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文档介绍
冲刺中考数学压轴题训练
2017 年中考数学压轴题训练 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 如图 1，已知抛物线 21 1 ( 1)4 4 4 by x b x （b 是实数且 b＞2） 与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴 的正半轴交于点 C． （1）点 B 的坐标为______，点 C 的坐标为__________（用含 b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且△PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？ 如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得△QCO、 △QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特 殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图 1 思路点拨 1．第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴 的距离相等． 2．联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形， 底边可以用含 b 的式子表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角 形是直角三角形，点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上． 满分解答 （1）B 的坐标为(b, 0)，点 C 的坐标为(0, 4 b )． （2）如图 2，过点 P 作 PD⊥x 轴，PE⊥y 轴，垂足分别为 D、 E，那么△PDB≌△PEC． 因此 PD＝PE．设点 P 的坐标为(x, x)． 如图 3，联结 OP． 所以 S 四边形 PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝ 1 1 5 2 4 2 8 b x b x bx ＝2b． 解得 16 5x ．所以点 P 的坐标为(16 16,5 5 )． 图 2 图 3 （3）由 21 1 1( 1) ( 1)( )4 4 4 4 by x b x x x b ，得 A(1, 0)，OA＝1． ①如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么△OQC≌ △QOA． 当 BA QA QA OA ，即 2QA BA OA 时，△BQA∽△QOA． 所以 2( ) 14 b b ．解得 8 4 3b ．所以符合题意的点 Q 为(1,2 3 )． ②如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x＝1 交于点 Q，那么∠OQC ＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． 当 BA QA QA OA 时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． 所以 C、Q、B 三点共线．因此 BO QA CO OA ，即 1 4 b QA b ．解得 4QA ．此 时 Q(1,4)． 图 4 图 5 考点伸展 第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴 上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个 三角形都是直角三角形的情况． 这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再 根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置． 如图中，圆与直线 x＝1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？ 如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB ＝4OC 矛盾． 例 2 如图 1，已知抛物线的方程 C1： 1 ( 2)( )y x x mm (m＞0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧． （1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH＋EH 最小，求出点 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、 C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存 在，请说明理由． 图 1 思路点拨 1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上 时，BH＋EH 最小． 2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作∠CBF ＝∠EBC＝45°，或者作 BF//EC．再用含 m 的式子表示点 F 的坐 标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程． 满分解答 （1）将 M(2, 2)代入 1 ( 2)( )y x x mm ，得 12 4(2 )mm ．解得 m＝4． （2）当 m＝4 时， 21 1 1( 2)( 4) 24 4 2y x x x x ．所以 C(4, 0)，E(0, 2)． 所以 S△BCE＝ 1 1 6 2 62 2BC OE ． （3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x＝1，当 H 落在线段 EC 上时， BH＋EH 最小． 设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 HP EO CP CO ． 因此 2 3 4 HP ．解得 3 2HP ．所以点 H 的坐标为 3(1, )2 ． （4）①如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FF′ ⊥x 轴于 F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当 CE BC CB BF ，即 2BC CE BF 时， △BCE∽△FBC．设点 F 的坐标为 1( , ( 2)( ))x x x mm ，由 ' ' FF EO BF CO ，得 1 ( 2)( ) 2 2 x x mm x m ．解得 x＝m＋2．所以 F′(m＋2, 0)． 由 'CO BF CE BF ，得 2 4 4 m m BFm ．所以 2( 4) 4m mBF m ． 由 2BC CE BF ，得 2 2 2 ( 4) 4( 2) 4 m mm m m ． 整理，得 0＝16．此方程无解． 图 2 图 3 图 4 ②如图 4，作∠CBF＝45°交抛物线于 F，过点 F 作 FF′⊥x 轴于 F′， 由于∠EBC＝∠CBF，所以 BE BC BC BF ，即 2BC BE BF 时，△BCE∽△ BFC． 在 Rt△BFF′中，由 FF′＝BF′，得 1 ( 2)( ) 2x x m xm ． 解得 x＝2m．所以 F′(2 ,0)m ．所以 BF′＝2m＋2， 2(2 2)BF m ． 由 2BC BE BF ，得 2( 2) 2 2 2(2 2)m m ．解得 2 2 2m ． 综合①、②，符合题意的 m 为 2 2 2 ． 考点伸展 第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F′、F 的坐标后， 根据两点间的距离公式求 BF 的长． 例 3 直线 1 13y x 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，△AOB 绕 点 O 按逆时针方向旋转 90°后得到△COD，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经 过 A、C、D 三点． (1) 写出点 A、B、C、D 的坐标； (2) 求经过 A、C、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G 的坐标； (3) 在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三 角形与△COD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说 明理由． 图 1 思路点拨 1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段 的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提． 4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种 情况又按照点 Q 与点 B 的位置关系分上下两种情形，点 Q 共有 4 个． 满分解答 （1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)． （2）因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(3，0)、C(0，3)、D(－1， 0) 三点，所以 9 3 0, 3, 0. a b c c a b c 解得 1, 2, 3. a b c 所以抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点 G 的坐标为(1，4)． （3）如图 2，直线 BG 的解析式为 y＝3x＋1，直线 CD 的解析 式为 y＝3x＋3，因此 CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 AB ⊥CD．因此 AB⊥BG，即∠ABQ＝90°． 因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为(x，3x＋1)，那么 2 2(3 ) 10BQ x x x ． Rt△COD 的两条直角边的比为 1∶3，如果 Rt△ABQ 与 Rt△COD 相似，存在两种情况： ①当 3BQ BA 时， 10 3 10 x ．解得 3x ．所以 1(3,10)Q ， 2 ( 3, 8)Q ． ②当 1 3 BQ BA 时， 10 1 310 x ．解得 1 3x ．所以 3 1( ,2)3Q ， 4 1( ,0)3Q ． 图 2 图 3 考点伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的 性质说明 AB⊥BG；二是 2 2(3 ) 10BQ x x x ． 我们换个思路解答第（3）题： 如图 3，作 GH⊥y 轴，QN⊥y 轴，垂足分别为 H、N． 通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可 以证明∠ABG＝90°． 在 Rt△BGH 中， 1sin 1 10 ， 3cos 1 10 ． ①当 3BQ BA 时， 3 10BQ ． 在 Rt△BQN 中， sin 1 3QN BQ ， cos 1 9BN BQ ． 当 Q 在 B 上方时， 1(3,10)Q ；当 Q 在 B 下方时， 2 ( 3, 8)Q ． ②当 1 3 BQ BA 时， 1 103BQ ．同理得到 3 1( ,2)3Q ， 4 1( ,0)3Q ． 例 4 Rt△ABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示，反比例函数 ( 0)ky kx 在第一象限内的图象与 BC 边交于点 D（4，m），与 AB 边 交于点 E（2，n），△BDE 的面积为 2． （1）求 m 与 n 的数量关系； （2）当 tan∠A＝ 1 2 时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表 达式； （3）设直线 AB 与 y 轴交于点 F，点 P 在射线 FD 上，在（2） 的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点 P 的坐标． 图 1 思路点拨 1．探求 m 与 n 的数量关系，用 m 表示点 B、D、E 的坐标，是 解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是 FD//x 轴． 3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成 比例，分两种情况． 满分解答 （1）如图 1，因为点 D（4，m）、E（2，n）在反比例函数 ky x 的图象上，所以 4 , 2 . m k n k 整理，得 n＝2m． （2）如图 2，过点 E 作 EH⊥BC，垂足为 H．在 Rt△BEH 中， tan∠BEH＝tan∠A＝ 1 2 ，EH＝2，所以 BH＝1．因此 D(4，m)，E(2， 2m)，B(4，2m＋1)． 已知△BDE 的面积为 2，所以 1 1 ( 1) 2 22 2BD EH m ．解得 m ＝1．因此 D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)． 因为点 D（4，1）在反比例函数 ky x 的图象上，所以 k＝4．因 此反比例函数的解析式为 4y x ． 设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，代入 B(4，3)、E(2，2)，得 3 4 , 2 2 . k b k b 解得 1 2k ， 1b ． 因此直线 AB 的函数解析式为 1 12y x ． 图 2 图 3 图 4 （3）如图 3，因为直线 1 12y x 与 y 轴交于点 F（0，1），点 D 的坐标为（4，1），所以 FD// x 轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO 与 △EFP 相似存在两种情况： ①如图 3，当 EA EF AO FP 时， 2 5 5 2 FP ．解得 FP＝1．此时点 P 的 坐标为（1，1）． ②如图 4，当 EA FP AO EF 时， 2 5 2 5 FP ．解得 FP＝5．此时点 P 的 坐标为（5，1）． 考点伸展 本题的题设部分有条件“Rt△ABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图 5 的情况： 第（1）题的结论 m 与 n 的数量关系不变．第（2）题反比例函 数的解析式为 12y x ，直线 AB 为 1 72y x ．第（3）题 FD 不再与 x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似． 图 5 例 5 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0）、A（2， 0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标； （2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相 同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，得到 如图 2 的梯形 O1A1B1C1．设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A1、 B1 的 坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含 S 的代数式表示 x2－x1，并求出 当 S=36 时点 A1 的坐标； （3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发， 以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发， 以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动．