2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学统计概率汇编

2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学统计概率汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 统计、概率 一、选择题 ‎【2017，2】为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田.这块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A. 的平均数 B. 的标准差 ‎ C. 的最大值 D. 的中位数 ‎【2017，4】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【2016，3】为美化环境，从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中，余下的种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【2015，4】如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【2013，3】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎【2012，3】在一组样本数据（，），（，），…，（，）（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点（，）（=1，2，…，）都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）‎ A．－1 B．0 C． D．1‎ ‎【2011，6】有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎【2014，13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____.‎ 三、解答题 ‎【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：‎ 抽取次序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 零件尺寸 ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ 抽取次序 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 零件尺寸 ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，‎ ‎，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,…,16．‎ ‎（1）求 (i=1,2,…,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？‎ ‎（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）‎ 附：样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数，．‎ ‎【2016，19】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.‎ 记表示台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数．‎ ‎（1）若，求与的函数解析式；‎ ‎（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于”的频率不小于，求的最小值； ‎ ‎（3）假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，或每台都购买个易损零件，分别计算这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买个还是个易损零件？‎ ‎【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi，和年销售量yi(i=1,2,3,…,8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，表中 ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ ‎(Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx与，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：‎ ‎(1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？‎ ‎(2)当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ ‎【2013，18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5‎ ‎(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？‎ ‎(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？‎ ‎【2012，18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。‎ ‎（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；‎ ‎②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，‎ 求当天的利润不少于75元的概率。‎ ‎【2011，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于的产品为优质品．现用两种新配方（分别成为配方和配方）做试验，各生产了件这样的产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果．‎ 配方的频数分布表 指标值分组 频数 配方的频数分布表 指标值分组 频数 ‎（1）分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（2）已知用配方生产的一件产品的利润（单位：元）‎ 与其质量指标值的关系式为估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率，并求用配方生产的上述件产品平均一件的利润．‎ 解 析 一、选择题 ‎【2017，2】为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田.这块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A. 的平均数 B. 的标准差 ‎ C. 的最大值 D. 的中位数 解：一组样本数据的方差与标准差反映了这组样本数据的稳定程度，故选B ‎【2017，4】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解：设正方形的边长为，则黑色部分的面积为，而正方形的面积为，由几何概率模型可得，所求概率为，选B ‎【2016，3】为美化环境，从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中，余下的 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ 解析：选C. 只需考虑分组即可，分组（只考虑第一个花坛中的两种花）情况为（红，黄），（红，白），（红，紫），（黄，白），（黄，紫），（白，紫），共种情况，其中符合题意的情况有种，因此红色和紫色的花不在同一花坛的概率是．故选C．‎ ‎【2015，4】如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) ‎ A． B． C． D．‎ 解：选C，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，1种，故所求概率为，故选C ‎【2013，3】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)．‎ A． B． C． D．‎ 解析：选B. 由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为.‎ ‎【2012，3】3．在一组样本数据（，），（，），…，（，）（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点（，）（=1，2，…，）都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）‎ A．－1 B．0 C． D．1‎ ‎【解析】因为中，，所以样本相关系数，‎ ‎ 又所有样本点（，）（=1，2，…，）都在直线上，‎ ‎ 所以样本相关系数，故选择D。‎ ‎【2011，6】有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】选A.. 甲、乙两位同学参加个小组的所有可能性有（种），其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有种.故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率.