高考考点之不等式

高考考点之不等式

教师姓名 学生姓名 填写时间 年级 学科 数学 上课时间 阶段 基础（） 提高（）强化（ ）‎ 课时计划 第（）次课 共（ ）次课 教学目标 （1） 基本不等式；‎ （2） 二元一次不等式表示的平面区域；‎ （3） 不等式的运算。‎ 重难点 ‎(1)基本不等式的运用；‎ ‎(2)不等式表示的平面区域；‎ ‎ ‎ 课后作业：‎ 教师评语 及建议：‎ 科组长签字：‎ 考点 不等式 不等式的基本概念 ‎1. 基本不等式 ‎1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）‎ ‎2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）‎ ‎(3)若，则 (当且仅当时取“=”）‎ ‎3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）‎ 若，则 (当且仅当时取“=”）‎ ‎3.若，则 (当且仅当时取“=”）‎ 若，则 (当且仅当时取“=”）‎ ‎4.若，则（当且仅当时取“=”）‎ 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．‎ ‎（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”‎ ‎(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．‎ ‎2．二元一次不等式表示的平面区域：‎ 二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.‎ 对于在直线同一侧的所有点，实数的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0)，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）‎ ‎2．线性规划：‎ 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.‎ 满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。‎ ‎3．线性规划问题应用题的求解步骤：‎ ‎（1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；‎ ‎（2）作出相应的图象（注意特殊点与边界）‎ ‎（3）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在在求线性目标函数的最大（小）时，直线往右（左）平移则值随之增大（小），这样就可以在可行域中确定最优解。‎ ‎2009-2013年广东省文科数学 函数概念与性质高考题研究与分析 ‎ 不等式 ‎2009-20.（本小题满分14分）‎ 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足－=+（n2）.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列{前n项和为，问>的最小正整数n是多少?‎ ‎2010-8．“>0”是“>0”成立的 ( )‎ ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ C．非充分非必要条件 D．充要条件 ‎2010-21.（本小题满分14分）w_w w. k#s5_u.c o*m 已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.‎ ‎（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；‎ ‎（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，‎ 证明：‎ ‎2011-5．不等式的解集是 A． B． C． D．‎ ‎2011-20．（本小题满分14分）‎ 设，数列满足，≥．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数，≤．‎ ‎2012-5．已知变量满足约束条件则的最小值为 A． B． C． D ‎2013-13．已知变量满足约束条件，则的最大值是 ．‎ ‎2013-19．（本小题满分14分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．‎ ‎(1) 证明：；‎ ‎(2) 求数列的通项公式；‎ ‎(3) 证明：对一切正整数，有．‎ 考题研究与分析 第一，纵观广东省近几年文科数学对不等式的考查，可以清楚地了解到：（1）分值约为7—12分；（2）题型以一道小题和一道大题为主。‎ 第二，考查的知识内容：‎ ‎（1）小题考查知识点：解不等式，或者是在不等式表示的区域的最值问题。（2）大题考查知识点：结合数列，证明与数列的前n项和相关的不等式问题。‎ 解题技巧：‎ 解题技巧：‎ ‎（1）小题：根据不等式的运算法则，进行运算。若是不等式的平面区域，就画图像结合题目解题。‎ ‎（2）大题：例1 已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：.‎ 解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，即，∴‎ 本题的第一问比较容易入手，我们还可以从几何图形入手，通过相似比直接求出的通项公式 ‎，这里不多赘述。该题的第2问中的不等式可以化简为：‎ ‎ ‎ 证明该不等式可以用到以下几种方法 一、 放缩法 对于左边第一个不等式的证明有2个思路：‎ 1、 从右边入手（化简为繁）‎ ‎ ∴‎ ‎∴‎ 2、 从左边入手（化繁为简）‎ ‎ 显然成立 故 即 二、 数学归纳法：‎ 对上述不等式的证明，多数考生采用了数学归纳法 ① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.‎ ② 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边 所以当时,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由①、②可得不等式恒成立。‎ 从以上不等式的证明来看，对不等式的一边进行适当的放缩是证明不等式的重要手段，其实数学归纳法里面也用了放缩的技巧。但是，不是随便放缩就能证明不等式，有些不等式的放缩要恰到好处，否则就不能达到目的。‎ 专题练习：‎ ‎1、已知，，且、不为，那么下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎3、下列命题中正确命题的个数是（ ）‎ ①若，则；②，，，则；‎ ③若，则；④若，则．‎ A． B． C． D．