P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动．设 P、Q 两点的运动时间 为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角 形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存 在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 图 1 图 2 思路点拨 1．第（2）题用含 S 的代数式表示 x2－x1，我们反其道而行之， 用 x1，x2 表示 S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2－y1＝ 3．通过代数变形就可以了． 2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况 下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计 算，后验证． 3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角 不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线 PQ 的斜 率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设交点 G 在 x 轴的上方． 满分解答 （1）抛物线的对称轴为直线 1x ，解析式为 21 1 8 4y x x ，顶点为 M（1， 1 8 ）． （2） 梯形 O1A1B1C1 的面积 1 2 1 2 2( 1 1) 3( ) 62 x xS x x ，由 此 得 到 1 2 23 sx x ． 由 于 2 1 3y y ， 所 以 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 38 4 8 4y y x x x x ．整理，得 2 1 2 1 1 1( ) ( ) 38 4x x x x ．因 此得到 2 1 72x x S ． 当 S=36 时， 2 1 2 1 14, 2. x x x x 解得 1 2 6, 8. x x 此时点 A1 的坐标为（6，3）． （3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交 于点 E，直线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的△GAF 与△ GQE，有一个公共角∠G． 在△GEQ 中，∠GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定 值． 在△GAF 中，∠GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而 且∠GEQ≠∠GAF． 因此只存在∠GQE＝∠GAF 的可能，△GQE∽△GAF．这时∠ GAF＝∠GQE＝∠PQD． 由于 3tan 4GAF ，tan 5 DQ tPQD QP t ，所以 3 4 5 t t ．解得 20 7t ． 图 3 图 4 考点伸展 第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在， 说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的．事实上，图 3 和图 4 都是 假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3． 例6 如图1，已知点 A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线 2 2y mx mx n 上． （1）求 m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的对应点为 B′，若四边形 A A′B′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB′ 的交点为 C，试在 x 轴上找一个点 D，使得以点 B′、C、D 为顶点的三角形与△ABC 相似． 图 1 思路点拨 1．点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中处处用到，各具特色．第（1） 题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用 来求点 B′ 的坐标、AC 和 B′C 的长． 2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变． 3．探求△ABC 与△B′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠ CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论． 满分解答 (1) 因为点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 2 2y mx mx n 上， 所以 4 4 4, 2 0. m m n m m n 解得 4 3m ， 4n ． (2)如图 2，由点 A (-2，4) 和点 B (1，0)，可得 AB＝5．因为四 边 形 A A′B′B 为 菱 形 ， 所 以 A A′ ＝ B′B ＝ AB ＝ 5 ． 因 为 43 8 3 4 2 xxy 24 1613 3x ，所以原抛物线的对称轴 x＝－1 向右 平移 5 个单位后，对应的直线为 x＝4． 因此平移后的抛物线的解析式为 3 1643 4 2, xy ． 图 2 (3) 由点 A (-2，4) 和点 B′ (6，0)，可得 A B′＝ 4 5 ． 如图 2，由 AM//CN，可得 ' ' ' ' B N B C B M B A ，即 2 ' 8 4 5 B C ．解得 ' 5B C ．所 以 3 5AC ．根据菱形的性质，在△ABC 与△B′CD 中，∠BAC＝∠ CB′D． ①如图 3，当 ' ' AB B C AC B D 时， 5 5 '3 5 B D ，解得 ' 3B D ．此时 OD ＝3，点 D 的坐标为（3，0）． ②如图 4，当 ' ' AB B D AC B C 时， 5 ' 3 5 5 B D ，解得 5' 3B D ．此时 OD ＝13 3 ，点 D 的坐标为（13 3 ，0）． 图 3 图 4 考点伸展 在本题情境下，我们还可以探求△B′CD 与△AB B′相似，其实 这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况． 我们也可以讨论△B′CD 与△CB B′相似，这两个三角形有一组 公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算． 例 7 2009 年临沂市中考第 26 题 如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M， 是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若 存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得△DCA 的面积 最大，求出点 D 的坐标． 图 1 思路点拨 1．已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时， 设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示 线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA． 满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线 的解析式为 )4)(1( xxay ，代入点 C 的 坐标（0，－2），解得 2 1a ．所以抛物线的解析式为 22 5 2 1)4)(1(2 1 2 xxxxy ． （2）设点 P 的坐标为 ))4)(1(2 1,( xxx ． ①如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1＜x＜4， )4)(1(2 1 xxPM ， xAM 4 ． 如果 2 CO AO PM AM ，那么 24 )4)(1(2 1 x xx ．解得 5x 不合题意． 如果 2 1 CO AO PM AM ，那么 2 1 4 )4)(1(2 1 x xx ．解得 2x ． 此时点 P 的坐标为（2，1）． ②如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x＞4， )4)(1(2 1 xxPM ， 4 xAM ． 解方程 24 )4)(1(2 1 x xx ，得 5x ．此时点 P 的坐标为 )2,5( ． 解方程 2 1 4 )4)(1(2 1 x xx ，得 2x 不合题意． ③如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x＜1， )4)(1(2 1 xxPM ， xAM 4 ． 解方程 24 )4)(1(2 1 x xx ，得 3x ．此时点 P 的坐标为 )14,3( ． 解方程 2 1 4 )4)(1(2 1 x xx ，得 0x ．此时点 P 与点 O 重合，不合 题意． 综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或 )14,3( 或 )2,5( ． 图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E．直线 AC 的解析 式为 22 1 xy ． 设 点 D 的 横 坐 标 为 m )41( m ， 那 么 点 D 的 坐 标 为 )22 5 2 1,( 2 mmm ， 点 E 的 坐 标 为 )22 1,( mm ． 所 以 )22 1()22 5 2 1( 2 mmmDE mm 22 1 2 ． 因此 4)22 1(2 1 2 mmS DAC mm 42 4)2( 2 m ． 当 2m 时，△DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1）． 图 5 图 6 考点伸展 第（3）题也可以这样解： 如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么△DCA 的面积等于直角 梯形 CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积． 设点 D 的横坐标为（m，n） )41( m ，那么 42)4(2 1)2(2 14)22(2 1 nmmnnmnS ． 由于 22 5 2 1 2 mmn ，所以 mmS 42 ． 例 8 2009 年上海市闸北区中考模拟第 25 题 如图 1，△ABC 中，AB＝5，AC＝3，cosA＝ 3 10 ．D 为射线 BA 上的点（点 D 不与点 B 重合），作 DE//BC 交射线 CA 于点 E.． (1) 若 CE＝x，BD＝y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函数的 定义域； (2) 当分别以线段 BD，CE 为直径的两圆相切时，求 DE 的长度； (3) 当点 D 在 AB 边上时，BC 边上是否存在点 F，使△ABC 与 △DEF 相似？若存在，请求出线段 BF 的长；若不存在，请说明理 由． 图 1 备用图 备用图 思路点拨 1．先解读背景图，△ABC 是等腰三角形，那么第（3）题中符 合条件的△DEF 也是等腰三角形． 2．用含有 x 的式子表示 BD、DE、MN 是解答第（2）题的先决 条件，注意点 E 的位置不同，DE、MN 表示的形式分两种情况． 3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验 方程的解的位置是否符合题意． 4．第（3）题按照 DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型 题目的结论可以帮助我们轻松解题． 满分解答 （1）如图 2，作 BH⊥AC，垂足为点 H．在 Rt△ABH 中，AB ＝5，cosA＝ 3 10 AH AB ，所以 AH＝ 3 2 ＝ 1 2 AC．所以 BH 垂直平分 AC， △ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5． 因为 DE//BC，所以 AB AC DB EC ，即 5 3 y x ．于是得到 5 3y x ，（ 0x ）． （2）如图 3，图 4，因为 DE//BC，所以 DE AE BC AC ， MN AN BC AC ， 即 | 3 | 5 3 DE x ， 1| 3 |2 5 3 xMN ．因此 5| 3 | 3 xDE ，圆心距 5| 6 | 6 xMN ． 图 2 图 3 图 4 在⊙M 中， 1 1 5 2 2 6Mr BD y x ，在⊙N 中， 1 1 2 2Nr CE x ． ①当两圆外切时， 5 1 6 2x x 5| 6 | 6 x ．解得 30 13x 或者 10x ． 如图 5，符合题意的解为 30 13x ，此时 5(3 ) 15 3 13 xDE ． ②当两圆内切时， 5 1 6 2x x 5| 6 | 6 x ． 当 x＜6 时，解得 30 7x ，如图 6，此时 E 在 CA 的延长线上， 5( 3) 15 3 7 xDE ； 当 x＞6 时，解得 10x ，如图 7，此时 E 在 CA 的延长线上， 5( 3) 35 3 3 xDE ． 图 5 图 6 图 7 （3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似 时，△DEF 也是等腰三角形． 如图 8，当 D、E、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三 角形 DEF 的腰，符合题意，此时 BF＝2.5．根据对称性，当 F 在 BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时 BF＝4.1． 如图 9，当 DE 为等腰三角形 DEF 的底边时，四边形 DECF 是 平行四边形，此时 125 34BF ． 图 8 图 9 图 10 图 11 考点伸展 第（3）题的情景是一道典型题，如图 10，如图 11，AH 是△ABC 的高，D、E、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形 DEHF 是等腰 梯形． 例 9 2008 年苏州市中考第 29 题 图 1 思路点拨 1．求等腰直角三角形 OAB 斜边上的高 OH，解直角三角形 POH 求 k、b 的值． 2．以 DN 为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点 和对角线的交点中，有符合题意的点 E，写出点 E 的坐标，代入抛 物线的解析式就可以求出 a． 3．当 E 在 x 轴上方时，∠GNP＝45°，△POB∽△PGN，把 PB PG 转化为 14PO PN ． 4．当 E 在 x 轴下方时，通过估算得到 PB PG 大于 10 2 ． 满分解答 （1） 1OH ， 3 3k ， 2 3 3b ． （2）由抛物线的解析式 ( 1)( 5)y a x x ，得 点 M 的坐标为( 1,0) ，点 N 的坐标为(5,0) ． 因此 MN 的中点 D 的坐标为（2，0），DN＝3． 因为△AOB 是等腰直角三角形，如果△DNE 与△AOB 相似，那 么△DNE 也是等腰直角三角形． ①如图 2，如果 DN 为直角边，那么点 E 的坐标为 E1（2，3） 或 E2（2，－3）． 将 E1（2，3）代入 ( 1)( 5)y a x x ，求得 1 3a ． 此时抛物线的解析式为 21 1 4 5( 1)( 5)3 3 3 3y x x x x ． 将 E2（2，－3）代入 ( 1)( 5)y a x x ，求得 3 1a ． 