高考理科数学试题及答案汇编

高考理科数学试题及答案汇编

2016 年全国各省市高考数学（理）试题及答案 试题类型： 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 卷 3 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. （1）设集合 S=    (x 2)(x 3) 0 ,T 0S x x x      P ，则 SI T= (A) [2，3] (B)（- ，2] U [3,+  ） (C) [3,+  ） (D)（0，2] U [3,+  ） （2）若 z=1+2i，则 4 1 i zz   (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量 1 2( , )2 2BA uuv , 3 1( , ),2 2BC uuuv 则  ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C，B 点表示四月的平均最低气温 约为 50C。下面叙述不正确的是 (A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个 （5）若 3tan 4   ，则 2cos 2sin 2   (A) 64 25 (B) 48 25 (C) 1 (D) 16 25 （6）已知 4 32a  ， 3 44b  ， 1 325c  ，则 （A）b a c  （B） a b c  （C）b c a  （D） c a b  （7）执行下图的程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n= （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （8）在 ABC△ 中， π 4B = ，BC 边上的高等于 1 3 BC ,则 cos A= （A） 3 10 10 （B） 10 10 （C） 10 10- （D） 3 10 10- (9)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的表面积为 （A）18 36 5 （B）54 18 5 （C）90 （D）81 (10) 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 AB  BC，AB=6，BC=8，AA1=3， 则 V 的最大值是 （A）4π （B） 9 2  （C）6π （D） 32 3  （11）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于 点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 （12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m 项，其中 m 项为0，m 项为1，且对任意 2k m ， 1 2, , , ka a a 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 （A）18 个 （B）16 个 （C）14 个 （D）12 个 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （13）若 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为_____________. （14）函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移 _____________个单位长度得到。 （15）已知 f(x)为偶函数，当 时， ，则曲线 y=f(x)，在带你（1，-3） 处的切线方程是_______________。 （16）已知直线 与圆 交于 A，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若 ，则 __________________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和 ， ，其中  0 （I）证明 是等比数列，并求其通项公式 （II）若 ，求  （18）（本小题满分 12 分） 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明 （II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量。 （19）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥地面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点. （I）证明 MN∥平面 PAB; （II）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. （20）（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C： 2 2y x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 1 2,l l 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点. （I）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ； （II）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程. （21）（本小题满分 12 分） 设函数 f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中 a＞0，记 的最大值为 A. （Ⅰ）求 f＇（x）； （Ⅱ）求 A； （Ⅲ）证明 ≤2A. 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号 后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，⊙O 中 AB 的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点. （I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小； （II）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明 OG⊥CD. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3cos ( ) sin x y       为参数 ，以坐标原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin( ) 2 24     . （I）写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （II）设点 P 在 1C 上，点 Q 在 2C 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 |f x x a a   （I）当 a=2 时，求不等式 ( ) 6f x  的解集； （II）设函数 ( ) | 2 1|,g x x  当 xR 时，f（x）+g（x）≥3，求 a 的取值范围. 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：新课标Ⅲ 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学正式答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （13） 3 2 （14） 3  （15） 2 1y x   （16）4 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意得 111 1 aSa  ，故 1 ，  1 1 1a ， 01 a . 由 nn aS 1 ， 11 1   nn aS  得 nnn aaa    11 ，即 nn aa   )1(1 .由 01 a ， 0 得 0na ，所以 1 1    n n a a . 因此 }{ na 是首项为 1 1 ，公比为 1  的等比数列，于是 1)1(1 1   n na    ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 n nS )1(1    ，由 32 31 5 S 得 32 31)1(1 5    ，即  5)1(  32 1 ， 解得 1   ． （18）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 4t ， 28)( 7 1 2  i i tt ， 55.0)( 7 1 2  i i yy ， 89.232.9417.40))(( 7 1 7 1 7 1      i i iii i ii ytytyytt ， 99.0646.2255.0 89.2 r . 因为 y 与t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模 型拟合 y 与t 的关系. （Ⅱ）由 331.17 32.9 y 及（Ⅰ）得 103.028 89.2 )( ))(( ˆ 7 1 2 7 1         i i i ii tt yytt b ， 92.04103.0331.1ˆˆ  tbya . 所以， y 关于t 的回归方程为： ty 10.092.0ˆ  . 将 2016 年对应的 9t 代入回归方程得： 82.1910.092.0ˆ y . 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. （19）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由已知得 23 2  ADAM ，取 BP 的中点T ，连接 TNAT, ，由 N 为 PC 中点 知 BCTN // ， 22 1  BCTN . 又 BCAD // ，故TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 ATMN // . 因为 AT 平面 PAB ， MN 平面 PAB ，所以 //MN 平面 PAB . （Ⅱ）取 BC 的中点 E ，连结 AE ，由 ACAB  得 BCAE  ，从而 ADAE  ，且 5)2( 2222  BCABBEABAE . 以 A 为坐标原点， AE 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzA  ，由 题意知， )4,0,0(P ， )0,2,0(M ， )0,2,5(C ， )2,1,2 5(N ， )4,2,0( PM ， )2,1,2 5( PN ， )2,1,2 5(AN . 设 ),,( zyxn  为平面 PMN 的法向量，则      0 0 PNn PMn ，即      022 5 042 zyx zx ，可取 )1,2,0(n ， 于是 25 58 |||| |||,cos|  ANn ANnANn . （20）解：由题设 )0,2 1(F .设 bylayl  :,: 21 ，则 0ab ，且 )2,2 1(),,2 1(),,2 1(),,2(),0,2( 22 baRbQaPbbBaA  . 记过 BA, 两点的直线为l ，则l 的方程为 0)(2  abybax . .....3 分 （Ⅰ）由于 F 在线段 AB 上，故 01  ab . 记 AR 的斜率为 1k ， FQ 的斜率为 2k ，则 2221 1 1 kba ab aaba ba a bak    . 所以 FQAR∥ . ......5 分 （Ⅱ）设l 与 x 轴的交点为 )0,( 1xD ， 则 2,2 1 2 1 2 1 1 baSxabFDabS PQFABF   . 由题设可得 22 1 2 1 1 baxab  ，所以 01 x （舍去）， 11 x . 设满足条件的 AB 的中点为 ),( yxE . 