2010年湖北高考数学理科试卷带详解

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2010年湖北高考数学理科试卷带详解

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数 学(理工农医类)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的.‎ ‎1.若为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表 ‎ 示复数的点是 ( )‎ A.E B.F ‎ C.G D.H ‎ 第1题图 ‎ ‎【测量目标】复平面,复数代数式的四则运算. ‎ ‎【考查方式】通过计算复数代数式,确定位于复平面中哪一点. ‎ ‎【难易程度】容易 ‎ ‎【参考答案】D ‎ ‎【试题解析】由图知z=,所以,故选D.‎ ‎2.设集合A=,B=,则AB的子集的个数是 ( )‎ ‎ A. 4 B. 3 C. 2 D.1‎ ‎【测量目标】集合的基本运算.‎ ‎【考查方式】直接给出A,B集合,利用图象法判断它们交集中有2个元素,从而判断交集的子集个数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】由题意知AB中有两个元素,所以AB的子集的个数是4个,故选A.‎ ‎ 第2题图 ‎ ‎3.在△ABC中,a=15,b=10, ∠A=,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】正弦定理,同角三角函数的基本关系.‎ ‎【考查方式】给出三角形中两边一角,由三角函数解三角形求出一角的余弦值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由正弦定理得,解得,又因为,‎ 所以(步骤1)故,所以,故选C.(步骤2)‎ ‎4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰于向上的点数是‎3”‎为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】随机事件的概率.‎ ‎【考查方式】将事件分明A,B两个事件,由求对立事件概率的方法求出答案.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】因为事件A,B中至少有一件发生与都不发生互为对立事件,故所求概率为 ‎,选C.‎ ‎5.已知和点满足.若存在实数使得成立,则= ( )‎ A.2 B.3 C. 4 D. 5‎ ‎【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.‎ ‎【考查方式】由三角形内一点所构成的向量的关系,判断该点为重心,从而求出满足线性关系的m的值 ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】由知,点M为的重心,设点D为底边BC的中点,则=,所以有,故=3,选B.‎ ‎6.将参加夏令营的600名学生编号为:001,002,,600.采用系统抽样疗法抽取一个 ‎ 容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001‎ ‎ 到300在第I营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被 ‎ 抽中的人数依次为 ( )‎ ‎ A. 26,16,8 B. 25,17,‎8 C. 25,16,9 D. 24,17, 9‎ ‎【测量目标】系统抽样.‎ ‎【考查方式】给出了总体,利用系统抽样抽取样本并求出在三个营区中的抽取人数.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】B ‎ ‎【试题解析】由600名学生中抽取一个容量为50的样本抽取“比例”=;‎ ‎(步骤1)因为随机抽得的号码为003,得系统抽样规则为:(,1,2,);‎ 所以:第I营区(从001到300)抽取的号码为:003,015,,291,共25人;‎ 第II营区(从301到495)抽取的号码为:303,315,,495,共17人;‎ 第III营区抽取的人数为:50-25-17=8人.故选B.(步骤2)‎ ‎7如图,在半径为r的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去.设为前个圆的面积之和,则 ( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 第7题图 ‎ ‎【测量目标】数列的极限与运算. ‎ ‎【考查方式】图形的面积构成了一个数列,利用数列的极限运算求出极限.‎ ‎【难易程度】中等 ‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】依题意分析可知,图形中内切圆半径分别为:r,‎ 即 ‎(步骤1)则面积依次为:所以 ‎,故C正确.(步骤2)‎ ‎8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、‎ ‎ 导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 ‎ 其他三项工作,丙、丁、戊都能胜四项工作,则不同安排方案的种数是 ( )‎ ‎ A.152 B.126 C.90 D.54‎ ‎【测量目标】排列,组合及其应用.‎ ‎【考查方式】给出了5名同学所能从事的工作,根据排列组合算出不同的分配方案.