四川省遂宁市高考数学零诊试卷文科

四川省遂宁市高考数学零诊试卷文科

‎2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎2．（5分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P（，y），则sin（+α）=（　　）‎ A．1 B． C．﹣ D．﹣‎ ‎3．（5分）设函数，则的定义域为（　　）‎ A． B．[2，4] C．[1，+∞） D．[，2]‎ ‎4．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎5．（5分）在等差数列{an}中，a1=﹣6，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=6时，Sn取得最小值，则d的取值范围为（　　）‎ A． B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．‎ ‎6．（5分）已知变量x，y满足约束条件（k∈Z），且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1‎ ‎7．（5分）根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y=（　　）‎ A．28 B．10 C．4 D．2‎ ‎8．（5分）已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎9．（5分）已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，则的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3‎ ‎11．（5分）已知正数a，b，c满足4a﹣2b+25c=0，则lga+lgc﹣2lgb的最大值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1‎ ‎12．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，函数h（x）=xf（x）﹣ex的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B． C．0 D．e ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）若z=1﹣i，则=　　．‎ ‎14．（5分）某楼盘按国家去库存的要求，据市场调查预测，降价销售．今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长；90平方米套房的销售将每月递增10套．已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套，据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为　　套（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）‎ ‎15．（5分）已知点A（7，1），B（1，a），若直线y=x与线段AB交于点C，且，则实数a=　　．‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），当x=﹣时函数f（x）能取得最小值，当x=时函数y=f（x）能取得最大值，且f（x）在区间（，）上单调．则当ω取最大值时φ的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知a∈R，命题p：∀x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax﹣（a﹣2）=0．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，有b2+c2=a2+bc ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}，a3=4，a2+a6=10．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，，点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△‎ A'MN，使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设∠ANM=θ ‎（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；‎ ‎（2）求线段A'N长度的最小值．‎ ‎21．（12分）已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）的导函数g'（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；‎ ‎（3）若，当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求c的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，直线l：．‎ ‎（1）写出直线l的参数方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B，求|AB|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣4|．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若{x|f（x）≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅．求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2017•遂宁模拟）已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=|x|}={0，1}，‎ ‎∴A∩B={0，1}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2017•遂宁模拟）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P（，y），则sin（+α）=（　　）‎ A．1 B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【解答】解：∵点P（，y）在单位圆上，‎ ‎∴y=±‎ ‎∴α=+2kπ或﹣+2kπ，k∈Z．‎ sin（+α）=cosα=cos（+2kπ）=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2017•遂宁模拟）设函数，则的定义域为（　　）‎ A． B．[2，4] C．[1，+∞） D．[，2]‎ ‎【解答】解：∵函数的定义域为：[1，+∞）．‎ ‎∴，‎ 解得2≤x≤4．‎ ‎∴的定义域为：[2，4]．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，‎ 即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2017•遂宁模拟）在等差数列{an}中，a1=﹣6，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=6时，Sn取得最小值，则d的取值范围为（　　）‎ A． B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1=﹣6，公差为d，前n项和为Sn，‎ ‎∴Sn=﹣6n+=（n﹣）2+‎ ‎∵当且仅当n=6时，Sn取得最小值，‎ ‎∴，‎ 解得1＜d＜‎ ‎∴d的取值范围为（1，）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2017•遂宁模拟）已知变量x，y满足约束条件（k∈Z），且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1‎ ‎【解答】解：作出的可行域，‎ 由，得A（3，0），‎ 将约束条件中：x+3y=﹣k经过A时，目标函数的最大值是6，可得k=﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2017•遂宁模拟）根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y=（　　）‎ A．