当 AB 与 x 轴不垂直时，由 DEAB kk  可得 )1(1 2  xx y ba . 而 yba  2 ，所以 )1(12  xxy . 当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合.所以，所求轨迹方程为 12  xy . ....12 分 （21）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） ' ( ) 2 sin 2 ( 1)sinf x a x a x    ． （Ⅱ）当 1a  时， '| ( ) | | sin 2 ( 1)(cos 1) |f x a x a x    2( 1)a a   3 2a  (0)f 因此， 3 2A a  ． ………4 分 当 0 1a  时，将 ( )f x 变形为 2( ) 2 cos ( 1)cos 1f x a x a x    ． 令 2( ) 2 ( 1) 1g t at a t    ， 则 A 是 | ( ) |g t 在 [ 1,1] 上 的 最 大 值 ， ( 1)g a  ， (1) 3 2g a  ， 且 当 1 4 at a  时 ， ( )g t 取 得 极 小 值 ， 极 小 值 为 2 21 ( 1) 6 1( ) 14 8 8 a a a ag a a a         ． 令 11 14 a a    ，解得 1 3a   （舍去）， 1 5a  ． （ ⅰ ） 当 10 5a  时 ， ( )g t 在 ( 1,1) 内 无 极 值 点 ， | ( 1) |g a  ， | (1) | 2 3g a  ， | ( 1) | | (1) |g g  ，所以 2 3A a  ． （ⅱ）当 1 15 a  时，由 ( 1) (1) 2(1 ) 0g g a     ，知 1( 1) (1) ( )4 ag g g a    ． 又 1 (1 )(1 7 )| ( ) | | ( 1) | 04 8 a a ag ga a       ，所以 21 6 1| ( ) |4 8 a a aA g a a     ． 综上， 2 12 3 ,0 5 6 1 1, 18 5 3 2, 1 a a a aA aa a a              ． ………9 分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得 '| ( ) | | 2 sin 2 ( 1)sin | 2 | 1|f x a x a x a a       . 当 10 5a  时， '| ( ) | 1 2 4 2(2 3 ) 2f x a a a A       . 当 1 15 a  时， 1 3 18 8 4 aA a     ，所以 '| ( ) | 1 2f x a A   . 当 1a  时， '| ( ) | 3 1 6 4 2f x a a A     ，所以 '| ( ) | 2f x A . 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题 号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）连结 BCPB, ，则 BCDPCBPCDBPDPBABFD  , . 因为 BPAP  ，所以 PCBPBA  ，又 BCDBPD  ，所以 PCDBFD  . 又 PCDPFBBFDPFD  2,180 ，所以 1803 PCD ，因此 60PCD . （Ⅱ）因为 BFDPCD  ，所以 180 EFDPCD ，由此知 EFDC ,,, 四点共圆， 其圆心既在CE的垂直平分线上，又在 DF 的垂直平分线上，故G 就是过 EFDC ,,, 四点的 圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此 CDOG  . 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ） 1C 的普通方程为 2 2 13 x y  ， 2C 的直角坐标方程为 4 0x y   . ……5 分 （Ⅱ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos ,sin )  ，因为 2C 是直线，所以| |PQ 的最 小值， 即为 P 到 2C 的距离 ( )d  的最小值， | 3 cos sin 4 |( ) 2 | sin( ) 2 |32 d         . ………………8 分 当且仅当 2 ( )6k k Z    时， ( )d  取得最小值，最小值为 2 ，此时 P 的直角坐标 为 3 1( , )2 2 . ………………10 分 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当 2a  时， ( ) | 2 2 | 2f x x   . 解不等式| 2 2 | 2 6x    ，得 1 3x   . 因此， ( ) 6f x  的解集为{ | 1 3}x x   . ………………5 分 （Ⅱ）当 x R 时， ( ) ( ) | 2 | |1 2 |f x g x x a a x      | 2 1 2 |x a x a     |1 |a a   ， 当 1 2x  时等号成立， 所以当 x R 时， ( ) ( ) 3f x g x  等价于|1 | 3a a   . ① ……7 分 当 1a  时，①等价于1 3a a   ，无解. 当 1a  时，①等价于 1 3a a   ，解得 2a  . 所以 a 的取值范围是[2, ) . ………………10 分 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 卷 2 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 题，共 150 分，共 4 页。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. （1）已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范 围是 （A） )1,3( （B） )3,1( （C） ),1(  （D） （2）已知集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D） （3）已知向量 ，且 ，则 m= （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 （4）圆 的圆心到直线 的距离为 1，则 a= （A） 3 4 （B） 4 3 （C） 3 （D）2 （5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年 公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π （7）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 12  个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A）x= 62 k   (kZ) （B）x= 62  k (kZ) （C）x= 122 k   (kZ) （D）x= 122 k   (kZ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框 图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s= （A）7 （B）12 （C）17 （D）34 （9）若 cos( π 4–α)= 3 5，则 sin 2α= （A） 25 7 （B） 5 1 （C） 5 1 （D） 25 7 （10）从区间 随机抽取 2n 个数 , ，…， ， ， ，…， ，构成 n 个数对 ， ，…， ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法 得到的圆周率 的近似值为 （A） （B） （C） （D） （11）已知 F1，F2 是双曲线 E 的左，右焦点，点 M 在 E 上，M F1 与 轴垂直， sin ,则 E 的离心率为 （A） （B） （C） （D）2 （12）已知函数 ))(( Rxxf  满足 )(2)( xfxf  ,若函数 x xy 1 与 )(xfy  图像的 交点为 )( 1,1 yx , ),( 22 yx ···，（ mm yx , ），则   m i ii yx 1 )( （A）0 （B）m （C）2m （D）4m 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题 考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分。 （13）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 cos A= ，cos C= ，a=1，则 b= . （14）α、β是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. （2）如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n. （3）如果α∥β，m α，那么 m∥β. （4）如果 m∥n，α∥β，那么 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 。(填写所有正确命题的编号） （15）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片， 甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与 丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数 字是 。 （16）若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln（x+1）的切线，则 b= 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分 12 分） Sn 为等差数列 的前 n 项和，且 1a =1 ， 7S =28 记 ，其中 表示不 超过 x 的最大整数，如[0.9] = 0，[lg99]=1。 （I）求 1b ， 11b ， 101b ； （II）求数列 的前 1 000 项和. （18）（本题满分 12 分） 某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的 本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上 年 度 出 险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一 年 内 出 险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率； （III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. （19）（本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E,F 分别在 AD,CD 上， AE=CF= ，EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ 的位置， . （I）证明： 平面 ABCD； （II）求二面角 的正弦值. （20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E: 的焦点在 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA. （I）当 t=4， 时，求△AMN 的面积； （II）当 时，求 k 的取值范围. （21）（本小题满分 12 分） (I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0 时， (II)证明：当 时，函数 有最小值.设 g（x）的最小 值为 ，求函数 的值域. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：集合证明选讲 如图，在正方形 ABCD，E,G 分别在边 DA,DC 上（不与端点重合），且 DE=DG，过 D 点 作 DF⊥CE，垂足为 F. (I) 证明：B,C,G,F 四点共圆； (II)若 AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积. （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中，圆 C 的方程为（x+6）2+y2=25. （I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； costx  （II）直线 l 的参数方程是 （t 为参数）,l 与 C 交于 A、B 两点， sinty  ∣AB∣= 10 ，求 l 的斜率。 （24）（本小题满分 10 分），选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x- 2 1 ∣+∣x+ 2 1 ∣，M 为不等式 f(x) ＜2 的解集. （I）求 M； （II）证明：当 a,b∈M 时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案 第Ⅰ卷 一.选择题： （1）【答案】A （2）【答案】C （3）【答案】D （4）【答案】A （5）【答案】B （6）【答案】C （7）【答案】B （8）【答案】C （9）【答案】D （10）【答案】C （11）【答案】A （12）【答案】C 第Ⅱ卷 二、填空题 (13)【答案】 (14) 【答案】②③④ （15）【答案】1 和 3 （16）【答案】 三.解答题 17.（本题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ） ， ， ；（Ⅱ）1893. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项 ，再根据已知条件求 ；（Ⅱ）用分段函数表 示 ，再由等差数列的前 项和公式求数列 的前 1 000 项和． 试题解析：（Ⅰ）设 的公差为 ，据已知有 ，解得 所以 的通项公式为 （Ⅱ）因为 所以数列 的前 项和为 考点：等差数列的的性质，前 项和公式，对数的运算. 【结束】 18.（本题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人 本年度的保费为 ，求 的分布列为，在根据期望公式求解.. 【解析】 试题分析： 试题解析：（Ⅰ）设 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件 发生当 且仅当一年内出险次数大于 1，故 （Ⅱ）设 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 ”，则事件 发生当且 仅当一年内出险次数大于 3，故 又 ，故 因此所求概率为 （Ⅲ）记续保人本年度的保费为 ，则 的分布列为 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望. 【结束】 19.（本小题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）证 ，再证 ，最后证 ；（Ⅱ）用 向量法求解. 试题解析：（I）由已知得 ， ，又由 得 ，故 . 因此 ，从而 .由 , 得 . 由 得 .所以 ， . 于是 ， ， 故 . 又 ，而 ， 所以 . （II）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， . 设 是 平 面 的 法 向 量 ， 则 ，即 ，所以可以取 .设 是平面 的法向量，则 ，即 ，所以可以取 .于是 ， . 因 此 二 面 角 的正弦值是 . 考点：线面垂直的判定、二面角. 【结束】 20.（本小题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求直线 的方程，再求点 的纵坐标，最后求 的面积；（Ⅱ） 设 ，，将直线 的方程与椭圆方程组成方程组，消去 ，用 表示 ，从而表 示 ，同理用 表示 ，再由 求 . 试题解析：（I）设 ，则由题意知 ，当 时， 的方程为 ， . 由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 .因此直线 的方程为 . 将 代入 得 .解得 或 ，所以 . 因此 的面积 . （II）由题意 ， ， . 将 直 线 的 方 程 代 入 得 . 由 得 ，故 . 由题设，直线 的方程为 ，故同理可得 ， 由 得 ，即 . 当 时上式不成立， 因此 . 等价于 ， 即 .由此得 ，或 ，解得 . 因此 的取值范围是 . 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】 （21）（本小题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当 时， 证 明结论；（Ⅱ）用导数法求函数 的最值，在构造新函数 ，又用导数法求 解. 试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 . 且仅当 时， ，所以 在 单调递增， 因此当 时， 所以 （II） 由（I）知， 单调递增，对任意 因此，存在唯一 使得 即 ， 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增. 因此 在 处取得最小值，最小值为 于是 ，由 单调递增 所以，由 得 因为 单调递增，对任意 存在唯一的 使得 所以 的值域是 综上，当 时， 有 ， 的值域是 考点： 函数的单调性、极值与最值. 【结束】 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清 题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） . 【解析】 试 题 分 析 ：（ Ⅰ ） 证 再 证 四 点 共 圆 ；（ Ⅱ ） 证 明 四边形 的面积 是 面积 的 2 倍. 试题解析：（I）因为 ,所以 则有 所以 由此可得 由此 所以 四点共圆. （II）由 四点共圆， 知 ，连结 ， 由 为 斜边 的中点，知 ,故 因此四边形 的面积 是 面积 的 2 倍，即 考点： 三角形相似、全等，四点共圆 【结束】 （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（I）利用 ， 可得 C 的极坐标方程；（II）先将直线 的参 数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得 的斜率． 试题解析：（I）由 可得 的极坐标方程 （II）在（I）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得 于是 由 得 ， 所以 的斜率为 或 . 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】 （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 试题分析：（I）先去掉绝对值，再分 ， 和 三种情况解不等式，即 可得 ；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 ， 时， ． 试题解析：（I） 当 时，由 得 解得 ； 当 时， ； 当 时，由 得 解得 . 所以 的解集 . （II）由（I）知，当 时， ，从而 ， 因此 考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】 试题类型：A 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 卷 1 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. （1）设集合 2{ | 4 3 0}A x x x    ， { | 2 3 0}B x x   ，则 A B  （A） 3( 3, )2   （B） 3( 3, )2  （C） 3(1, )2 （D） 3( ,3)2 （2）设 (1 i) 1 ix y   ，其中 x，y 是实数，则 i =x y （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2 （3）已知等差数列{ }na 前 9 项的和为 27， 10 =8a ，则 100 =a （A）100 （B）99（C）98（D）97 （4）某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班 车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （A） 3 1 （B） 2 1 （C） 3 2 （D） 4 3 （5）已知方程 1 3 2 2 2 2     nm y nm x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 （A）(–1,3) （B）(–1, 3) （C）(0,3) （D）(0, 3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几 何体的体积是 3 28 ，则它的表面积是 （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π （7）函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 （A） （B） （C） （D） （8）若 10 1a b c   ， ，则 （A） c ca b （B） c cab ba （C） log logb aa c b c （D） log loga bc c （9）执行右面的程序图，如果输入的 0 1 1x y n  ， ， ，则输出 x，y 的值满足 （A） 2y x （B） 3y x （C） 4y x （D） 5y x (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点.已知|AB|= 4 2 ， |DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，a//平面 CB1D1， a 平面 ABCD=m， a 平面 A11ABB =n，则 m、n 所成角的正弦值为 (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 1 3 12. 已 知 函 数 ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x        ， 为 ( )f x 的 零 点 ， 4x  为 ( )y f x 图像的对称轴，且 ( )f x 在 5 18 36       ， 单调，则 的最大值为 （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 (13)设向量 a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=. (14) 5(2 )x x 的展开式中，x3 的系数是. （用数字填写答案） （15）设等比数列满足 an 满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2…an 的最大值为。 （16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要 甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg， 用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。学.科网 该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产 品 B 的利润之和的最大值为 元。