此时抛物线的解析式为 3 5 3 4 3 1)5)(1(3 1 2 xxxxy ． ②如果 DN 为斜边，那么点 E 的坐标为 E3 1 1(3 ,1 )2 2 或 E4 )2 11,2 13( ． 将 E3 1 1(3 ,1 )2 2 代入 ( 1)( 5)y a x x ，求得 2 9a ． 此时抛物线的解析式为 22 2 8 10( 1)( 5)9 9 9 9y x x x x ． 将 E4 )2 11,2 13( 代入 ( 1)( 5)y a x x ，求得 9 2a ． 此时抛物线的解析式为 9 10 9 8 9 2)5)(1(9 2 2 xxxxy ． 图 2 图 3 对于点 E 为 E1（2，3）和 E3 1 1(3 ,1 )2 2 ，直线 NE 是相同的，∠ENP ＝45°． 又∠OBP＝45°，∠P＝∠P，所以△POB∽△PGN． 因此 2101472 PNPOPGPB ． 对于点 E 为 E2（2，－3）和 E4 )2 11,2 13( ，直线 NE 是相同的． 此时点 G 在直线 5x 的右侧， 33 14PG ． 又 33 4PB ，所以 2103 41433 433 14 PGPB ． 考点伸展 在本题情景下，怎样计算 PB 的长？ 如图 3，作 AF⊥AB 交 OP 于 F，那么△OBC≌△OAF，OF＝ OC＝ 2 33 ，PF＝ 22 33 ， PA＝ 3 3 2(2 3) 3 12 2 3PF ，所以 3 1PB ． 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例 1 2012 年扬州市中考第 27 题 如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3) 三点，直线 l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时， 求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使△MAC 为等腰三角形，若存 在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 思路点拨 1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时△ PAC 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－1,0)、B(3, 0)两点，设 y＝a(x ＋1)(x－3)， 代入点 C(0 ,3)，得－3a＝3．解得 a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是 y＝－(x＋1)(x－3) ＝－x2＋2x＋3． （2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x＝1． 当点 P 落在线段 BC 上时，PA＋PC 最小，△ PAC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H． 由 BH PH BO CO ，BO＝CO，得 PH＝BH＝2． 所以点 P 的坐标为(1, 2)．图 2 （3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1, 6 )、(1, 6 )或(1,0)． 考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 设点 M 的坐标为(1,m)． 在△MAC 中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图 3，当 MA＝MC 时，MA2＝MC2．解方程 4＋m2＝1＋(m －3)2，得 m＝1． 此时点 M 的坐标为(1, 1)． ②如图 4，当 AM＝AC 时，AM2＝AC2．解方程 4＋m2＝10，得 6m ． 此时点 M 的坐标为(1, 6 )或(1, 6 )． ③如图 5，当 CM＝CA 时，CM2＝CA2．解方程 1＋(m－3)2＝10， 得 m＝0 或 6． 当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的 坐标为(1,0)． 图 3 图 4 图 5 例 2 2012 年临沂市中考第 26 题 如图 1，点 A 在 x 轴上，OA＝4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置． （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、 B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由． 图 1 思路点拨 1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种 情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验． 2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起． 满分解答 （1）如图 2，过点 B 作 BC⊥y 轴，垂足为 C． 在 Rt△OBC 中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以 BC＝2， 2 3OC ． 所以点 B 的坐标为( 2, 2 3) ． （2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 y ＝ax(x－4)， 代入点 B( 2, 2 3) ， 2 3 2 ( 6)a ．解得 3 6a ． 所以抛物线的解析式为 23 3 2 3( 4)6 6 3y x x x x ． （3）抛物线的对称轴是直线 x＝2，设点 P 的坐标为(2, y)． ①当 OP＝OB＝4 时，OP2＝16．所以 4+y2＝16．解得 2 3y ． 当 P 在(2,2 3) 时，B、O、P 三点共线（如图 2）． ②当 BP＝BO＝4 时，BP2 ＝16．所以 2 24 ( 2 3) 16y ．解得 1 2 2 3y y ． ③当 PB＝PO 时，PB2＝PO2．所以 2 2 2 24 ( 2 3) 2y y ．解得 2 3y ． 综合①、②、③，点 P 的坐标为(2, 2 3) ，如图 2 所示． 图 2 图 3 考点伸展 如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形． 由 23 3 2 3( 4) ( 2)6 6 3y x x x ，得抛物线的顶点为 2 3(2, )3D ． 因此 2 3tan 3DOA ．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°． 例 3 2011 年湖州市中考第 24 题 如图 1，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点．P(0,m)是线段 OC 上一动点（C 点 除外），直线 PM 交 AB 的延长线于点 D． （1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求 m 的值； （3）设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作直线 ME 的垂线，垂足为 H（如图 2）．当点 P 从 O 向 C 运动时， 点 H 也随之运动．请直接写出点 H 所经过的路长（不必写解答过程）． 图 1 图 2 思路点拨 1．用含 m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形 做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解． 3．猜想点 H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找 到不变的线段长呢？Rt△OHM 的斜边长 OM 是定值，以 OM 为直径 的圆过点 H、C． 满分解答 （1）因为 PC//DB，所以 1CP PM MC BD DM MB ．因此 PM＝DM，CP ＝BD＝2－m．所以 AD＝4－m．于是得到点 D 的坐标为(2，4－m)． （ 2 ） 在 △ APD 中 ， 2 2(4 )AD m ， 2 2 4AP m ， 2 2 2(2 ) 4 4(2 )PD PM m ． ①当 AP＝AD 时， 2(4 )m 2 4m ．解得 3 2m （如图 3）． ②当 PA＝PD 时， 2 4m 24 4(2 )m ．解得 4 3m （如图 4）或 4m （不合题意，舍去）． ③当 DA＝DP 时， 2(4 )m 24 4(2 )m ．解得 2 3m （如图 5）或 2m （不合题意，舍去）． 综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为 3 2 ， 4 3 或 2 3 ． 图 3 图 4 图 5 （3）点 H 所经过的路径长为 5 4 ． 考点伸展 第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法， 计算更简单： ①如图 3，当 AP＝AD 时，AM 垂直平分 PD，那么△PCM∽△ MBA．所以 1 2 PC MB CM BA ．因此 1 2PC ， 3 2m ． ②如图 4，当 PA＝PD 时，P 在 AD 的垂直平分线上．所以 DA ＝2PO．因此4 2m m ．解得 4 3m ． 第（2）题的思路是这样的： 如图 6，在 Rt△OHM 中，斜边 OM 为定值，因此以 OM 为直径 的⊙G 经过点 H，也就是说点 H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎 么确定呢？如图 7，P 与 O 重合时，是点 H 运动的起点，∠COH＝ 45°，∠CGH＝90°． 图 6 图 7 例 4 2011 年盐城市中考第 28 题 如图 1，已知一次函数 y＝－x＋7 与正比例函数 4 3y x 的图象交 于点 A，且与 x 轴交于点 B．（1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作直线 l//y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 O—C—A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速 度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴 于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q．当 点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运 动．在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒． ①当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在， 求 t 的值；若不存在，请说明理由． 思路点拨 1．把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题． 2．求△APR 的面积等于 8，按照点 P 的位置分两种情况讨论．事 实上，P 在 CA 上运动时，高是定值 4，最大面积为 6，因此不存在 面积为 8 的可能． 3．讨论等腰三角形 APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况． 满分解答 （1）解方程组 7, 4 ,3 y x y x 得 3, 4. x y 所以点 A 的坐标是(3，4)． 令 7 0y x ，得 7x ．所以点 B 的坐标是(7，0)． （ 2 ） ① 如 图 2 ， 当 P 在 OC 上 运 动 时 ， 0 ≤ t ＜ 4 ． 由 8APR ACP PORCORAS S S S △ △ △梯形 ，得 1 1 13+7 ) 4 4 (4 ) (7 ) 82 2 2t t t t （ ．整 理，得 2 8 12 0t t ．解得 t＝2 或 t＝6（舍去）．如图 3，当 P 在 CA 上 运动时，△APR 的最大面积为 6． 因此，当 t＝2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8． 图 2 图 3 图 4 ②我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0≤t＜4． 如图 1，在△AOB 中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7， 4 2AB ，所以 OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B． 如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以 PQ//x 轴． 因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠ APQ＝∠AQP 的情况． 此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以 BR＝1， t＝1． 我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4≤t＜7． 在 △ APQ 中 ， 3cos 5A 为 定 值 ， 7AP t ， 5 5 20 3 3 3AQ OA OQ OA OR t ． 如图 5，当 AP＝AQ 时，解方程 5 207 3 3t t ，得 41 8t ． 如图 6，当 QP＝QA 时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP＝2(OR －OP)．解方程7 2[(7 ) ( 4)]t t t ，得 5t ． 如图 7，当 PA＝PQ 时，那么 1 2cos AQ A AP ．因此 2 cosAQ AP A ．解 方程 5 20 32(7 )3 3 5t t ，得 226 43t ． 综上所述，t＝1 或 41 8 或 5 或 226 43 时，△APQ 是等腰三角形． 图 5 图 6 图 7 考点伸展 当 P 在 CA 上，QP＝QA 时，也可以用 2 cosAP AQ A 来求解． 例 5 2010 年上海市闸北区中考模拟第 25 题 如图 1，在直角坐标平面内有点 A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点 M、N 分别为线段 AC 和射线 AB 上的动点，点 M 以 2 个单位长度/ 秒的速度自 C 向 A 方向作匀速运动，点 N 以 5 个单位长度/秒的速度 自 A 向 B 方向作匀速运动，MN 交 OB 于点 P． (1)求证：MN∶NP 为定值； (2)若△BNP 与△MNA 相似，求 CM 的长； (3)若△BNP 是等腰三角形，求 CM 的长． 图 1 思路点拨 1．第（1）题求证 MN∶NP 的值要根据点 N 的位置分两种情况．这 个结论为后面的计算提供了方便． 2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知 道这两个三角形是直角三角形时才可能相似． 3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点 N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当 N 在 AB 的延长线上 时，钝角等腰三角形只有一种情况． 4．探求等腰三角形 BNP，N 在 AB 上时，∠B 是确定的，把夹 ∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算． 满分解答 (1)如图 2，图 3，作 NQ⊥x 轴，垂足为 Q．设点 M、N 的运动 时间为 t 秒． 在 Rt△ANQ 中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t． 在图 2 中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以 MN∶NP＝MQ∶QO ＝5∶3． 