高考数学考点归纳之直线、平面平行与垂直的综合问题

高考数学考点归纳之直线、平面平行与垂直的综合问题

高考数学考点归纳之直线、平面平行与垂直的综合问题[典例]　(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．[解]　(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因为DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.[题组训练] 1.如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在，请说明理由，并求的值．解：(1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝·AB·AC·sin60°＝.由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高，又PA＝1，所以三棱锥PABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.(2)在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，证明如下：如图，在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC.因为BN∩MN＝N，所以AC⊥平面MBN，又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，从而NC＝AC－AN＝，由MN∥PA，得＝＝.2.如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG. (1)求证：PC⊥BC；(2)AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD.又PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.(2)连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，延长GO交AD于点M，连接EM，则PA∥平面MEG.证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA.因为EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，所以PA∥平面MEG.因为△OCG≌△OAM，所以AM＝CG＝，所以AM的长为.[典例]　(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥QABP的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又因为BA⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.因为AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊DC.由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin45°×1＝1.[题组训练]1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD， AD＝CD＝AB＝2，E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，得到如图2所示的几何体DABC.(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体FBCE的体积．解：(1)证明：∵AC＝＝2，∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8，∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC.∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，∴BC⊥平面ACD.(2)∵AD∥平面BEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，∴AD∥EF，∵E为AC的中点，∴EF为△ACD的中位线，由(1)知，几何体FBCE的体积VFBCE＝VBCEF＝×S△CEF×BC，S△CEF＝S△ACD＝××2×2＝，∴VFBCE＝××2＝.2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝，得到如图2所示的四棱锥PABCE. (1)求证：AP⊥平面ABCE；(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l.证明：(1)在△CDE中，∵CD＝ED＝，cos∠EDC＝，由余弦定理得CE＝＝2.连接AC，∵AE＝2，∠AEC＝60°，∴AC＝2.又AP＝，∴在△PAE中，AP2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE.同理，AP⊥AC.∵AC∩AE＝A，AC⊂平面ABCE，AE⊂平面ABCE，∴AP⊥平面ABCE.(2)∵AB∥CE，且CE⊂平面PCE，AB⊄平面PCE，∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l.1.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是圆内接四边形(记此圆为W)，且PA⊥平面ABCD. (1)当BD是圆W的直径时，PA＝BD＝2，AD＝CD＝，求四棱锥PABCD的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱PA上是否存在一点Q，使得BQ∥平面PCD？若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD是圆W的直径，所以BA⊥AD，因为BD＝2，AD＝，所以AB＝1.同理BC＝1，所以S四边形ABCD＝AB·AD＝.因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，所以四棱锥PABCD的体积V＝S四边形ABCD·PA＝.(2)存在，AQ＝.理由如下．延长AB，DC交于点E，连接PE，则平面PAB与平面PCD的交线是PE.假设在棱PA上存在一点Q，使得BQ∥平面PCD，则BQ∥PE，所以＝.经计算可得BE＝2，所以AE＝AB＋BE＝3，所以AQ＝.故存在这样的点Q，使BQ∥平面PCD，且AQ＝.2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝4，DC＝2AB，AB＝AD＝3，点M在棱A1B1上，且A1M＝A1B1.已知点E是直线CD上的一点，AM∥平面BC1E.(1)试确定点E的位置，并说明理由；(2)求三棱锥MBC1E的体积．解：(1)点E在线段CD上且EC＝1，理由如下：在棱C1D1上取点N，使得D1N＝A1M＝1，连接MN，DN， 因为D1N∥A1M，所以四边形D1NMA1为平行四边形，所以MN綊A1D1綊AD.所以四边形AMND为平行四边形，所以AM∥DN.因为CE＝1，所以易知DN∥EC1，所以AM∥EC1，又AM⊄平面BC1E，EC1⊂平面BC1E，所以AM∥平面BC1E.故点E在线段CD上且EC＝1.(2)由(1)知，AM∥平面BC1E，所以VMBC1E＝VABC1E＝VC1ABE＝××4＝6.3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明：BE⊥平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE.(2)当＝时，MF∥平面D1AE，理由如下：取D1E的中点L，连接FL，AL， ∴FL∥EC，又EC∥AB，∴FL∥AB，且FL＝AB，∴M，F，L，A四点共面，又MF∥平面AD1E，∴MF∥AL.∴四边形AMFL为平行四边形，∴AM＝FL＝AB，＝.4．如图1所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．解：(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，又∵EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下： ∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM＝a时，AM∥平面BDF，理由如下：如图，在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN.由(1)知四边形ABCD为等腰梯形，且∠ABC＝60°，所以AB＝2DC，则CN∶NA＝1∶2.易知EF＝AC＝a，所以AN＝a.因为EM＝a， 所以MF＝EF＝a，所以MF綊AN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM∥NF，又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，所以AM∥平面BDF.6.如图所示的五面体ABEDFC中，四边形ACFD是等腰梯形，AD∥FC，∠DAC＝60°，BC⊥平面ACFD，CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，点G为AC的中点．(1)在AD上是否存在一点H，使GH∥平面BCD？若存在，指出点H的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥GECD的体积．解：(1)存在点H使GH∥平面BCD，此时H为AD的中点．证明如下．取点H为AD的中点，连接GH，因为点G为AC的中点，所以在△ACD中，由三角形中位线定理可知GH∥CD，又GH⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，所以GH∥平面BCD.(2)因为AD∥CF，AD⊂平面ADEB，CF⊄平面ADEB，所以CF∥平面ADEB，因为CF⊂平面CFEB，平面CFEB∩平面ADEB＝BE，所以CF∥BE，又CF⊂平面ACFD，BE⊄平面ACFD，所以BE∥平面ACFD， 所以VGECD＝VEGCD＝VBGCD.因为四边形ACFD是等腰梯形，∠DAC＝60°，AD＝2CF＝2AC，所以∠ACD＝90°，又CA＝CB＝CF＝1，所以CD＝，CG＝，又BC⊥平面ACFD，所以VBGCD＝×CG×CD×BC＝××××1＝.所以三棱锥GECD的体积为.