28 B．10 C．4 D．2‎ ‎【解答】解：当输入的x为2017时，‎ 第1次执行循环体后，x=2015，满足x≥0；‎ 第2次执行循环体后，x=2013，满足x≥0；‎ 第3次执行循环体后，x=2011，满足x≥0；‎ ‎…‎ 第1008次执行循环体后，x=1，满足x≥0；‎ 第1009次执行循环体后，x=﹣1，不满足x≥0；‎ 故y=31+1=4，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2017•遂宁模拟）已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎【解答】解：∵平面向量是非零向量，，，‎ ‎∴•（）=0，‎ 即+2=0，‎ 即=﹣2，‎ ‎∴向量在向量方向上的投影为==﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2017•遂宁模拟）已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，则的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【解答】解：在等差数列{bn}中，由b1+b6+b11=7π，得3b6=7π，，‎ ‎∴，‎ 在等比数列{an}中，由，得，，‎ ‎∴，‎ 则=tan=tan=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2017•遂宁模拟）已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3‎ ‎【解答】解：关于x的不等式恒成立，‎ 则a≤﹣，‎ 设f（x）=﹣，‎ 则，‎ 解得0≤x≤，‎ ‎∴f（x）在[0，]上单调递增，‎ ‎∴f（x）min=f（0）=﹣3，‎ ‎∴a≤﹣3，‎ 故a的最大值为﹣3，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2017•遂宁模拟）已知正数a，b，c满足4a﹣2b+25c=0，则lga+lgc﹣2lgb的最大值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1‎ ‎【解答】解：由题意：4a﹣2b+25c=0，变形为：4a+25c=2b，‎ ‎∵4a+25c≥2，当且仅当4a=25c时，取等号．‎ ‎∴2b≥2；即b2≥100ac 那么：lga+lgc﹣2lgb=lg≤lg=lg10﹣2=﹣2‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2017•遂宁模拟）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，函数h（x）=xf（x）﹣ex的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B． C．0 D．e ‎【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，‎ 又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，‎ ‎∴f（x）﹣lnx为定值，‎ 设t=f（x）﹣lnx，‎ ‎∴f（x）=lnx+t，‎ 又由f（t）=e+1，‎ 即lnt+t=e+1，‎ 解得：t=e，‎ ‎∴f（x）=lnx+e，‎ ‎∴h（x）=xf（x）﹣ex=xlnx，‎ ‎∴h′（x）=1+lnx，‎ 令h′（x）=0，解得x=，‎ 当h′（x）＞0时，即x＞，函数h（x）单调递增，‎ h′（x）＞0时，即0＜x＜，函数h（x）单调递减，‎ ‎∴h（x）min=h（）=﹣，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）（2017•遂宁模拟）若z=1﹣i，则=　1+i　．‎ ‎【解答】解：由z=1﹣i，‎ 得==．‎ 故答案为：1+i．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2017•遂宁模拟）某楼盘按国家去库存的要求，据市场调查预测，降价销售．今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长；90平方米套房的销售将每月递增10套．已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套，据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为　1320　套（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）‎ ‎【解答】解：由题意可得，今年110平方米套房的销售量构成以20为首项，以1.1为公比的等比数列，‎ 则今年年110平方米套房的销售量为≈420；‎ ‎90平方米套房的销售量构成以20为首项，以10为公差的等差数列，‎ 则90平方米套房的销售量为=900．‎ ‎∴这两种套房的销售总量约为：420+900=1320．‎ 故答案为：1320．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2017•遂宁模拟）已知点A（7，1），B（1，a），若直线y=x与线段AB交于点C，且，则实数a=　4　．‎ ‎【解答】解：根据题意，设C（x，x），‎ 由A（7，1），B（1，a），得 ‎=（x﹣7，x﹣1），‎ ‎=（1﹣x，a﹣x），‎ 又=2，‎ ‎∴（x﹣7，x﹣1）=2（1﹣x，a﹣x），‎ ‎∴，‎ 解得x=3，a=4；‎ ‎∴实数a的值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2017•遂宁模拟）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），当x=﹣时函数f（x）能取得最小值，当x=时函数y=f（x）能取得最大值，且f（x）在区间（，）上单调．则当ω取最大值时φ的值为　﹣　．‎ ‎【解答】解：当x=﹣时f（x）能取得最小值，x=时f（x）能取得最大值，‎ ‎∴（n+）•T=﹣（﹣），‎ 即T=，（n∈N）‎ 解得ω=4n+2，（n∈N）‎ 即ω为正偶数；‎ ‎∵f（x）在（，）上单调，‎ ‎∴﹣=≤，‎ 即T=≥，‎ 解得ω≤12；‎ 当ω=12时，f（x）=cos（12x+φ），‎ 且x=﹣，12×（﹣）+φ=﹣π+2kπ，k∈Z，‎ 由|φ|≤，得φ=0，‎ 此时f（x）=cos12x在（，）不单调，不满足题意；‎ 当ω=10时，f（x）=cos（10x+φ），‎ 且x=﹣，10×（﹣）+φ=﹣π+2kπ，k∈Z，‎ 由|φ|≤，得φ=﹣，‎ 此时f（x）=cos（10x﹣）在（，）单调，满足题意；‎ 故ω的最大值为10，此时φ的值为﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2017•遂宁模拟）已知a∈R，命题p：∀x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax﹣（a﹣2）=0．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为命题p：∀x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a≥0．‎ 令f（x）=x2﹣a，‎ 根据题意，只要x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）min≥0即可，‎ 也就是1﹣a≥0，即a≤1；…（4分）‎ ‎（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，‎ 命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1 …（6分）‎ 因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以命题p与q一真一假，‎ ‎…（7分）‎ 当命题p为真，命题q为假时，﹣2＜a＜1，…（9分）‎ 当命题p为假，命题q为真时，a＞1．