在图 3 中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以 MN∶NP＝MQ∶QO ＝5∶3． (2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么 是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有 当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似． 如图 4，△BNP∽△MNA，在 Rt△AMN 中， 3 5 AN AM ，所以 5 3 10 2 5 t t ．解得 30 31t ．此时 CM 60 31 ． 图 2 图 3 图 4 (3)如图 5，图 6，图 7 中， OP MP QN MN ，即 2 4 5 OP t ．所以 8 5OP t ． ①当 N 在 AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的， 88 5BP t ， 10 5BN t ． (Ⅰ)如图 5，当 BP＝BN 时，解方程 88 10 55 t t ，得 10 17t ．此 时 CM 20 17 ． (Ⅱ)如图 6，当 NB＝NP 时， 4 5BE BN ．解方程 1 8 48 10 52 5 5t t ， 得 5 4t ．此时 CM 5 2 ． (Ⅲ)当 PB＝PN 时， 1 4 2 5BN BP ．解方程 1 4 810 5 82 5 5t t ，得 t 的值为负数，因此不存在 PB＝PN 的情况． ②如图 7，当点 N 在线段 AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存 在 BP＝BN 的可能，此 时 5 10BN t ．解方程 88 5 105 t t ， 得 30 11t ．此时 CM 60 11 ． 图 5 图 6 图 7 考点伸展 如图 6，当 NB＝NP 时，△NMA 是等腰 三角形， 1 4 2 5BN BP ，这样计算简便一些． 例 6 2010 年南通市中考第 27 题 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝m（m 是大于 0 的常数），BC ＝8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B、C 重合）．连结 DE，作 EF⊥DE， EF 与射线 BA 交于点 F，设 CE＝x，BF＝y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若 m＝8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若 12y m ，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ 图 1 思路点拨 1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以 得到 y 关于 x 的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值． 3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理， 如果△DEF 为等腰三角形，那么得到 x＝y；一段是计算，化简消去 m，得到关于 x 的一元二次方程，解出 x 的值；第三段是把前两段结 合，代入求出对应的 m 的值． 满分解答 (1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC＝∠ FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此 DC EB CE BF ， 即 8m x x y ．整理，得 y 关于 x 的函数关系为 21 8y x xm m ． (2)如图 2，当 m＝8 时， 2 21 1 ( 4) 28 8y x x x ．因此当 x＝4 时，y 取得最大值为 2． (3) 若 12y m ，那么 212 1 8x xm m m ．整理，得 2 8 12 0x x ．解得 x＝2 或 x＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在 ED＝EF 的情况．因 为△DCE∽△EBF，所以 CE＝BF，即 x＝y．将 x＝y ＝2 代入 12y m ， 得 m＝6（如图 3）；将 x＝y ＝6 代入 12y m ，得 m＝2（如图 4）． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到 21 8y x xm m 2 21 1 16( 8 ) ( 4)x x xm m m ， 那么不论 m 为何值，当 x＝4 时，y 都取得最大值．对应的几何 意义是，不论 AB 边为多长，当 E 是 BC 的中点时，BF 都取得最大 值．第（2）题 m＝8 是第（1）题一般性结论的一个特殊性． 再如，不论 m 为小于 8 的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角 形，这是因为方程 21 8x x xm m 总有一个根 8x m 的．第（3）题是 这个一般性结论的一个特殊性． 例 7 2009 年重庆市中考第 26 题 已知：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原 点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连结 DC，过点 D 作 DE⊥DC， 交 OA 于点 E． （1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式； （2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的 正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G．如果 DF 与（1）中 的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 5 6 ，那么 EF＝2GO 是否 成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否 存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是 等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在成立，请说明 理由． 图 1 思路点拨 1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3） 题的计算中要用到． 2．过点 M 作 MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求 FA 的长． 3．将∠EDC 绕点 D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等． 4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形， 根据点 P 的位置确定点 Q 的位置，再计算点 Q 的坐标． 满分解答 （1）由于 OD 平分∠AOC，所以点 D 的坐标为（2，2），因此 BC＝AD＝1． 由于△BCD≌△ADE，所以 BD＝AE＝1，因此点 E 的坐标为（0， 1）． 设过 E、D、C 三点的抛物线的解析式为 cbxaxy 2 ，那么 .039 ,224 ,1 cba cba c 解得 6 5a ， 6 13b 1c ．因此过 E、D、C 三点的抛 物线的解析式为 16 13 6 5 2 xxy ． （2）把 5 6x 代入 16 13 6 5 2 xxy ，求得 5 12y ．所以点 M 的坐标为 5 12,5 6 ． 如图 2，过点 M 作 MN⊥AB，垂足为 N， 那么 DA DN FA MN ，即 2 5 6225 12 FA ．解得 1FA ． 因为∠EDC 绕点 D 旋转的过程中，△DCG≌△DEF，所以 CG ＝EF＝2．因此 GO＝1，EF＝2GO． （3）在第（2）中，GC＝2．设点 Q 的坐标为 16 13 6 5, 2 xxx ． ①如图 3，当 CP＝CG＝2 时，点 P 与点 B（3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时 GQQ xxy ，因此 116 13 6 5 2 xxx 。由此 得到点 Q 的坐标为 5 7,5 12 ． ②如图 4，当 GP＝GC＝2 时，点 P 的坐标为（1，2）．此时点 Q 的横坐标为 1，点 Q 的坐标为 6 13,1 ． ③如图 5，当 PG＝PC 时，点 P 在 GC 的垂直平分线上，点 P、 Q 与点 D 重合．此时点 Q 的坐标为（2，2）． 图 3 图 4 图 5 考点伸展 在第（2）题情景下，∠EDC 绕点 D 旋转的过程中，FG 的长怎 样变化？ 设 AF 的长为 m，那么 82)2()2( 222 mmmFG ． 点 F 由 E 开始沿射线 EA 运动的过程中，FG 先是越来越小，F 与 A 重合时，FG 达到最小值 22 ；F 经过点 A 以后，FG 越来越大， 当 C 与 O 重合时，FG 达到最大值 4． 例 8 2009 年江西省中考第 25 题 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD//BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF//BC 交 CD 于点 F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°． （1）求点 E 到 BC 的距离； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点 P 作 PM⊥EF 交 BC 于 M，过 M 作 MN//AB 交折线 ADC 于 N，连结 PN，设 EP＝x． ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2），△PMN 的形状是否发生改 变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由； ②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的 x 的值；若不存在， 请说明理由． 图 1 图 2 图 3 思路点拨 1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形 ABCD 的中位线 EF＝4， 这是 x 的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD 与 EF、EF 与 BC 间的距离相等． 2．当点 N 在线段 AD 上时，△PMN 中 PM 和 MN 的长保持不 变是显然的，求证 PN 的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且 相等，理顺线条的关系很重要． 3．分三种情况讨论等腰三角形 PMN，三种情况各具特殊性，灵 活运用几何性质解题． 满分解答 （1）如图 4，过点 E 作 EG⊥BC 于 G． 在 Rt△BEG 中， 22 1 ABBE ，∠B＝60°， 所以 160cos BEBG ， 360sin BEEG ． 所以点 E 到 BC 的距离为 3 ． （2）因为 AD//EF//BC，E 是 AB 的中点，所以 F 是 DC 的中点． 因此 EF 是梯形 ABCD 的中位线，EF＝4． ①如图 4，当点 N 在线段 AD 上时，△PMN 的形状不是否发生 改变．过点 N 作 NH⊥EF 于 H，设 PH 与 NM 交于点 Q． 在矩形 EGMP 中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝ 3 ． 在平行四边形 BMQE 中，BM＝EQ＝1＋x． 所以 BG＝PQ＝1． 因为 PM 与 NH 平行且相等，所以 PH 与 NM 互相平分，PH＝ 2PQ＝2． 在 Rt△PNH 中，NH＝ 3 ，PH＝2，所以 PN＝ 7 ． 在平行四边形 ABMN 中，MN＝AB＝4． 因此△PMN 的周长为 3 ＋ 7 ＋4． 图 4 图 5 ②当点 N 在线段 DC 上时，△CMN 恒为等边三角形． 如图 5，当 PM＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线 PC 对称， 点 P 在∠DCB 的平分线上． 在 Rt△PCM 中，PM＝ 3 ，∠PCM＝30°，所以 MC＝3． 此时 M、P 分别为 BC、EF 的中点，x＝2． 如图 6，当 MP＝MN 时，MP＝MN＝MC＝ 3 ，x＝GM＝GC－ MC＝5－ 3 ． 如图 7，当 NP＝NM 时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM ＝120°． 又因为∠FNM＝120°，所以 P 与 F 重合． 此时 x＝4． 综上所述，当 x＝2 或 4 或 5－ 3 时，△PMN 为等腰三角形． 图 6 图 7 图 8 考点伸展 第（2）②题求等腰三角形 PMN 可以这样解： 如图 8，以 B 为原点，直线 BC 为 x 轴建立坐标系，设点 M 的 坐标为（m，0），那么点 P 的坐标为（m， 3 ），MN＝MC＝6－m， 点 N 的坐标为（ 2 6m ， 2 )6(3 m ）． 由两点间的距离公式，得 21922 mmPN ． 当 PM＝PN 时， 92192 mm ，解得 3m 或 6m ．此时 2x ． 当 MP＝MN 时， 36 m ，解得 36 m ，此时 35 x ． 当 NP＝NM 时， 22 )6(219 mmm ，解得 5m ，此时 4x ． 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例 1 2012 年广州市中考第 24 题 如图 1，抛物线 23 3 38 4y x x 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． （1）求点 A、B 的坐标； （2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面 积等于△ACB 的面积时，求点 D 的坐标； （3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、 M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线 l 的解析式． 图 1 思路点拨 1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等， 可以知道符合条件的点 D 有两个． 2．当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的 点 M 有 2 个；当直线 l 与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点 M 只有 1 个． 3．灵活应用相似比解题比较简便． 满分解答 （1）由 23 3 33 ( 4)( 2)8 4 8y x x x x ， 得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线 x＝ －1． （2）△ACD 与△ACB 有公共的底边 AC，当△ACD 的面积等于 △ACB 的面积时，点 B、D 到直线 AC 的距离相等． 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC 的另一 侧有对应的点 D′． 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，与 AC 交于点 H． 由 BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以 3 4 DG CO BG AO ． 所以 3 9 4 4DG BG ，点 D 的坐标为 9(1, )4 ． 因为 AC//BD，AG＝BG，所以 HG＝DG． 而 D′H＝DH，所以 D′G＝3DG 27 4 ．所以 D′的坐标为 27(1, )4 ． 