高考数学理科试卷

高考数学理科试卷

‎2018年高考试卷 数学试题（理科）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分，考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎ 2．考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎ 3．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚．‎ ‎ 4．做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎ 5．保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式：‎ 样本数据x1,x2,…,xn的标准差 ‎ ‎ 其中为样本平均数;‎ ‎ 柱体体积公式 ‎ ‎ ‎ 其中S为底面面积,h为高 锥体体积公式 其中S为底面面积,h为高 球的表面积、体积公式 ‎ ，‎ 其中R为球的半径 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.每小题都有四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．设，若（为虚数单位）为正实数，则 A．2 B．‎1 ‎ C．0 D．‎ 2． 已知，，，是空间四点，命题甲：，，，四点不共面，命题乙：‎ ‎ 直线和不相交，则甲是乙成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．曲线，与直线，所围成的平面区域的面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．下列向量中与向量平行的是 ‎ A．（-4，6） B．（4，6） C．（-3，2） D．（3，2）‎ ‎5．函数是 ‎ A．奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 ‎ C．偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 ‎6．设函数在区间内是减函数，则，，的大小关系是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设为等差数列｛｝的前n项和，且，则 ‎ A．45 B．‎50 C．55 D．90‎ ‎_‎ 频率 分数 ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.020‎ ‎0.015‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 组距 ‎8．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是 A．20% B．25%‎ C．6% D．80%‎ ‎9．将函数的图像按向量平移得到的图像对应的一个函数解析式是 ‎ A． ‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D．‎ ‎10．设，，…，是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为 A．48 B．‎96 ‎ C．144 D．192‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 结束 输出(x，y)‎ 是 开始 x ←1, y ←0, n ←1‎ x←1,‎ n ＞ 8 ‎ 否 n ← n＋2‎ 第11题 x ← 3x y ← y－2‎ 第11题图 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎11．命题“，”的否定是 .‎ ‎12．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组依 ‎ 次记为，，，,，则程序运 行结束时输出的最后一个数组为 .‎ ‎13．曲线在点（1，2）处的切线方程是 ．‎ ‎14．若实数满足不等式组则3x－y的最小 ‎ 值是________.‎ ‎15．定义：我们把阶乘的定义引申，定义，‎ ‎ 若为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!! = 0。我们称 ‎ 之为双阶乘(Double Factorial)对夫妇任意地排成一列，则每 ‎ 位丈夫都排在他的妻子后面的概率是________.（结果用含双 ‎ 阶乘的形式表示）‎ 三、解答题（本大题有6小题，共74分）‎ ‎16．（本题满分13分）‎ 某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：‎ 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；‎ 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．‎ 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；‎ ‎17．（本题满分13分）‎ 如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．‎ ‎（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎18．（本题满分13分）‎ ‎ 一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一 ‎ 圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，∥，且 ‎ 两组平行墙壁间的走廊宽度都是．‎ ‎ （1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内 ‎ 壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；‎ N M A B C D E F G H P Q ‎1m ‎1m 第18题图 ‎ （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．‎ 第17题图 ‎19．（本题满分13分）‎ 已知椭圆的某个焦点为，双曲线的 某个焦点为．‎ ‎ （1）请在 上补充条件，使得椭圆的方程为；‎ 友情提示：不可以补充形如之类的条件。‎ ‎ （2）命题一：“已知抛物线的焦点为F，定点满足 ‎ ‎ ，以PF为直径的圆交轴于A、B，则直线PA、PB与抛物线相切”．命 题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线，定点P，以PF为直径 的圆交轴于A、B，PA、PB与抛物线相切．‎ 试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；‎ ‎ （3）证明命题一的正确性．‎ ‎20．（本题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；‎ ‎（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；‎ ‎（Ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围.‎ ‎21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.‎ ‎ (1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换 ‎ 求矩阵的特征值及对应的特征向量.