数学高考题型历炼Word解析版72导数的简单应用与定积分

数学高考题型历炼Word解析版72导数的简单应用与定积分

‎1．(定义新)设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在次不动点，若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0) B. C.D. ‎2．(交汇新) 如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x2－2x及直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．‎ ‎3．(背景新)设f1(x)＝cos x，定义fn＋1(x)为fn(x)的导数，即fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*，若△ABC的内角A满足f1(A)＋f2(A)＋…＋f2 013(A)＝0，则sin A的值是________．‎ ‎4．(交汇新)已知函数f(x)＝在x＝0，x＝处存在极值．‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)函数y＝f(x)的图象上存在两点A，B，使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；‎ ‎(3)当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的实根的个数．‎ ‎[历　炼]‎ ‎1．解析：设g(x)＝f(x)＋x，依题意，存在x∈[1,4]，使g(x)＝f(x)＋x＝ax2－2x－a＋＝0.当x＝1时，g(1)＝≠0；当x≠1时，由ax2－2x－a＋＝0，得a＝.记h(x)＝(1＜x≤4)，则由h′(x)＝＝0，得x＝2或x＝(舍去)．当x∈(1,2)时，h′(x)＞0；当x∈(2,4)时，h′(x)＜0，即函数h(x)在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x＝2时，h(x)取得最大值，最大值是h(2)＝，故满足题意的实数a的取值范围是.故选D.‎ 答案：D ‎2．解析：曲线f(x)＝2x2－2x与直线y＝2x的交点为(0,0)和(2,4)，曲线f(x)＝2x2－2x与x轴的交点坐标为(0,0)和(1,0)，其顶点坐标为.因为矩形ABCD的面积为×2＝9，阴影部分的面积为(2x－2x2＋2x)dx＝＝，所以该点落在阴影部分的概率为＝.‎ 答案： ‎3．解析：∵f1(x)＝cos x，∴f2(x)＝[f1(x)]′＝－sin x，f3(x)＝[f2(x)]′＝－cos x，f4(x)＝[f3(x)]′＝sin x，f5(x)＝[f4(x)]′＝cos x，…，∴fn(x)＋fn＋1(x)＋fn＋2(x)＋fn＋3(x)＝0，∴f1(A)＋f2(A)＋…＋f2 013(A)＝f2 013(A)＝f1(A)＝cos A＝0，又A为△ABC的内角．∴sin A＝1.‎ 答案：1‎ ‎4．解析：(1)当x＜1时，f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.‎ 因为函数f(x)在x＝0，x＝处存在极值，‎ 所以 解得a＝1，b＝0.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝ 根据条件知A，B的横坐标互为相反数，不妨设A(－t，t3＋t2)，B(t，f(t))(t＞0)．‎ 若t＜1，则f(t)＝－t3＋t2，‎ 由∠AOB是直角，得·＝0，‎ 即－t2＋(t3＋t2)(－t3＋t2)＝0，‎ 即t4－t2＋1＝0，此时无解；‎ 若t≥1，则f(t)＝c(et－1－1)．由于AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角，所以点B不可能在x轴上，即t≠1.同理·＝0，即－t2＋(t3＋t2)·c(et－1－1)＝0，则 c＝.‎ 因为函数y＝(t＋1)(et－1－1)在t＞1上的值域是(0，＋∞)，‎ 所以实数c的取值范围是(0，＋∞)．‎ ‎(3)由方程f(x)＝kx，‎ 知kx＝ 因为0一定是方程的根，所以以下仅就x≠0时进行研究．‎ 方程等价于k＝ 构造函数g(x)＝则 对于x＜1且x≠0部分，函数g(x)＝－x2＋x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x＝时取得最大值，其值域是(－∞，0)∪；‎ 对于x≥1部分，函数g(x)＝，由g′(x)＝＞0，知函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增且g(1)＝0，则g(x)的值域为[0，＋∞)．‎ 所以，x≠0时：‎ ‎①当k＞或k≤0时，方程f(x)＝kx有一个实根；‎ ‎②当k＝时，方程f(x)＝kx有两个实根；‎ ‎③当0＜k＜时，方程f(x)＝kx有三个实根．‎