备战高考数学专题讲座数学思想方法之建模探讨

备战高考数学专题讲座数学思想方法之建模探讨

‎【备战2013高考数学专题讲座】‎ 第3讲：数学思想方法之建模思想探讨 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。‎ 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，也是体会和理解数学各部分之间关系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活（具体情境）中抽象出数学问题，或一类数学问题转换为另一类问题，用数学符号建立方程、不等式、函数、数列、图象等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。建立数学模型的思路如下图：‎ 其中，一类数学问题转换为另一类问题的建模是化归思想的体现，我们将在《数学思想方法之化归思想探讨》中阐述，本讲对从现实生活（具体情境）中抽象出数学问题的建模进行探讨。‎ 建立数学模型的一般程序为 ‎（1）读 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这是基础。 ‎ ‎（2）建 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键。‎ ‎（3）解 求解数学模型，得到数学结论。 求解时要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。‎ ‎（4）答 将数学结论还原给实际问题的结果。‎ 结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面五方面进行数学思想方法之建模思想的探讨：（1）“方程模型”的建立；（2）“不等式模型”和“线性规划模型”的建立；（3）“函数模型”的建立；（4） “图形模型”的建立；（5） “定积分模型”的建立。‎ 一、“方程模型”的建立：对实际问题中的等量关系问题常需通过建立“方程模型”解决。‎ 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】‎ 例1：（2012年辽宁省理5分）已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，‎ PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为 ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】组合体的线线，线面，面面位置关系，转化思想的应用。‎ ‎【解析】∵在正三棱锥ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，‎ ‎∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点O，且EP⊥平面ABC，EP与平面ABC上的高相交于点F。‎ ‎∴球O到截面ABC的距离OF为球的半径OP减去正三棱锥ABC在面ABC上的高FP。‎ ‎∵球的半径为，设正方体的棱长为，则由勾股定理得。‎ 解得正方体的棱长=2，每个面的对角线长。‎ ‎∴截面ABC的高为， 。‎ ‎∴在Rt△BFP中，由勾股定理得，正三棱锥ABC在面ABC上的高。‎ ‎∴所以球心到截面ABC的距离为。‎ 例2：（2012年江西省理5分）样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则的大小关系为【 】‎ A． B． C． D．不能确定 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】作差法比较大小以及整体思想，统计中的平均数。‎ ‎【解析】由统计学知识，可得,‎ ‎，‎ ‎∴。∴。‎ ‎∴。‎ ‎∵，∴。∴，即。故选A。‎ 例3：（2012年湖南省理12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次性购物量 ‎1至4件 ‎5 至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数（人）‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间（分钟/人）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数（人）‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间（分钟/人）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.‎ ‎（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#]‎ ‎（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.‎ ‎（注：将频率视为概率）[中%#国教*育^出版网~]‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由已知，得解得。‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎∴的分布为 ‎ X ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ P X的数学期望为 ‎ 。‎ ‎（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则 ‎ 。‎ 由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以，‎ ‎ 。‎ 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为。‎ ‎【考点】分布列及数学期望的计算，概率。‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知 从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望。‎ ‎ （Ⅱ）通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率。‎ 例4：（2012年全国大纲卷理5分）已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】等差数列的通项公式和前项和公式的运用，裂项求和的综合运用。‎ ‎【解析】通过已知，列式求解，得到公差与首项，从而得的通项公式，进一步裂项求和：‎ 设等差数列的公差为，则由可得 ‎。‎ ‎∴。‎ ‎∴。故选A。‎ 例5：（2012年福建省理5分） 等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为【 】‎ A．1 　　　B．‎2 ‎ 　　　C．3 　　　D．4‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等差数列的通项。‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为，根据已知条件得： 即 解得2d＝4，所以d＝2。故选B。‎ 例6：（2012年北京市理5分）已知为等差数列，为其前n项和。若，，则= ‎ ‎ ▲ ； ▲ ‎ ‎【答案】1；。‎ ‎【考点】等差数列 ‎【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式和已知，得 ‎ 。‎ ‎ ∴。‎ 例7：（2012年广东省理5分）.已知递增的等差数列满足，，则　　▲　　。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等差数列。‎ ‎【解析】设递增的等差数列的公差为（），由得，‎ ‎ 　　　 解得，舍去负值，。‎ ‎∴。‎ 例8：（2012年浙江省理4分）设公比为的等比数列的前项和为．若，，则 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列的性质，待定系数法。‎ ‎【解析】用待定系数法将，两个式子全部转化成用，q表示的式子：‎ ‎，‎ 两式作差得：，即：，解之得：或 (舍去)。‎ 例9：（2012年湖北省理12分）已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（II）若成等比数列，求数列的前n项的和。【版权归锦元数学工作室，不得转载】‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得 解得或 ‎ ‎∴由等差数列通项公式可得，或。‎ ‎∴等差数列的通项公式为，或。 ‎ ‎ （Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件。‎ ‎∴ ‎ 记数列的前项和为，‎ 当时，；当时，；‎ 当时， ‎ ‎。‎ 当时，满足此式。‎ 综上， ‎ ‎【考点】等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8列方程组求解即可。‎ ‎（II）对（Ⅰ）的结果验证符合成等比数列的数列，应用等差数列前n项和公式分，，分别求解即可。‎ 例10：（2012年陕西省理12分）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的公比；‎ ‎（2）证明：对任意，成等差数列.‎ ‎【答案】解：（1）设数列的公比为（），‎ 由成等差数列，得，即。‎ 由得，解得。‎ ‎∵的公比不为1，∴舍去。‎ ‎∴ 。 ‎ ‎（2）证明：∵对任意，，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎∴对任意，成等差数列。‎ ‎【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。‎ ‎【解析】（1）设数列的公比为（），利用成等差数列结合通项公式，可得 ‎，由此即可求得数列的公比。‎ ‎（2）对任意，可证得，从而得证。‎ 另解：对任意，‎ 所以，对任意，成等差数列。‎ 例11：（2012年天津市理13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.‎ ‎(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)记，，证明.‎ ‎【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 由=，得。‎ 由条件，得方程组 ‎，解得。‎ ‎∴。‎ ‎(Ⅱ)证明：由（1）得， ①；‎ ‎∴ ②；‎ 由②－①得，‎ ‎∴。‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。‎ ‎（Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。‎ 还可用数学归纳法证明其成立。‎ 例12：（2012年湖北省文5分）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有　　▲　　人。‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】分层抽样的性质。‎ ‎【解析】设抽取的女运动员的人数为，则根据分层抽样的特性，有，解得。故抽取的女运动员为6人。‎ 二、“不等式模型”和“线性规划模型”的建立：对实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需通过建立“不等式模型”或“线性规划”问题解决。‎ 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】‎ 例1：（2012年四川省理5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料‎1千克、原料‎2千克；生产乙产品1桶需耗原料‎2千克，原料‎1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过‎12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是【 】‎ A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】线性规划的应用。‎ ‎【解析】]设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得 利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，且 画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为 Y= 这是随Z变化的一族平行直线，‎ 解方程组得，即A（4,4） 。‎ ‎∴。故选C。‎ 例2：（2012年江西省理5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为【 】‎ A．50，0 B．30，‎20 C．20，30 D．0，50‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】建模的思想方法，线性规划知识在实际问题中的应用。‎ ‎【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为 ‎.‎ 线性约束条件为 ，即。‎ 如图，作出不等式组表示的可行域,易求得点。‎ 平移直线，可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且（万元）。故选B。‎ 例3：（2012年山东省理5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9。抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C ‎。则抽到的人中，做问卷B的人数为【 】‎ A 7 B ‎9 C 10 D 15‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】系统抽样方法。‎ ‎【解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人。‎ 第k组的号码为，‎ 令，且，解得。‎ ‎∵满足的整数k有10个，∴编号落入区间[451，750]的人的10人。故选C。‎ 例4：（2012年辽宁省理5分）在长为‎12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于‎32cm2的概率为【 】‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算。‎ ‎【解析】设线段AC的长为cm，则线段CB的长为()cm。那么矩形的面积为cm2。‎ 由，解得。又，所以该矩形面积小于‎32cm2的概率为。故选C。‎ 例5：（2012年陕西省文5分）小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则【 】‎ A. B. = C. << D. =‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】基本不等式及其应用。‎ ‎【解析】设从甲地到乙地的路程为，则。‎ ‎ 又∵，∴。‎ ‎ ∴。故选A。‎ 例6：（2012年安徽省文5分）若直线与圆有公共点，则实数 取值范围是【 】‎ ‎ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，解绝对值不等式。‎ ‎【解析】设圆的圆心到直线的距离为，‎ 则根据圆与直线的位置关系，得。‎ ‎∴由点到直线的距离公式，得，解得。故选。‎ ‎ ‎ 三、“函数模型”的建立：对工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值来解决。 ‎ 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】‎ 例1：（2012年北京市理5分）某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为【 】‎ A.5 B‎.7 ‎‎ C.9 D.11‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】直线斜率的几何意义。‎ ‎【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量S与n的商：，在图象上体现为这一点的纵坐标与横坐标之比。‎ ‎ 因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。从而m值为9。故选C。‎ 例2：（2012年湖南省理13分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.‎ ‎（Ⅰ）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；‎ ‎（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设完成A，B，Ｃ三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 由题设有 其中均为1到200之间的正整数。‎ ‎（Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为。