关于 对称 （C） 3 2f x 的最大值为 （D） f x 既是奇函数，又是周期函数 （13）已知 1sin , cot3a a a 是第三象限角， 则 . （14） 6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作 答）. （15）记不等式组 0, 3 4, 3 4, x x y x y 所表示的平面区域为 .D 若直线 ( 1)y a x 与 D 有公共点， 则 a 的取值范围是 . （16）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径， 3 2OK ,且 圆O 与圆 K 所在的平面所成角为 060 , 则球O 的表面积等于 . 17．等差数列 na 的前 n 项和为 2 3 2 1 2 4. = , , ,nS S a S S S已知 且 成等比数列，求 na 的通项 式. 18．设 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c , ( )( ) .a b c a b c ac （I）求 B ;（II）若 3 1sin sin 4A C ，求 C. 19．如图，四棱锥 90 2 ,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD 中， ， 与 都是等边三角形.（I）证明： ;PB CD （II）求二面角 .A PD C 的大小 20．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时， 负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 1 ,2 各局比赛的结果都相互独立， 第1局甲当裁判. （I）求第 4 局甲当裁判的概率；（II） X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期 望. 21．已知双曲线 2 2 1 22 2: 1 0, 0x yC a b F Fa b 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为3，直 线 2 6.y C 与 的两个交点间的距离为 （I）求 , ;a b ；（II）设过 2F 的直线l 与 C 的左 右两支分别相交于 ,A B 两点，且 1 1 ,AF BF 证明： 2 2 .AF AB BF、 、 成等比数列 22．已知函数 1=ln 1 .1 x xf x x x （I）若 0 , 0,x f x 时 求 的最小值;； （II）设数列 2 1 1 1 11 , ln 2.2 3 4n n n na a a an n 的通项 证明： 参考答案（理科） 1－5 BABBA 6－10 CDBDA 11－12 DC 13. 2 2 14. 480 15. 1 ,42 16. 16 17．解：设 na 的公差为 d . 由 2 3 2S a 得 2 2 23a a ，故 2 0a 或 2 3a . 由 1 2 4, ,S S S 成等比数列得 2 2 1 4S S S . 又 1 2S a d ， 2 22S a d ， 4 24 2S a d ， 故 2 2 2 2(2 ) ( )(4 2 )a d a d a d .若 2 0a ，则 2 22d d ，所以 0d ，此时 0nS ， 不合题意；若 2 3a ，则 2(6 ) (3 )(12 2 )d d d ，解得 0d 或 2d . 因此 na 的通 项公式为 3na 或 2 1na n . 18. 解：（1）因为 ( )( )a b c a b c ac ，所以 2 2 2a c b ac ，由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac ，因此 0120B .（2）由（1）知 060A C ，所以 cos( ) cos cos sin sinA C A C A C cos cos sin sin 2sin sinA C A C A C cos( ) 2sin sinA C A C 1 3 1 322 4 2 . 故 030A C 或 030A C ，因此 015C 或 045C . 19.解：(1) 取 BC 的中点 E ，连接 DE ，则 ABED 为正方形. 过 P 作 PO 平面 ABCD ，垂足为O .连结 , , ,OA OB OD OE . 由 PAB 和 PAD 都是等边三角形知 PA PB PD ，所以OA OB OD ， 即O 点为正方形 ABCD 对角线的交点，故OE BD ，从而 PB OE . 因为O 是 BC 的中点， E 是 BC 的中点，所以 / /OE CD ，因此 PB CD . （2）解法一：由（1）知CD PB ,CD PO , PB PO P ,故CD 平面 PBD . 又 PD 平面 PBD ，所以CD PD . 取 PD 的中点 F ， PC 的中点G ,连 FG ，则 / /FG CD ， FG PD . 连接 AF ，由 APD 为等边三角形可得 AF PD .所以 AFG 为二面角 A PD C 的平 面角. 连结 ,AG EG ，则 / /EG PB .又 PB AE ，所以 EG AE . 设 2AB ，则 12 2, 12AE EG PB ，故 2 2 3AG AE EG . 在 AFG 中, 1 22FG CD , 3, 3AF AG , 所以 2 2 2 6cos 2 3 FG AF AGAFG FG AF . 因此二面角 A PD C 在大小为 6arccos 3 . 解法二：由（1）知， , ,OE OB OP 两两垂直.以O 为坐标原点，OE 的方向为 x 轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .设 2AB , 则 ( 2,0,0)A , (0, 2,0)D , (2 2, 2,0)C , (0,0, 2)P , (2 2, 2, 2)PC , (0, 2, 2)PD , ( 2,0, 2)AP , ( 2, 2,0)AD . 设平面 PCD 的法向量 1 ( , , )n x y z ，则 1 ( , , ) (2 2, 2, 2) 0n PC x y z , 1 ( , , ) (0, 2, 2) 0n PD x y z ， 可得 2 0x y z ， 0y z .取 1y ，得 0, 1x z ，故 1 (0, 1,1)n . 设平面 PAD 的法向量 2 ( , , )n m p q ，则 2 ( , , ) ( 2,0, 2) 0n AP m p q ， 2 ( , , ) ( 2, 2,0) 0n AD m p q ， 可得 0, 0m q m p .