2017年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

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2017年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 数学(理科)‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎(1)【2017年北京,理1,5分】若集合,,则=( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选A.‎ ‎(2)【2017年北京,理2,5分】若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】,因为对应的点在第二象限,所以 ,解得:,故选B.‎ ‎(3)【2017年北京,理3,5分】执行如图所示的程序框图,输出的值为( )‎ ‎(A)2 (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】时,成立,第一次进入循环,成立,第二次进入循环, ‎ ‎,成立,第三次进入循环, 否,输出,‎ 故选C.‎ ‎(4)【2017年北京,理4,5分】若,满足 则的最大值为( )‎ ‎(A)1 (B)3 (C)5 (D)9‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图,画出可行域,表示斜率为的一组平行线,当过点时,‎ 目标函数取得最大值,故选D.‎ ‎(5)【2017年北京,理5,5分】已知函数,则( )‎ ‎ (A)是奇函数,且在R上是增函数 (B)是偶函数,且在R上是增函数 ‎ ‎(C)是奇函数,且在R上是减函数 (D)是偶函数,且在R上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】,所以函数是奇函数,并且是增函数,是减函数,根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数故选A.‎ ‎(6)【2017年北京,理6,5分】设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的( )‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若,使,即两向量反向,夹角是,那么,反过来,若,那么两向量的夹角为 ,KS5U并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分不必要条件,故选A.‎ ‎(7)【2017年北京,理7,5分】某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)2‎ ‎【答案】B ‎【解析】几何体是四棱锥,如图,红色线为三视图还原后的几何体,最长的棱长为正方体的对角线,,故选B.‎ ‎(8)【2017年北京,理8,5分】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可 观测宇宙中普通物质的原子总数N约为.则下列各数中与最接近的是( )‎ ‎(参考数据:)‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ,两边取对数,,所以,即最接近,故选D.‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题:共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)【2017年北京,理9,5分】若双曲线的离心率为,则实数 . ‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】.‎ ‎(10)【2017年北京,理10,5分】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1,a4=b4=8,则= .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】.‎ ‎(11)【2017年北京,理11,5分】在极坐标系中,点A在圆上,点P的坐标为,则的最小值为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】,所以.‎ ‎(12)【2017年北京,理12,5分】在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎(13)【2017年北京,理13,5分】能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为_______.‎ ‎【答案】-1,-2,-3‎ ‎【解析】.‎ ‎(14)【2017年北京,理14,5分】三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是_________.②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是_________.‎ ‎【答案】;.‎ ‎【解析】作图可得中点纵坐标比,中点纵坐标大,所以第一位选,分别作,,关于原点的对称点,,,比较直线,,斜率,可得最大,所以选.‎ ‎ 三、解答题:共6题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎(15)【2017年北京,理15,13分】在中,,. ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的面积.‎ 解:(1),由正弦定理得:.‎ ‎ (2),,为锐角,由得:,‎ 又,.‎ ‎(16)【2017年北京,理16,14分】如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点在线段上,平面,,.