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】分类讨论:若有2人从事司机工作,则方案有;若有1人从事司机工作,则方案有种,所以共有18+108=126种,故B正确.[来源:www.shulihua.net]‎ ‎9.若直线与曲线有公共点,则的取值范围是 ( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【测量目标】直线与圆的位置关系.‎ ‎【考查方式】根据直线与双曲线有公共点求出b的取值范围.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】曲线方程可化简为,即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆(步骤1),当直线与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x+b距离等于2,解得,因为是下半圆故可得(舍)(步骤2),当直线过(0,3)时,解得b=3,故所以C正确.(步骤3)‎ ‎10.记实数,,,中的最大数为,最小数为.已知的三边长为,定义它的倾斜度为 则“”是“为等边三角形”[来源:www.shulihua.net]‎ ‎ A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 ‎【测量目标】充分必要条件.‎ ‎【考查方式】给出三角形倾斜度的定义,判断命题的充分必要性.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】若ABC为等边三角形时,即a=b=c,则则=1(步骤1);若ABC为等腰三角形,如a=2,b=2,c=3时,‎ 则,此时=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以A正确.(步骤2)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分 ‎11.在展开式中,系数为有理数的项共有 项.‎ ‎【测量目标】二项式定理.‎ ‎【考查方式】给出二项式,根据二项式的展开式求出系数为有理数的项数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】6‎ ‎【试题解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数,则r必为4的倍数,所以r可为0、4、8、12、16、20共6种,故系数为有理数的项共有6项.‎ ‎12己知,式中变量满足约束条件则的最大值为 .‎ ‎ 第12题图 ‎ ‎【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.‎ ‎【考查方式】给出了约束条件,判断可行域,求出目标函数的最大值.[来源:www.shulihua.net]】 ‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】5‎ ‎【试题解析】依题意,画出可行域(如图示),则对于目标函数y=2z,[来源:www.shulihua.net]‎ 当直线经过A(2,-1)时,z取到最大值,. ‎ ‎13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.‎ 第13题图 ‎ ‎【测量目标】柱,球的体积.‎ ‎【考查方式】给出了3个球和水的体积相加等于圆柱形容器的体积,由圆柱的体积公式以及圆的体积公式求出圆的半径. ‎ ‎【难易程度】容易 ‎ ‎【参考答案】4‎ ‎【试题解析】设球半径为r,则由,解得r=4. ‎ ‎14.某射手射击所得环数的分布列如下: ‎ ‎ ξ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ p ‎ x ‎ 0.1‎ ‎ 0.3‎ ‎ y 已知的期望,则y的值为 .‎ ‎【测量目标】数学期望,古典概型.‎ ‎【考查方式】给出了古典概型的概率和数学期望,算出未知数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】0.4‎ ‎【试题解析】由表格可知(步骤1)‎ 联合解得.(步骤2)‎ ‎15.设,称为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆.过点C作OD的垂线,垂足为E.连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段 的长度是a,b的几何平均数,线段 的长度是a,b的调和平均数.‎ ‎ 第15题图 ‎ ‎【测量目标】射影定理,几何、调和平均数.‎ ‎【考查方式】给出几何图形以及算数平均数的几何意义,判断几何、调和平均数所表示的线段.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】CD,DE ‎【试题解析】在Rt△ADB中DC为高,则由射影定理可得,故,即CD长度为a,b的几何平均数(步骤1),将OC=代入可得故,所以 ED=ODOE=,故DE的长度为a,b的调和平均数.(步骤2)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[来源:学+‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知函数,.‎ ‎(I)求函数的最小正周期;‎ ‎(II)求函数的最大值,并求使取得最大值的的集合.‎ ‎【测量目标】同角三角函数的基本关系,三角函数的周期性、最值.