备战高考高考数学闯关密练特训92简单几何体的表面积和体积新人教A版含解析

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备战高考高考数学闯关密练特训92简单几何体的表面积和体积新人教A版含解析

9-2 简单几何体的表面积和体积 闯关密练特训 1.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿 该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的 面的方位是( ) A.南 B.北 C.西 D.下 [答案] A [解析] 将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为上,最右面为东,则前面为△, 可知“△”的实际方位为南. 2.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为32π 3 ,那 么这个三棱柱的体积是( ) A.96 3 B.48 3 C.24 3 D.16 3 [答案] B [解析] 已知正三棱柱的高为球的直径,底面正三角形的内切圆是球的大圆.设底面正 三角形的边长为 a,球的半径为 R,则 a=2 3R,又4 3 πR3=32π 3 ,∴R=2,a=4 3,于是 V= 3 4 a2·2R=48 3. 3.(2012·新课标全国,7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体 的三视图,则此几何体的体积为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 [答案] B [解析] 由三视图知,该几何体是一个三棱锥,由俯视图知三棱锥的底面是等腰三角形, 底边长为 6,底边上的高为 3,面积 S=1 2 ×6×3=9,由正视图和侧视图可知棱锥的高为 3, ∴体积 V=1 3 ×9×3=9. 4.(文)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A.2 B.1 C.2 3 D.1 3 [答案] B [解析] 由几何体的三视图可知,该几何体是直三棱柱,其直观图如图所示,其体积为 V =1 2 × 2×1× 2=1. (理)(2011·潍坊二检)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面 体的体积为( ) A.142 3 B.284 3 C.280 3 D.140 3 [答案] B [解析] 截去一角在正视图中位于左侧上部,在侧视图中位于右侧上部,结合俯视图可知,截去 的一角应位于几何体的上部左前方,可画出多面体的形状如图.这个多面体是由长方体截去 一 个 正 三 棱 锥 而 得 到 的 , 所 以 所 求 多 面 体 的 体 积 V = V 长 方 体 - V 正 三 棱 锥 = 4×4×6 - 1 3 ×(1 2 ×2×2)×2=284 3 . 5.(文)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) [来源:Z.xx.k.Com] A.2π+2 3 B.4π+2 3 C.2π+2 3 3 D.4π+2 3 3 [答案] C[来源:学科网] [解析] 由几何体的三视图可知,该几何体是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个 底面边长为 2,侧棱长为 2 的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为 V=π×12×2+ 1 3 ×( 2)2× 3=2π+2 3 3 ,故选 C. [点评] 由三视图想象几何体的形状时,一要注意常见柱、锥、台的三视图结构特征, 二要注意方位,三要注意细节. 本题中正视图与侧视图都不变,若俯视图中把外部的圆改为正方形,则几何体就是上部 为正四棱锥,下部为正四棱柱的组合体. (理)(2011·湖南文,4)设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A.9π+42 B.36π+18 C.9 2 π+12 D.9 2 π+18 [答案] D [解析] 由三视图可知,该几何体是一个球体和一个长方体的组合体.其中,V 球= 4 3 π·(3 2 )3=9π 2 ,V 长方体=2×3×3=18.所以 V 总=9 2 π+18. 6.(2012·山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的,其正视图和 侧视图如图所示,则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为( ) A.12 个 B.13 个 C.14 个 D.18 个 [答案] B [解析] 由正视图知该几何体有三列,左右两排都存在 2 层的情形,中间一排,只有一 层,由侧视图知,该几何体有三行,前后两排都存在 2 层的情形,中间一排只有一层,因此 此几何体最多可由 13 个小正方体组成,你能求出最少可由多少个小正方体构成吗? 7.