高考数学试题分类汇编不等式含文科理科及详细解析

高考数学试题分类汇编不等式含文科理科及详细解析

‎2017年高考数学试题分类汇编：不等式 ‎1（2017北京文）已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．‎ ‎【考点】3W：二次函数的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，‎ 则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上，‎ 所以函数的最小值为：f（）==．‎ 最大值为：f（1）=2﹣2+1=1．‎ 则x2+y2的取值范围是：[，1]．‎ 故答案为：[，1]．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎2（2017浙江）已知aR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________． ‎ ‎【考点】3H：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．‎ ‎【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，‎ 又因为|x+﹣a|≤5﹣a，‎ 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，‎ 所以2a﹣5≤x+≤5，‎ 又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，‎ 所以2a﹣5≤4，解得a≤，‎ 故答案为：（﹣∞，]．‎ ‎【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎3（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数=│x+1│–│x–2│.‎ ‎（1）求不等式≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式．‎ ‎【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，‎ ‎∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；‎ 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；‎ 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．‎ ‎（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，‎ 即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．‎ 由（1）知，g（x）=，‎ 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，‎ ‎∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；‎ 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），‎ ‎∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；‎ 当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，‎ ‎∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；‎ 综上，g（x）max=，‎ ‎∴m的取值范围为（﹣∞，]．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．‎ ‎4（2017新课标Ⅲ理数）．[选修45：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围．‎ 解：（1）当时 无解 当时∴‎ 当时综上所述的解集为 . ‎ ‎（2）原式等价于存在，使 成立，即 ‎ 设 由（1）知 当时，‎ ‎5（2017新课标Ⅱ文）[选修4−5：不等式选讲]（10分）‎ 已知.证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此a+b≤2.‎ ‎6（2017新课标Ⅱ理）[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此a+b≤2.‎ ‎7（2017新课标Ⅰ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.‎ 解：（1）当时，不等式等价于.①‎ 当时，①式化为，无解；‎ 当时，①式化为，从而；‎ 当时，①式化为，从而.‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）当时，.‎ 所以的解集包含，等价于当时.‎ 又在的最小值必为与之一，所以且，得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎8（2017新课标Ⅰ理数）设x、y、z为正数，且，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z ‎【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有 ‎【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．‎ 另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．‎ ‎【解答】解：x、y、z为正数，‎ 令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．‎ 则x=，y=，z=．‎ ‎∴3y=，2x=，5z=．‎ ‎∵==，＞=．‎ ‎∴＞lg＞＞0．‎ ‎∴3y＜2x＜5z．‎ 另解：x、y、z为正数，‎ 令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．‎ 则x=，y=，z=．‎ ‎∴==＞1，可得2x＞3y，‎ ‎==＞1．可得5z＞2x．‎ 综上可得：5z＞2x＞3y．‎ 解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9（2017新课标Ⅰ理数）．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.‎ ‎【解析】（1）当时，不等式等价于.①‎ ‎10（2017天津文）若a，，，则的最小值为 .‎ ‎【考点】7F：基本不等式．菁优网版权所有 ‎【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5T ：不等式．‎ ‎【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．‎ ‎【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．‎ ‎【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，‎ ‎∴≥‎ ‎=‎ ‎=4ab+≥2=4，‎ 当且仅当，‎ 即，‎ 即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；‎ ‎∴上式的最小值为4．‎ ‎【解法二】a，b∈R，ab＞0，‎ ‎∴=+++≥4=4，‎ 当且仅当，‎ 即，‎ 即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；‎ ‎∴上式的最小值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．‎ ‎11（2017天津理）若，，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，当且仅当时取等号 ‎12（2017山东文）若直线 过点（1,2）,则2a+b的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎（7）（2017山东理）若，且，则下列不等式成立的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ，所以选B.‎ ‎13（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ．‎ ‎【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.‎ ‎14(2017年江苏卷)［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）‎ ‎ 已知为实数，且证明：‎ ‎【解析】由柯西不等式可得，‎ 即，故.‎ ‎15（2017北京理）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．‎ ‎【考点】FC：反证法．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．‎ ‎【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 ‎【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，‎ 则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，‎ 可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），‎ 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3‎ ‎【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．‎ ‎16.（2017•新课标Ⅲ文数）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．‎ ‎【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：‎ 目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，‎ 由解得A（0，3），‎ 由解得B（2，0），‎ 目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，‎ 目标函数的取值范围：[﹣3，2]．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．‎