‎ 二、填空题 ‎【2014，13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.‎ 解：设数学书为1，2，语文书为A，则所有的排法有(1,2,A)，(1,A,2)，(2,1, A)，(2, A,1)，(A,1,2)，‎ ‎(A,2,1)共6 种，其中2 本数学书相邻的情况有4 种情况，故所求概率为.‎ 三、解答题 ‎【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：‎ 抽取次序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 零件尺寸 ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ 抽取次序 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 零件尺寸 ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，‎ ‎，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,…,16．‎ ‎（1）求 (i=1,2,…,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？‎ ‎（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）‎ 附：样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数，．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎， ‎ 故 ‎. 所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.‎ ‎(2)(i) ,‎ 第13个零件的尺寸为，， ‎ 所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查.‎ ‎(ii)剔除，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为，‎ 方差为 故标准差为.‎ ‎ (ii)解法二：剔除，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为，由，得，‎ 试剔除离群值，这条生产线当天生产的零件尺寸的方差 ‎【2016，19】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.‎ 记表示台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数．‎ ‎（1）若，求与的函数解析式；‎ ‎（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于”的频率不小于，求的最小值； ‎ ‎（3）假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，或每台都购买个易损零件，分别计算这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买个还是个易损零件？‎ 解析 （1）当时，（元）；‎ 当时，（元），‎ 所以．‎ ‎（2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示.‎ 更换的易损零件数 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ 频率 ‎0.06‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ 所以更换易损零件数不大于18的频率为：，‎ 更换易损零件数不大于19的频率为：，故最小值为．‎ ‎（3）若每台都购买个易损零件，则这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：‎ ‎（元）；‎ 若每台都够买个易损零件，则这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：‎ ‎（元）.‎ 因为，所以购买台机器的同时应购买个易损零件．‎ ‎【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi，和年销售量yi(i=1,2,3,…,8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中 ‎(Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx与，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：‎ ‎(1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？‎ ‎(2)当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ 解：(Ⅰ) 由散点图可知适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. …2分 ‎ ‎(Ⅱ)设，则线性回归方程为y=c+dω，由公式得 ‎=68，α=563-68×6.8=100.6，所以y=100.6+68ω，‎ 所以y关于x的回归方程为。 …6分 ‎(Ⅲ) (1)当x=49时，年销售量的预报值y=100.6+68×7=576.6，‎ 年利润的预报值z=0.2×576.6y-49=66.32， …9分 ‎(2)因为 ‎ 所以当=6.8，即宣传费x=46.24千元时，年利润的预报值最大. …12分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 ‎19. 解析 （1）由散点图变化情况选择较为适宜.‎ ‎（2）由题意知.‎ 又一定过点，所以，‎ 所以关于的回归方程为.‎ ‎（3）（ⅰ）由（2）可知当时，，‎ ‎.‎ 所以年宣传费时，年销售量为，年利润的预报值为千元.‎ ‎（ⅱ）‎ ‎.‎ 所以当，即（千元）时，年利润的预报值最大， ‎ ‎【2013，18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5‎ ‎(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？‎ ‎(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？‎ 解：(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.‎ 由观测结果可得 ‎＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)‎ ‎＝2.3，‎ ‎＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)‎ ‎＝1.6.‎ 由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．‎ ‎(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：‎ 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．‎ ‎【2012，18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。‎ ‎（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；‎ ‎②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，‎ 求当天的利润不少于75元的概率。‎ ‎【解析】（1）当日需求量时，利润；‎ ‎ 当日需求量时，利润。‎ 所以当天的利润关于当天需求量的函数解析式为（）。‎ ‎（2）①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，‎ 则这100天的日利润（单位：元）的平均数为 ‎ （元）。‎ ‎②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝。‎ ‎ 故当天的利润不少于75元的概率为 ‎ 。‎ ‎【2011，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于的产品为优质品．现用两种新配方（分别成为配方和配方）做试验，各生产了件这样的产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果．‎ 配方的频数分布表 指标值分组 频数 配方的频数分布表 指标值分组 频数 ‎（1）分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（2）已知用配方生产的一件产品的利润（单位：元）‎ 与其质量指标值的关系式为估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率，并求用配方生产的上述件产品平均一件的利润．‎ ‎【解析】（1）由试验结果知，用配方生产的产品中优质品的频率为，所以用配方生产的产品的优质品率的估计值为．‎ 由试验结果知，用配方生产的产品中优质品率的频率为，所以用配方生产的产品的优质品率的估计值为．‎ ‎（2）由条件知，用配方生产的一件产品的利润大于，需其质量指标值，‎ 由试验结果知，质量指标值的频率为．‎ 用配方生产的产品平均一件的利润为（元）‎