取 1m ，得 1p ， 1q ，故 2 (1,1, 1)n . 于是 1 2 1 2 1 2 6cos , 3 n nn n n n .由于 1 2,n n 等于二面角 A PD C 的平面角，所以二 面角 A PD C 在大小为 6arccos 3 . 20. 解：（1）记 1A 表示事件“第 2 局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第 3 局甲参加比赛时， 结果为甲负”, A 表示事件“第 4 局甲当裁判”. 所以 1 2A A A ， 1 2 1( ) ( ) ( ) 4P A P A P A . (2) X 的可能取值为 0,1,2. 记 3A 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， 1B 表示事件“第 1 局结果为乙胜丙”， 2B 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， 3B 表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负”. 则 1 2 3 1 2 3 1( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 8P X P B B A P B P B P A ， 1 3 1 3 1( 2) ( ) ( ) ( ) 4P X P B B P B P B ， 1 1 5( 1) 1 ( 0) ( 2) 1 8 4 8P X P X P X . 90 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2) 8EX P X P X P X . 21. 解：由题设知 3c a ，即 2 2 2 9a b a ，故 2 28b a . 所以C 的方程为 2 2 28 8x y a . 将 2y 代入上式，求得 2 1 2x a .由题设知 2 12 62a ，解得 2 1a ，所以 1a ， 2 2b . （2）由（1）知， 1 2( 3,0), (3,0)F F ，C 的方程为 2 28 8x y （*） 由题意可设l 的方程为 ( 3)y k x ， 2 2k ，代入（*）并化简得 2 2 2 2( 8) 6 9 8 0k x k x k . 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 21, 1x x ， 2 1 2 2 6 8 kx x k ， 2 1 2 2 9 8 8 kx x k . 于是 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( 3) ( 3) 8 8 (3 1)AF x y x x x , 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2( 3) ( 3) 8 8 3 1BF x y x x x . 由 1 1AF BF 得 1 2(3 1) 3 1x x ，即 1 2 2 3x x ，故 2 2 2 6 2 8 3 k k ，解得 2 4 5k ，从而 1 2 19 9x x . 由于 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1( 3) ( 3) 8 8 1 3AF x y x x x ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 3) ( 3) 8 8 3 1BF x y x x x . 故 2 2 1 22 3( ) 4AB AF BF x x ， 2 2 1 2 1 23( ) 9 1 16AF BF x x x x . 因而 2 2 2AF BF AB ，所以 2 2, ,AF AB BF 成等比数列. 22.解：（1）由已知 (0) 0f ， 2 ' ' 2 (1 2 )( ) , (0) 0(1 ) x xf x fx . 若 1 2 ，则当 0 2(1 2 )x 时， ' ( ) 0f x ，所以 ( ) 0f x . 若 1 2 ，则当 0x 时， ' ( ) 0f x ，所以当 0x 时， ( ) 0f x . 综上， 的最小 值是 1 2 . （2）令 1 2 .由（1）知，当 0x 时， ( ) 0f x ，即 (2 ) ln(1 )2 2 x x xx ，取 1x k ，则 2 1 1ln2 ( 1) k k k k k ，于是 2 1 2 1 1 1( )4 2 2( 1) n n n k x a a n k k 2 1 2 1 2 ( 1) n k x k k k 2 1 1ln n k x k k ln 2 ln ln 2n n . 所以 2 1 ln 24n na a n . 2013 北京高考理科数学试题 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则 A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1} 2.在复平面内，复数(2－i)2 对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线 y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A.1 B. 2 3 C. 13 21 D. 610 987 5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f(x)= A. 1ex B. 1ex C. 1e x D. 1e x 6.若双曲线 2 2 2 2 1x y a b 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 A.y=±2x B.y= 2x C. 1 2y x D. 2 2y x 7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A. 4 3 B.2 C. 8 3 D.16 2 3 8.设关于 x,y 的不等式组 2 1 0, 0, 0 x y x m y m 表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)满足 x0－2y0=2， 求得 m 的取值范围是 A. 4, 3 B. 1, 3 C. 2, 3 D. 5, 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分. 9.