‎ ‎4、如果，，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5、下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6、若、是任意实数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7、如果，且，那么，，，的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8、若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、给出下列命题：①；②；③；④．其中正确的命题是（ ）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④ ‎ ‎10．不等式表示的平面区域是 ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．满足不等式的点的集合（用阴影表示）是 ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数的图象与x轴有两个交点，则点在平面上的区域（不含边界）为 ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎13．不等式组表示的平面区域是 A．一个正三角形及其几个内部 B．一个等腰三角形及其内部 C．在第一象限内的一个无界区域 D．不包含第一象限的一个有界区域 ‎14．如果实数满足条件，那么的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎15.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是　　　 ‎ A．[－2，－1]　　 B．[－2，1]　 C．[－1，2] D．[1，2]‎ ‎16．双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 A． B． C． D．‎ ‎17．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 ‎ A．4 B．‎4 C．2 D．2‎ ‎ ‎ ‎18．在约束条件下，当时，‎ 目标函数的最大值的变化范围是 A. B. C. D. ‎ ‎19. 已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 ‎ A. B. C. D. 4‎ ‎20．点到直线的距离为，且在表示的区域内，则_____ ‎ ‎21．不等式组表示的区域中,坐标是整数的点共有_________个。‎ ‎22．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 ___ 元.‎ ‎23．设变量、满足约束条件，则目标函数 的最小值为_______‎ ‎24．已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于_______,最大值等于____________.‎ 解答题：‎ ‎1. 已知数列满足.‎ ‎(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;‎ ‎(2)若,求证：对任意都成立；‎ ‎(3)若,求证：对任意都成立.‎ 解 (1)由得：‎ 即，求得 ‎（2）由知，‎ 两边同除以，得 ‎（3）‎ ‎ ‎ ‎，将代入，得； ㈠ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而，‎ ‎ ㈡ ‎ ‎ 由㈠㈡知，命题成立.‎ ‎2. 设数列的前项和为，。‎ ‎（1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式；‎ ‎（2）设数列的前n项和为，求证：；‎ ‎（3）是否存在自然数n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,请说明理由。‎ 又易知单调递增，故，得 ‎(3)由得 ‎=……13分 由，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005. ‎ ‎3. 已知数列中，，当时，其前项和满足，‎ ① 求的表达式及的值；‎ ② 求数列的通项公式；‎ ③ 设，求证：当且时，。‎ 解：（1）‎ 所以是等差数列。则。‎ ‎。‎ ‎（2）当时，，‎ 综上，。‎ ‎（3）令，当时，有 ‎ 等价于求证。‎ 当时，令 ‎，‎ 则在递增。‎ 又，‎ 所以即 ‎4. 数列：满足 ‎(Ⅰ) 设，求证是等比数列；‎ ‎(Ⅱ) 求数列的通项公式; ‎ ‎（Ⅲ）设,数列的前项和为,求证: ‎ 解：(Ⅰ)由得　　　　‎ ‎，即　，‎ ‎ 是以２为公比的等比数列　　　　　　‎ ‎ (Ⅱ) 又　　　　　　　　　　‎ 即 ，　　　‎ ‎　　　　　　　　　故　　　　　　　　‎ ‎（Ⅲ）　　　‎ 又 ‎5. 已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an－1（n≥2，n∈N*），若数列是等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）求证：当k为奇数时，；‎ ‎ （Ⅲ）求证：‎ ‎ ‎ 得=2或=－3 ‎ 当=2时，可得为首项是 ，公比为3的等比数列，‎ 则 ①‎ 当=－3时，为首项是，公比为－2的等比数列，‎ ‎∴ ②‎ ‎①－②得， ‎ ‎（注：也可由①利用待定系数或同除2n+1得通项公式）‎ ‎（Ⅱ）当k为奇数时，‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知k为奇数时， ‎ ‎①当n为偶数时， ‎ ‎②当n为奇数时，‎ ‎= ‎ ‎6.已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，·.‎ ‎（1）求数列的前项和；‎ ‎（2）若对一切都有，求的取值范围.‎ 解：（1） ，∴‎ 当时，.‎ 当≥2时，=，∴ ‎ 此时··=·，‎ ‎∴……=……+‎ 设……+，‎ ‎∴……，‎ ‎∴‎ ‎∴·　　……6分 ‎（2）由可得 ‎①当时，由，可得 ‎ ∴对一切都成立，‎ ‎∴此时的解为.　‎ ‎②当时，由 可得 ‎≥∴对一切都成立，‎ ‎∴此时的解为.‎ 由①，②可知 对一切，都有的的取值范围是或.　‎ ‎7. 已知等比数列的前项和为 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论．‎ 解：（Ⅰ）由得:时，‎ 是等比数列，，得 ‎ ‎（Ⅱ）由和得 ‎……10分 当或时有，所以当时有 那么同理可得：当时有，所以当 时有 综上：当时有；当时有 ‎8.已知数列满足 ‎（1）求；‎ ‎（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；‎ ‎（3）记，数列的前项和为，求证：.‎ 解：（1），由数列的递推公式得 ‎，，‎ ‎（2）‎ ‎=‎ ‎==‎ 数列为公差是的等差数列.‎ 由题意，令，得 ‎（3）由（2）知，‎ 所以 此时=‎ ‎=，‎ ‎ =‎ ‎>‎