图 2 图 3 （3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线 l 总是 有交点的，即 2 个点 M． 以 AB 为直径的⊙G 如果与直线 l 相交，那么就有 2 个点 M；如 果圆与直线 l 相切，就只有 1 个点 M 了． 联结 GM，那么 GM⊥l． 在 Rt△EGM 中，GM＝3，GE＝5，所以 EM＝4． 在 Rt△EM1A 中，AE＝8， 1 1 3tan 4 M AM EA AE ，所以 M1A＝6． 所以点 M1 的坐标为(－4, 6)，过 M1、E 的直线 l 为 3 34y x ． 根据对称性，直线 l 还可以是 3 34y x ． 考点伸展 第（3）题中的直线 l 恰好经过点 C，因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式． 在 Rt△EGM 中，GM＝3，GE＝5，所以 EM＝4． 在 Rt△ECO 中，CO＝3，EO＝4，所以 CE＝5． 因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线 CM 过点 C． 例 2 2012 年杭州市中考第 22 题 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 y＝k(x2＋x－1)的 图象交于点 A(1,k)和点 B(－1,－k)． （1）当 k＝－2 时，求反比例函数的解析式； （2）要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当△ABQ 是以 AB 为斜边 的直角三角形时，求 k 的值． 思路点拨 1．由点 A(1,k)或点 B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的 解析式就是 ky x ．题目中的 k 都是一致的． 2．由点 A(1,k)或点 B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B 关于原 点 O 对称，以 AB 为直径的圆的圆心就是 O． 3．根据直径所对的圆周角是直角，当 Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形． 满分解答 （1）因为反比例函数的图象过点 A(1,k)，所以反比例函数的解 析式是 ky x ． 当 k＝－2 时，反比例函数的解析式是 2y x ． （2）在反比例函数 ky x 中，如果 y 随 x 增大 而增大，那么 k＜0． 当 k＜0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左 侧，y 随 x 增大而增大． 抛物线 y＝k(x2＋x＋1)＝ 21 5( )2 4k x k 的对称 轴 是 直 线 1 2x ． 所以当 k＜0 且 1 2x 时，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大 而增大． （3）抛物线的顶点 Q 的坐标是 1 5( , )2 4 k ，A、B 关于原点 O 中 心对称，当 OQ＝OA＝OB 时，△ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形． 由 OQ2＝OA2，得 2 2 2 21 5( ) ( ) 12 4 k k ． 解得 1 2 33k （如图 2）， 2 2 33k （如图 3）． 图 2 图 3 考点伸展 如图 4，已知经过原点 O 的两条直线 AB 与 CD 分别与双曲线 ky x （k＞0）交于 A、B 和 C、D，那么 AB 与 CD 互相平分，所以四边 形 ACBD 是平行四边形． 问平行四边形 ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？ 如图 5，当 A、C 关于直线 y＝x 对称时，AB 与 CD 互相平分且 相等，四边形 ABCD 是矩形． 因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以 OA 与 OC 无法垂直，因此四边形 ABCD 不能成为正方形． 图 4 图 5 例 3 2011 年沈阳市中考第 25 题 如图 1，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C(0，－3)，对称轴是直线 x＝1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线 BC 的函数表达式； （3）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 CE 于点 F，交 抛物线于 P、Q 两点，且点 P 在第三象限． ①当线段 3 4PQ AB 时，求 tan∠CED 的值； ②当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出 点 P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形， 以便作答． 图 1 思路点拨 1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影 响后续的解题． 2．第（3）题的关键是求点 E 的坐标，反复用到数形结合，注 意 y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系． 3．根据 C、D 的坐标，可以知道直角三角形 CDE 是等腰直角三 角形，这样写点 E 的坐标就简单了． 满分解答 （1）设抛物线的函数表达式为 2( 1)y x n ，代入点 C(0，－3)， 得 4n ．所以抛物线的函数表达式为 2 2( 1) 4 2 3y x x x ． （2）由 2 2 3 ( 1)( 3)y x x x x ，知 A(－1，0)，B(3，0)．设直线 BC 的函数表达式为 y kx b ，代入点 B(3，0)和点 C(0，－3)，得 3 0, 3. k b b 解得 1k ， 3b ．所以直线 BC 的函数表达式为 3y x ． （3）①因为 AB＝4，所以 3 34PQ AB ．因为 P、Q 关于直线 x ＝1 对称，所以点 P 的横坐标为 1 2 ．于是得到点 P 的坐标为 1 7,2 4 ， 点 F 的坐标为 70, 4 ．所以 7 53 4 4FC OC OF ， 52 2EC FC ． 进而得到 5 13 2 2OE OC EC ，点 E 的坐标为 10, 2 ． 直线 BC: 3y x 与抛物线的对称轴 x＝1 的交点 D 的坐标为（1， －2）． 过点 D 作 DH⊥y 轴，垂足为 H． 在 Rt△EDH 中，DH＝1， 1 32 2 2EH OH OE ，所以 tan∠ CED 2 3 DH EH ． ② 1(1 2, 2)P ， 2 6 5(1 , )2 2P ． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（3）题②求点 P 的坐标的步骤是： 如图 3，图 4，先分两种情况求出等腰直角三角形 CDE 的顶点 E 的坐标，再求出 CE 的中点 F 的坐标，把点 F 的纵坐标代入抛物线 的解析式，解得的 x 的较小的一个值就是点 P 的横坐标． 例 4 2011 年浙江省中考第 23 题 设直线 l1：y＝k1x＋b1 与 l2：y＝k2x＋b2，若 l1⊥l2，垂足为 H， 则称直线 l1 与 l2 是点 H 的直角线． （1）已知直线① 1 22y x ；② 2y x ；③ 2 2y x ； ④ 2 4y x 和点 C(0，2)，则直线_______和_______是 点 C 的直角线（填序号即可）； （2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点 A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P 为线段 OC 上 一点，设过 B、P 两点的直线为 l1，过 A、P 两点的直线为 l2，若 l1 与 l2 是点 P 的直角线，求直线 l1 与 l2 的解析式． 答案 （1）直线①和③是点 C 的直角线． （2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么 BC PO CP OA ，即 2 7 3 PO PO ．解得 OP＝6 或 OP＝1． 如图 2，当 OP＝6 时，l1： 1 62y x ， l2：y＝－2x＋6． 如图 3，当 OP＝1 时，l1：y＝3x＋1， l2： 1 13y x ． 图 2 图 3 例 5 2010 年北京市中考第 24 题 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 21 5 3 24 4 m my x x m m 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上． （1）求点 B 的坐标； （2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 ED＝PE， 以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD（当点 P 运动时， 点 C、D 也随之运动）． ①当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； ②若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位， 同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动，速度为 每秒 2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动）．过 Q 作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FM ＝QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当 点 Q 运动时，点 M、N 也随之运动）．若点 P 运动到 t 秒时，两个等 腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值． 图 1 思路点拨 1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了． 2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有 t 的式子 表示这些线段的长． 3．点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就 可以计算此刻 OP 的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三 角形，列关于 t 的方程就可以求解了． 满分解答(1) 因为抛物线 2 21 5 3 24 4 m my x x m m 经过原点，所以 2 3 2 0m m ． 解得 1 2m ， 2 1m （舍去）．因此 21 5 4 2y x x ．所以 点 B 的坐标为（2，4）． (2) ①如图 4，设 OP 的长为 t，那么 PE＝2t，EC＝2t，点 C 的 坐标为(3t, 2t)．当点 C 落在抛物线上时， 21 52 (3 ) 34 2t t t ．解得 22 9t OP ．②如图 1，当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时，点 P、Q 重合．此时 3t＝10．解得 10 3t ． 如图 2，当两条直角边 PC 与 MN 在同一条直线上，△PQN 是等 腰直角三角形，PQ＝PE．此时10 3 2t t ．解得 2t ． 如图 3，当两条直角边 DC 与 QN 在同一条直线上，△PQC 是等 腰直角三角形，PQ＝PD．此时10 3 4t t ．解得． 图 1 图 2 图 3 考点伸展 在本题情境下，如果以 PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆 F 相切，求 t 的值． 如图 5，当 P、Q 重合时，两圆内切， 10 3t ． 如图 6，当两圆外切时， 30 20 2t ． 图 4 图 5 图 6 例 6 2009 年嘉兴市中考第 24 题 如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN ， 1MA ， 1MB ．以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成△ABC，设 xAB ． （1）求 x 的取值范围； （2）若△ABC 为直角三角形，求 x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？ 10 7t 图 1 思路点拨 1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列 关于 x 的不等式组，可以求得 x 的取值范围． 2．分类讨论直角三角形 ABC，根据勾股定理列方程，根据根的 情况确定直角三角形的存在性． 3．把△ABC 的面积 S 的问题，转化为 S2 的问题．AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论，分 CD 在三角形内部和外部两种情况． 满分解答 （1）在 △ ABC 中， 1AC ， xAB ， xBC 3 ，所以 .31 ,31 xx xx 解 得 21 x ． （2）①若 AC 为斜边，则 22 )3(1 xx ，即 0432 xx ，此方程 无实根． ②若 AB 为斜边，则 1)3( 22 xx ，解得 3 5x ，满足 21 x ． ③若 BC 为斜边，则 22 1)3( xx ，解得 3 4x ，满足 21 x ． 因此当 3 5x 或 3 4x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在 △ ABC 中，作 ABCD 于 D，设 hCD ， △ ABC 的面积为 S， 则 xhS 2 1 ． ①如图 2，若点 D 在线段 AB 上，则 xhxh 222 )3(1 ．移项， 得 222 1)3( hxhx ． 两 边 平 方 ， 得 22222 112)3( hhxxhx ．整理，得 431 2 xhx ．两边平方，得 16249)1( 222 xxhx ．整理，得 16248 222 xxhx 所以 4624 1 2222 xxhxS 2 1)2 3(2 2 x （ 4 23 x ≤ ）． 当 2 3x 时（满足 4 23 x ≤ ）， 2S 取最大值 2 1 ，从而 S 取最大值 2 2 ． 图 2 图 3 ②如图 3，若点 D 在线段 MA 上，则 xhhx 222 1)3( ． 同理可得， 4624 1 2222 xxhxS 2 1)2 3(2 2 x （ 41 3x ≤ ）． 易知此时 2 2S ． 综合①②得， △ ABC 的最大面积为 2 2 ． 考点伸展 第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算： 设 aAD ， 例 如 在 图 2 中 ， 由 2222 BDBCADAC 列 方 程 222 )()3(1 axxa ． 整理，得 x xa 43 ．所以 21 a 2 22 16248431 x xx x x ． 因此 462)1(4 1 2222 xxaxS ． 例 7 2008 年河南省中考第 23 题 如图 1，直线 43 4 xy 和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度．当 其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设 M 运动 t 秒时，△ MON 的面积为 S． ① 求 S 与 t 的函数关系式； ② 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S＝4 的情形？若存 在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求 t 的值． 图 1 思路点拨 1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点 M、 N 同时出发，同时到达终点． 2．