…（11分）‎ 综上：a＞1或﹣2＜a＜1．…（12分）‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•遂宁模拟）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，有b2+c2=a2+bc ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解析：（1）∵b2+c2=a2+bc，‎ ‎∴cosA==，‎ 又∵A∈（0，π），‎ ‎∴A=； …（6分）‎ ‎（2）f（x）=sin（x﹣）+cosx ‎=sinx﹣cosx+cosx ‎=sinx+cosx ‎=sin（x+），…（10分）‎ ‎∴f（x）max=1． …（12分）‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•遂宁模拟）已知等差数列{an}，a3=4，a2+a6=10．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由a2+a6=10．‎ ‎，可知2a4=10．a4=5，d=a4﹣a3=1，‎ 所以{an}其通项公式为 an=a3+（n﹣3）×1=n+1（n∈N*） ‎ ‎（2）Tn=‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•遂宁模拟）如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，，点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A'MN，使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设∠ANM=θ ‎（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；‎ ‎（2）求线段A'N长度的最小值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵在直角三角形ABC中，∠B=90°，，‎ ‎∴∠C=30°，∠BAC=60°，∠AMN=120°﹣θ，…（2分）‎ 设MA=MA′=x，则MB=1﹣x．在Rt△MBA′中，cos∠BMA′=，‎ 即cos[180°﹣2（120°﹣θ）]=cos（2θ﹣60°）=，‎ ‎∴MA=x==，…（5分）‎ ‎∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，‎ ‎∴45°＜120°﹣θ＜90°，‎ ‎∴30°＜θ＜75°． …（6分）‎ ‎（2）由（1）知，在△AMN中，∠ANM=θ，∠AMN=120°﹣θ，‎ 由正弦定理有，‎ ‎∴A′N=AN== …（8分）‎ ‎===‎ ‎==‎ ‎==，…（10分）‎ ‎∵30°＜θ＜75°，‎ ‎∴30°＜2θ﹣30°＜120°，当且仅当2θ﹣30°=90°，‎ 即θ=60°时，A′N有最小值． …（12分）‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•遂宁模拟）已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）的导函数g'（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；‎ ‎（3）若，当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求c的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b，‎ ‎1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，‎ ‎∴，解得a=0，b=﹣3． ‎ ‎（2）∵由（1）得f（x）=x3﹣3x，‎ ‎∴g′（x）=f（x）+2=（x﹣1）2（x+2），‎ 令g′（x）=0，解得x=1或﹣2，‎ ‎∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，‎ ‎∴x=﹣2是g（x）的极值点．‎ ‎∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，‎ ‎∴x=1不是g（x）的极值点．‎ ‎∴g（x）的极值点是﹣2． ‎ ‎（3）由（1）知a=0，b=﹣3，则h（x）=﹣（cbx﹣）+2lnx=cx﹣+2lnx，‎ 不妨设x1＞x2＞0，‎ 所以x1﹣x2＞0，故不等式[﹣]（x1﹣x2）＜0，‎ 即﹣＜0恒成立，整理得x1h（x1）＜x2h（x2），‎ 所以函数y=xh（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ 设ω（x）=xh（x），则ω（x）=cx2﹣c+2xlnx，ω′（x）=2cx+2+2lnx，‎ 由题意得ω′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，‎ 即2cx+2+2lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，‎ 因为x＞0，所以不等式等价于c≤﹣（x＞0），‎ 记F（x）=﹣，（x＞0），‎ 则F′（x）=，‎ 所以当x∈（0，1]时，F′（x）≤0，函数单调递减；‎ 当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，函数单调递增，‎ 故F（x）≥F（1）=﹣1，即F（x）的最小值为﹣1，‎ 故c≤﹣1．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）（2017•遂宁模拟）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，直线l：．‎ ‎（1）写出直线l的参数方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B，求|AB|的值．‎ ‎【解答】解：（1）直线l的直角坐标方程为x+y=，与y轴相交于（0，），‎ ‎∴直线l的参数方程为（t为参数）． …（4分）‎ ‎（2）曲线C的直角坐标方程为=1，把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：3t2+8t﹣8=0，‎ ‎∴t1+t2=﹣，t1t2=﹣，‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==． …（10分）‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2017•遂宁模拟）已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣4|．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若{x|f（x）≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅．求实数t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，‎ 所以函数f（x）的最小值为6．…（5分）‎ ‎（2）使{x|f（x）≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅，‎ 知存在x0∈[﹣3，5]使得f（x0）≤t2﹣t成立，‎ 即f（x）min≤t2﹣t在[﹣3，5]成立，‎ ‎∵函数f（x）在[﹣3，5]的最小值为6，‎ ‎∴t2﹣t≥6，解得：t≤﹣2或t≥3． …（10分）‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；qiss；sxs123；maths；w3239003；whgcn；lcb001；742048；豫汝王世崇；陈远才；刘老师（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年2月23日