‎ ‎ (2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程 ‎ 已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：．‎ ‎（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断直线和圆的位置关系．‎ ‎ (3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲 ‎ 已知函数. 若不等式恒成立，求实数的范围. ‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ 理科试题试题参考解答及评分标准 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分.‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ ‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．‎ ‎1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．D 7．A 8．D 9．D 10．C 二、本大题共4个小题；每小题5分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算． ‎ ‎11．, 12． 13． 14．7 15．‎ ‎【15题解析】‎ ‎ (理解一)排列的总数是.为了计算有利场合的个数，可以这样考虑.首先把n个丈夫进行排列，共有种可能.然后让排在第一的那位丈夫的妻子插人队伍，她显然只有1种可能的位置，即排在最前面，接着让排在第二位的丈夫的妻子进人队伍.现在她的丈夫之前已有两人，因此她有3种位置可选择.排在第三位的丈夫的妻子进人队伍有5种位置可选择，依次下去，最后一位丈夫的妻子有个位置可选择.因此有利场合总数是，所以要求的概率是。‎ ‎ (理解二)对于每个家庭来说，丈夫排在妻子后面的概率都是，有对夫妻，因此概率应该为，下面只要想办法将化简为含有双阶乘形式就可以了。。‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16．解：若按“项目一”投资，设获利万元，则的分布列为 ‎（万元）. ………………4分 若按“项目二”投资，设获利万元，则的分布列为：‎ ‎（万元）.……………………8分 又，……………10分 ‎………12分 所以，，‎ 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．………………………………………………………………………………13分 ‎17.‎ 解：（1）线段的中点就是满足条件的点． ……1分 证明如下：‎ 取的中点连结，则 ‎，， …………………2分 取的中点，连结，‎ ‎∵且，‎ ‎∴△是正三角形，∴．‎ ‎∴四边形为矩形，‎ ‎∴．又∵，………3分 ‎∴且，‎ 四边形是平行四边形．……………………4分 ‎∴，‎ 而平面，平面，‎ ‎∴平面． ……………………6分 ‎（2）（解法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 是平面与平面所成二面角的棱．……8分 ‎∵平面平面，，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，∴平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴是所求二面角的平面角．………………11分 设，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ………………………13分 ‎（解法2）∵，平面平面，‎ ‎∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．‎ 设，由已知，得，，．‎ ‎∴，， ………………………8分 设平面的法向量为，‎ 则且，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解之得 取，得平面的一个法向量为 ‎. …………………………11分 又∵平面的一个法向量为． ‎ ‎．…………13分 说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．‎ ‎18．(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为．‎ 在 中，因为，，‎ N M A B C D E F G H P S ‎1m ‎1m T Q W 所以．‎ 因为与圆弧切于点，所以，‎ 在，因为，，‎ 所以，，‎ ‎①若在线段上，则 在 中，，‎ 因此 ‎②若在线段的延长线上，则 在 中，，‎ 因此 ‎．………………………………………6分 ‎（2）设，则，‎ 因此．‎ 因为，又，所以恒成立，‎ 因此函数在是减函数，所以，‎ 即．‎ 答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．‎ ‎…………………………………………………………………………13分 19. 解:‎ ‎（1）补充一：椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长为 ‎ 补充二：椭圆过和 ‎ 补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为，且椭圆的一条准线长为 ‎ 类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，本题满分（2分）‎ ‎（2）命题一：已知椭圆的某个焦点为F，定点满足，以PF为直径的圆与圆交于A、B两点，则PA、PB与椭圆相切。‎ ‎…………………………………………………………………………………………5分 ‎ 命题二：已知双曲线的某个焦点为，定点满足，以PF为直径的圆与圆交于A、B两点，则PA、PB与双曲线相切。…………………………………………………………………………………………9分 （3） 证明：‎ 以PF为直径的圆的方程为，设A，则 ‎，直线PA的方程为，即 联立，消去x得到，所以，所以直线PA与抛物线相切。‎ 同理可证PB与抛物线相切。………………………………………………………………13分 ‎20．解：（Ⅰ）‎ 由于，故当时，，所以，‎ 故函数在上单调递增…………4分 ‎（Ⅱ）当时，因为，且在R上单调递增，‎ ‎ 故有唯一解………………6分 ‎ 所以的变化情况如下表所示：‎ x ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 递减 极小值 递增 ‎ 又函数有三个零点，所以方程有三个根，‎ ‎ 而，所以，解得 …8分 ‎（Ⅲ）因为存在，使得，‎ 所以当时，‎ ‎ 由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，‎ ‎ 所以当时，，‎ ‎ 而，‎ ‎ 记，因为（当时取等号），‎ ‎ 所以在上单调递增，而，‎ ‎ 所以当时，；当时，，‎ ‎ 也就是当时，；当时，……………13分 ‎ ①当时，由，‎ ‎ ②当时，由，‎ 综上知，所求的取值范围为………………………………14分 ‎21.解 ‎（1）．解：设A的一个特征值为，由题意知：‎ ‎ ………………3分 ‎……5分 ‎ ……7分 ‎（2）．解：（Ⅰ）消去参数，得直线的普通方程为………………3分 ‎，即，两边同乘以得，‎ 得⊙的直角坐标方程为 ………………………5分 ‎（Ⅱ）圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交……‎ ‎7分 ‎（3）．解：由，且，得 ……3分 又因为，则有2………………5分 解不等式，得…………………… 7分