‎ 易知，为减函数，为增函数。‎ ‎∵于是 ‎（1）当时， 此时 ，‎ 由函数的单调性知，‎ 当时取得最小值，解得。‎ 由于，‎ 故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为。‎ ‎（2）当时， 由于为正整数，故，‎ 此时。‎ 易知为增函数，则 ‎。‎ 由函数的单调性知，‎ 当时取得最小值，解得。‎ 由于 此时完成订单任务的最短时间大于。‎ ‎（3）当时， 由于为正整数，故，‎ 此时。‎ 由函数的单调性知，‎ 当时取得最小值，解得。‎ 类似（2）的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于。‎ 综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44，88，68。‎ ‎【考点】分段函数、函数单调性、最值，分类思想的应用。‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据题意建立函数模型。‎ ‎（Ⅱ）利用单调性与最值，分、和三种情况讨论即可得出结论。‎ 例3：（2012年陕西省理5分）下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，水位下降‎1米后，水面宽 ▲ 米.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】抛物线的应用。‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，‎ ‎　　　　∴∵当水面在时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，‎ ‎∴抛物线过点（2，－2，）.‎ 代入得，，即。‎ ‎∴抛物线方程为。‎ ‎∴当时，，∴水位下降‎1米后，水面宽米。‎ 例4：（2012年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以‎1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向‎12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7.‎ ‎ （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）‎ ‎【答案】解：（1）时，P的横坐标，代入抛物线方程得P的纵坐标。‎ ‎ ∵A（0，12）， ∴ 。 ‎ ‎∴救援船速度的大小为海里/时。‎ ‎ 由tan∠OAP=，得，‎ ‎∴救援船速度的方向为北偏东弧度。‎ ‎ （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。‎ ‎ 由，整理得。‎ ‎ ∵，当且仅当=1时等号成立，‎ ‎ ∴，即。‎ ‎ ∴救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。‎ ‎【考点】曲线与坐标，基本不等式的应用。‎ ‎【解析】（1）求出A点和P点坐标即可求出。‎ ‎ （2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。‎ 例5：（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为‎3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，‎ 炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）在中，令，得。‎ ‎ 由实际意义和题设条件知。‎ ‎ ∴，当且仅当时取等号。‎ ‎ ∴炮的最大射程是10千米。‎ ‎ （2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，‎ ‎ 即关于的方程有正根。‎ ‎ 由得。‎ ‎ 此时，（不考虑另一根）。‎ ‎ ∴当不超过‎6千米时，炮弹可以击中目标。‎ ‎【考点】函数、方程和基本不等式的应用。‎ ‎【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。‎ ‎ （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。‎ 例6：（2012年全国课标卷理12分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。‎ ‎（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式。 ‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频 数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。‎ ‎（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）当时，；‎ ‎ 当时，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ （2）（i）可取，，，。‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ 。 。‎ ‎ （ii）购进17枝时，当天的利润为 ‎ ∵，∴应购进17枝。‎ ‎【考点】列函数关系式，概率，离散型随机变量及其分布列。‎ ‎【解析】（1）根据题意，分和分别列式。‎ ‎ （2）取，，，求得概率，得到的分布列，根据数学期望及方差公式求解；求出购进17枝时，当天的利润与购进16枝时，当天的利润比较即可。‎ 四、 “图形模型”的建立：对测量问题，可设计成“图形模型”，利用几何知识解决。‎ 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】‎ 例1：（2012年四川省理5分）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为【 】‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】球面距离及相关计算，向量和反三角函数的运用。‎ ‎【解析】要求、两点间的球面距离，由于，故只要求得即可。从而可求出即可求（比较繁）或用向量求解：‎ 如图，以O为原点，分别以在平面上的射影、所在直线为轴。‎ ‎　　　　过点作（即面）的垂线，分别过点作轴的垂线。‎ ‎∵，∴。‎ ‎∵面与平面的角为，即，‎ ‎∴。∴。‎ ‎∴。‎ ‎ ∴。∴。∴。故选A。‎ 五、“定积分模型”的建立：对面积问题，可设计成“定积分模型”，利用定积分知识解决。‎ 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】‎ 例1：（2012年湖北省理5分）已知二次函数的图像如图所示 ，则它与轴所围图形的面积为【 】 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】待定系数法求函数解析式，定积分在求面积中的应用。‎ ‎【解析】先根据函数的图象用待定系数法求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求：‎ ‎ 根据函数的图象可知二次函数图象过点（－1，0），（1，0），（0，1），用待定系数法可求得二次函数解析式为。‎ 设二次函数的图像与轴所围图形的面积为，‎ 则。故选B。‎ 例2：（2012年山东省理4分）设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=‎ ‎ ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】定积分的应用。‎ ‎【解析】，解得。‎ 例3：（2012年福建省理5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为【 】‎ A. B. C. D. ‎【答案】C。‎ ‎【考点】定积分的计算，几何概型的计算。‎ ‎【解析】∵，‎ ‎ ∴利用几何概型公式得：。故选C。‎ 例4：（2012年湖南省理5分）函数的导函数的部分图像如图所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与轴的两个交点，B为图像的最低点.‎ ‎（1）若，点P的坐标为，则 ▲ ;‎ ‎（2）若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 ▲ .‎ ‎【答案】（1）3；（2）。‎ ‎【考点】三角函数的图像与性质，定积分，几何概率。‎ ‎【解析】（1），当，点P的坐标为时，，‎ ‎ ∴。‎ ‎（2）由图知，。‎ ‎∵，∴曲线段与轴所围成的区域面积为 ‎。‎ 由几何概率知该点在△ABC内的概率为。‎