高考数学二轮练习教学案专项数列教师

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2019 高考数学二轮练习精品教学案专项 03 数列（教师版） 【2018 考纲解读】 1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法， 并能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解答 简单的问题. 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决 简单的问题. 【知识络构建】 【重点知识整合】 一、等差数列与等比数列 1．Sn 与 an 的关系 在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an，从而 an＝Error! 2．等差数列性质 如果数列{an}是公差为 d 的等差数列，则 (1)an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋nn－1 2 d＝na1＋an 2 . (2)对正整数 m，n，p，q，am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q，am＋an＝2ap⇔m＋n＝2p. 3．等比数列性质 如果数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 (1)an＝a1qn－1，Sn＝Error! (2)对正整数 m，n，p，q，aman＝apaq⇔m＋n＝p＋q，aman＝a2p⇔m＋n＝2p. 4．等差、等比数列 Sn 的性质 若等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列；等比数列的 前 n 项和为 Sn，则在公比不等于－1 时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列． 5．等差、等比数列单调性 等差数列的单调性由公差 d 的范围确定，等比数列的单调性由首项和公比的范围确定． 二、数列求和及数列应用 1．常用公式 等差数列的前 n 项和，等比数列的前 n 项和， 1＋2＋3＋…＋n＝nn＋1 2 ， 12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋1 6 ， 13＋23＋…＋n3＝[nn＋1 2 ]2. 3．数学求和的基本方法 公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 4．数列的应用 等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型． 【高频考点突破】 考点一 等差数列和等比数列的基本运算 等差数列 等比数列 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前 n 项和 Sn＝na1＋an 2 ＝na1＋nn－1 2 d (1)q≠1，Sn＝a11－qn 1－q ＝a1－anq 1－q (2)q＝1，Sn＝na1 例 1、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn·已知 a2＝6,6a1＋a3＝30，求 an 和 Sn· 解：设{an}的公比为 q， 由题设得Error! 解得Error!或Error! 当 a1＝3 时，q＝2 时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)； 当 a1＝2，q＝3 时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1. 【变式探究】Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，S2＝S6， a4＝1，则 a5＝________. 考点二 等差、等比数列的判定和证明 数列{an}是等差或等比数列的证明方法： (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明 an＋1－an(n∈N)为常数； ②利用中项性质，即证明 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1 an (n∈N)为一常数； ②利用等比中项，即证明 a2n＝an－1an＋1(n≥2)． 例 2、已知数列{an}和{bn}满足 a1＝m，an＋1＝λan＋n，bn＝an－2n 3 ＋4 9. (1)当 m＝1 时，求证：对于任意的实数 λ，数列{an}一定不是等差数列； (2)当 λ＝－1 2 时，试判断数列{bn}是否为等比数列． (2) 当 λ＝－1 2 时，an＋1＝－1 2an＋n，bn＝an－2n 3 ＋4 9. bn＋1＝an＋1－2n＋1 3 ＋4 9 考点三 等差、等比数列的性质 等差数列 等比数列 性质 (1)若 m、n、p、q∈N，且 m＋n＝p＋q， 则 a m ＋a n ＝a p ＋a q (2)a n ＝a m ＋(n－m)d (3)S m ，S－S m ，S－S，…仍成等差数列 (1)若 m、n、p、q∈N，且 m＋n＝p＋q， 则 a m ·a n ＝a p ·a q (2)a n ＝a m q n－m (3)S