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分为 12 分） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别别为 a，b，c，已知 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c （I）求 C； （II）若 7,c ABC  的面积为 3 3 2 ，求 ABC 的周长． （18）（本题满分为 12 分） 如图，在已 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD， 90AFD   ， 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ． （I）证明；平面 ABEF  平面 EFDC； （II）求二面角 E-BC-A 的余弦值． （19）（本小题满分 12 分） 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器 时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买， 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. （I）求 X 的分布列； （II）若要求 ( ) 0.5P X n  ，确定 n 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19n  与 20n  之中选其一，应 选用哪个？ 20. （本小题满分 12 分） 设圆 2 2 2 15 0x y x    的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （I）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围. （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 2)1(2)(  xaexxf x）（ 有两个零点. (I)求 a 的取值范围； (II)设 x1，x2 是的两个零点，证明： x1 +x2<2. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°.以 O 为圆心， 2 1 OA 为半径作圆. (I)证明：直线 AB 与⊙O 相切 (II)点 C,D 在⊙O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：AB∥CD. （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为      tay tax sin1 cos （t 为参数，a＞0） 。在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ. （I）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （II）直线 C3 的极坐标方程为 a0 ，其中 a0 满足 tan=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a。 （24）（本小题满分 10 分），选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣. （I）在答题卡第（24）题图中画出 y= f(x)的图像； （II）求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集。 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. （1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A （7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 (13) 2 (14)10 （15）64 （16） 216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分为 12 分） 解：（I）由已知及正弦定理得，  2cosC sin cos sin cos sinC     ， 即  2cosCsin sinC   ． 故 2sinCcosC sinC ． 可得 1cosC 2  ，所以 C 3  ． （II）由已知， 1 3 3sin C2 2ab  ． 又 C 3  ，所以 6ab  ． 由已知及余弦定理得， 2 2 2 cosC 7a b ab   ． 故 2 2 13a b  ，从而  2 25a b  ． 所以 C 的周长为5 7 ． （18）（本小题满分为 12 分） 解：（I）由已知可得 F DF  ， F F   ，所以 F  平面 FDC ． 又 F  平面 F ，故平面 F  平面 FDC ． （II）过 D 作 DG F  ，垂足为 G ，由（I）知 DG  平面 F ． 以 G 为坐标原点， GF  的方向为 x 轴正方向， GF  为单位长度，建立如图所示的空间直角 坐标系 G xyz ． 由（I）知 DF  为二面角 D F    的平面角，故 DF 60    ，则 DF 2 ， DG 3 ， 可得  1,4,0 ，  3,4,0  ，  3,0,0  ，  D 0,0, 3 ． 由已知， // F  ，所以 // 平面 FDC ． 又平面 CD  平面 FDC DC  ，故 //CD ， CD// F ． 由 // F  ，可得   平面 FDC ，所以 C F  为二面角 C F 的平面角， C F 60    ．从而可得  C 2,0, 3 ． 所以  C 1,0, 3  ，  0,4,0  ，  C 3, 4, 3    ，  4,0,0   ． 设  , ,n x y z 是平面 C 的法向量，则 C 0 0 n n        ，即 3 0 4 0 x z y     ， 所以可取  3,0, 3n   ． 设 m 是平面 CD 的法向量，则 C 0 0 m m        ， 同理可取  0, 3,4m  ．则 2 19cos , 19 n mn m n m         ． 故二面角 C    的余弦值为 2 19 19  ． （19）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9， 10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而 04.02.02.0)16( XP ； 16.04.02.02)17( XP ； 24.04.04.02.02.02)18( XP ； 24.02.04.022.02.02)19( XP ； 2.02.02.04.02.02)20( XP ； 08.02.02.02)21( XP ； 04.02.02.0)22( XP . 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 44.0)18( XP ， 68.0)19( XP ，故 n 的最小值为 19. （Ⅲ）记Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当 19n 时， 08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019 EY 404004.0)500320019(  . 当 20n 时， 04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020 EY 4080 . 可知当 19n 时所需费用的期望值小于 20n 时所需费用的期望值，故应选 19n . 20.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为 |||| ACAD  ， ACEB// ，故 ADCACDEBD  ， 所以 |||| EDEB  ，故 |||||||||| ADEDEAEBEA  . 又圆 A 的标准方程为 16)1( 22  yx ，从而 4|| AD ，所以 4||||  EBEA . 由题设得 )0,1(A ， )0,1(B ， 2|| AB ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为： 134 22  yx （ 0y ）. （Ⅱ）当l 与 x 轴不垂直时，设l 的方程为 )0)(1(  kxky ， ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN . 由      134 )1( 22 yx xky 得 01248)34( 2222  kxkxk . 则 34 8 2 2 21  k kxx ， 34 124 2 2 21   k kxx . 所以 34 )1(12||1|| 2 2 21 2   k kxxkMN . 过点 )0,1(B 且与l 垂直的直线 m ： )1(1  xky ， A 到 m 的距离为 1 2 2 k ，所以 1 344) 1 2(42|| 2 2 2 2 2     k k k PQ .故四边形 MPNQ 的面积 34 1112||||2 1 2  kPQMNS . 可得当l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 )38,12[ . 当l 与 x 轴垂直时，其方程为 1x ， 3|| MN ， 8|| PQ ，四边形 MPNQ 的面积为 12. 综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 )38,12[ . （21）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )x xf x x e a x x e a       ． （i）设 0a  ，则 ( ) ( 2) xf x x e  ， ( )f x 只有一个零点． （ii）设 0a  ，则当 ( ,1)x  时， '( ) 0f x  ；当 (1, )x  时， '( ) 0f x  ．所以 ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增． 又 (1)f e  ， (2)f a ，取b 满足 0b  且 ln 2 ab  ，则 2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2 af b b a b a b b       ， 故 ( )f x 存在两个零点． （iii）设 0a  ，由 '( ) 0f x  得 1x  或 ln( 2 )x a  ． 若 2 ea   ，则 ln( 2 ) 1a  ，故当 (1, )x  时， '( ) 0f x  ，因此 ( )f x 在 (1, ) 上单调 递增．又当 1x  时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 不存在两个零点． 若 2 ea   ，则 ln( 2 ) 1a  ，故当 (1,ln( 2 ))x a  时， '( ) 0f x  ；当 (ln( 2 ), )x a   时， '( ) 0f x  ．因此 ( )f x 在 (1,ln( 2 ))a 单调递减，在 (ln( 2 ), )a  单调递增．又当 1x  时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 不存在两个零点． 综上， a 的取值范围为 (0, ) ． （Ⅱ）不妨设 1 2x x ，由（Ⅰ）知 1 2( ,1), (1, )x x    ， 22 ( ,1)x   ， ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减，所以 1 2 2x x  等价于 1 2( ) (2 )f x f x  ，即 2(2 ) 0f x  ． 由于 22 2 2 2 2(2 ) ( 1)xf x x e a x     ，而 2 2 2 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x     ，所以 2 22 2 2 2(2 ) ( 2)x xf x x e x e     ． 