在极坐标系中，点(2， 6 )到直线ρsinθ=2 的距离等于 10.若等比数列{an}满足 a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比 q= ；前 n 项和 Sn= . 11.如图，AB 为圆 O 的直径，PA 为圆 O 的切线，PB 与圆 O 相交于 D，PA=3， 9 16 PD DB ，则 PD= ，AB= . 12.将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，如果分给同 一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 . 13.向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c=λa＋μb(λ，μ∈R) ，则 = 14.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 . 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演 2013 年普通高等学校招生统一 考试算步骤或证明过程 15. (本小题共 13 分) 在△ABC 中，a=3，b=2 6 ，∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值， (II)求 c 的值 16.( 本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量 优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的 某一天到达该市，并停留 2 天 （Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率 （Ⅱ）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望。 （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17. (本小题共 14 分) 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB=3， BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面 ABC； （Ⅱ）求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段 BC1 存在点 D，使得 AD⊥A1B，并求 1 BD BC 的值. 18. (本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C： ln xy x 在点(1，0)处的切线. (I)求 l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方 19. (本小题共 14 分) 已知 A、B、C 是椭圆 W： 2 2 14 x y 上的三个点，O 是坐标原点. (I)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 20. (本小题共 13 分) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项 1na ， 2na …的最小值记为 Bn，dn=An－Bn (I)若{an}为 2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*， 4n na a )， 写出 d1，d2，d3，d4 的值； (II)设 d 为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数 列； (III)证明：若 a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是 1 或 2，且有无穷多项为 1 要使可行域存在，必有 m<－2m+1，要求可行域内 包含直线 1 12y x 上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线 1 12y x 上方，且(-m，m) 在直线 1 12y x 下方，解不等式组 1 2 11 2 12 1 12 m m m m m m 得 m＜ 2 3 2013 年山东高考数学试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为( D ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i （2）设集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9 （3）已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+ 1 x ,则 f(-1)= ( A ) （A）-2 （B）0 （C）1 （D）2 （4）已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 9 4 ,底面积是边长为 3 的正 三角形，若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( B ) （A） 5 12 （B） 3 （C） 4 （D） 6 （5）将函数 y=sin（2x + ）的图像沿 x 轴向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的 图像，则 的一个可能取值为 B （A） 3 4 （B） 4 （C）0 （D） 4 （6）在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组： 2x y 2 0 x 2y 1 0 3x y 8 0 ，所表示的区域上一 动点，则直线 OM 斜率的最小值为 C （A）2 （B）1 （C） 1 3 （D） 1 2 （7）给定两个命题 p、q，若﹁p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是﹁q 的 B （A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要 条件 （8）函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为 D （ A ） （ B ） (C) (D) （9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方 