圆台的上、下底半径分别为 2 和 4,母线长为 4,则截得此圆台的圆锥侧面展开图的 中心角为________. [答案] π [ 解析] 如图,设 PD=x,则2 4 = x x+4 ,∴x=4, ∴θ=4 8 ×2π=π. 8.一个底面半径为 1,高为 6 的圆柱被一个平面截下一部分,如图(1)所示,截下部分的 母线最大长度为 2,最小长度为 1,则截下部分的体积是________. [答案] 3π 2 [解析] 根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱,这个圆柱的高是 3,体积是所求几何 体体积的 2 倍,故所求的几何体的体积是1 2 ×π×12×3=3π 2 .故填3π 2 . 9.圆柱内切球的表面积为 4π,则圆柱的表面积为________. [答案] 6π [解析] 设球半径为 R(R>0),则圆柱的底面半径为 R,高为 2R,由条件知,4πR2=4π, ∴R=1. ∴圆柱的表面积 S=2π·R2+2πR·2R=6πR2=6π. 10.已知 P 在矩形 ABCD 的边 DC 上,AB=2,BC=1,F 在 AB 上且 DF⊥AP,垂足为 E,将 △ADP 沿 AP 折起,使点 D 位于 D′位置,连接 D′B、D′C 得四棱锥 D′-ABCP. (1)求证:D′F⊥AP; (2)若 PD=1,且平面 D′AP⊥平面 ABCP,求四棱锥 D′-ABCP 的体积. [解析] (1)∵AP⊥D′E,AP⊥EF,D′E∩EF=E, ∴AP⊥平面 D′EF,∴AP⊥D′F. (2)∵PD=1,∴四边形 ADPF 是边长为 1 的正方形, ∴D′E=DE=EF= 2 2 , ∵平面 D′AP⊥平面 ABCP,D′E⊥AP,∴D′E⊥平面 ABCP, ∵S 梯形 ABCP=1 2 ×(1+2)×1=3 2 , ∴VD′-ABCP=1 3 ×D′E×S 梯形 ABCP= 2 4 . 能力拓展提升 11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2.动点 E,F 在棱 A1B1 上,点 Q 是棱 CD 的中点, 动点 P 在棱 AD 上.若 EF=1,DP=x,A1E=y(x,y 大于零),则三棱锥 P-EFQ 的体积( ) A.与 x,y 都有关 B.与 x,y 都无关 C.与 x 有关,与 y 无关 D.与 y 有关,与 x 无关 [答案] C [解析] 设 P 到平面 EFQ 的距离为 h,则 VP-EFQ=1 3 ×S△EFQ·h,由于 Q 为 CD 的中点,∴点 Q 到直线 EF 的距离为定值 2,又 EF=1,∴S△EFQ 为定值,而 P 点到平面 EFQ 的距离,即 P 点 到平面 A1B1CD 的距离,显然与 x 有关与 y 无关,故选 C. 12.(2011·陕西文,5)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为( ) A.8-2π 3 B.8-π 3 C.8-2π D.2π 3 [答案] A [解析] 由三视图知,原几何体为如图所示一正方体挖去一个与正方体等 高底面是正方 形的内切圆的圆锥,则其体积为 V=23-1 3 π×12×2=8-2π 3 .故选 A. 13.(2011·东北三校)一个几何体的三视图及部分数据如图所示,侧视图为等腰三角形, 俯视图为正方形,则这个几何体的体积等于( ) A.1 3 B.2 3 C. 15 6 D. 62 24 [答案] A [解析] 由三视图知,这是一个四棱锥,其底面为正方形,一条侧棱垂直于底面其长度 为 2,底面正方形对角线长为 1,∴边长为 2 2 ,体积 V=1 3 ×( 2 2 )2×2=1 3 . 14.(文)一等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为 24π,一圆锥与此圆柱一个底 面重合,顶点在另一个底面上,则此圆锥的表面积为________. [答案] 4( 5+1)π [解析] 设圆柱底半径为 R,则 2πR2+2πR·2R=24π,∴R=2, ∴圆锥的底半径为 R=2,高为 4, 母线长 l= 22+42=2 5, ∴圆锥的表面积 S=πR2+πRl=4π+4 5π=4( 5+1)π. (理)圆锥的高为 4,侧面积为 15π,其内切球的表面积为________. [答案] 9π [解析] [来源:Zxxk.Com] 设圆锥底面半径为 r(r>0),则母线长 l= 16+r2,由πrl=15π得 r· 16+r2=15,解 之得 r=3,∴l=5. 设内切球半径为 R,作出圆锥的轴截面如图,则 BD=BO1=3,PD=5-3=2,PO=4-R, ∵OD⊥PB, ∴R2+4=(4-R)2,∴R=3 2 , ∴球的表面积 S=4πR2=9π. 15.(文) (2011·安徽省淮南市模拟)如图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几 何体,四边形 EFGH 为截面,且 AB=BC= 2,AE=1,BF=DH=2,CG=3. (1)证明:截面四边形 EFGH 是菱形;[来源:学科网 ZXXK] (2)求几何体 C-EFGH 的体积. [解析] (1)证明:因为平面 ABFE∥平面 CDHG, 且平面 EFGH 分别交平面 ABFE、平面 CDHG 于直线 EF、GH,所以 EF∥GH.