设 2( ) ( 2)x xg x xe x e    ，则 2'( ) ( 1)( )x xg x x e e   ． 所以当 1x  时， '( ) 0g x  ，而 (1) 0g  ，故当 1x  时， ( ) 0g x  ． 从而 2 2( ) (2 ) 0g x f x   ，故 1 2 2x x  ． 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）设 E 是 AB 的中点，连结 OE ， 因为 , 120OA OB AOB   ，所以OE AB ， 60AOE   ． 在 Rt AOE 中， 1 2OE AO ，即O 到直线 AB 的距离等于圆O 的半径，所以直线 AB 与⊙O 相切． （Ⅱ）因为 2OA OD ，所以 O 不是 , , ,A B C D 四点所在圆的圆心，设 'O 是 , , ,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线 'OO ． 由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上，又 'O 在线段 AB 的垂直平分线上，所以 'OO AB ． 同理可证， 'OO CD ．所以 //AB CD ． （23）（本小题满分 10 分） 解：⑴ cos 1 sin x a t y a t     （ t 均为参数） ∴  22 21x y a   ① ∴ 1C 为以  0 1， 为圆心， a 为半径的圆．方程为 2 2 22 1 0x y y a     ∵ 2 2 2 sinx y y    ， ∴ 2 22 sin 1 0a      即为 1C 的极坐标方程 ⑵ 2 4cosC  ： 两边同乘  得 2 2 2 24 cos cosx y x         ， 2 2 4x y x   即  2 22 4x y   ② 3C ：化为普通方程为 2y x 由题意： 1C 和 2C 的公共方程所在直线即为 3C ①—②得： 24 2 1 0x y a    ，即为 3C ∴ 21 0a  ∴ 1a  （24）（本小题满分 10 分） 解：⑴ 如图所示： ⑵   4 1 33 2 1 2 34 2 x x f x x x x x             ， ≤ ， ， ≥   1f x  当 1x ≤ ， 4 1x   ，解得 5x  或 3x  1x ∴ ≤ 当 31 2x   ， 3 2 1x   ，解得 1x  或 1 3x  11 3x  ∴ 或 31 2x  当 3 2x≥ ， 4 1x  ，解得 5x  或 3x  3 32 x ∴ ≤ 或 5x  综上， 1 3x  或1 3x  或 5x    1f x ∴ ，解集为    1 1 3 53        ， ， ， 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用 条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本 试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么·如果事件 A，B 相互独立， P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)． 柱体的体积公式 V 柱体=Sh 锥体的体积公式 V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高．h 表示锥体的高． 第Ⅰ卷注意事项：本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合 {1,2,3,4}, { | 3 2 },A B y y x x A    ， 则 A B = （A）{1} （B）{4} （C）{1,3} （D）{1,4} （2）设变量 x，y 满足约束条件 2 0, 2 3 6 0, 3 2 9 0. x y x y x y            则目标函数 2 5z x y  的最小值为 （A） 4 （B）6 （C）10 （D）17 （3）在 △ ABC 中，若 = 13AB ,BC=3， 120C   ,则 AC= （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （5）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q<0”是“对任 意的正整数 n，a2n−1+a2n<0”的 （A）充要条件（B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件 （6）已知双曲线 2 2 2 4 =1x y b  （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双 曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程 为 （A） 22 44 3 =1yx  （B） 22 34 4 =1yx  （C） 144 22  yx （D） 22 24 =11 x y （7）已知 △ ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延 长到点 F，使得 DE=2EF，则 AF BC    的值为 （A） 5 8  （B） 1 8 （C） 1 4 （D） 11 8 （8）已知函数 f（x）=      0,1)1(log ,0,3)34(2 xx xaxax a （a>0,且 a≠1）在 R 上单调递减，且关 于 x 的方程│f（x）│=2  x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 （A）（0， 2 3 ] （B）[ 2 3 ， 3 4 ] （C）[ 1 3 ， 2 3 ]  { 3 4 }（D）[ 1 3 ， 2 3 ）  { 3 4 } 第 II 卷 注意事项： 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共 12 小题，共计 110 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）已知 ,a bR ，i 是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a，则 a b 的值为_______. （10） 2 81( )x x  的展开式中 7x 的系数为__________.(用数字作答) （11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则 该四棱锥的体积为_______m3. （第 11 题图） （12）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长 为__________. (13)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（-  ，0）上单调递增.若实数 a 满足 f(2|a-1|) ＞f（- 2 ），则 a 的取值范围是______. (14)设抛物线 22 2 x pt y pt     ，（t 为参数，p＞0）的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C（ 7 2 p,0），AF 与 BC 相交于点 E. 若|CF|=2|AF|，且 △ ACE 的面积为3 2 ， 则 p 的值为_________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (15) 已知函数 f(x)=4tanxsin( 2 x  )cos( 3x  )— 3 . (Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论 f(x)在区间[ ,4 4   ]上的单调性. （16）（本小题满分 13 分） 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,. 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. （I）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率； （II）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学 期望. （17）（本小题满分 13 分） 如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF⊥平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2. （I）求证：EG∥平面 ADF； （II）求二面角 O-EF-C 的正弦值； （III）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH= 2 3 HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. （18）（本小题满分 13 分） 已知{ na }是各项均为正数的等差数列，公差为 d。对任意的 n *N , nb 是 na 和 1na 的等 比中项。 (I)设 nc = 22 1 nn bb  ，n *N ，求证：数列{ nc }是等差数列； (II)设 1a =d，T n = 2 2 1 )1( k kn k b   ，n *N ，求证：   n k kT1 1 < 22 1 d . （19）（本小题满分 14 分） 设椭圆 2 2 a x + 3 3y =1（ a > 3 ）的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 FA e OAOF 311  ,其中 O 为 原点，e 为椭圆的离心率。 (I)求椭圆的方程； (II)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（点 B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H.若 BF⊥HF,且∠MOA ∠MAO,求直线 l 的斜率的取值范围。 （20）（本小题满分 14 分） 设函数 f(x)=（x-1）3-ax-b,x∈R，其中 a,b∈R。 (I)求 f(x)的单调区间； (II)若 f(x)存在极值点 x0，且 f(x1)=f(x0)，其中 x1≠x0，求证：x1+2x0=3； (III)设 a＞0,函数 g(x)=∣f(x)∣,求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于．．．4 1 . 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工类） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的。 1. 设集合 { | 2 2}A x x    ，Z 为整数集，则 A∩Z 中元素的个数是 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 2. 设 i 为虚数单位，则 6( i)x  的展开式中含 x4 的项为 （A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4 3. 为了得到函数 πsin(2 )3y x  的图象，只需把函数 sin 2y x 的图象上所有的点 （A）向左平行移动 π 3 个单位长度（B）向右平行移动 π 3 个单位长度 （C）向左平行移动 π 6 个单位长度（D）向右平行移动 π 6 个单位长度 4. 用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A）24（B）48（C）60（D）72 5. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发 资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （A）2018 年（B）2019 年（C）2020 年（D）2021 年 6. 秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出 了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的 值为 （A）9 （B）18 （C）20 （D）35 7. 