高考数学试题分类汇编不等式含文科理科及详细解析

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高考数学试题分类汇编不等式含文科理科及详细解析

‎2017年高考数学试题分类汇编:不等式 ‎1(2017北京文)已知,,且x+y=1,则的取值范围是__________.‎ ‎【考点】3W:二次函数的性质.菁优网版权所有 ‎【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用.‎ ‎【分析】利用已知条件转化所求表达式,通过二次函数的性质求解即可.‎ ‎【解答】解:x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2=x2+(1﹣x)2=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],‎ 则令f(x)=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],函数的对称轴为:x=,开口向上,‎ 所以函数的最小值为:f()==.‎ 最大值为:f(1)=2﹣2+1=1.‎ 则x2+y2的取值范围是:[,1].‎ 故答案为:[,1].‎ ‎【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎2(2017浙江)已知aR,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则的取值范围是___________. ‎ ‎【考点】3H:函数的最值及其几何意义.菁优网版权所有 ‎【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用.‎ ‎【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5,进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5,进而计算可得结论.‎ ‎【解答】解:由题可知|x+﹣a|+a≤5,即|x+﹣a|≤5﹣a,所以a≤5,‎ 又因为|x+﹣a|≤5﹣a,‎ 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a,‎ 所以2a﹣5≤x+≤5,‎ 又因为1≤x≤4,4≤x+≤5,‎ 所以2a﹣5≤4,解得a≤,‎ 故答案为:(﹣∞,].‎ ‎【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎3(2017新课标Ⅲ文数)[选修4—5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数=│x+1│–│x–2│.‎ ‎(1)求不等式≥1的解集;‎ ‎(2)若不等式≥x2–x +m的解集非空,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有 ‎【专题】32 :分类讨论;33 :函数思想;4C :分类法;4R:转化法;51 :函数的性质及应用;5T :不等式.‎ ‎【分析】(1)由于f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,解不等式f(x)≥1可分﹣1≤x≤2与x>2两类讨论即可解得不等式f(x)≥1的解集;‎ ‎(2)依题意可得m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x,分x≤1、﹣1<x<2、x≥2三类讨论,可求得g(x)max=,从而可得m的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,f(x)≥1,‎ ‎∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;‎ 当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;‎ 综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.‎ ‎(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,‎ 即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.‎ 由(1)知,g(x)=,‎ 当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=>﹣1,‎ ‎∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;‎ 当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=∈(﹣1,2),‎ ‎∴g(x)≤g()=﹣+﹣1=;‎ 当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=<2,‎ ‎∴g(x)≤g(2)=﹣4+2+3=1;‎ 综上,g(x)max=,‎ ‎∴m的取值范围为(﹣∞,].‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题.‎ ‎4(2017新课标Ⅲ理数).[选修45:不等式选讲](10分)‎ 已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空,求m的取值范围.‎ 解:(1)当时 无解 当时∴‎ 当时综上所述的解集为 . ‎ ‎(2)原式等价于存在,使 成立,即 ‎ 设 由(1)知 当时,‎ ‎5(2017新课标Ⅱ文)[选修4−5:不等式选讲](10分)‎ 已知.证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【解析】(1)‎ ‎(2)因为 所以,因此a+b≤2.‎ ‎6(2017新课标Ⅱ理)[选修4—5:不等式选讲](10分)‎ 已知.证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【解析】(1)‎ ‎(2)因为 所以,因此a+b≤2.‎ ‎7(2017新课标Ⅰ文数)[选修4—5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.‎ 解:(1)当时,不等式等价于.①‎ 当时,①式化为,无解;‎ 当时,①式化为,从而;‎ 当时,①式化为,从而.‎ 所以的解集为.‎ ‎(2)当时,.‎ 所以的解集包含,等价于当时.‎ 又在的最小值必为与之一,所以且,得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎8(2017新课标Ⅰ理数)设x、y、z为正数,且,则 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z ‎【考点】72:不等式比较大小.菁优网版权所有 ‎【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;59 :不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.可得3y=,2x=,5z=.根据==,>=.即可得出大小关系.‎ 另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.==>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.‎ ‎【解答】解:x、y、z为正数,‎ 令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.‎ 则x=,y=,z=.‎ ‎∴3y=,2x=,5z=.‎ ‎∵==,>=.‎ ‎∴>lg>>0.‎ ‎∴3y<2x<5z.‎ 另解:x、y、z为正数,‎ 令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.‎ 则x=,y=,z=.‎ ‎∴==>1,可得2x>3y,‎ ‎==>1.可得5z>2x.‎ 综上可得:5z>2x>3y.‎ 解法三:对k取特殊值,也可以比较出大小关系.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎9(2017新课标Ⅰ理数).[选修4—5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时,不等式等价于.①‎ ‎10(2017天津文)若a,,,则的最小值为 .‎ ‎【考点】7F:基本不等式.菁优网版权所有 ‎【专题】34 :方程思想;4R:转化法;5T :不等式.‎ ‎【分析】【方法一】两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.‎ ‎【方法二】将拆成+,利用柯西不等式求出最小值.‎ ‎【解答】解:【解法一】a,b∈R,ab>0,‎ ‎∴≥‎ ‎=‎ ‎=4ab+≥2=4,‎ 当且仅当,‎ 即,‎ 即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;‎ ‎∴上式的最小值为4.‎ ‎【解法二】a,b∈R,ab>0,‎ ‎∴=+++≥4=4,‎ 当且仅当,‎ 即,‎ 即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;‎ ‎∴上式的最小值为4.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题.‎ ‎11(2017天津理)若,,则的最小值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,当且仅当时取等号 ‎12(2017山东文)若直线 过点(1,2),则2a+b的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎(7)(2017山东理)若,且,则下列不等式成立的是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ,所以选B.‎ ‎13(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是 ▲ .‎ ‎【解析】总费用,当且仅当,即时等号成立.‎ ‎14(2017年江苏卷)[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)‎ ‎ 已知为实数,且证明:‎ ‎【解析】由柯西不等式可得,‎ 即,故.‎ ‎15(2017北京理)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________.‎ ‎【考点】FC:反证法.菁优网版权所有 ‎【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;5L :简易逻辑.‎ ‎【分析】设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题,则若a>b>c,则a+b≤c”是真命题,举例即可,本题答案不唯一 ‎【解答】解:设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题,‎ 则若a>b>c,则a+b≤c”是真命题,‎ 可设a,b,c的值依次﹣1,﹣2,﹣3,(答案不唯一),‎ 故答案为:﹣1,﹣2,﹣3‎ ‎【点评】本题考查了命题的真假,举例说明即可,属于基础题.‎ ‎16.(2017•新课标Ⅲ文数)设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是(  )‎ A.[﹣3,0] B.[﹣3,2] C.[0,2] D.[0,3]‎ ‎【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 ‎【专题】11 :计算题;31 :数形结合;35 :转化思想;5T :不等式.‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可.‎ ‎【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:‎ 目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,‎ 由解得A(0,3),‎ 由解得B(2,0),‎ 目标函数的最大值为:2,最小值为:﹣3,‎ 目标函数的取值范围:[﹣3,2].‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用,目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键.‎
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