m ，S－S m ，S－S，…仍成等比数列(S n ≠0) 例 3、等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d>|a1|”是“Sn 的最小值 为 S1，且 Sn 无最大值”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点四 数列求和 数列求和的方法技巧： (1)转化法： 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几 个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法： 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的 前 n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)裂项相消法： 利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限 项的和． 例 4、等比数列{an}中，a1，a2，a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1， a2，a3 中的任何两个数不在下表的同一列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前 2n 项和 S2n· 【变式探究】等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{ 1 bn}的前 n 项和． 解：(1)设数列{an}的公比为 q. 由 a23＝9a2a6 得 a23＝9a24，所以 q2＝1 9. 由条件可知 q＞0，故 q＝1 3. 考点五 数列与函数、不等式 例 5、设 b＞0，数列{an}满足 a1＝b，an＝ nban－1 an－1＋n－1(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：对于一切正整数 n,2an≤bn＋1＋1. ②当 b≠1 时，cn＋ 1 1－b ＝1 b(cn－1＋ 1 1－b)，且 c1＋ 1 1－b ＝1 b ＋ 1 1－b ＝ 1 b1－b ， {cn＋ 1 1－b}是首项为 1 b1－b ，公比为1 b 的等比数列， ∴cn＋ 1 1－b ＝ 1 b1－b·(1 b)n－1，由 n an ＋ 1 1－b ＝ 1 1－bbn 得 an＝n1－bbn 1－bn ， ∴an＝Error!. 【难点探究】 难点一　等差数列的通项、求和的性质 例 1、(1)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的 前 n 项和，n∈N，则 S10 的值为(　　) A．－110 B．－90 C．90 D．110 (2)设数列{an}是公差不为 0 的等差数列，a1＝2 且 a1，a5，a13 成等比数列，则数列{an} 的前 n 项和 Sn＝(　　) A.n2 4 ＋7n 4 B.n2 3 ＋5n 3 C.n2 2 ＋3n 4 D．n2＋n 【点评】 在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条件求出这 两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方 程思想的运用． 难点二　等比数列的通项、求和的性质 例 2 (1)已知数列{an}满足 log3an＋1＝log3an＋1(n∈N)且 a2＋a4＋a6＝9，则 log1 3(a5＋a7＋ a9)的值是(　　) A．－5 B．－1 5 C．5 D.1 5 (2)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3 ＝5，a7a8a9 ＝10，则 a1·a2·…·a 9 ＝ ________. 【点评】 等比数列中有关系式an am ＝qn－m(m，n∈N)，其中 q 为公比，这个关系式可以看做 推广的等比数列的通项公式，即 an＝amqn－m(m，n∈N)，当 m＝1 时就是等比数列的通项公 式． 难点三　等差、等比数列的综合问题 例 3 、成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等 比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求证：数列{Sn＋5 4}是等比数列． 【分析】 (1)由条件可以先求得数列{bn}的第三项，进而借助等比数列的通项公式求出 bn， (2)充分结合等比数列的定义不难证明． 【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为 a－d，a，a＋d. 依题意，得 a－d＋a＋a＋d＝15.解得 a＝5. 所以{bn}中的 b3，b4，b5 依次为 7－d,10,18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得 d＝2 或 d＝－13(舍去)． 故{bn}的第 3 项为 5，公比为 2. 由 b3＝b1·22，即 5＝b1·22，解得 b1＝5 4. 所以{bn}是以5 4 为首项，2 为公比的等比数列， 其通项公式为 bn＝5 4·2n－1＝5·2n－3. (2)证明：由(1)得数列{bn}的前 n 项和 Sn＝ 5 41－2n 1－2 ＝5·2n－2－5 4 ，即 Sn＋5 4 ＝5·2n－2. 