‎ ‎(1)求证:为的中点;‎ ‎(2)求二面角的大小;‎ ‎(3)求直线与平面所成角的正弦值.‎ 解:(1)取、交点为,连结.∵面,面 面面,∴,‎ 在中,为中点,∴为中点.‎ ‎(2)解法一:‎ 取中点为,中点为,连结,,∵,∴,‎ 又面面,面面,∴面,‎ 以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标,可知,,,‎ ‎,易知面的法向量为,且,‎ ‎,设面的法向量为,‎ ‎,‎ 由图可知二面角的平面角为锐角,∴二面角大小为.‎ 解法二:‎ 过点作,交于点,连结,∵平面,∴,‎ ‎∴平面,∴,∴即为二面角的平面角,‎ ‎,可求得,,∴.‎ ‎(3)解法一:‎ 点,,∴,由(2)题面的一个法向量,‎ 设与平面所成角为,∴.‎ 解法二:‎ 记,取中点,连结,,,取中点,连,易证点是中 点,∴,∵平面平面,,∴平面,∴平面.‎ 连结,,,∴.∵,,,‎ 由余弦定理知,∴,∴.‎ 设点到平面的距离为,,又,求得,‎ 记直线与平面所成角为,∴.‎ ‎(17)【2017年北京,理17,13分】为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标和的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示为服药者.‎ ‎(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值 小于60的概率;‎ ‎(2)从图中A,B,C,D四人中随机KS5U.选出两人,记 ‎ 为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望;‎ ‎(3)试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小.(只需写出结论)‎ 解:(1)50名服药者中指标的值小于60的人有15人,故随机抽取1人,此人指标的值小于60概率为.‎ ‎(2)的可能取值为:0,1,2,,,‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎(3)从图中服药者和未服药者指标数据的离散程度观察可知,服药者的方差大。‎ ‎(18)【2017年北京,理18,14分】已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点,,过点作轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;‎ ‎(2)求证:A为线段BM的中点.‎ 解:(1)由抛物线过点,代入原方程得,所以,原方程为.‎ 由此得抛物线焦点为,准线方程为.‎ ‎(2)解法一:‎ ‎∵轴,设,根据题意显然有,若要证为中 点,只需证即可,左右同除有,即只需证明成立.‎ 其中,当直线斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点不满足 题意,所以直线斜率存在且不为零.‎ 设直线,联立有,‎ 考虑,由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以.‎ 由韦达定理可知:……①, ……②‎ 将①②代入上式,有 即,所以恒成立,∴为中点,得证.‎ 解法二:‎ 当直线斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线斜率存 在且不为零.设为点,过的直线方程为,设,显然,‎ 均不为零.联立方程得,考虑,由题可知有两交点,所以判别 式大于零,所以.由韦达定理可知:……①, ……②‎ 由题可得横坐标相等且同为,且,在直线上,‎ 又在直线:上,所以,若要证明为中点,‎ 只需证,即证,即证,将代入上式,‎ 即证,即,‎ 将①②代入得,化简有恒成立,所以恒成立,所以为中点.‎ ‎(19)【2017年北京,理19,13分】已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ 解:(1)∵,,‎ ‎∴∴在处的切线方程为,即.‎ ‎(2)令,,‎ ‎∵时,,∴在上单调递减,‎ ‎∴时,,即,∴在上单调递减 ‎∴时,有最大值;时,有最小值.‎ ‎(20)【2017年北京,理20,13分】设和是两个等差数列,记 ‎ ‎,其中表示这个数中最大的数.‎ ‎(1)若,,求的值,并证明是等差数列;‎ ‎(2)证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得 是等差数列.‎ 解:(1)易知,,且,,.∴,‎ ‎,‎ ‎.‎ 下面我们证明,对且,都有.当且时,‎ ‎,‎ ‎∵且,∴.‎ 因此,对且,,则.‎ 又∵,故对均成立,从而为等差数列.‎ ‎(2)设数列与的公差分别为,,下面我们考虑的取值.对,,…,,‎ 考虑其中任意项(且),‎ 下面我们分,,三种情况进行讨论.‎ ‎1)若,则 ‎①若,则,则对于给定的正整数而言,‎ 此时,故为等差数列.‎ ‎②若,则 则对于给定正整数而言,.此时,故为等差数列.‎ 此时取,则是等差数列,命题成立.‎ ‎2)若,则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数.‎ 故必存在,使得当时,‎ 则当时,(,).‎ 因此,当时,.此时,故从第项开始为等差数列,命题成立.‎ ‎3)若,则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数.‎ 故必存在,使得当时,,‎ 则当时,(,),‎ 因此,当时,.此时,‎ 令,,,‎ 下面证明对任意正数,存在正整数,使得当时,.‎ ‎①若,则取(表示不大于的最大整数),当时,‎ ‎,此时命题成立.‎ ‎②若,则取,当时,‎ ‎.‎ 此时命题也成立.因此,对任意正数,存在正整数,使得当时,.‎ 综合以上三种情况,命题得证.‎
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