高考江苏数学试题及答案word解析版

高考江苏数学试题及答案word解析版

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1． 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．‎ ‎2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．‎ ‎3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．‎ ‎4． 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．‎ ‎5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．‎ 数学Ⅰ 参考公式：‎ 圆柱的体积公式：，其中为圆柱的表面积，为高．‎ 圆柱的侧面积公式：，其中是圆柱底面的周长，为母线长．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎（1）【2014年江苏，1，5分】已知集合，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得．‎ ‎（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数(为虚数单位)，则的实部为_______．‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】由题意，其实部为21．‎ ‎（3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的的值是_______．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】本题实质上就是求不等式的最小整数解．整数解为，因此输出的．‎ ‎（4）【2014年江苏，4，5分】从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．‎ ‎（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，即，，，因为，所以．‎ ‎（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于的株数为．‎ ‎（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设公比为，因为，则由得，，解得，所以．‎ ‎（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则．‎ ‎（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为 ‎，所求弦长为．‎ ‎（10）【2014年江苏，10，5分】已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】据题意，解得．‎ ‎（11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得，所以．‎ ‎（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD中，已知，， ‎ ‎，则的值是________．‎ ‎【答案】22‎ ‎【解析】由题意，，，‎ 所以，‎ 即，解得．‎ ‎（13）【2014年江苏，13，5分】已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，．‎ 若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出函数的图象，可见，当时，， ‎ ‎，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线 ‎ 在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数 的应该是4个交点，则有．‎ ‎（14）【2014年江苏，14，5分】若的内角满足，则的最小值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知及正弦定理可得， ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（15）【2014年江苏，15，14分】已知，．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求的值．‎ 解：（1）∵，∴，‎ ‎ ．‎ ‎（2）∵，‎ ‎ ∴．‎ ‎（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥中，分别为棱 的中点．已知．‎ ‎ （1）求证：直线PA∥平面DEF；‎ ‎ （2）平面BDE⊥平面ABC．‎ 解：（1）∵为中点∴DE∥PA∵平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF．‎ ‎（2）∵为中点，∴∵为中点，∴， ‎ ‎∴，∴，∴DE⊥EF，∵，∴，‎ ‎∵，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结 并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．‎ ‎ （1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；‎ ‎ （2）若，求椭圆离心率e的值．‎ 解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）设焦点，∵关于x轴对称，∴，‎ ‎∵三点共线，∴，即①‎ ‎∵，∴，即②‎ ‎①②联立方程组，解得 ∴‎ C在椭圆上，∴，化简得，∴, 故离心率为．‎ ‎（18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．‎ ‎ （1）求新桥BC的长；‎ ‎ （2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？．‎ 解：解法一：‎ ‎（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．‎ 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC的斜率．‎ 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率．设点B的坐标为(a,b)，‎ 则kBC=， k AB=，解得a=80，b=120． ‎ 所以BC=．因此新桥BC的长是150 m．‎ ‎（2）设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60)．‎ 由条件知，直线BC的方程为，即，‎ 由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即．‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，‎ 所以，即，解得．‎ 故当d=10时,最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大．‎ 解法二：‎ ‎（1）如图，延长OA, CB交于点F．因为tan∠BCO=．所以sin∠FCO=，cos∠FCO=．‎ 因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=．CF=，‎ 从而．因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=，又因为AB⊥BC，所以BF=AF ‎ cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150．因此新桥BC的长是150 m．‎ ‎（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，‎ OM=d m(0≤d≤60)．因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，‎ 故由（1）知，sin∠CFO =所以．‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，‎ 所以，即，解得，‎ 故当d=10时，最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大．‎ ‎（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数其中e是自然对数的底数．‎ ‎ （1）证明：是上的偶函数；‎ ‎ （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知正数a满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明 你的结论．‎ 解：（1），，∴是上的偶函数．‎ ‎（2）由题意，，即，∵，∴，‎ 即对恒成立．令，则对任意恒成立．‎ ‎∵，当且仅当时等号成立，∴．‎ ‎（3），当时∴在上单调增，令，，‎ ‎∵，∴，即在上单调减，‎ ‎∵存在，使得，∴，即．‎ ‎∵，设，则，．当时，，单调增；当时，，单调减，因此至多有两个零点，而，∴当时，，；‎ 当时，，；当时，，．‎ ‎（20）【2014年江苏，20，16分】设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．‎ ‎ （1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；‎ ‎ （2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；‎ ‎（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．‎ 解：（1）当时，，当时，，‎ ‎∴时，，当时，，∴是“H数列”．‎ ‎（2），对，使，即，‎ 取得，，∵，∴，又，∴，∴．‎ ‎（3）设的公差为d，令，对，，，‎ 对，，则，且为等差数列．‎ 的前n项和，令，则．‎ 当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，．‎ 因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．‎ 的前ｎ项和，令，则 ‎∵对，是非负偶数，∴，即对，都可找到，使得成立，‎ 即为“H数列”，因此命题得证．‎ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．‎ ‎2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．‎ ‎3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．‎ ‎4． 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．‎ 数学Ⅱ ‎【选做】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（21-A）【2014年江苏，21-A，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB是圆O的直径，C、 D 是圆O 上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB=∠D．‎ 解：因为B，C是圆O上的两点，所以OB=OC．故∠OCB=∠B．又因为C, D是圆O上位于AB异侧 ‎ 的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D．因此∠OCB=∠D．‎ ‎（21-B）【2014年江苏，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，，向量，‎ 为实数，若，求的值．‎ 解：，，由得解得．‎ ‎（21-C）【2014年江苏，21-C，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长．‎ 解：直线l：代入抛物线方程并整理得，∴交点，，故．‎ ‎（21-D）【2014年江苏，21-D，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知，，证明：．‎ 解：因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥，1+x2+y≥，所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy．‎ ‎【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．‎ ‎（22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．‎ ‎（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；‎ ‎（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示 ‎ 中的最大数，求X的概率分布和数学期望．‎ 解：（1）一次取2个球共有种可能情况，2个球颜色相同共有种可能情况，‎ ‎∴取出的2个球颜色相同的概率．‎ ‎（2）X的所有可能取值为，则；；‎ ‎．∴X的概率分布列为：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 故X的数学期望．‎ ‎（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数，设为的导数，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：对任意的，等式成立．‎ 解：（1）由已知，得，‎ 于是，所以，‎ 故．‎ ‎（2）由已知，得等式两边分别对x求导，得，‎ 即，类似可得，‎ ‎，．‎ 下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立．‎ ‎（i）当n=1时，由上可知等式成立．‎ ‎（ii）假设当n=k时等式成立, 即．‎ 因为 ‎，所以．‎ 所以当n=k+1时,等式也成立．‎ 综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立．‎ 令，可得()．所以()．‎