高考数学全国一卷试题和答案

高考数学全国一卷试题和答案

‎2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 考生注意：‎ ‎ 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．‎ ‎ 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ ‎ 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 ‎1．函数的定义域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）‎ s t O A．‎ s t O s t O s t O B．‎ C．‎ D．‎ ‎3．在中，，．若点满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设，且为正实数，则（ ）‎ A．2 B．‎1 ‎ C．0 D．‎ ‎5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）‎ A．138 B．‎135 ‎ C．95 D．23‎ ‎6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．若直线通过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）‎ D B C A A．96 B．‎84 ‎ C．60 D．48‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修选修Ⅱ）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．‎ ‎3．本卷共10小题，共90分．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎13．若满足约束条件则的最大值为 ．‎ ‎14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．‎ ‎15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．‎ ‎16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设的内角所对的边长分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．‎ C D E A B ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：‎ 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．‎ 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．‎ ‎（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；‎ ‎（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设函数．数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，整数．证明：．‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案 ‎1. C.2. A．3. A.4. D.5. C.6. B.7.D.8.A.9.D．10.D．11.B12.B.‎ ‎13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：.16.答案：.‎ 三、‎ ‎17.解：（Ⅰ）由正弦定理得 依题设得：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得tanA=4tanB,故A、B都是锐角，于是tanB>0.‎ 且当tanB=时，上式取等号。因此tan(A-B)的最大值为.‎ ‎（18）解法一：‎ ‎（Ⅰ）作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点，‎ 由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD.‎ 由三垂线定理知，AD∠CE.‎ ‎（Ⅱ）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，‎ 又BE侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面ABC.‎ 作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE.‎ 故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°.‎ 由CE=，得CF=。‎ 又BC=2，因而∠ABC=60°。所以△ABC为等边三角形。‎ 作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。‎ 由（Ⅰ）知，CE⊥AD，又CECG=C，‎ 故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）作AO⊥BC，垂足为O。‎ 则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点。‎ 以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.‎ 设A（0，0，t），由已知条件有 C(1,0,0), D(1, ,0),E(-1, ,0),‎ 得AD⊥CE.‎ ‎（Ⅱ）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE.‎ 设F（x,0,z），则 作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=‎ 故 所以与的夹角等于二面角C-AD-E的平面角.‎ 知二面角C-AD-E为arccos().‎ ‎(19)解：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（2）若，则对所有都有，故此时在R上是增函数.‎ ‎（3）若 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只有当 ‎ ‎ ‎（20）解：‎ 记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次，‎ B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，‎ A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数.‎ 依题意知A2与B2独立.‎ ‎(21)解：（Ⅰ）设双曲线方程为 不妨设l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0,‎ 所以 ‎（Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为 x2-4y2=4b2.①‎ 由l1的斜率为知，直线AB的方程为 Y=-2(x-).②‎ 将②代入①并化简，得 设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（x1,y1），(x2,y2)，则 ‎③‎ AB被双曲线所截得的线段长 ‎④‎ 将③代入④，并化简得，而由已知l=4，故b=3,a=6.‎ 所以双曲线的方程为 ‎（22）解：（Ⅰ）当00,‎ 所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数.‎ ‎（Ⅱ）当0x.‎ 又由（Ⅰ）及f(x)在x=1处连续加，‎ 当0

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