设 p：实数 x，y 满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数 x，y 满足 1, 1 , 1, y x y x y        则 p 是 q 的 （A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 8. 设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 2 2 (p 0)y px  上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 PM =2 MF ,则直线 OM 的斜率的最大值为 （A） 3 3 （B） 2 3 （C） 2 2 （D）1 9. 设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)= ln ,0 1, ln , 1, x x x x      图象上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相 交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是 （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 10. 在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA  = DB  = DC  , DA  ﹒ DB  = DB  ﹒ DC  = DC  ﹒ DA  =-2，动点 P，M 满足 AP  =1， PM  = MC  ，则 2BM  的最大值是 （A） 43 4 （B） 49 4 （C） 37 6 3 4  （D） 37 2 33 4  第Ⅱ卷 （非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11. cos2 π 8 –sin2 π 8 = . 12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则 在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 . 13. 已知三棱镜的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三 棱锥的体积是 . 14. 已知函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜x＜1 时，f（x）= '4 ，则 f（- 2 5 ） + f（1）=______． 15. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 当 P(x ， y) 不 是 原 点 时 ， 定 义 P 的 “ 伴 随 点 ” 为 ' 2 2 2 2( , )y xP x y x y    ； 当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构 成的曲线 'C 定义为曲线 C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点 A 的“伴随点”是点 'A ，则点 'A 的“伴随点”是点 A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” 'C 关于 y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用 水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨）、一位居民的月用水量不超过 x 的部 分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图. （I）求直方图中 a 的值； （II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由； （III）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x （吨），估计 x 的值，并说 明理由. 17.（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 cos cos sinA B C a b c   . （I）证明：sin sin sinA B C ； （II）若 2 2 2 6 5b c a bc   ，求 tan B . 18.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD∥BC，  ADC=  PAB=90 °， BC=CD= 1 2 AD. E 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 ° （ I ）在平面 PAB 内找一点 M ，使得直线 CM ∥平面 PBE ，并说明理由； (II) 若二面角 P-CD-A 的大小为 45 °，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 . 19.（本小题满分 12 分） 已知数列{ na }的首项为 1， nS 为数列{ na }的前 n 项和， 1 1n nS qS   ，其中 q>0， *n N . （I）若 2 3 22 , , 2a a a  成等差数列，求 an 的通项公式； (ii)设双曲线 2 2 2 1 n yx a   的离心率为 ne ，且 2 5 3e  ，证明： 1 2 1 4 3 3 n n n ne e e     . 20.（本小题满分 13 分） 已知椭圆 E： 12 2 2 2  b Y a X (a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个 顶点，直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. （I）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； （II）设 O 是坐标原点，直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于 点 P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值. 21.（本小题满分 14 分） 设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a ∈R. （I）讨论 f(x)的单调性； （II）确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)＞ x 1 -e1-x 在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自 然对数的底数)。 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工类）试题参考答案 一、选择题 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 9．A 10．B 二、填空题 11． 12． 13． 14．–2 15．②③ 三、解答题 16．（本小题满分 12 分） （Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为 0.08×0.5=0.04， 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为 0.08，0.20，0.26， 0.06，0.04，0.02． 由 0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1， 解得 a=0.30． （Ⅱ）由（Ⅰ），100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 000×0.12=36 000． （Ⅲ）因为前 6 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85， 而前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85， 所以 2.5≤x<3． 由 0.3×(x–2.5)=0.85–0.73， 解得 x=2.9． 所以，估计月用水量标准为 2.9 吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 17．（本小题满分 12 分） （Ⅰ）根据正弦定理，可设 = = =k(k>0)． 则 a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C． 代入 + = 中，有 + = ，变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)． 在 △ ABC 中，由 A+B+C=π，有 sin(A+B)=sin(π–C)=sin C， 所以 sin Asin B=sin C． （Ⅱ）由已知，b2+c2–a2= bc，根据余弦定理，有 cos A= = ． 所以 sin A= = ． 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 所以 sin B= cos B+ sin B， 故 tan B= =4． 18. （本小题满分 12 分） （Ⅰ）在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行. 延长 AB，DC，相交于点 M（M∈平面 PAB），点 M 即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC∥ED，且 BC=ED. 所以四边形 BCDE 是平行四边形. 从而 CM∥EB. 又 EB 平面 PBE，CM 平面 PBE， 所以 CM∥平面 PBE. （说明：延长 AP 至点 N，使得 AP=PN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点） （Ⅱ）方法一： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA AD=A， 所以 CD⊥平面 PAD. 从而 CD⊥PD. 所以 PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角. 所以 PDA=45°. 设 BC=1，则在 Rt△PAD 中，PA=AD=2. 过点 A 作 AH⊥CE，交 CE 的延长线于点 H，连接 PH. 易知 PA⊥平面 ABCD， 从而 PA⊥CE. 于是 CE⊥平面 PAH. 所以平面 PCE⊥平面 PAH. 过 A 作 AQ⊥PH 于 Q，则 AQ⊥平面 PCE. 所以 APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角. 在 Rt△AEH 中， AEH=45°，AE=1， 所以 AH= . 在 Rt△PAH 中，PH= = ， 所以 sin APH= = . 方法二： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA AD=A， 所以 CD⊥平面 PAD. 于是 CD⊥PD. 从而 PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角. 所以 PDA=45°. 由 PA⊥AB，可得 PA⊥平面 ABCD. 设 BC=1，则在 Rt△PAD 中，PA=AD=2. 