同理,FG∥EH. 因此,四边形 EFGH 为平行四边形. 因为 BD⊥AC,而 AC 为 EG 在底面 ABCD 上的射影, 所以 EG⊥BD. 因为 BF 綊 DH,所以 FH∥BD.因此,FH⊥EG. 所以四边形 EFGH 是菱形. (2)解:连接 CE、CF、CH、CA, 则 VC-EFGH=V-VC-ABFE-VC-ADHE,其中 V 是几何体的体积,∵AE=1,BF=DH=2,CG=3 且几 何体是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱的一部分, 所以该几何体的体积为 V=( 2)2×2=4, VC-ABFE=1 3 ×S 四边形 ABFE×BC =1 3 ×1 2 (AE+BF)×AB×BC =1 6 ×(1+2)× 2× 2=1. 同理,得 VC-ADHE=1, 所以,VC-EFGH=V-VC-ABFE-VC-ADHE=4-1-1=2, 即几何体 C-EFGH 的体积为 2. (理)(2011·江西文)如图在△ABC 中,∠B=π 2 ,AB=BC=2,P 为 AB 边上一动点,PD∥ BC 交 AC 于点 D,现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,使平面 PDA′⊥平面 PBCD. (1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点,求证:A′B⊥DE. [解析] (1)令 PA=x(00,f(x)单调递增; 当 x∈(2 3 3,2)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. 所以,当 x=2 3 3时,f(x)取得最大值, 即当 VA′-PBCD 最大时,PA=2 3 3 . (2)设 F 为 A′B 的中点,连接 PF, FE,则有 EF 綊 1 2 BC,PD 綊 1 2 BC,∴EF 綊 PD, ∴四边形 EFPD 为平行四边形,∴DE∥PF. 又 A′P=PB,所以 PF⊥A′B,故 DE⊥A′B. 16.(2012·新课标全国文,19)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,∠ACB =90°,AC=BC=1 2 AA1,D 是棱 AA1 的中点. (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. [分析] (1)证两个平面垂直,可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂 直; (2)平面 BDC1 分棱柱成两部分,下面部分 B-ADC1C 为四棱锥,可直接求体积,上面部分可 用间接法求得体积,从而确定两部分体积之比. [解析] (1)由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以 BC⊥平面 ACC1A1. 又 DC1⊂平面 ACC1A1,所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°, 所以∠CDC1=90°,即 DC1⊥DC. 又 DC∩BC=C,所以 DC1⊥平面 BDC. 又 DC1⊂平面 BDC1,故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1,AC=1. 由题意得,V1=1 3 ×1+2 2 ×1×1=1 2 . 又三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=1,所以(V-V1) V1=1 1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1 1. [点评] 本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法.求解几何体的体积时,若遇不 规则的几何体时,经常采用割补法和间接法求其体积. 1.用单位正方体搭几何体,使它的正视图和俯视图如图所示,则符合条件的几何体体积 的最小值与最大值分别是( ) A.9,13 B.7,16 C.10,15 D.10,16 [答案] D [解析] 由俯视图知底层有七个小正方体,结合正视图知,最左边一列,最多都是三层, 最少只有一行是三层,故左边一列最多 9 个、最少 5 个;中间一列最多都是二层有 6 个,最 少只有一行二层,共 4 个;右边一列只一层一行,故最多 9+6+1=16 个,最少 5+4+1=10 个. 2.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为( )[来源:学科网] A.280 B.292 C.360 D.372 [答案] C [解析] 由三视图知该几何体是两个长方体的组合体,上面的长方体的表面积为 (6×8)×2+(8×2)×2+6×2=140. 下面的长方体的表面积为(10×8)×2+(10×2)×2+(8×2)×2-6×2=220. 