所以 S1＋5 4 ＝5 2 ， Sn＋1＋5 4 Sn＋5 4 ＝5·2n－1 5·2n－2 ＝2. 因此{Sn＋5 4}是以5 2 为首项，公比为 2 的等比数列． 难点四　数列求和及其应用 例 4、在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n＋2 个数构成递增的等比数列，将这 n ＋2 个数的乘积记作 Tn，再令 an＝lgTn，n≥1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【点评】 此题考查等比数列的性质、三角函数等知识．此题两问中的方法都是值得注意的， 在第一问中采用的是倒序相乘法，这类似数列求和中的倒序相加法；第二问采用的裂项相消 法和两角差的正切公式结合在一起，这在近年来的高考试题中是不多见的，这与我们平时见 到的裂项相消法有较大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐 项相消的问题，基本思想就是裂项． 难点五　数列应用题的解法 例 5、某个集团公司下属的甲、乙两个企业在 2017 年 1 月的产值都为 a 万元，甲企业 每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增 加的百分数相等，到 2017 年 1 月两个企业的产值又相等． (1)到 2017 年 7 月，试比较甲、乙两个企业的产值的大小，并说明理由； (2)甲企业为了提高产能，决定用 3.2 万元买一台仪器．从 2017 年 2 月 1 日投放使用， 日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用了多少天？ (2)设一共用了 n 天，则 n 天的平均耗资为 P(n)， 则 P(n)＝3.2 × 104＋ (5＋n＋49 10 )n 2 n ＝3.2 × 104 n ＋ n 20 ＋9.9 2 ， 当且仅当3.2 × 104 n ＝ n 20 时 P(n)取得最小值，此时 n＝800， 故日平均耗资最小时使用了 800 天． 【点评】 此题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用，并与基本不等式进行交 汇．数列在实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但并 不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能。 【历届高考真题】 【2018 高考试题】 一、选择题 1.【2018 高考真题重庆理 1】在等差数列 中， ， 则 的前 5 项和 =（ ） A.7 B.15 C.20 D.25 2.【2018 高考真题浙江理 7】设 是公差为 d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和， A.若 d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则 d＜0[学&科&] C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意 ，均有 D. 若对任意 ，均有 ，则数列﹛Sn﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数 列，但是 S n＞0 不成立．应选 C。 3.【2018 高考真题新课标理 5】已知 为等比数列， ， ，则 （ ） 【答案】D 【 解 析 】 因 为 为 等 比 数 列 ， 所 以 ， 又 ， 所 以 或 . 若 ， 解 得 ， ；若 ，解得 ，仍有 ，综上 选 D. { }na 5 6 8a a = − 1 10a a+ = }{ na 12 =a 54 =a }{ na 5S nS *Nn∈ 0>nS *Nn∈ 0>nS 4 7 2a a+ = ( )A 7 ( )B 5 ( )C −5 ( )D −7 }{ na 87465 −== aaaa 274 =+ aa 24 74 −== aa ， 42 74 =−= aa ， 24 74 −== aa ， 18 101 =−= aa ， 7101 −=+ aa 42 74 =−= aa ， 18 110 =−= aa ， 7101 −=+ aa 4. 【 2018 高 考 真 题 上 海 理 18 】 设 ， ， 在 中，正数的个数是（ ） A．25 B．50 C．75 D．100 5.【2018 高考真题辽宁理 6】在等差数列{an}中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【答案】B 【解析】在等差数列中， 。 6.【2018 高考真题四川理 12】设函数 ， 是公差为 的等差数列， ，则 （ ） A、 B、 C、 D、 25sin1 πn nan = nn aaaS +++= 21 10021 ,,, SSS  1 11 1 11 4 8 11 11 ( )16, 882 a aa a a a s × ++ = + = ∴ = = ( ) 2 cosf x x x= − { }na 8 π 1 2 5( ) ( ) ( ) 5f a f a f a π+ +⋅⋅⋅+ = =− 51 2 3 )]([ aaaf 0 21 16 π 21 8 π 213 16 π . ，应选 D. 7.