作 Ay⊥AD，以 A 为原点，以 , 的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系 A-xyz，则 A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以 =（1,0,-2）， =（1,1,0）， =（0,0,2） 设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z)， 由 得 设 x=2，解得 n=(2,-2,1). 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为α，则 sinα= = . 所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 . 19.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）由已知， 两式相减得到 . 又由 得到 ，故 对所有 都成立. 所以，数列 是首项为 1，公比为 q 的等比数列. 从而 . 由 成等比数列，可得 ，即 ，则 ， 由已知, ，故 . 所以 . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， . 所以双曲线 的离心率 . 由 解得 . 因为 ，所以 . 于是 ， 故 . 20.（本小题满分 13 分） （I）由已知， ，则椭圆 E 的方程为 . 有方程组 得 .① 方程①的判别式为 ，由 ，得 ， 此方程①的解为 ， 所以椭圆 E 的方程为 . 点 T 坐标为（2,1）. （II）由已知可设直线 的方程为 ， 有方程组 可得 所以 P 点坐标为（ ）， . 设点 A，B 的坐标分别为 . 由方程组 可得 .② 方程②的判别式为 ，由 ，解得 . 由②得 . 所以 ， 同理 ， 所以 . 故存在常数 ，使得 . 21.（本小题满分 14 分） （I） <0， 在 内单调递减. 由 =0，有 . 此时，当 时， <0， 单调递减； 当 时， >0， 单调递增. （II）令 = ， = . 则 = . 而当 时， >0， 所以 在区间 内单调递增. 又由 =0，有 >0， 从而当 时， >0. 当 ， 时， = . 故当 > 在区间 内恒成立时，必有 . 当 时， >1. 由（I）有 ,从而 ， 所以此时 > 在区间 内不恒成立. 当 时，令 ， 当 时， ， 因此， 在区间 单调递增. 又因为 ，所以当 时， ，即 恒成立. 综上， 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1、设 x R ,则不等式 13 x 的解集为______________________ 2、设 i iZ 23 ，期中i 为虚数单位，则 Im z =______________________ 3、已知平行直线 012:,012: 21  yxlyxl ，则 21,ll 的距离_______________ 4、某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 则这组数据 的中位数是_________（米） 5、已知点 (3,9) 在函数 xaxf 1)( 的图像上，则 ________)()( 1  xfxf 的反函数 6、如图，在正四棱柱 1111 DCBAABCD 中，底面 ABCD 的边长为 3， 1BD 与底面所成角 的大小为 3 2arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1 cos2x x  在区间 2,0 上的解为___________ 8、在 n xx       23 的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_________ 9、已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10 、 设 .0,0  ba 若 关 于 ,x y 的 方 程 组 1 1 ax y x by      无 解 ， 则 ba  的 取 值 范 围 是 ____________ 二. 无穷数列  na 由 k 个不同的数组成， nS 为  na 的前 n 项和.若对任意  Nn ，  3,2nS ，则 k 的最大值为. 三. 在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是曲线 21 xy  上一个动点， 则 BABP 的取值范围是. 四. 设  2,0,,  cRba ，若对任意实数 x 都有  cbxax       sin33sin2  ，则满足条 件的有序实数组  cba ,, 的组数为. 五. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 821 AAA  的中心，  0,11A .任取不同的两点 ji AA , ，点 P 满足 0 ji OAOAOP ，则点 P 落在第一象限的概率是. 二、 选择题（5×4=20） 15.设 Ra ，则“ 1a ”是“ 12 a ”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A）  cos56  （B）  ins56  （C）  cos56  （D）  ins56  17.已知无穷等比数列 na 的公比为 q ，前 n 项和为 nS ，且 SSnn   lim .下列条件中，使得   NnSSn2 恒成立的是（ ） （A） 7.06.0,01  qa （B） 6.07.0,01  qa （C） 8.07.0,01  qa （D） 7.08.0,01  qa 18、设 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 ( ) ( )f x g x 、 ( ) ( )f x h x 、 ( ) ( )g x h x 均为增函数，则 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x 中至少有一个增函数；② 若 ( ) ( )f x g x 、 ( ) ( )f x h x 、 ( ) ( )g x h x 均是以T 为周期的函数，则 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A 、①和②均为真命题 B 、①和②均为假命题 C 、①为真命题，②为假命题 D 、①为假命题，②为真命题 学科.网 三、解答题（74 分） 19.将边长为 1 的正方形 1 1AAO O （及其内部）绕的 1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长 为 2 3  ， 1 1A B 长为 3  ，其中 1B 与C 在平面 1 1AAO O 的同侧。 （1）求三棱锥 1 1 1C O A B 的体积；学.科网 （2）求异面直线 1B C 与 1AA 所成的角的大小。 20、（本题满分 14） 有一块正方形菜地 EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到 F 点或河边运 走。于是，菜地分为两个区域 1S 和 2S ，其中 1S 中的蔬菜运到河边较近， 2S 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 1S 和 2S 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相 等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为 （1,0），如图 （1）求菜地内的分界线 C 的方程 （2）菜农从蔬菜运量估计出 1S 面积是 2S 面积的两倍，由此得到 1S 面积 C 1A A 1B 的“经验值”为 3 8 。设 M 是C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边、另一边过点 M 的 矩形的面积，及五边形 EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 1S 面积的经验值 21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 双曲线 2 2 2 1( 0)yx bb    的左、右焦点分别为 1 2F F、 ，直线 l 过 2F 且与双曲线交于 A B、 两点。 （1）若 l 的倾斜角为 2  ， 1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设 3b  ，若 l 的斜率存在，且 1 1( ) 0F A F B AB     ，求 l 的斜率. 学科&网 22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分. 已知 a R ，函数 2 1( ) log ( )f x ax   . （1）当 5a  时，解不等式 ( ) 0f x  ； （2）若关于 x 的方程 2( ) log [( 4) 2 5] 0f x a x a     的解集中恰好有一个元素，求 a 的 取值范围； （3）设 0a  ，若对任意 1[ ,1]2t  ，函数 ( )f x 在区间[ , 1]t t  上的最大值与最小值的差不 超过 1，求 a 的取值范围. 23. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 若无穷数列{ }na 满足：只要 *( , )p qa a p q N  ，必有 1 1p qa a  ，则称{ }na 具有性质 P . （1）若{ }na 具有性质 P ，且 1 2 4 51, 2, 3, 2a a a a    ， 6 7 8 21a a a   ，求 3a ； （2）若无穷数列{ }nb 是等差数列，无穷数列{ }nc 是公比为正数的等比数列， 1 5 1b c  ， 5 1 81b c  ， n n na b c  判断{ }na 是否具有性质 P ，并说明理由； （3）设{ }nb 是无穷数列，已知 * 1 sin ( )n n na b a n N    .求证：“对任意 1,{ }na a 都具有性 质 P ”的充要条件为“{ }nb 是常数列”. 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用 时 120 分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、 考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答 案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡 各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉 原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正 带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 参考公式： 如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 第Ⅰ卷（共 50 分） 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 （1）若复数 z 满足 2 3 2i,z z   其中 i 为虚数单位，则 z= （A）1+2i （B）1  2i （C） 1 2i  （D） 1 2i  （2）设集合 2{ | 2 , }, { | 1 0},xA y y x B x x     R 则 A B = （A） ( 1,1) （B） (0,1) （C） ( 1, )  （D） (0, ) （3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单 位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图， 其中自习时间的范围是[17.5,30] ，样本数据分组 为 [17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] . 