程为 A （A）2x+y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D） 4x+y-3=0 （10）用 0，1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B （A）243 （B）252 （C）261 （D）279 （11）抛物线 C1：y= 1 2p x2(p＞0)的焦点与双曲线 C2： 2 2 13 x y 的右焦点的连 线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p= D （12）设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当 xy z 取得最大值时， 2 1 2 x y z 的最大值 为 B （A）0 （B）1 （C） 9 4 （D）3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 （13）执行右面的程序框图，若输入的 的值为 0.25，则输入的 n 的值为 3 (14)在区间[-3,3]上随机取一个数 x，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1 成立的概 率为 1 3 （15）已知向量 AB 与 AC 的夹角为120 ，且| | 3,| | 2,AB AC 若 ,AP AB AC 且 AP BC ,则实数 的值为 7 12 （16）定义“正对数”： 0, 0 1ln ln , 1 xx x x ，现有四个命题： ①若 0, 0a b ，则 ln ( ) lnba b a ②若 0, 0a b ，则 ln ( ) ln lnab a b ③若 0, 0a b ，则 ln ( ) ln lna a bb ④若 0, 0a b ，则 ln ( ) ln ln ln 2a b a b 其中的真命题有： ①③④ （写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. （17）设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+c=6，b=2，cosB= 7 9 . （Ⅰ）求 a，c 的值； （Ⅱ）求 sin（A-B）的值. 解答：（1）由 cosB= 7 9 与余弦定理得， 2 2 144 9a c ac ，又 a+c=6，解得 3a c （2）又 a=3,b=2， 4 2sin 9B 与正弦定理可得， 2 2sin 3A , 1cos 3A ， 所以 sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB= 10 227 （18）（本小题满分 12 分） 如图所示，在三棱锥 P-ABQ 中，PB⊥平面 ABQ，BA=BP=BQ，D， C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ=2BD，PD 与 EQ 交 于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH。 （Ⅰ）求证：AB//GH； （Ⅱ）求二面角 D-GH-E 的余弦值 . 解答：（1）因为 C、D 为中点，所以 CD//AB 同理：EF//AB，所以 EF//CD，EF 平面 EFQ， 所以 CD//平面 EFQ，又 CD 平面 PCD,所以 CD//GH，又 AB//CD，所以 AB//GH. (2)由 AQ=2BD，D 为 AQ 的中点可得，△ABQ 为直角三角形，以 B 为坐标原点，以 BA、BC、BP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=BP=BQ=2，可得平面 GCD 的一个法向量为 1 (0,2,1)n ，平面 EFG 的一个法向量为 2 (0,1,2)n ，可得 4 4cos 55 5 ,所以二面 角 D-GH-E 的余弦值为 4 5 （19）本小题满分 12 分 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五 局甲队获胜的概率是 1 2 外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 2 3 .假设每局比赛结果互相独 立. （1）分别求甲队以 3：0，3：1，3：2 胜利的概率 （2）若比赛结果为 3：0 或 3：1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得 2 分、对方得 1 分，求乙队得分 x 的分布列及数学期望. 解答：（1） 3 3 1 3 2 8( )3 27p C ， 2 2 2 3 2 1 2 8( )3 3 3 27p C ， 2 2 2 3 4 2 1 1 4( ) ( )3 3 2 27p C （2）由题意可知 X 的可能取值为：3,2,1,0 相应的概率依次为： 1 4 4 16, , ,9 27 27 27 ，所以 EX= 7 9 （20）（本小题满分 12 分） 设等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1 （1） 求数列｛an｝的通项公式； （2） 设数列｛bn｝的前 n 项和 Tn，且 Tn+ 1 2 n n a = λ（λ为常数），令 cn=b2n，（n∈N•）. 求数列｛cn｝的前 n 项和 Rn. 解答：（1）由 S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得， 1 1, 2a d 所以 2 1na n （2）由 Tn+ 1 2 n n a = λ可得， 1 1b ，Tn-1+ 2 2n n = λ两式相减可得，当 2n 时， 1 2 2n n nb ，所以当 0 时，cn=b2n= 1 1 4n n ，错位相减法可得，Rn= 1 4 3 1 9 9 4n n 当 0 时，cn=b2n= 1 1 1 1 24n n n n ，可得 Rn= 1 5 3 1 9 9 4n n （21）（本小题满分 13 分） 设函数 2( ) ( 2.71828x xf x c ee 是自然对数的底数， )c R . （1）求 ( )f x 的单调区间，最大值； （2）讨论关于 x 的方程| ln | ( )x f x 根的个数. 