【2018 高考真题湖北理 7】定义在 上的函数 ，如果对于任意给定 的等比数列 ， 仍是等比数列，则称 为“保等比数列函数”. 现有定义在 上的如下函数： ① ； ② ； ③ ； ④ . 则其中是“保等比数列函数”的 的序号为 ① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 8.【2018 高考真题福建理 2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 【解析】由等差中项的性质知 ，又 9.【2018 高考真题安徽理 4】公比为 等比数列 的各项都是正数，且 ， 则 =（ ） ( ,0) (0, )−∞ +∞ ( )f x { }na { ( )}nf a ( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ 2( )f x x= ( ) 2xf x = ( ) | |f x x= ( ) ln | |f x x= ( )f x 2,510 33 ππ =∴=∴ aa 2 2 3 1 5[ ( )] (2 0) ( )( )2 2 4 2 4f a a a π π π π π∴ − = × − − − + 16 13π= 52 51 3 =+= aaa 2,7 344 =−=∴= aada 3 2 { }na 3 11 16a a = 162log a ( )A 4 ( )B 5 ( )C 6 ( )D 7 10.【2018 高考真题全国卷理 5】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5=5，S5=15，则数列 的前 100 项和为 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】由 ,得 ，所以 ，所以 ，又 ，选 A. 二、填空题 11.【2018 高考真题浙江理 13】设公比为 q（q＞0）的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。 若 S2=3a2+2，S4=3a4+2，则 q=______________。 12.【2018 高考真题四川理 16】记 为不超过实数 的最大整数，例如， ， ， 。 设 为 正 整 数 ， 数 列 满 足 ， ，现有下 ①当 时，数列 的前 3 项依次为 5,3,2； ②对数列 都存在正整数 ，当 时总有 ； ③当 时， ； 100 101 99 101 99 100 101 100 15,5 55 == Sa 1,11 == da nnan =−+= )1(1 1 11 )1( 11 1 +−=+= + nnnnaa nn 101 100 101 11101 1 100 1 3 1 2 1 2 1 1 111 10110021 =−=−++−+−=+  aaaa [ ]x x [2] 2= [1.5] 1= [ 0.3] 1− = − a { }nx 1x a= 1 [ ] [ ]( )2 n n n ax xx n N ∗ + + = ∈ 5a = { }nx { }nx k n k≥ n kx x= 1n ≥ 1nx a> − ④对某个正整数 ，若 ，则 。 【答案】①③④ 【解析】当 时， ， ，故①正确；同 样验证可得③④正确，②错误. 13.【2018 高考真题新课标理 16】数列 满足 ，则 的前 项和为 14. 【 2018 高 考 真 题 辽 宁 理 14 】 已 知 等 比 数 列 ｛ an ｝ 为 递 增 数 列 ， 且 ，则数列｛an｝的通项公式 an =______________。 15.【2018 高 考 真 题 江 西 理 12】 设 数 列{an},{bn}都 是 等 差 数 列 ， 若 ， ，则 __________。 【答案】35 k 1k kx x+ ≥ [ ]nx a= 5a = 1 5x a= = 2 55 5 32x + = = 3 53 [ ]3[ ] 22x + = = { }na 1 ( 1) 2 1n n na a n+ + − = − { }na 60 2 5 10 2 1,2( ) 5n n na a a a a+ += + = 711 =+ ba 2133 =+ ba =+ 55 ba 【 解 析 】 设 数 列 的 公 差 分 别 为 ， 则 由 ， 得 ，即 ，所以 ， 所以 。 16.【2018 高考真题北京理 10】已知 等差数列 为其前 n 项和。若 ， ，则 =_______。 17.【2018 高考真题广东理 11】已知递增的等差数列{an}满足 a1=1， ，则 an=____． 【答案】 【解析】由 得到 ，即 ，应为{an}是递增的等差 数列，所以 ，故 。 18.【2018 高考真题重庆理 12】 . 19.【2018 高考真题上海理 6】有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比 数列，体积分别记为 ，则 。 }{},{ nn ba bd, 2133 =+ ba 21)(211 =+++ dbba 14721)(2 =−=+ db 7=+ db 35747)(41155 =×+=+++=+ dbbaba }{ na nS 2 1 1 =a 32 aS = 2a 42 23 −= aa 12 −n 42 23 −= aa 4)1(21 2 −+=+ dd 42 =d 2=d 12 −= nan = −+∞→ nnnn 5 1lim 2 2 1  ，，，， nVVV 21 =+++ ∞→ )(lim 21 nn VVV  【答案】 。 