圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?‎ 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为的直线经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则 ‎（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长；‎ ‎（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长.‎ 本文仅对焦点在x轴上，中心在原点的双曲线为例证明，其它情形请读者自证.‎ 证明：设双曲线方程为（＞0，＞0），通径，离心率，弦AB所在的直线的方程为（其中，为直线的倾斜角），其参数方程为 ‎.‎ 代入双曲线方程并整理得：.‎ 由t的几何意义可得：‎ 推论 ‎（1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时，；当圆锥曲线是抛物线时，.‎ ‎（2）焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时，；当圆锥曲线是抛物线时，.‎ 典题妙解 下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.‎ 例1（06湖南文第21题）已知椭圆，抛物线（＞0），且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.‎ ‎（Ⅰ）当轴时，求p，m的值，并判断抛物线的焦点是否在直线AB上；‎ ‎（Ⅱ）若且抛物线的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.‎ 解：（Ⅰ）当轴时，点A、B关于x轴对称，，直线AB的方程为.‎ 从而点A的坐标为或.‎ 点A在抛物线上，‎ 即 此时抛物线的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上.‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的倾斜角为，由（Ⅰ）知.‎ 则直线AB的方程为.‎ 抛物线的对称轴平行于轴，焦点在AB上，通径，离心率，于是有 ‎ ‎ 又AB过椭圆的右焦点，通径，离心率.‎ O A B x y 解之得：.‎ 抛物线的焦点在直线上，‎ ‎，从而.‎ 当时，直线AB的方程为；‎ 当时，直线AB的方程为.‎ 例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P.‎ ‎（1）设P点的坐标为，证明：＜1.‎ ‎（2）求四边形ABCD的面积的最小值.‎ ‎（1）证明：在中，.‎ O是的中点，‎ ‎ 得 点P在圆上.‎ 显然，圆在椭圆的内部.‎ 故＜1.‎ ‎（2）解：如图，设直线BD的倾斜角为，由可知，直线AC的倾斜角.‎ 通径，离心率.‎ 又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点、，于是 A B C D O x y P 四边形ABCD的面积 ‎.‎ ‎.‎ 故四边形ABCD面积的最小值为.‎ 例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O，焦点在x上，两条渐近线分别为、，经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点. 已知、、成等差数列，且与同向.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.‎ 解：（Ⅰ）设双曲线的方程为（＞0，＞0）.‎ ‎、、成等差数列，设，公差为d，则，，‎ ‎. 即.‎ ‎. 从而，.‎ 又设直线的倾斜角为，则. 的方程为.‎ ‎ 而 A B y ‎ O F x N M ‎.‎ 解之得：‎ ‎（Ⅱ）设过焦点F的直线AB的倾斜角为, 则.‎ ‎. 而 ‎.‎ 通径.‎ 又设直线AB与双曲线的交点为M、N. 于是有：.‎ 即.‎ 解得，从而.‎ 所求的椭圆方程为.‎ 金指点睛 ‎1. 已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点，则=_________.‎ ‎2. 过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，则=_________.‎ ‎3. 已知椭圆，过左焦点F作直线交A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积.‎ B O x y A F y O F x A B ‎4. 已知抛物线（＞0），弦AB过焦点F，设，△AOB的面积为S，求证： 为定值.‎ ‎5.（05全国Ⅱ文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点. 已知与共线，与共线，且.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.‎ O x N P y M Q F ‎ ‎ ‎6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交轴于点P，证明为定值，并求此定值.‎ y O F x A B D E C m P ‎7. 点M与点的距离比它到直线的距离小1.‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；C、D. 求四边形ACBD的最小面积.‎ ‎8. 已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同，且以抛物线的准线为其中一条准线.‎ ‎ （1）求双曲线的方程；‎ ‎ （2）若经过焦点且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B；C、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.‎ 参考答案 ‎1. 解：，离心率，通径，直线的倾斜角.‎ ‎.‎ ‎2. 解：，离心率，通径，直线的倾斜角.‎ ‎.‎ ‎3. 解：，，左焦点，离心率，通径 ‎.‎ 当直线的斜率不存在时，轴，这时，高，△AOB的面积.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为，即，原点O到直线AB的距离.‎ ‎.‎ B O x y A F ‎△AOB的面积.‎ ‎0＜＜，‎ ‎＞0. 从而.‎ ‎.‎ 当且仅当，即时，“=”号成立. 故△AOB的最大面积为.‎ ‎4. 解：焦点为，通径.‎ 当直线AB的斜率不存在时，轴，这时，高，△AOB的面积.‎ ‎，是定值.‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为，即，原点O到直线AB的距离.‎ ‎.‎ y O F x A B ‎△AOB的面积.‎ ‎.‎ 不论直线AB在什么位置，均有（为定值）.‎ ‎5. 解：在椭圆中，‎ 由已知条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点，且.‎ 如图，设直线PQ的倾斜角为，则直线MN的倾斜角. ‎ O x N P y M Q F 通径，离心率.于是有 四边形PQMN的面积 ‎.‎ ‎.‎ 故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为和2.‎ ‎6.（Ⅰ）解：，抛物线的焦点F的坐标为，‎ 准线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：作于C，于D. 通径.‎ y O F x A B D E C m P 则.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎，‎ 从而.‎ ‎.‎ 故为定值，此定值为8.‎ ‎7. 解：（1）根据题意，点M与点的距离与它到直线的距离相等，‎ 点M的轨迹是抛物线，点是它的焦点，直线是它的准线.‎ 从而，.‎ F O x A B D C y 所求的点M的轨迹方程是.‎ ‎（2）两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点，‎ 它们的斜率都存在. 如图，设直线AB的倾斜角为，‎ 则直线CD的倾斜角为.‎ 抛物线的通径，于是有：‎ ‎.‎ 四边形ACBD的面积 当且仅当取得最大值1时，，这时.‎ 四边形ACBD的最小面积为128.‎ ‎8. 解：（1）在椭圆中，，其焦点为、.‎ 在抛物线中，，其准线方程为.‎ 在双曲线中，，.‎ 所求的双曲线的方程为.‎ ‎（2）两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，‎ 它们的斜率都存在. 如图，设直线AB的倾斜角为，则直线CD的倾斜角为.‎ 双曲线的通径，离心率. 于是有：‎ ‎.‎ y A O x B C D 四边形ACBD的面积 ‎ 当且仅当取得最大值1时，，这时.‎ 四边形ACBD的最小面积为18.‎