不论 M 在 AO 上还是在 OB 上，用含有 t 的式子表示 OM 边 上的高都是相同的，用含有 t 的式子表示 OM 要分类讨论． 3．将 S＝4 代入对应的函数解析式，解关于 t 的方程． 4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可 能． 满分解答 （1）直线 43 4 xy 与 x 轴的交点为 B（3，0）、与 y 轴的交点 C（0，4）．Rt△BOC 中，OB＝3，OC＝4，所以 BC＝5．点 A 的坐 标是（-2，0），所以 BA＝5．因此 BC＝BA，所以△ABC 是等腰三 角形． （2）①如图 2，图 3，过点 N 作 NH⊥AB，垂足为 H．在 Rt△ BNH 中，BN＝t， 4sin 5B ，所以 4 5NH t ． 如图 2，当 M 在 AO 上时，OM＝2－t，此时 21 1 4 2 4(2 )2 2 5 5 5S OM NH t t t t ． 定义域为 0＜t≤2． 如图 3，当 M 在 OB 上时，OM＝t－2，此时 21 1 4 2 4( 2)2 2 5 5 5S OM NH t t t t ． 定义域为 2＜t≤5． 图 2 图 3 ②把 S＝4 代入 22 4 5 5S t t ，得 22 4 45 5t t ．解得 1 2 11t ， 2 2 11t （舍去负值）．因此，当点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S ＝4 的情形，此时 2 11t ． ③如图 4，当∠OMN＝90°时，在 Rt△BNM 中，BN＝t，BM 5 t ， 3cos 5B ，所以 5 3 5 t t ．解得 25 8t ． 如图 5，当∠OMN＝90°时，N 与 C 重合， 5t ．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当 25 8t 或者 5t 时，△MON 为直角三角形． 图 4 图 5 考点伸展 在本题情景下，如果△MON 的边与 AC 平行，求 t 的值． 如图 6，当 ON//AC 时，t＝3；如图 7，当 MN//AC 时，t＝2.5． 图 6 图 7 例 8 2008 年河南省中考第 23 题 如图 1，直线 43 4 xy 和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度．当 其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设 M 运动 t 秒时，△ MON 的面积为 S． ① 求 S 与 t 的函数关系式； ② 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S＝4 的情形？若存 在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求 t 的值． 图 1 思路点拨 1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点 M、 N 同时出发，同时到达终点． 2．不论 M 在 AO 上还是在 OB 上，用含有 t 的式子表示 OM 边上的 高都是相同的，用含有 t 的式子表示 OM 要分类讨论． 3．将 S＝4 代入对应的函数解析式，解关于 t 的方程． 4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能． 满分解答 （1）直线 43 4 xy 与 x 轴的交点为 B（3，0）、与 y 轴的交点 C（0，4）． Rt△BOC 中，OB＝3，OC＝4，所以 BC＝5． 点 A 的坐标是（-2，0），所以 BA＝5． 因此 BC＝BA，所以△ABC 是等腰三角形． （2）①如图 2，图 3，过点 N 作 NH⊥AB，垂足为 H． 在 Rt△BNH 中，BN＝t， 4sin 5B ，所以 4 5NH t ． 如图 2，当 M 在 AO 上时，OM＝2－t，此时 21 1 4 2 4(2 )2 2 5 5 5S OM NH t t t t ．定义域为 0＜t≤2． 如图 3，当 M 在 OB 上时，OM＝t－2，此时 21 1 4 2 4( 2)2 2 5 5 5S OM NH t t t t ．定义域为 2＜t≤5． 图 2 图 3 ②把 S＝4 代入 22 4 5 5S t t ，得 22 4 45 5t t ． 解得 1 2 11t ， 2 2 11t （舍去负值）． 因此，当点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S＝4 的情形，此时 2 11t ． ③如图 4，当∠OMN＝90°时，在 Rt△BNM 中，BN＝t，BM 5 t ， 3cos 5B ， 所以 5 3 5 t t ．解得 25 8t ． 如图 5，当∠OMN＝90°时，N 与 C 重合， 5t ． 不存在∠ONM＝90°的可能． 所以，当 25 8t 或者 5t 时，△MON 为直角三角形． 图 4 图 5 考点伸展 在本题情景下，如果△MON 的边与 AC 平行，求 t 的值． 如图 6，当 ON//AC 时，t＝3；如图 7，当 MN//AC 时，t＝2.5． 图 6 图 7 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例 1 2012 年福州市中考第 21 题 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PD//BC，交 AB 于点 D，联结 PQ．点 P、Q 分别从点 A、C 同时 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时 间为 t 秒（t≥0）． （1）直接用含 t 的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______； （2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点 Q 的速度（匀速运 动），使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度； （3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段 PQ 的中点 M 所经 过的路径长． 图 1 图 2 思路点拨 1．菱形 PDBQ 必须符合两个条件，点 P 在∠ABC 的平分线上， PQ//AB．先求出点 P 运动的时间 t，再根据 PQ//AB，对应线段成比 例求 CQ 的长，从而求出点 Q 的速度． 2．探究点 M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条 线段是不是点 M 的路径． 满分解答 （1）QB＝8－2t，PD＝ 4 3 t ． （2）如图 3，作∠ABC 的平分线交 CA 于 P，过 点 P 作 PQ//AB 交 BC 于 Q，那么四边形 PDBQ 是菱 形． 过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E，那么 BE＝BC＝8． 在 Rt △ ABC 中 ， AC ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， 所 以 AB ＝ 10 ． 图 3 在 Rt△APE 中， 2 3cos 5 AEA AP t ，所以 10 3t ． 当 PQ//AB 时， CQ CP CB CA ，即 106 3 8 6 CQ ．解得 32 9CQ ． 所以点 Q 的运动速度为 32 10 16 9 3 15 ． （3）以 C 为原点建立直角坐标系． 如图 4，当 t＝0 时，PQ 的中点就是 AC 的中点 E(3，0)． 如图 5，当 t＝4 时，PQ 的中点就是 PB 的中点 F(1，4)． 直线 EF 的解析式是 y＝－2x＋6． 如图 6，PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（ 6 2 t ，t）．经验证， 点 M（ 6 2 t ，t）在直线 EF 上． 所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长，EF＝ 2 5 ． 图 4 图 5 图 6 考点伸展 第（3）题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当 t＝2 时，PQ 的中点为(2，2)． 设点 M 的运动路径的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，代入 E(3，0)、 F(1，4)和(2，2)， 得 9 3 0, 4, 4 2 2. a b c a b c a b c 解得 a＝0，b＝－2，c＝6． 所以点 M 的运动路径的解析式为 y＝－2x＋6． 例 2 2012 年烟台市中考第 26 题 如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以 A 为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 C．动 点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发， 沿线段 CD 向点 D 运动．点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运 动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E． （1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点 E 作 EF⊥AD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时， △ACG 的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C、Q、E、H 为顶点的四边形为菱 形？请直接写出 t 的值． 图 1 思路点拨 1．把△ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于 AD． 2．用含有 t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来． 3．构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程 验证菱形是否存在． 满分解答 （1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为 A，设抛物线的解析式为 y ＝a(x－1)2＋4， 代入点 C(3, 0)，可得 a＝－1． 所以抛物线的解析式为 y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3． （2）因为 PE//BC，所以 2AP AB PE BC ．因此 1 1 2 2PE AP t ． 所以点 E 的横坐标为 11 2 t ． 将 11 2x t 代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝ 214 4 t ． 所以点 G 的纵坐标为 214 4 t ．于是得到 2 21 1(4 ) (4 )4 4GE t t t t ． 因此 2 21 1 1( ) ( 2) 12 4 4ACG AGE CGES S S GE AF DF t t t ． 所以当 t＝1 时，△ACG 面积的最大值为 1． （3） 20 13t 或 20 8 5t ． 考点伸展 第（3）题的解题思路是这样的： 因为 FE//QC，FE＝QC，所以四边形 FECQ 是平行四边形．再 构造点 F 关于 PE 轴对称的点 H′，那么四边形 EH′CQ 也是平行四边 形． 再根据 FQ＝CQ 列关于 t 的方程，检验四边形 FECQ 是否为菱 形，根据 EQ＝CQ 列关于 t 的方程，检验四边形 EH′CQ 是否为菱形． 1(1 ,4 )2E t t ， 1(1 ,4)2F t ， (3, )Q t ， (3,0)C ． 如图 2，当 FQ＝CQ 时，FQ2＝CQ2，因此 2 2 21( 2) (4 )2 t t t ． 整理，得 2 40 80 0t t ．解得 1 20 8 5t ， 2 20 8 5t （舍去）． 如图 3，当 EQ＝CQ 时，EQ2＝CQ2，因此 2 2 21( 2) (4 2 )2 t t t ． 整理，得 213 72 800 0t t ．(13 20)( 40) 0t t ．所以 1 20 13t ， 2 40t （舍 去）． 图 2 图 3 例 3 2011 年上海市中考第 24 题 已知平面直角坐标系 xOy（如图 1），一次函 数 3 34y x 的图象与 y 轴交于点 A，点 M 在正比 例函数 3 2y x 的图象上，且 MO＝MA．二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象经过点 A、M． （1）求线段 AM 的长； （2）求这个二次函数的解析式； （3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函 数的图象上，点 D 在一次函数 3 34y x 的图象上，且四边形 ABCD 是 菱形，求点 C 的坐标． 思路点拨 1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求， 抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数． 2．根据 MO＝MA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上，并且求得 点 M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤． 3．第（3）题求点 C 的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率， 用待定字母 m 表示点 C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字 母 m． 满分解答 （1）当 x＝0 时， 3 3 34y x ，所以点 A 的坐标为(0，3)，OA＝3． 如图 2，因为 MO＝MA，所以点 M 在 OA 的垂直平分线上，点 M 的纵坐标为 3 2 ．将 3 2y 代入 3 2y x ，得 x＝1．所以点 M 的坐标为 3(1, )2 ．因此 13 2AM ． （2）因为抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过 A(0，3)、M 3(1, )2 ，所以 3, 31 .2 c b c 解得 5 2b ， 3c ．所以二次函数的解析式为 2 5 32y x x ． （3）如图 3，设四边形 ABCD 为菱形，过点 A 作 AE⊥CD，垂 足为 E． 在 Rt△ADE 中，设 AE＝4m，DE＝3m，那么 AD＝5m． 因此点 C 的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点 C(4m，3－2m) 代入 2 5 32y x x ，得 23 2 16 10 3m m m ．解得 1 2m 或者 m＝0（舍去）． 因此点 C 的坐标为（2，2）． 图 2 图 3 考点伸展 如果第（3）题中，把“四边形 ABCD 是菱形”改为“以 A、B、 C、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况： 如图 4，点 C 的坐标为 7 27( , )4 16 ． 图 4 例 4 2011 年江西省中考第 24 题 将抛物线 c1： 23 3y x 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1 所示．（1）请直接写出抛物线 c2 的表达式； （2）现将抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物 线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、E． ①当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值； ②在平移过程中，是否存在以点 A、N、E、M 为顶点的四边形 是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理 由． 