【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以 1 为首项， 为公比的等比数列， ∴ + +…+ = = ，∴ 。 20.【2018 高考真题福建理 14】数列{an}的通项公式 ，前 n 项和为 Sn， 则 S2018=___________. 三、解答题 21【2018 高考江苏 20】（16 分）已知各项均为正数的两个数列 和 满足： ， ， （1）设 ， ，求证：数列 是等差数列； （2）设 ， ，且 是等比数列，求 和 的值． 7 8 8 1 1V 2V nV 8 11 8 11 − − n )8 11(7 8 n − =+++ ∞→ )(lim 21 nn VVV  7 8 { }na { }nb 221 nn nn n ba baa + +=+ *Nn ∈ n n n a bb +=+ 11 *Nn ∈ 2 n n b a           n n n a bb •=+ 21 *Nn ∈ { }na 1a 1b （2）∵ ，∴ 。 ∴ 。（﹡） 设等比数列 的公比为 ，由 知 ，下面用反证法证明 若 则 ，∴当 时， ，与（﹡）矛盾。 若 则 ，∴当 时， ，与（﹡）矛盾。 ∴综上所述， 。∴ ，∴ 。 又∵ ，∴ 是公比是 的等比数列。 若 ，则 ，于是 。 又由 即 ，得 。 ∴ 中至少有两项相同，与 矛盾。∴ 。 0 0n na > b >， ( ) ( ) 2 22 2 2 n n n n n n a b a b < a b + ≤ + + 1 2 2 1 2n n n n n a b< a a b + += ≤ + { }na q 0na > 0q > =1q 1,q > 2 1 2= 2aa < aq ≤ 1 2logqn > a 1 1 2n na a q >+ = 0 1,< q < 2 1 2= 1aa > a >q 1 1logqn > a 1 1 1n na a q <+ = =1q ( )1 *na a n N= ∈ 11 2< a ≤ 1 1 22 =n n n n bb ba a+ = • • ( )*n N∈ { }nb 1 2 a 1 2a ≠ 1 2 1>a 1 2 3b 2 2 1 3 2, 2 0 1x c x x c c x c c= > = − + > = ⇔ < < 2 2 1 10 1 0n n n n nx x c x x c x x c+ − = − > ⇔ < < ⇔ = ≤ < 。 33.【2018 高考真题湖南理 19】（本小题满分 12 分） 已知数列{an}的各项均为正数，记 A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n） =a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… 若 a1=1，a2=5，且对任意 n∈N﹡，三个数 A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数 列{ an }的通项公式. 证明：数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数 A （n），B（n），C（n）组成公比为 q 的等比数列. （Ⅱ）（１）必要性：若数列 是公比为ｑ的等比数列，则对任意 ，有 由 知， 均大于０，于是 2 2 2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )( 1)n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x+ + + + + +− = − − + − = − − + − Nn ∗∈ { }na Nn ∗∈ 1 .n nqa a− = 0na > ( ), ( ), ( )A n B n C n 1 2 )2 3 1 1 2 1 2 ( ......( ) ,( ) ... ... nn n n q a a aa a aB n qA n a a a a a a + + + ++ + += = =+ + + + + + 2 3 1)3 4 2 2 3 1 2 3 1 ( ......( ) ,( ) ... ... nn n n q a a aa a aC n qB n a a a a a a ++ + + + + ++ + += = =+ + + + + + 即 ＝ ＝ ，所以三个数 组成公比为 的等比数列. 【2017 年高考试题】 1. (2017 年 高 考 四 川 卷 理 科 8) 数 列 的 首 项 为 ， 为 等 差 数 列 且 .若则 ， ，则 ( ) （A）0 （B）3 （C）8 （D）11 2.(2017 年高考全国卷理科 4)设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 【答案】D 【解析】 应选 D。 { }na 3 { }nb 1 ( *)n n nb a a n N+= − ∈ 3 2b = − 10 12b = 8a = ( ) ( ) B n A n ( ) ( ) C n B n q ( ), ( ), ( )A n B n C n q nS { }na n 1 1a = 2d = 2 24A nS S+ − = k = 2 2 1 1 1( 2 1) ( 1 1)k k k kS S a a a k d a k d+ + +− = + = + + − + + + − 12 (2 1)a k d= + + 2 1 (2 1) 2 4 4 24 5k k k= × + + × = + = ⇒ = 3. (2017 年 高 考 广 东 卷 理 科 11) 等 差 数 列 前 9 项 的 和 等 于 前 4 项 的 和. 若 ，则 . 5. (2017 年高考湖北卷理科 13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自下而下 各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积 为 升 5.(2017 年高考陕西卷理科 14)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵， 相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑 出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 【解析】设树苗集中放置在第 号坑旁边，则 20 名同学返所走的路程总和为 = 即 时 . 7.(2017 年高考江苏卷 13)设 ，其中 成公比为 q 的等 比数列， 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是________ { }na 1 41, 0ka a a= + = k = i 2[( 1) ( 2)l i i= − + − + 2 1+ + 1 2 (19 ) (20 )] 10i i+ + + + − + − × 2( 21 210) 20i i− + × 221 399[( ) ] 202 4i= − + × 10 11i = 或 min 2000l = 7211 aaa ≤≤≤≤  7531 ,,, aaaa 642 ,, aaa 9. (2017 年高考山东卷理科 20)（本小题满分 12 分） 等比数列 中， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 中 的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若数列 满足： ，求数列 的前 项和 . 【解析】（I）当 时，不合题意； 当 时，当且仅当 时，符合题意； 当 时，不合题意。 因此 所以公式 q=3， 故 （II）因为 所以 { }na 1 2 3, ,a a a 1 2 3, ,a a a { }na { }nb ( 1)lnn n nb a a= + − { }nb 2n 2nS 1 3a = 1 2a = 2 36, 18a a= = 1 10a = 1 2 32, 6, 18,a a a= = = 12 3 .n na −= ⋅ ( 1) lnn n n nb a a= + − 1 1 1 1 2 3 ( 1) (2 3 ) 2 3 ( 1) [ln 2 ( 1)ln3] 2 3 ( 1) (ln 2 ln3) ( 1) ln3, n n n n n n n n n n − − − − = ⋅ + − ⋅ = ⋅ + − + − = ⋅ + − − + − 所以 16. (2017 年高考广东卷理科 20)设 数列 满足 , 求数列 的通项公式； 证明：对于一切正整数 n, 【解析】（1）由 令 ， 当 2 1 2 2 2(1 3 3 ) [ 1 1 1 ( 1) ](ln 2 ln3) [ 1 2 5 ( 1) ]ln3,n n n nS n−= + + + + − + − + + − − + − + − + + −   0,b > { }na 1 1 1 = , ( 2)2 2 n n n nbaa b a na n − − = ≥+ − { }na 1 1 12 n n n ba + +≤ + 1 1 1 1 1 2 10, 0, .2 2 n n n n n nba n na b a a n a b b a − − − −= > = > = ++ −知 1 1,n n nA Aa b = = 1 1 22 , n nn A Ab b −≥ = +时 2 1 12 1 1 1 2 2 2n n n n Ab b b b − − − −= + + + + 2 1 2 1 1 2 2 2 . n n n nb b b b − − −= + + + + （2）当 时，（欲证 ） ， 当 综上所述 17. (2017 年高考湖北卷理科 19)（本小题满分 13 分） 已知数列 的前 n 项和为 ，且满足： (Ⅰ)求数列 的通项公式； (Ⅱ)若存在 ，使得 成等差数列，试判断：对于任意的 ，且 2b ≠ 1 1 1 1 ( 2) 21, ( 1) 22 2 2 n n n n n n n n n n n nb b b b ba nb bb + + + + − −= ≤ + ≤ + −− 只需证 1 1 1 1 1 2 12(2 ) (2 )( 2 2 )2 n n n n n n n n nbb b b bb + + + + − − −−+ = + + + +−  1 1 2 2 2 2 2 1 1 12 2 2 2 2n n n n n n n n nb b b b b+ − + − − − += + + + + + + +  