根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不 少于 22.5 小时的人数是 （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 （4）若变量 x，y 满足 则 2 2x y+ 的最大值是 （A）4 （B）9 （C）10 （D）12 （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 （A） 1 2 3 3  π（B） 1 2 3 3  π（C） 1 2 3 6  π（D） 21 6  π （6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平 面β相交”的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 （7）函数 f（x）=（ 3 sinx+cosx）（ 3 cosx –sinx）的最小正周期是 （A） 2 π（B）π （C） 2 3π（D）2π （8）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos= 1 3 .若 n⊥（tm+n），则实数 t 的值 为 （A）4 （B）–4 （C） 9 4 （D）– 9 4 （9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时， 3( ) 1f x x  ；当 1 1x   时， ( ) ( )f x f x   ； 当 1 2x  时， 1 1( ) ( )2 2f x f x   .则 f(6)= （A）−2（B）−1（C）0（D）2 （10）若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是 （A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3 第Ⅱ卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值 为________. (12)若（ax2+ 1 x ）3 的展开式中 x3 的系数是—80，则实数 a=_______. （13）已知双曲线 E1： 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______. （14）在[ 1,1]- 上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 2 2( 5) 9x y- + = 相交”发生的 概率为 . （15）已知函数 2 | |,( ) 2 4 , x x mf x x mx m x m      其中 0m  ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________. 三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分。 （16）（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tan tan2(tan tan ) .cos cos A BA B B A    （Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求 cosC 的最小值. 17.在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O' 的直径，FB 是圆台的 一条母线. （I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC； （II）已知 EF=FB= 1 2 AC= 2 3 AB=BC.求二面角 F BC A  的余弦值. （18）（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， nb 是等差数列，且 1.n n na b b   （Ⅰ）求数列 nb 的通项公式； （Ⅱ）另 1( 1) .( 2) n n n n n ac b   求数列 nc 的前 n 项和 Tn. （19）（本小题满分 12 分） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中， 如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人 都没猜对，则“星队”得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是 3 4 ，乙每轮猜对的概率是 2 3 ；每 轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求： （I）“星队”至少猜对 3 个成语的概率； （II）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX (20)(本小题满分 13 分) 已知   2 2 1( ) ln ,xf x a x x a Rx     . （I）讨论 ( )f x 的单调性； （II）当 1a  时，证明   3( ) ' 2f x f x ＞ 对于任意的  1,2x 成立 （21）本小题满分 14 分） 平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：   2 2 2 2 1 0x y a ba b   ＞ ＞ 的 离心率是 3 2 ，抛物线 E： 2 2x y 的焦点 F 是 C 的一个顶点。 （I）求椭圆 C 的方程； （II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切 线l 与 C 交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线 交于点 M. （i）求证：点 M 在定直线上; （ii）直线l 与 y 轴交于点 G，记△PFG 的面积为 1S ，△PFG 的面积为 2S ，求 1 2 S S 的最大 值及取得最大值时点 P 的坐标. 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． （1）已知集合 A=B=，则 （A） （B） （C） （D） （2）若 x,y 满足 ，则 2x+y 的最大值为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）5 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）设 a,b 是向量，则“IaI=IbI”是“Ia+bI=Ia-bI”的 （A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）已知 x,yR,且 xyo，则 （A）- （B） （C） (-0 （D）lnx+lny (6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A） （B） （C） （D）1 (7)将函数图像上的点 P（ ，t ）向左平移 s（s﹥0） 个单位长度得到点 P′.若 P′位 于函数的图像上，则 （A）t= ，s 的最小值为 （B）t= ，s 的最小值为 （C）t= ，s 的最小值为 （D）t= ，s 的最小值为 （8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任 意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则 就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． （9）设 aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a=_______________。 （10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答） （11）在极坐标系中，直线与圆交于 A，B 两点，则 =____________________. （12）已知为等差数列，为其前 n 项和，若 ，，则. （13）双曲线 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点。 若正方形 OABC 的边长为 2，则 a=_______________. （14）设函数 ①若 a=0，则 f(x)的最大值为____________________； ②若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_________________。 三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题 13 分） 在  ABC 中， 3 3 3 2a c b ac   （I）求 B 的大小 （II）求 2 cos cosA C 的最大值 （16）（本小题 13 分）A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过 分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （I） 试估计 C 班的学生人数； （II） 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人 记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （III）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25 （单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平 均数记为 ，试判断 和的大小，（结论不要求证明） （17）（本小题 14 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 平 面 PAD  平 面 ABCD ， PA  PD ,PA=PD,AB  AD,AB=1,AD=2,AC=CD= 5 , （I）求证：PD  平面 PAB; （II）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （II I）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BMll 平面 PCD?若存在，求 AM AP 的值；若不存在， 说明理由。 （18）（本小题 13 分） 设函数 f(x)=xe a xe  +bx，曲线 y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4， （I）求 a,b 的值； (I I) 求 f(x)的单调区间。 （19）（本小题 14 分） 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1X y a b   （a>b>0）的离心率为 3 2 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△ OAB 的面积为 1. （I）求椭圆 C 的方程； (I I)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 Y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N。 求证：lANl  lBMl 为定值。 （20）（本小题 13 分） 设数列 A： 1a ， 2a ,… Na (N≥2)。如果对小于 n(2≤n≤N)的每个正整数 k 都有 ka ＜ na ，则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”。记“G（A）是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集 合。 （I）对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出 G（A）的所有元素； (I I)证明：若数列 A 中存在 na 使得 na > 1a ，则 G（A）   ； (I I I）证明：若数列 A 满足 na - 1na  ≤1（n=2,3, …,N）,则 G（A）的元素个数不小于 Na - 1a 。