故表面积为 140+220=360.选 C. 3.如图,已知在多面体 ABC-DEFG 中,AB、AC、AD 两两互相垂直,平面 ABC∥平面 DEFG, 平面 BEF∥平面 ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 [答案] B [解析] 补成长方体 ABMC-DEFN 并连接 CF,易知三棱锥 F-BCM 与三棱锥 C-FGN 的体积 相等,故几何体体积等于长方体的体积 4.故选 B. [点评] 1.也可以用平面 BCE 将此几何体分割为两部分,设平面 BCE 与 DG 的交点为 H, 则 ABC-DEH 为一个直三棱柱,由条件易证 EH 綊 FG 綊 BC,平面 BEF∥平面 CHG,且△BEF △ CHG,∴几何体 BEF-CHG 是一个斜三棱柱,这两个三棱柱的底面都是直角边长为 2 和 1 的直 角三角形,高都是 2,∴体积为 4. 2.如图(2),几何体 ABC-DEFG 也可看作棱长为 2 的正方体中,取棱 AN、EK 的中点 C、F, 作平面 BCGF 将正方体切割成两部分,易证这两部分形状相同,体积相等,∴VABC-DEFG=1 2 ×23= 4. 4.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱锥 的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( ) [答案] B [解析] 球与正三棱锥底面的切点为底面正三角形的中心,故在截面图中,此切点将截 面三角形的这一条边(底面正三角形的高)分为 1 2 两部分,截面过三棱锥的高和一条侧棱, 故截面图中球大圆与侧棱外离且圆心在三角形的高(即棱锥的高)上,这条高应是顶点与底面 中心的连线段,故选 B. 5.四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形,侧面 PAD 为等边三角形,且侧面 PAD⊥底面 ABCD, 点 M 在底面正方形 ABCD 内(含边界)运动,且满足 MP=MC,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一 定是( ) [答案] B [解析] 由满足条件 MP=MC,可知点 M 应在线段 PC 的所有中垂线构成的平面α内,又点 M 在正方形 ABCD 内,所以点 M 的轨迹平面α与平面 ABCD 的交线,则必为直线,故 D 不正确.又 BP 不等于 BC,故 A 不正确.由题意知 PD=DC,所以 D 点在 M 的轨迹上.设 E、F 分别为 AB、 AD 的中点,连接 PF、EF,则 PF⊥EF.设 AB=2,则 PF= 3,EF= 2,所以 PE= 5.在 Rt△CBE 中,BC=2,BE=1,则 CE= 5=EP,所以 AB 边中点 E 也在点 M 的轨迹上,则点 M 的轨迹为线 段 DE. 6.(2012·吉林省实验中学模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均 为半径是 1 的圆,则这个几何体的体积是( ) A.4π 3 B.π C.2π 3 D.π 3 [答案] B [解析] 由三视图知,该几何体是半径为 1 的球去掉了半球的一半,故几何体是3 4 个球, 体积 V=3 4 ×(4 3 π·13)=π. 7.(2012·河南六市联考)如图,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥ DC,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA⊥平面 ABCD,PA=1. (1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:BC⊥平面 PAC; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M-ACD 的体积. [解析] (1)由已知底面 ABCD 是直角梯形,AB∥DC, 又 AB⊄ 平面 PCD,CD⊂平面 PCD, ∴AB∥平面 PCD. (2)在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CE⊥AB 于点 E,则四边形 ADCE 为矩形, ∴AE=DC=1 又 AB=2,∴BE=1, 在 Rt△BEC 中,∠ABC=45°, ∴CE=BE=1,CB= 2,∴AD=CE=1, 则 AC= AD2+CD2= 2,AC2+BC2=AB2, ∴BC⊥AC. 又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC, 又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. (2)∵M 是 PC 中点, ∴M 到平面 ADC 的距离是 P 到平面 ADC 距离的一半. ∴VM-ACD=1 3 S△ACD·(1 2 PA)=1 3 ×(1 2 ×1×1)×1 2 = 1 12 .
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