2 1 2 1 2 2 22 ( )22 2 n n n n n n n n b b bb b b b − −= + + + + + + +  12 (2 2 2) 2 2 2n n n n n nb n b n b+> + + + = ⋅ = ⋅ 1 1 ( 2) 1.2 2 n n n n n n nb b ba b + + −∴ = < +− 1 12 , 2 1.2 n n n bb a + += = = +时 1 1 1.2 n n n ba + +≤ + { }na nS 1 1( 0), ( , , 1)n na a a a rS n N r R r+ += ≠ = ∈ ∈ ≠ − { }na k N +∈ 1 2, ,k k kS S S+ + m N +∈ ， 是否成等差数列，并证明你的结论. 解析： （Ⅱ）对于任意的 ，且 成等差数列，证明如下： 当 r=0 时，由（Ⅰ）知， ∴对于任意的 ，且 成等差数列； 当 时， 若存在 ，使得 成等差数列，则 ， 即 ， 由 （ Ⅰ ） 知 ， 的 公 比 r+1=—2， 于 是 对 于 任 意 的 ， 且 ， 从而 ， ， 即 成等差数列. 综上，对于任意的 ，且 成等差数列. 18.(2017 年高考重庆卷理科 21)（本小题满分 12 分。（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分） 2m ≥ 1 2, ,m m ma a a+ + m N +∈ 1 22, , ,m m mm a a a+ +≥ { , 1, 0, 2.n a na n == ≥ m N +∈ 1 22, , ,m m mm a a a+ +≥ 0, 1r r≠ ≠ − 1 1 1.k k k kS S S a+ + += = + 2 1 2,k k k kS S a a+ + += + + k N +∈ 1 2, ,k k kS S S+ + 1 2 2 ,k k kS S S+ ++ = 1 22 2 2k k k kS a a S+ +∴ + + = 2 12k ka a+ += − 2 3, , , ,na a a… … m N +∈ 2m ≥ 1 2m ma a+ = − 2 4m ma a+ = 1 2 2m m ma a a+ +∴ + = 1 2, ,m m ma a a+ + m N +∈ 1 22, , ,m m mm a a a+ +≥ 设实数数列 的前 n 项和 满足 （Ⅰ）若 成等比数列，求 和 （Ⅱ）求证：对 有 。 因 ，且 ， 要证 ，由①，只要证 即证 ，即 ，此式明显成立， 因此 。 最后证， ，若不然， ， 又因 ，故 ，即 。矛盾， 24．(2017 年高考福建卷理科 16)（本小题满分 13 分） { }na nS ( )* 1 1n n nS a S n N+ += ∈ 1 2 2, , 2a S a− 2S 3a 3k ≥ 1 40 3n na a+≤ ≤ ≤ 2 2 1 1 1 1 31 02 4k k ka a a− − −  − + = − + >   2 1 0ka − ≥ 4 3ka ≤ 2 1 2 1 1 4 1 3 k k k a a a − − − ≤− + ( )2 2 1 1 13 4 1k k ka a a− − −≤ − + ( )2 1 2 0ka − − ≥ ( )4 33ka k≤ ≥ 1k ka a+ ≤ 2 1 2 1 k k k k k aa aa a+ = >− + 0ka ≥ 2 2 11 k k k a a a >− + ( )21 0ka − < 已知等比数列{an}的公比 q=3，前 3 项和 S3= 。 （I）求数列{an}的通项公式； （II）若函数 在 处取得最大值，且最 大值为 a3，求函数 f（x）的解析式。 25．(2017 年高考上海卷理科 22)（18 分）已知数列 和 的通项公式分别为 ， （ ），将集合 中 的元素从小到大依次排列，构成数列 。 （1）求 ； （2）求证：在数列 中．但不在数列 中的项恰为 ； （3）求数列 的通项公式。 解：⑴ ； ⑵ ① 任意 ，设 ，则 ，即 13 3 ( ) sin(2 )( 0,0 )f x A x A pϕ ϕ π= + > < < < 6x π= { }na { }nb 3 6na n= + 2 7nb n= + *n N∈ * *{ | , } { | , }n nx x a n N x x b n N= ∈ = ∈ 1 2 3, , , , ,nc c c c  1 2 3 4, , ,c c c c { }nc { }nb 2 4 2, , , ,na a a  { }nc 1 2 3 49, 11, 12, 13c c c c= = = = *n N∈ 2 1 3(2 1) 6 6 3 2 7n ka n n b k− = − + = + = = + 3 2k n= − ② 假设 （矛盾），∴ ∴ 在数列 中．但不在数列 中的项恰为 。 ⑶ ， ， ， ∵ 2 1 3 2n na b− −= 2 6 6 2 7n ka n b k= + = = + ⇔ *13 2k n N= − ∈ 2 { }n na b∉ { }nc { }nb 2 4 2, , , ,na a a  3 2 2 12(3 2) 7 6 3k kb k k a− −= − + = + = 3 1 6 5kb k− = + 2 6 6ka k= + 3 6 7kb k= + 6 3 6 5 6 6 6 7k k k k+ < + < + < +