‎ ‎【考查方式】给出了两三角函数解析式,通过化简求出的最小正周期;求出新函数的解析式,通过化简求出函数的最值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】(I)‎ ‎ =‎ ‎ 的最小正周期为.(步骤1)‎ ‎ (II)‎ 当时,取得最大值.(步骤2)‎ 取得最大值时,对应的的集合为.(步骤3)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度(单位:cm)满足关系:,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.‎ ‎(I)求的值及的表达式;‎ ‎(II)隔热层修建多厚对,总费用达到最小,并求最小值.‎ ‎【测量目标】函数模型的构建,利用导数求函数的最值以及导数在实际问题中的应用.‎ ‎【考查方式】给出实际问题,根据所给条件构建函数模型从而求出k的值,利用导数求的总费用的最小值,主要考查了运用数学知识解决实际问题的能力.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】(I)设隔热层厚度为xcm,由题设每年能源消耗费用为 可由,得k=40,因此 而建造费用为(步骤1)‎ 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 ‎(步骤2)‎ ‎(II)令,即.‎ 解得(舍去).(步骤3)‎ 当时当5<x<10时,故x=5是的最小值点,对应的最小值为.‎ 当隔热层5cm厚时,总费用达到最小值70万元.(步骤4)‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ ‎ 如图, 在四面体ABOC中,OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1.‎ ‎(I) 设P为AC的中点.证明:在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算的值;‎ ‎(II)求二面角的平面角的余弦值. ‎ ‎ 第18题图 ‎ ‎【测量目标】立体几何的探索性问题,三垂线定理,二面角..‎ ‎【考查方式】给出了四面体及若干边角条件,由P为AC的中点探索是否有满足条件的定点,根据线面之间的关系以及三垂线定理,求出二面角的余弦值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(I)在平面OAB内作ONOA交AB于N,连接NC,‎ 又OAOC,故OA平面ONC OANC.(步骤1)取AN的中点Q PQNCPQ⊥OA.(步骤2)‎ 在等腰三角形AOB中,∠AOB=,∠OAB=∠OBA=.在Rt△AON中,∠OBA=ON=.‎ 在△ONB中,∠ONB=-==∠NBONB=ON=AQ=3.(步骤3)‎ ‎(II)由AC⊥NP∠OPN是二面角O-AC-B的平面角.‎ 在Rt△PON中,ON=,PN=‎ ‎(步骤4)‎ ‎ 第18题图 ‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.‎ ‎(I)求曲线C的方程;‎ ‎(II)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有 ‎<0 ? 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【测量目标】抛物线的定义、标准方程,圆锥曲线中的探索性问题.‎ ‎【考查方式】由题中已知条件得到抛物线的第二定义,从而求出曲线的方程;给出条件探索不等式是否成立,利用直线与曲线方程联立求解问题.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(I)设点是曲线C上任意一点,那么点P满足:‎ 化简得(步骤1) ‎ ‎(II)设过点M((的直线与曲线C的交点为A,设的方 程为,由得,,于是①(步骤2)‎ 又,‎ ‎ ②(步骤3)‎ 又于是不等式②等价于 ‎③‎ ‎(步骤4)‎ 把①式代入不等式③有④(步骤5)‎ 对任意实数t,4的最小值是0,所以不等式对于一切t成立等价于,‎ 即 由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有,且m 的取值范围是((步骤6)‎ 第19题组 ‎ ‎20. (本小题满分13分)‎ 已知数列满足: ,, <0;数列{}满足: =(n1).‎ ‎(I)求数列,{}的通项公式;‎ ‎(II)证明:数列{}中的任意三项不可能成等差数列.‎ ‎【测量目标】已知数列关系求通项,反证法.‎ ‎【考查方式】给出了两个数列之间的关系,利用递推关系求出数列的通项公式,利用反证法证明命题的正确性.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】(I)由===‎ ‎.(步骤1)‎ ‎∵,∴==‎ ‎=1,又<0,=>0.‎ ‎ =-=[1]-[1]= [-]‎ ‎ =.(步骤2)‎ ‎(II)用反证法证明.‎ 假设数列{bn}存在三项(rbs>bt,则只可能有2bs=br+ bt成立.‎ ‎∴,(步骤3)‎ 两边同乘,化简得.‎ 由于r0,g(x)是增函数,所以g(x)>g(1)=0,即f(x)>lnx.‎ 故当x1时,f(x)lnx.综上所述,所求a的取值范围是.(步骤3)‎ ‎3).当a时,有f(x)lnx(x),令a=,有f(x)= (x)lnx,令x=,有ln<即 ln(k+1)lnk< 上述n个不等式依次相加得到结果,即得到 ‎>(步骤4)‎
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