备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题08 函数与方程——零点问题面面观

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题08 函数与方程——零点问题面面观

专题08 函数与方程----零点问题面面观 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4）根据方程解的情况确定求参数的值或范围.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或与导数的应用结合，难度往往较大.‎ 一、基础知识：‎ ‎1、零点的定义：一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点 ‎2、函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.‎ ‎（1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 ‎（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续）‎ ‎① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个 ‎② 若，那么在不一定有零点 ‎③ 若在有零点，则不一定必须异号 ‎3、若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.‎ ‎4、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 ‎（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点.‎ ‎（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫.‎ ‎（3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.‎ 三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点.‎ 二、零点存在与判断方法、技巧：‎ 22‎ ‎1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对于方程，无法直接求出根，构造函数，由即可判定其零点必在中 ‎2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 ‎（1）函数的零点：‎ 工具：零点存在性定理 作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。‎ 缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关 ‎（2）方程的根：‎ 工具：方程的等价变形 作用：当所给函数不易于分析性质和图象时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数 缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数 ‎（3）两函数的交点：‎ 工具：数形结合 作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现。通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围。‎ 缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含的函数可作出图象，那么因为另外一个只含参数的图象为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡.（作3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个.因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调.‎ ‎4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）‎ ‎（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点.要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 ‎ ‎（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 22‎ ‎（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0‎ ‎5、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，.‎ 三、函数零点的性质及应用 ‎1、此类问题的处理步骤：‎ ‎（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象 ‎（2）确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围 ‎（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，‎ ‎2.常见处理方法：‎ ‎（1）代换法：将相等的函数值设为，从而用可表示出，将关于的表达式转化为关于的一元表达式，进而可求出范围或最值 ‎（2）利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称，则；同理，若关于中心对称，则也有。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 ‎【经典例题】‎ 例1 【2019届北京市十一学校高三3月零模】已知函数那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,所以 函数f(x)在区间必有零点，选B.‎ 例2.设函数，若实数分别是的零点，则（ ）‎ A. B. ‎ 22‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎【名师点睛】利用零点存在性定理求解三步曲是：①先移项使方程右边为零，再令方程左边为函数；②求区间两端点的函数值；③若函数在该区间上连续且，则方程在该区间内必有根.‎ 例3【2019届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在上的函数满足，且时， ； 时， . 令，则函数的零点个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵x∈[0，1]时，f（x）=4x，‎ ‎∴f（1）=4‎ ‎∴x∈（1，2）时，f（x）==，‎ ‎∵g（x）=2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]，‎ 令g（x）=2f（x）﹣x﹣4=0，‎ 22‎ ‎∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2有8个交点，‎ 故函数g（x）的零点个数为8个．‎ 故选：B．‎ ‎【名师点睛】函数零点的求解与判断 ‎(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ 例4.已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，，则关于的函数的零点的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．0或2‎ ‎【答案】A 22‎ ‎【名师点睛】（1）本题由于解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑构造函数，利用单调性与零点存在性定理进行解决。‎ ‎（2）所给不等式呈现出轮流求导的特点，猜想可能是符合导数的乘法法则，变形后可得，而的零点问题可利用方程进行变形，从而与条件中的相联系，从而构造出.‎ 例5【2019届江西师范大学附属中学高三4月月考】定义域和值域均为（常数a>0）的函数和大致图象如图所示，给出下列四个命题：‎ ‎①方程有且仅有三个解；‎ ‎②方程有且仅有三个解；‎ ‎③方程有且仅有九个解；‎ ‎④方程有且仅有一个解。那么，其中一定正确的命题是（    ）‎ A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】①方程有且仅有三个解； 有三个不同的值，由于是减函数，所以有三个解，①正确；②方程有且仅有三个解；从图中可知， ，可能有个解，方程也可能有个解，②不正确；③方程有且仅有九个解；从图中可知， ，可能有个解，方程最多九个解，③不正确；④因为方程有且仅有一个解，结合图象是减函数，所以方程有且仅有一个解，④正确，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质，函数与方程思想以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问 22‎ 题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．‎ 例6【2019届【衡水金卷】（二）】已知函数，且对任意实数,均有，若方程有且只有4个实根，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 有两个零点，所以g(t)-a的图像在区间上有两个零点，所以由g(t)的图像，可知-16＜a＜9.