图 1 思路点拨 1．把 A、B、D、E、M、N 六个点起始位置的坐标罗列出来， 用 m 的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来． 2．B、D 是线段 AE 的三等分点，分两种情况讨论，按照 AB 与 AE 的大小写出等量关系列关于 m 的方程． 3．根据矩形的对角线相等列方程． 满分解答 （1）抛物线 c2 的表达式为 23 3y x ． （2）抛物线 c1： 23 3y x 与 x 轴的两个交点为(－1，0)、(1， 0)，顶点为(0, 3)． 抛物线 c2： 23 3y x 与 x 轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)， 顶点为(0, 3) ． 抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度后，顶点 M 的坐标为( , 3)m ， 与 x 轴的两个交点为 ( 1 ,0)A m 、 (1 ,0)B m ，AB＝2． 抛物线 c2 向右平移 m 个单位长度后，顶点 N 的坐标为( , 3)m ， 与 x 轴的两个交点为 ( 1 ,0)D m 、 (1 ,0)E m ．所以 AE＝(1＋m)－(－1－ m)＝2(1＋m)． ①B、D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况： 情形一，如图 2，B 在 D 的左侧，此时 1 23AB AE ，AE＝6．所 以 2(1＋m)＝6．解得 m＝2． 情形二，如图 3，B 在 D 的右侧，此时 2 23AB AE ，AE＝3．所 以 2(1＋m)＝3．解得 1 2m ． 图 2 图 3 图 4 ②如果以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，那么 AE＝ MN＝2OM．而 OM2＝m2＋3，所以 4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得 m＝1 （如图 4）． 考点伸展 第（2）题②，探求矩形 ANEM，也可以用几何说理的方法： 在等腰三角形 ABM 中，因为 AB＝2，AB 边上的高为 3 ，所以 △ABM 是等边三角形． 同理△DEN 是等边三角形．当四边形 ANEM 是矩形时，B、D 两点重合． 因为起始位置时 BD＝2，所以平移的距离 m＝1． 例 5 2010 年河南省中考第 23 题 如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(－4,0)、B(0, －4)、C(2,0)三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△MAB 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最 大值； （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y＝－x 上的动点， 判断有几个位置能使以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边 形，直接写出相应的点 Q 的坐标． 图 1 图 2 思路点拨 1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便． 2．把△MAB 分割为共底 MD 的两个三角形，高的和为定值 OA． 3．当 PQ 与 OB 平行且相等时，以点 P、Q、B、O 为顶点的四 边形是平行四边形，按照 P、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程． 满分解答 (1) 因为抛物线与 x 轴交于 A(－4,0)、C(2,0)两点，设 y＝a(x＋4)(x － 2) ． 代 入 点 B(0, － 4) ， 求 得 1 2a ． 所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为 21 1( 4)( 2) 42 2y x x x x ． (2)如图 2，直线 AB 的解析式为 y＝－x－4．过点 M 作 x 轴的垂 线交 AB 于 D，那么 2 21 1( 4) ( 4) 22 2MD m m m m m ．所以 21 42MDA MDBS S S MD OA m m 2( 2) 4m ． 因此当 2m 时，S 取得最大值，最大值为 4． (3) 如果以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么 PQ//OB，PQ＝OB＝4． 设点 Q 的坐标为( , )x x ，点 P 的坐标为 21( , 4)2x x x ． ①当点 P 在点 Q 上方时， 21( 4) ( ) 42 x x x ．解得 2 2 5x ． 此时点 Q 的坐标为( 2 2 5,2 2 5) （如图 3），或( 2 2 5,2 2 5) （如图 4）． ②当点 Q 在点 P 上方时， 21( ) ( 4) 42x x x ． 解得 4x 或 0x （与点 O 重合，舍去）．此时点 Q 的坐标为(－ 4,4) （如图 5）． 图 3 图 4 图 5 考点伸展 在本题情境下，以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形能成为直角 梯形吗？ 如图 6，Q(2,－2)；如图 7，Q(－2,2)；如图 8，Q(4,－4)． 图 6 图 7 图 8 例 6 2010 年山西省中考第 26 题 在直角梯形 OABC 中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝ 6，BA＝3 5 ．分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系． （1）求点 B 的坐标； （2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD＝5，OE＝2EB， 直线 DE 交 x 轴于点 F．求直线 DE 的解析式； （3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平 面内是否存在另一点 N，使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？ 若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 图 2 思路点拨 1．第（1）题和第（2）题蕴含了 OB 与 DF 垂直的结论，为第 （3）题讨论菱形提供了计算基础． 2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照 DO 为边和对角 线分类，再进行二级分类，DO 与 DM、DO 与 DN 为邻边． 满分解答 (1)如图 2，作 BH⊥x 轴，垂足为 H，那么四边形 BCOH 为矩形， OH＝CB＝3． 在 Rt△ABH 中，AH＝3，BA＝3 5 ，所以 BH＝6．因此点 B 的 坐标为(3,6)． (2) 因为 OE＝2EB，所以 2 23E Bx x ， 2 43E By y ，E(2,4)． 设直线 DE 的解析式为 y＝kx＋b，代入 D(0,5)，E(2,4)，得 5, 2 4. b k b 解得 1 2k ， 5b ．所以直线 DE 的解析式为 1 52y x ． (3) 由 1 52y x ，知直线 DE 与 x 轴交于点 F(10,0)，OF＝10， DF＝5 5 ． ①如图 3，当 DO 为菱形的对角线时，MN 与 DO 互相垂直平分， 点 M 是 DF 的中点．此时点 M 的坐标为(5, 5 2 )，点 N 的坐标为(－5, 5 2 )． ②如图 4，当 DO、DN 为菱形的邻边时，点 N 与点 O 关于点 E 对称，此时点 N 的坐标为(4,8)． ③如图 5，当 DO、DM 为菱形的邻边时，NO＝5，延长 MN 交 x 轴于 P． 由△NPO∽△DOF，得 NP PO NO DO OF DF ，即 5 5 10 5 5 NP PO ．解得 5NP ， 2 5PO ．此时点 N 的坐标为( 2 5, 5) ． 图 3 图 4 考点伸展 如果第（3）题没有限定点 N 在 x 轴上方的平面内，那么菱形还 有如图 6 的情形． 图 5 图 6 例 7 2009 年福州市中考第 21 题 如图 1，等边△ABC 的边长为 4，E 是边 BC 上的动点，EH⊥ AC 于 H，过 E 作 EF∥AC，交线段 AB 于点 F，在线段 AC 上取点 P， 使 PE＝EB．设 EC＝x（0＜x≤2）． （1）请直接写出图中与线段 EF 相等的两条线段（不再另外添 加辅助线）； （2）Q 是线段 AC 上的动点，当四边形 EFPQ 是平行四边形时， 求平行四边形 EFPQ 的面积（用含 x 的代数式表示）； （3）当（2）中 的平行四边形 EFPQ 面积最大值时，以 E 为圆 心，r 为半径作圆，根据⊙E 与此时平行四边形 EFPQ 四条边交点的 总个数，求相应的 r 的取值范围． 图 1 思路点拨 1．如何用含有 x 的式子表示平行四边形的边 PQ，第（1）题作 了暗示． 2．通过计算，求出平行四边形面积最大时的 x 值，准确、规范 地画出此时的图形是解第（3）题的关键，此时点 E 是 BC 的中点， 图形充满了特殊性． 3．画出两个同心圆可以帮助探究、理解第（3）题：过点 H 的 圆，过点 C 的圆． 满分解答 （1）BE、PE、BF 三条线段中任选两条． （2）如图 2，在 Rt△CEH 中，∠C＝60°，EC＝x，所以 xEH 2 3 ． 因 为 PQ ＝ FE ＝ BE ＝ 4 － x ， 所 以 xxxxEHPQS EFPQ 322 3)4(2 3 2 平行四边形 ． （3）因为 xxS EFPQ 322 3 2 平行四边形 3222 3 2 ）（x ，所以当 x ＝2 时，平行四边形 EFPQ 的面积最大． 此时 E、F、P 分别为△ABC 的三边 BC、AB、AC 的中点，且 C、 Q 重合，四边形 EFPQ 是边长为 2 的菱形（如图 3）． 图 2 图 3 过点 E 点作 ED⊥FP 于 D，则 ED＝EH＝ 3 ． 如图 4，当⊙E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 2 个时，0＜r＜ 3 ； 如图 5，当⊙E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 4 个时，r＝ 3 ； 如图 6，当⊙E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 6 个时， 3 ＜r＜2； 如图 7，当⊙E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 3 个时，r＝2 时； 如图 8，当⊙E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 0 个时，r＞2 时． 图 4 图 5 图 6 图 7 图 8 考点伸展 本题中 E 是边 BC 上的动点，设 EC＝x，如果没有限定 0＜x≤2， 那么平行四边形 EFPQ 的面积是如何随 x 的变化而变化的？ 事实上，当 x＞2 时，点 P 就不存在了，平行四边形 EFPQ 也就 不存在了． 因此平行四边形 EFPQ 的面积随 x 的增大而增大． 例 8 2009 年江西省中考第 24 题 如图 1，抛物线 322 xxy 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在 点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C，顶点为 D． （1）直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上 的一个动点，过点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m． ①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时， 四边形 PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系． 图 1 思路点拨 1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表 示线段的长． 2．当四边形 PEDF 为平行四边形时，根据 DE=FP 列关于 m 的方程． 3．把△BCF 分割为两个共底 FP 的三角形，高的和等于 OB． 满分解答 （1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是 x＝1． （2）①直线 BC 的解析式为 y＝－x＋3． 把 x＝1 代入 y＝－x＋3，得 y＝2．所以点 E 的坐标为（1，2）． 把 x＝1 代入 322 xxy ，得 y＝4．所以点 D 的坐标为（1，4）． 因此 DE=2． 因为 PF//DE，点 P 的横坐标为 m，设点 P 的坐标为 )3,( mm ， 点 F 的 坐 标 为 )32,0( 2 mm ， 因 此 mmmmmFP 3)3()32( 22 ． 当 四 边 形 PEDF 是 平 行 四 边 形 时 ， DE=FP ． 于 是 得 到 232 mm ．解得 21 m ， 12 m （与点 E 重合，舍去）． 因此，当 m=2 时，四边形 PEDF 是平行四边形时． ②设直线 PF 与 x 轴交于点 M，那么 OM+BM=OB=3．因此 BMFPOMFPSSSS CPFBPFBCF 2 1 2 1 mmmm 2 9 2 33)3(2 1 22 ． m 的变化范围是 0≤m≤3． 图 2 图 3 考点伸展 在本题条件下，四边形 PEDF 可能是等腰梯形吗？如果可能， 求 m 的值；如果不可能，请说明理由． 如图 4，如果四边形 PEDF 是等腰梯形，那么 DG=EH，因此 EPFD yyyy ． 于是 2)3()32(4 2 mmm ．解得 01 m （与点 CE 重合， 舍去）， 12 m （与点 E 重合，舍去）． 因此四边形 PEDF 不可能成为等腰梯形． 图 4 1.5 因动点产生的梯形问题 例 1 2012 年上海市松江区中考模拟第 24 题 已知直线 y＝3x－3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A，B，抛物线 y＝ ax2＋2x＋c 经过点 A，B． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物 线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线 l，点 B 关于直线 l 的对称点为 C，若点 D 在 y 轴的正半 轴上，且四边形 ABCD 为梯形． ①求点 D 的坐标； ②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的 顶点为 P，其对称轴与直线 y＝3x－3 交于点 E，若 7 3tan DPE ，求四 边形 BDEP 的面积． 思路点拨 1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D 四个点必须画准确， 其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了． 2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是 D、P 两点间的垂直距离等于 7． 3．已知∠DPE 的正切值中的 7 的几何意义就是 D、P 两点间的 垂直距离等于 7，那么点 P 向右平移到直线 x＝3 时，就停止平移． 满分解答 （1）直线 y＝3x－3 与 x 轴的交点为 A(1，0)，与 y 轴的交点为 B(0,－3)． 将 A(1，0)、B(0,－3)分别代入 y＝ax2＋2x＋c， 得 2 0, 3. a c c 解得 1, 3. a c 所以抛物线的表达式为 y＝x2＋2x－3． 对称轴为直线 x＝－1，顶点为(－1,－4)． （2）①如图 2，点 B 关于直线 l 的对称点 C 的坐标为(－2,－3)． 因为 CD//AB，设直线 CD 的解析式为 y＝3x＋b， 代入点 C(－2,－3)，可得 b＝3． 