浙江高考数学理科试题及答案

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浙江高考数学理科试题及答案

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)‎ 数学(理科)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合P=,Q=,则P=‎ ‎ A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.‎ ‎2.已知互相垂直的平面交于直线l,若直线m,n满足,则 ‎ A.B. C. D.‎ ‎3.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=‎ ‎ A. B.4 C. D.6‎ ‎4.命题“使得”的否定形式是 ‎ A.使得 B.使得 ‎ C.使得 D.使得 ‎5.设函数,则的最小正周期 ‎ A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关 ‎ C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关 ‎6.如图,点列分别在某锐角的两边上,且 ‎,,‎ ‎,.‎ ‎(表示点P与Q不重合)‎ ‎ 若,为的面积,则 ‎ A.是等差数列B.是等差数列 C.是等差数列D.是等差数列 ‎7.已知椭圆与双曲线的焦点重合,分别为的离心率,则 ‎ A.且 B.且 ‎ C.且 D.且 ‎8.已知实数.‎ ‎ A.若则 ‎ B.若则 ‎ C.若则 ‎ D.若则 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。‎ ‎9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.‎ ‎10.已知,则A=,b=.‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是 cm3.‎ ‎12.已知,若,则a=,b=.‎ ‎13.设数列的前n项和为,若 ‎,则=,=.‎ ‎14.如图,在中,AB=BC=2,.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.‎ ‎15.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|,则a·b的最大值是.‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(本题满分14分)在中,内角所对的边分别为,已知 ‎(Ⅰ)证明:‎ ‎(Ⅱ)若的面积,求角A的大小. ‎ ‎17.(本题满分15分)如图,在三棱台中,已知平面BCFE平面ABC,,,,,‎ ‎(Ⅰ)求证:‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎18. (本题满分15分)设,函数,‎ 其中 ‎(Ⅰ)求使得等式成立的x的取值范围 ‎(Ⅱ)(i)求的最小值 ‎(ii)求在上的最大值 ‎ ‎19.(本题满分15分)如图,设椭圆C:‎ ‎(Ⅰ)求直线被椭圆截得到的弦长(用a,k表示)‎ ‎(Ⅱ)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离心率的取值范围.‎ ‎20、(本题满分15分)设数列满足,‎ ‎(Ⅰ)求证:‎ ‎(Ⅱ)若,,证明:,.‎ 浙江数学(理科)试题 参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分.‎ ‎1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.多空题每题6分,单空题每题4分,满分16分.‎ ‎9.9 10. 11.72,32 12.4,2 13.1,121 14. 15. ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分。‎ ‎16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎(I)由正弦定理得,‎ 故,‎ 于是.‎ 又,,故,所以 或,‎ 因此(舍去)或,‎ 所以,.‎ ‎(II)由得,故有 ‎,‎ 因,得.‎ 又,,所以.‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 综上,或.‎ ‎17.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。‎ ‎(I)延长,,相交于一点,如图所示.‎ 因为平面平面,且,所以,‎ 平面,因此,‎ ‎.‎ 又因为,,,所以 为等边三角形,且为的中点,则 ‎.‎ 所以平面.‎ ‎(II)方法一:‎ 过点作,连结.‎ 因为平面,所以,则平面,所以.‎ 所以,是二面角的平面角.‎ 在中,,,得.‎ 在中,,,得.‎ 所以,二面角的平面角的余弦值为.‎ 方法二:‎ 如图,延长,,相交于一点,则为等边三角形.‎ 取的中点,则,又平面平面,所以,平面.‎ 以点为原点,分别以射线,的方向为,的正方向,‎ 建立空间直角坐标系.‎ 由题意得 ‎,,,‎ ‎,,.‎ 因此,‎ ‎,,.‎ 设平面的法向量为,平面的法向量为.‎ 由,得,取;‎ 由,得,取.‎ 于是,.‎ 所以,二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎ 18.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力。满分15分。‎ ‎(I)由于,故 当时,,‎ 当时,.‎ 所以,使得等式成立的的取值范围为 ‎.‎ ‎(II)(i)设函数,,则 ‎,,‎ 所以,由的定义知,即 ‎.‎ ‎(ii)当时,‎ ‎,‎ 当时,‎ ‎.‎ 所以,‎ ‎.‎ ‎19.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎(I)设直线被椭圆截得的线段为,由得 ‎,‎ 故 ‎,.‎ 因此 ‎.‎ ‎(II)假设圆与椭圆的公共点有个,由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点,,满足 ‎.‎ 记直线,的斜率分别为,,且,,.‎ 由(I)知,‎ ‎,,‎ 故 ‎,‎ 所以.‎ 由于,,得 ‎,‎ 因此 ‎, ①‎ 因为①式关于,的方程有解的充要条件是 ‎,‎ 所以 ‎.‎ 因此,任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为 ‎,‎ 由得,所求离心率的取值范围为.‎ ‎20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。‎ ‎(I)由得,故 ‎,,‎ 所以 ‎,‎ 因此 ‎.‎ ‎(II)任取,由(I)知,对于任意,‎ ‎,‎ 故 ‎.‎ 从而对于任意,均有 ‎.‎ 由的任意性得. ①‎ 否则,存在,有,取正整数且,则 ‎,‎ 与①式矛盾.‎ 综上,对于任意,均有.‎
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