故选A.‎ 点睛：本题解题用到了数学转化的思想，首先把方程f(x)=a有四个根，且f(x)的图像关于直线x=-3对称，转化成函数y=f(x)-a的图像在区间有两个零点，再转化成函数g(t)-a的图像在区间上有两个零点.转化的思想是高中数学里最普遍的数学思想，在高中数学里最常见，特别是遇到较复杂的问题，更应想到转化，把复杂的问题转化得简单，把不熟悉的数学问题转化成熟悉的数学问题，大家在今后的学习中要理解掌握和灵活运用.‎ 例7【2019届【衡水金卷】（四）】已知函数，若函数的图象与轴的交点个数不少于2个，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 22‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题可知函数的图象与轴的交点个数不少于2个，即为函数y=f(x)的图像与函数y=mx+m的图像的交点个数不少于2个，由于函数y=mx+m的图像过定点P（-1,0），且斜率为m,作出函数y=f(x)的图像如图所示，《‎ 可知又x>1.所以 过点（-1,0）作的切线，设切点坐标为，则此时，切线的斜率为 故实数m的取值范围为.综上实数m的取值范围为.‎ 故选A.‎ 点睛：本题有两个难点,一个难点是要会通过数形结合分析出在什么情况下函数的图象与轴的交点个数不少于2个,找到三个极限位置.第二个难点是怎么利用导数和导数的几何意义求切线的斜率,要求对导数的知识比较熟练.‎ 例8【2019届广东省省际名校（茂名市）高三下联考（二）】记函数在区间 22‎ 内的零点个数为，则数列的前20项的和是（ ）‎ A. 430 B. 840 C. 1250 D. 1660‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，得①或②‎ 由①得，令，得，故①共有n个解，‎ 当n为奇数时，③有个解，④有个解，故②有n+1个解，故 令 故 故选：A ‎ 点睛：函数零点的求解与判断 ‎(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； ‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ 例9【2019届【衡水金卷】（一）】定义在上的函数若满足： ，且，则称函数为“指向的完美对称函数”.已知 22‎ 是“1指向2的完美对称函数”，且当时， .若函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 时， ，当时， .由得对称中心为，周期为4，可得的对称中心为，即与均关于点对称，结合的图象关于点对称及关于直线对称，可画出在区间上的图象，如图所示：‎ 因为，直线过点，故若函数在区间上恰有5个零点，则只需与在区间上有两个交点，设直线与曲线的切点为，则,故切线方程为：‎ ‎.因为点在切线上，所以，解得或（舍去），此时,又当直线过点时，k=1.故由图，可知实数k的取值范围为 故选：B.‎ 22‎ ‎【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 例10【2017课标1，理21】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当有2个零点，设正整数满足，则 ‎.由于，因此在有一个零点.所以的取值范围为.‎ 22‎ ‎【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点. ‎ ‎【精选精练】‎ ‎1【2019届北京市京源学校高三十月月考】函数零点所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 22‎ ‎【解析】在时是连续函数， ， ，由函数零点的存在性定理，函数的零点所在的区间为，故选B.‎ ‎2【2019届陕西省咸阳市第二次模拟】函数零点的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎3【2019届北京市汇文实验中学高三九月月考】函数的所有零点的和等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时， ，解得 当时， ，解得，‎ 22‎ 则，或 则 所有零点的和等于 故选.‎ ‎4【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的零点满足，‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，函数 单调递减，‎ 当时，，函数 单调递增，‎ 当时，函数取得最小值，‎ 设 ，当时，函数取得最小值 ，‎ ‎【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. ‎ ‎5【2019届（衡水金卷）一】已知函数，若恰有两个零点， （），则有（ ）‎ A. B. ‎ 22‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时， ；当时， ；作图如下：‎ ‎，因此 ‎ ‎ ，综上， ，选D.‎ 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎6【2019届海南省高三第二次联合考】已知为偶函数，对任意， 恒成立，且当时， .设函数，则的零点的个数为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎7【2019届贵州省凯里市第一中学高三下学期《黄金卷》第二套】已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为（ ）‎ A. 2020 B. 2016 C. 1010 D. 1008‎ ‎【答案】A 22‎ ‎【解析】‎ 依题意，当时， 对称轴为，‎ 由可知，函数的周期 令，可得 求函数的零点个数，即求偶函数与函数图象交点个数 当时，函数与函数图象有个交点 故选.‎ ‎8【2019届安徽省宣城市高三第二次调研】已知，关于的方程 ()有四个不同的实数根，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得.‎ 当时， 恒成立，即函数在上为增函数.‎ 22‎ 当时， ，令，得，即函数在上为减函数，令，得，即函数在上为增函数.‎ ‎∴函数在上有一个最大值为 令，要使方程 ()有四个不同的实数根，则方程应 故选D.‎ 点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：‎ ‎(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；‎ ‎(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．‎ 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现，同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．‎ ‎9【2019届河北省定州中学高三下学期第一次月考】已知函数，则函数 的零点个数为（ ）‎ A. 8 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】令f（x）=t可得f（t）=t+1．‎ 作出f（x）的函数图象如图所示：‎ 22‎ 设直线y=kx+1与y=ex相切，切点为（x0，y0），则,‎ 解得x0=0，k=1．‎ 设直线y=kx+1与y=lnx相切，切点为（x1，y1），则,‎ 故选：C．‎ ‎10【2019高三二轮复习之测试专项】已知函数，关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出的图象如下：‎ 22‎ ‎【名师点睛】一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.‎ ‎11【2019届河北省石家庄市高三一模】已知函数，，若函数有三个不同的零点，，（其中），则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图：‎ ‎，，作出函数图象如图所示 ‎ ‎，，作出函数图象如图所示 22‎ ‎，由有三个不同的零点 ‎，如图 令 得 ‎12【2019届重庆市高三4月（二诊）】已知函数（，）．‎ ‎（1）若在上单调递减，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，判断关于的方程的解的个数．‎ ‎【答案】（1）；（2）只有一个解.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据在恒成立求解即可，求解时可选用分离参数的方法．（2）由题意可得即判断方程根的个数，令，利用导数可得存在，使得 时 单调递减，当 时单调递增，又，→时，→，结合图象可得当，时，方程有一个解，即方程只有一个解．‎ 试题解析：‎ 22‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ 由题意得在恒成立，‎ 即在恒成立，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ 令，‎ 则，‎ 令，‎ 则， ‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴， ‎ 又，，‎ ‎∴存在，使得 时， 单调递减；‎ 22‎ ‎【名师点睛】利用导数研究方程根的方法：研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，这样可以使得问题的求解有一个直观的整体展现．‎ 22‎