解答：（1） ' 2 1 2( ) x xf x e ，令 ' ( ) 0f x 得， 1 2x ， 当 '1( , ), ( ) 0,2x f x 函数单调递增； '1( ), ( ) 0,2x f x ， 函数单调递减；所以当 1 2x 时，函数取得最的最大值 max 1( ) 2f x ce （2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到 1 2 ce ，然后递减到 c，而函数|lnx| 是（0,1）时由正无穷递减到 0，然后又逐渐增大。 故令 f(1)=0 得， 2 1c e ， 所以当 2 1c e 时，方程有两个根； 当 2 1c e 时，方程有一两个根； 当 2 1c e 时，方程有无两个根. （22）（本小题满分 13 分） 椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b （a＞b＞0）的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 3 2 ，过 F1 且 垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M（m，0），求 m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 p 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个 公共点， 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1，k2，若 k≠0，试证明 1 2 1 1 kk kk 为定值，并求出 这个定值. 解答：（1）由已知得， 3 2 c a ， 2 2 2 22 1,b a b ca ，解得 2 24, 1a b 所以椭圆方程为： 2 2 14 x y （2）由题意可知： 1 1| || | PF PM PF PM = 2 2| || | PF PM PF PM , 1 1| | PF PM PF = 2 2| | PF PM PF ,设 0 0( , )P x y 其中 2 0 4x ，将向量坐标代入并化简得：m（ 2 3 0 0 04 16) 3 12x x x ，因为 2 0 4x ， 所以 0 3 4m x ，而 0 ( 2,2)x ，所以 3 3( , )2 2m （3）由题意可知，l 为椭圆的在 p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为： 0 0 14 x x y y ，所以 0 04 xk y ，而 0 0 1 2, 3 3 y yk k x x ，代入 1 2 1 1 kk kk 中得： 0 0 1 2 0 0 3 31 1 4( ) 8x x kk kk x x 为定值. 2013 年陕西高考试理科数学 注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。 2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应 的试卷类型信息.。 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回。 第一部分(共 50 分) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 10 小题，每 小题 5 分，共 50 分） 1. 设全集为 R, 函数 2( ) 1f x x 的定义域为 M, 则C MR 为 (A) [－1,1] (B) (－1,1) (C) , 1] [1, )( (D) , 1) (1, )( 【答案】D 【解析】 ( )f x 的定义域为 M=[-1,1],故 CRM=( , 1) (1, ) ,选 D 2. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C 【解析】故选择 C 3. 设 a, b 为向量, 则“| | | || |a ab b· ”是“a//b”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 4. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, …, 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 【答案】B 【解析】由题设可知区间[481，720]长度为 240，落在区间内的人数为 12 人。 5. 如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是 输入 x If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y 扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形 区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 (A)1 4 (B) 12 (C) 2 2 (D) 4 【答案】A 【解析】由题设可知矩形 ABCD 面积为 2，曲边形 DEBF 的面积为 2 2 故所求概率为 2 2 12 4 ，选 A. 6. 设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若 1 2| | 0zz , 则 1 2z z (B) 若 1 2z z , 则 1 2z z (C) 若 1 2| |z z , 则 21 1 2· ·z zz z (D) 若 1 2| | ||z z , 则 21 2 2z z 【答案】D 【 解 析 】 设 1 2, ,z a bi z c di 若 1 2| | 0z z ， 则 1 2| | ( ) ( )z z a c b d i ， ,a c b d ，所以 1 2z z ，故 A 项正确；若 1 2z z ，则 ,a c b d ，所以 1 2z z ，故 B 项正确；若 1 2| | | |z z ，则 2 2 2 2a b c d ，所以 1 1 2 2. .z z z z ，故 C 项正确； 7. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 cos cos sinb C c B a A , 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B 【解析】因为 cos cos sinb C c B a A ，所以由正弦定理得 2sin cos sin cos sinB C C B A ， 所以 2sin( ) sinB C A ，所以 2sin sinA A ,所以 sin 1A ，所以△ABC 是直角三角形。 