2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第24课时 直角三角形和勾股定理

2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第24课时 直角三角形和勾股定理

第24课时　直角三角形和勾股定理 ‎(60分)‎ 一、选择题(每题5分，共25分)‎ ‎1．[2016·毕节]下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 (B)‎ A.，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4‎ ‎2．如图24－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是 (A)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，根据勾股定理得AB＝＝15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，‎ ‎∴CD＝＝＝，则点C到AB的距离是.故选A.‎ ‎ ‎ 图24－1 　　第2题答图 图24－2‎ ‎3．[2017·甘孜]如图24－2，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为 (D)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎4．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为‎3 cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图24－3，则三角板最长边的长为 (D)‎ A．‎3 cm B．‎‎6 cm C．‎3 cm D．‎6 cm 6‎ ‎ ‎ 图24－3 　　　第4题答图 ‎【解析】　如答图，过点C作CD⊥AD于点D，‎ ‎∴CD＝3.在直角三角形ADC中，‎ ‎∵∠CAD＝30°，‎ ‎∴AC＝2CD＝2×3＝6.‎ 又∵三角板是有45°角的三角板，‎ ‎∴AB＝AC＝6，‎ ‎∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，‎ ‎∴BC＝6，故选D.‎ ‎5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图24－4那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是 (C)‎ A. B. C. D. 图24－4‎ ‎【解析】　在Rt△BCE中，设CE＝x，则BE＝EA＝8－x，根据勾股定理有(8－x)2＝x2＋62，解得x＝，‎ ‎∴tan∠CBE＝＝＝.‎ 二、填空题(每题5分，共25分)‎ ‎6．[2016·内江]在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝__6__.‎ ‎7．[2017·凉山]已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__5或__.‎ 图24－5‎ ‎8．将一副三角尺按图24－5所示叠放在一起，若AB＝‎14 cm，则阴影部分的面积是____cm2.‎ 6‎ ‎【解析】　∵∠B＝30°，‎ ‎∴AC＝AB＝‎7 cm，‎ 易证AC＝CF，‎ ‎∴S△ACF＝AC·CF＝AC2＝×72＝(cm2)．‎ 图24－6‎ ‎9．[2017·无锡]如图24－6，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__8__.‎ ‎【解析】　∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE＝5，‎ ‎∴DE＝AC＝5，‎ ‎∴AC＝10.‎ 在直角△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，则根据勾股定理，得 CD＝＝＝8.‎ ‎10．[2016·遵义]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图24－7①)．图24－7②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝__12__.‎ 图24－7‎ ‎【解析】　∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，‎ ‎∴CG＝NF，CF＝DG＝KF，‎ ‎∴S1＝(CG＋DG)2‎ ‎＝CG2＋DG2＋2CG·DG ‎＝GF2＋2CG·DG，‎ S2＝GF2，‎ S3＝(KF－NF)2＝KF2＋NF2－2NF·KF＝GF2－2CG·DG，‎ ‎∴S1＋S2＋S3＝GF2＋2CG·DG＋GF2＋GF2－‎ ‎2CG·DG＝3GF2＝12.‎ 6‎ 图24－8‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎11．(10分)如图24－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝‎5 cm，求AB的长．‎ ‎【解析】　要求的AB在Rt△ABC中，∠A＝30°，故只需求BC的长，在Rt△BCD中，DC＝‎5 cm，∠DBC＝∠ABC＝30°，故可求出BD，BC的长，从而根据AB＝2BC计算出结果．‎ 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，‎ ‎∴AB＝2BC，∠ABC＝60°.‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠ABD＝∠CBD＝30°.‎ ‎∵在Rt△CBD中，CD＝‎5 cm，‎ ‎∴BD＝‎10 cm，‎ ‎∴BC＝‎5 cm，‎ 图24－9‎ ‎∴AB＝2BC＝‎10 cm.‎ ‎12．(10分)如图24－9，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.‎ ‎(1)求DE的长；‎ ‎(2)求△ADB的面积．‎ 解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，‎ ‎∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，‎ ‎∴DE＝CD，又∵CD＝3，‎ ‎∴DE＝3；‎ ‎(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，‎ ‎∴AB＝＝＝10，‎ ‎∴S△ADB＝AB·DE＝×10×3＝15.‎ ‎(20分)‎ ‎13．(6分)[2017·荆门]如图24－10，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 (A)‎ A．4 dm B．2 dm C．2 dm D．4 dm 6‎ ‎ ‎ 图24－10 　　　第13题答图 ‎【解析】　如答图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为‎2AC的长度．‎ ‎∵圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，‎ ‎∴AB＝2 dm，BC＝BC′＝2 dm，‎ ‎∴AC2＝22＋22＝4＋4＝8，‎ ‎∴AC＝2，‎ ‎∴这圈金属丝的周长最小为‎2AC＝4 dm.‎ ‎14．(6分)[2016·台州]如果将长为‎6 cm，宽为‎5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A)‎ A．‎8 cm B．‎5 cm C．‎5.5 cm D．‎‎1 cm ‎【解析】　易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为＝≈7.8，故折痕长不可能为‎8 cm.‎ ‎15．(8分)[2016·铜仁]如图24－11，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为 (B)‎ A．3 B. C．5 D. ‎【解析】　设ED＝x，‎ 则AE＝6－x；‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ 图24－11‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠EDB＝∠DBC，‎ 由题意得∠EBD＝∠DBC，‎ ‎∴∠EDB＝∠EBD，‎ ‎∴EB＝ED＝x，‎ 由勾股定理得 BE2＝AB2＋AE2，‎ 6‎ 即x2＝32＋(6－x)2，解得x＝，‎ ‎∴ED＝.‎ ‎(10分)‎ 图24－12‎ ‎16．(10分)[2016·潍坊]如图24－12，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB‎1C1，△ABC与△AB‎1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB‎1C1边B‎1C1上的高AB2为边作正△AB‎2C2，△AB‎1C1与△AB‎2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则__Sn＝·__.(用含n的式子表示)‎ ‎【解析】　∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，‎ ‎∴BB1＝1，AB＝2，‎ 根据勾股定理得AB1＝，‎ ‎∴S1＝××()2‎ ‎＝·；‎ ‎∵等边三角形AB‎1C1的边长为，AB2⊥B‎1C1，‎ ‎∴B1B2＝，AB1＝，‎ 根据勾股定理得AB2＝，‎ ‎∴S2＝××＝·；‎ ‎…‎ 以此类推，Sn＝·.‎ 6‎