8. 设函数 61 , 0 0 . ,( ) , x xf x x x x , 则当 x>0 时, [ ( )]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15 【答案】A 【解析】 61[ ( )] ( )f f x x x ，所以 3 3 3 4 6 1( ) ( ) 20T C x x 9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园(阴影部 分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围是 (A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30] 【答案】C 【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为 y，则 240 40 ADE ABC S y S ，所以 y=40-x， 又 xy≥300，，所以 x(40-x)≥300 即 2 40 300 0x x ，解得 10≤x≤30 10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [－x] ＝ －[x] (B) [2x] ＝ 2[x] (C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y] 【答案】D 【 解 析 】 取 x=25, 则 [-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2, 所 以 A 项 错 误 ； [2x]=[5]=[ 52 2 ]=2[2.5]=4, 所 以 B 项 错 误 ； 再 取 y=28 ， 则 [x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以 C 项错误. 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. 双曲线 2 2 116 x y m 的离心率为 5 4 , 则 m 等于 . 【答案】9 【解析】由 a2=16，b2=m 得 c2=16+m，则 e= 4 5 4 16c m a ， ∴m=9 【考点与方法】本题主要考察了双曲线的标准方程以及离心率， 属于容易题，解题的关键在于利用双曲线标准方程 c2=a2+b2 和离 心率的求解公式 e= a c 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 . 【答案】 3 【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥，其体积为 V= 321·3 1 2 1 2 ）（ . 【考点与方法】本题主要考查了三视图还原为实物图的能力和圆锥的体积公式，属于容易题。 13. 若点(x, y)位于曲线 | 1|y x 与 y＝2 所围成的封闭区域, 则 2x－y 的最小值 为 . 【答案】－4 【解析】作出曲线 y= 1x 与 y=2 所表示的区域，令 2x－y=z，即 y=2x－z，作直线 y=2x， 在封闭区域内平行移动直线 y=2x，当经过点（－1，2）时，z 取到最小值，此时最小值为－ 4. 【考点与方法】本题主要考察了线性规划的最值问题，考查画图和转化能力，属于中等题， 解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域，并把求 2x－y 的最小值转化为求 y=2x－z 所表示 的直线截距的最大值，通过平移直线 y=2x 即可求解。 14. 观察下列等式: 21 1 2 21 2 3 2 2 21 2 63 2 2 2 21 2 43 10 … 照此规律, 第 n 个等式可为 . 【答案】12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1· 2 1nn ）（ （n∈ N ） 【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加 1，故第 n 个等式左边有 n 项， 每项所含的底数的绝对值也增加 1，一次为 1,2,3…n，指数都是 2，符号成正负交替出现可 以用（－1）n+1 表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示 为（－1）n· 2 1nn ）（ ，所以第 n 个式子可为 12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1· 2 1nn ）（ （n∈ N ） 【考点与方法】本题考查观察和归纳的推理能力，属于中等题。解题的关键在于：1.通过四 个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律；2.符号成正负交替出现可以用（－1）n+1 表示； 3.表达完整性，不要遗漏了 n∈ N 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A. (不等式选做题) 已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值 为 . 【解析】由科尔不等式可得 （am+bn）（bm+an）≥（ bnbman am ）2mn（a+b）2=2 B. (几何证明选做题) 如图, 弦 AB 与 CD 相交于 O 内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的 延长线相交于点 P. 已知 PD＝2DA＝2, 则 PE＝ . 【答案】 6 【解析】已知∠BCE=∠PED=∠BAP ∴ PDE∽ PEA ∴ PE PD PA PE 而 PD=2DA=2 ∴PA=3 PE2=PA·PD=6 故 PE= 6 C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角 为参数, 则圆 2 2 0y xx 的参数方程为 . 【答案】x= 2cos4 1 2 1 ，y= 2sin4 1 ， 0 ≤ ＜ 【解析】x2+y2-x=0，（x- 2 1 ）2+y2= 4 1 ，以（ 02 1，）为圆心， 4 1 为半径，且过原点的圆，它 的标准参数方程为 x= acos4 1 2 1 ，y= asin4 1 ，0 ≤a＜2 ，由已知，以过原点的直线倾斜 角 为参数，则 0 ≤ ＜ ，所以 0 ≤2 ＜2 ，所以所求圆的参数方程为 x= 2cos4 1 2 1 ， y= 2sin4 1 ， 0 ≤ ＜ 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 1(cos , ), ( 3sin ,cos2 ),2x x x x a b R , 设函数 ( ) ·f x a b . (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求 f (x) 在 0, 2 上的最大值和最小值. 【解析】： 1( ) 3sin cos cos22 3 1sin 2 cos22 2 sin(2 )6 f x a b x x x x x x （I） ( )f x 的最小正周期为 2 2T （II）∵ [0, ]2x ，∴ 2 [ ,5 ]6 6 6x ，∴ 1sin(2 ) [ ,1]6 2x 故当 2 6 2x 即 3x 时， ( ) =1f x 整数 当 2 -6 6x 即 0x 时， 1( ) =- 2f x 整数 【命题意图】本题考查三角恒等式，三角函数的性质等基础知识，简单题。 17. (本小题满分 12 分) 设{ }na 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{ }na 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列{ 1}na 不是等比数列. 【解析】：（I）设等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项和 Sn=a1+ a1q+…. a1qn-1 将（1）式两边分别乘以 q 得 qSn=a1q+ a1q2+…a1qn 当 q≠0 时 n n n a qS 1 q （1- ）或 1 n n a a qS 1 q - ） 当 q=1 时， a1= a2=…. an 所以 Sn=na （II）∵q≠1 假设数列{an+1}为等比数列，那么 2 2 1 3( 1) ( 1) ( 1)a a a 即 2 2 1 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) 0a q a a q a 或 q=1，均与题设矛盾，故数列 { 1}na 吧可能为等比数列。 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, 1 2AB AA . (Ⅰ) 证明: A1C⊥平面 BB1D1D; (Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 的大小. 【解析】： 如图建立空间直角坐标系 由 AB=AA1= 2 可知 O（0,0,0），A（1,0,0），B（0,1,0），B1（-1,1,1），C（-1,0,0） A1（0,0,1）D1（-1，-1,1） （I） A1c=（-1,0，-1）DB（0,2,0） BB1（-1,0,1） 1 1 10, 0AC DB AC BB 即 所以 A1c⊥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ （ＩＩ）容易求得平面ＯＣＢ１ 的一个法向量 (0,1, 1)n ，平面 BB1D1D 的一个法向量为 (1,0,1)m 所求夹角余弦值为 1cos | | | | 2 m n m n 所求夹角的大小为 60° 19. (本小题满分 12 分) 在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受 欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他 必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望. 【解析】（Ⅰ）由于观众甲必选 1，不选 2，则观众甲选中 3 号歌手的概率为 3 2 2 3 1 2 1 1 C CC , 观众乙未选中 3 号歌手的概率为 5 2 3 5 3 4 C C ，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中 3 号歌手且观 众乙未选中 3 号歌手的概率为 15 4 5 2 3 2 。 （Ⅱ） X 的所有可能取值为 0，1，2，3.由（Ⅰ）知，观众甲选中 3 号歌手的概率为 3 2 ，观众乙选中 3 号歌手的概率为 1－ 5 2 = 5 3 ，则观众丙选中 3 号歌手的概率也为 1－ 5 2 = 5 3 ， 则 )0(XP （1－ 3 2 ）（1－ 5 3 ） 2 = 75 4 )1(XP 3 2 （1－ 5 3 ） 2 +（1－ 3 2 ） 1 2C 5 3 （1－ 5 3 ）= 15 4 75 20 )2(XP 3 2 1 2C 5 3 （1－ 5 3 ） +（1－ 3 2 ） ( 5 3 ) 2 = 25 11 75 33 )3(XP 3 2 ( 5 3 ) 2 = 25 6 75 18 则 X 的分布列如下： 20. (本小题满分 13 分) 已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(－1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点. 【解析】（Ⅰ）设动圆圆心C 的坐标为（ yx, ），则 （4－ x ） 2 +（0－ y ） 2 = 224 x ，整理得 xy 82 。 所以，所求动圆圆心的轨迹C 的方程为 xy 82 （Ⅱ）证明：设直线l 的方程为 bkxy ，联立 xy bkxy 82 { 得 xbkbxxk 82 222 0)28( 222 bxkbxk （其中 ）0），设 ),( 11 bkxxP ， ),( 22 bkxxQ ，若 x 轴是 PBQ 的 角 平 分 线 ， 则 PBQB kk 11 2 2 1 1 x bkx x bkx )1)(1( )1)(1()1)(( 21 1221 xx xkxxbkx )1)(1( 2))(( 21 2121 xx bxxbkxkx )1)(1( )( 21 2 xxk bkS 0，即 bk ，故直线 l 的方程为 )1( xky ，直线过定点（1，0） 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 ( ) e ,xf x x R . (Ⅰ) 若直线 y＝kx＋1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y＝f (x) 与曲线 2 ( 0)y mx m 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a查看更多