所以点 D 的坐标为（0，3）． ②过点 P 作 PH⊥y 轴，垂足为 H，那么∠PDH＝∠DPE． 由 7 3tan DPE ，得 3tan 7 PHPDH DH ． 而 DH＝7，所以 PH＝3． 因此点 E 的坐标为（3，6）． 所以 1 ( ) 242BDEPS BD EP PH 梯形 ． 图 2 图 3 考点伸展 第（2）①用几何法求点 D 的坐标更简便： 因为 CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO． 因此 1 3 BC OA BD OB ．所以 BD＝3BC＝6，OD＝3．因此 D（0，3）． 例 2 2012 年衢州市中考第 24 题 如图 1，把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△COD 方别置于平面直角 坐标系中，使直角边 OB、OD 在 x 轴上．已知点 A(1，2)，过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F．抛 物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 O、A、C 三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过 点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四 边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若△AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不 与点 C 重合），△AOB 在平移的过程中与△COD 重叠部分的面积记 为 S．试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存 在，请说明理由． 思路点拨 1．如果四边形 ABPM 是等腰梯形，那么 AB 为较长的底边，这 个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB 边分 成的 3 小段，两侧的线段长线段． 2．△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH，可以通 过割补得到，即△OFG 减去△OEH． 3．求△OEH 的面积时，如果构造底边 OH 上的高 EK，那么 Rt △EHK 的直角边的比为 1∶2． 4．设点 A′移动的水平距离为 m，那么所有的直角三角形的直角 边都可以用 m 表示． 满分解答 （1）将 A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入 y＝ax2＋bx＋c， 得 2, 0, 4 2 1. a b c c a b c 解得 3 2a ， 7 2b ， 0c ． 所以 23 7 2 2y x x ． （2）如图 2，过点 P、M 分别作梯形 ABPM 的高 PP′、MM′， 如果梯形 ABPM 是等腰梯形，那么 AM′＝BP′，因此 yA－y M′＝yP′ －yB． 直线 OC 的解析式为 1 2y x ，设点 P 的坐标为 1( , )2x x ，那么 23 7( , )2 2M x x x ． 解方程 23 7 12 ( )2 2 2x x x ，得 1 2 3x ， 2 2x ． x＝2 的几何意义是 P 与 C 重合，此时梯形不存在．所以 2 1( , )3 3P ． 图 2 图 3 （3）如图 3，△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH， 作 EK⊥OD 于 K． 设点 A′移动的水平距离为 m，那么 OG＝1＋m，GB′＝m． 在 Rt△OFG 中， 1 1 (1 )2 2FG OG m ．所以 21 (1 )4OFGS m ． 在 Rt△A′HG 中，A′G＝2－m，所以 1 1 1' (2 ) 12 2 2HG A G m m ． 所以 1 3(1 ) (1 )2 2OH OG HG m m m ． 在 Rt△OEK 中，OK＝2 EK；在 Rt△EHK 中，EK＝2HK；所以 OK＝4HK． 因此 4 4 3 23 3 2OK OH m m ．所以 1 2EK OK m ． 所以 21 1 3 3 2 2 2 4OEHS OH EK m m m ． 于是 2 2 21 3 1 1 1(1 )4 4 2 2 4OFG OEHS S S m m m m 21 1 3( )2 2 8m ． 因为 0＜m＜1，所以当 1 2m 时，S 取得最大值，最大值为 3 8 ． 考点伸展 第（3）题也可以这样来解：设点 A′的横坐标为 a． 由直线 AC：y＝－x＋3，可得 A′(a, －a＋3)． 由直线 OC： 1 2y x ，可得 1( , )2F a a ． 由直线 OA：y＝2x 及 A′(a, －a＋3)，可得直线 O′A′：y＝2x－3a ＋3， 3 3( ,0)2 aH ． 由直线 OC 和直线 O′A′可求得交点 E(2a－2，a－1)． 由 E、F、G、H 4 个点的坐标，可得 例 3 2011 年北京市海淀区中考模拟第 24 题 已知平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y＝ax2－(a＋1)x 与直线 y ＝kx 的一个公共点为 A(4，8)． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点 P 在线段 OA 上，过点 P 作 y 轴的平行线交（1）中抛 物线于点 Q，求线段 PQ 长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为 M，点 N 在此抛物线上，若四 边形 AOMN 恰好是梯形，求点 N 的坐标及梯形 AOMN 的面积． 备用图 答案 （1）抛物线的解析式为 y＝x2－2x，直线的解析式为 y＝2x． （2）如图 1，当 P 为 OA 的中点时，PQ 的长度取得最大值为 4． （3）如图 2，如果四边形 AOMN 是梯形，那么点 N 的坐标为(3， 3)，梯形 AOMN 的面积为 9． 图 1 图 2 例 4 2011 年义乌市中考第 24 题 已知二次函数的图象经过 A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴 为直线 x＝4，设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点 B． （1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标； （2）如图 1，在直线 y＝2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（O、P 两点除外）， 以每秒 2 个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN//x 轴，交 PB 于点 N． 将△PMN 沿直线 MN 对折，得到△ P1MN． 在动点 M 的运动过程中，设△P1MN 与梯形 OMNB 的重叠 部分的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式． 图 1 图 2 思路点拨 1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等 列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况． 2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界 点是 PO 的中点． 满分解答 （1）设抛物线的解析式为 2( 4)y a x k ，代入 A（2，0）、C(0， 12) 两点，得 4 0, 16 12. a k a k 解得 1, 4. a k 所以二次函数的解析式为 2 2( 4) 4 8 12y x x x ，顶点 P 的坐 标为（4，－4）． （2）由 2 8 12 ( 2)( 6)y x x x x ，知点 B 的坐标为（6，0）． 假设在等腰梯形 OPBD，那么 DP＝OB＝6．设点 D 的坐标为(x， 2x)． 由两点间的距离公式，得 2 2( 4) (2 4) 36x x ．解得 2 5x 或 x＝ －2． 如图 3，当 x＝－2 时，四边形 ODPB 是平行四边形． 所以，当点 D 的坐标为( 5 2 ， 5 4 )时，四边形 OPBD 为等腰梯形． 图 3 图 4 图 5 （3）设△PMN 与△POB 的高分别为 PH、PG． 在 Rt△PMH 中， 2PM t ， PH MH t ．所以 ' 2 4P G t ． 在 Rt△PNH 中， PH t ， 1 1 2 2NH PH t ．所以 3 2MN t ． ① 如图4，当 0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此 时 21 3 3 2 2 4S t t t ． ②如图 5，当 2＜t＜4 时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN 的 面 积 减 去 △ P′DC 的 面 积 ． 由 于 2 ' 'P DC PMN S P G S PH △ △ ， 所 以 2 2 2 ' 2 4 3 3 (2 4)4 4P DC tS t tt △ ． 此时 2 2 23 3 9(2 4) 12 124 4 4S t t t t ． 考点伸展 第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图： 方法一，按照对角线相等画圆．以 P 为圆心，OB 长为半径画圆， 与直线 y＝2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边 形的顶点． 方法二，按照对边相等画圆．以 B 为圆心，OP 长为半径画圆， 与直线 y＝2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边 形的顶点． 例 5 2010 年杭州市中考第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的解析式是 y ＝ 21 14 x ，点 C 的坐标为(–4，0)，平行四边形 OABC 的顶点 A，B 在 抛物线上，AB 与 y 轴交于点 M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t， 0)在 x 轴上． (1) 写出点 M 的坐标； (2) 当四边形 CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时． ① 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围； ② 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为 1∶2 时，求 t 的值． 图 1 思路点拨 1．第（1）题求点 M 的坐标以后，Rt△OCM 的两条直角边的比为 1∶ 2，这是本题的基本背景图． 2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根 据数形结合，列关于 t 与 x 的比例式，从而得到 t 关于 x 的函数关系． 3．探求自变量 x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除 平行四边形的情况． 4．梯形的两底的长度之比为 1∶2，要分两种情况讨论．把两底 的长度比转化为 QH 与 MO 的长度比． 满分解答 (1)因为 AB＝OC＝ 4，A、B 关于 y 轴对称，所以点 A 的横坐标 为 2．将 x＝2 代入 y＝ 21 14 x ，得 y＝2．所以点 M 的坐标为（0，2）． (2) ① 如图 2，过点 Q 作 QH x 轴，设垂足为 H，则 HQ＝ y 21 14 x ，HP＝x– t ． 因为 CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此 tan∠QPH＝tan∠ MCO，即 1 2 HQ OM HP OC ．所以 21 11 ( )4 2x x t ．整理，得 21 22t x x ． 如图 3，当 P 与 C 重合时， 4t ，解方程 214 22 x x ，得 1 5x ． 如图 4，当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝ 2． 因此自变量 x 的取值范围是 1 5x ，且 x 2 的所有实数． 图 2 图 3 图 4 ②因为 sin∠QPH＝sin∠MCO，所以 HQ OM PQ CM ，即 PQ HQ CM OM ． 当 1 2 PQ HQ CM OM 时， 1 12HQ OM ．解方程 21 1 14 x ，得 0x （如 图 5）．此时 2t ． 当 2PQ HQ CM OM 时， 2 4HQ OM ．解方程 21 1 44 x ，得 2 3x ． 如图 6，当 2 3x 时， 8 2 3t ；如图 6，当 2 3x 时， 8 2 3t ． 5 图 6 图 7 考点伸展 本题情境下，以 Q 为圆心、QM 为半径的动圆与 x 轴有怎样的位 置关系呢？ 设点 Q 的坐标为 21, 14x x ，那么 2 2 2 2 2 21 11 14 4QM x x x ． 而点 Q 到 x 轴的距离为 21 14 x ． 因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心 Q 到 x 轴的距离，圆 Q 与 x 轴相 切． 例 6 2010 年上海市奉贤区中考模拟第 24 题 已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 A 的坐标为(4,0)，点 C 的坐标为 )20( ， ，直线 xy 3 2 与边 BC 相交于点 D． (1)求点 D 的坐标； (2)抛物线 cbxaxy 2 经过点 A、D、O，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点 M，使 O、D、A、M 为顶点的四 边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存 在，请说明理由． 图 1 思路点拨 1．用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便． 2．过△AOD 的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可 以确定存在三个梯形． 3．用抛物线的解析式可以表示点 M 的坐标． 满分解答 (1)因为 BC//x 轴，点 D 在 BC 上，C(0,－2)，所以点 D 的纵坐标 为－2．把 y＝－2 代入 xy 3 2 ，求得 x＝3．所以点 D 的坐标为(3, －2)． (2)由于抛物线与 x 轴交于点 O、A(4,0)，设抛物线的解析式为 y ＝ax(x－4)，代入 D (3,－2)，得 2 3a ．所求的二次函数解析式为 22 2 8( 4)3 3 3y x x x x ． (3) 设点 M 的坐标为 22 8, 3 3x x x ． ①如图 2，当 OM//DA 时，作 MN⊥x 轴，DQ⊥x 轴，垂足分别 为 N、Q．由 tan∠MON＝tan∠DAQ，得 22 8 3 3 2 x x x ． 因为 x＝0 时点 M 与 O 重合，因此 2 8 23 3x ，解得 x＝7．此时 点 M 的坐标为（7，14）． ②如图 3，当 AM//OD 时，由 tan∠MAN＝tan∠DOQ，得 22 8 23 3 4 3 x x x ． 因为 x＝4 时点 M 与 A 重合，因此 2 2 3 3x ，解得 x＝－1．此时 点 M 的坐标为 10( 1, )3 ． ③如图 4，当 DM//OA 时，点 M 与点 D 关于抛物线的对称轴对 称，此时点 M 的坐标为（1，－2）． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（3）题的①、②用几何法进行计算，依据是两直线平行，内 错角的正切相等． 如果用代数法进行，计算过程比较麻烦．以①为例，先求出直线 AD 的解析式，再求出直线 OM 的解析式，最后解由直线 OM 和抛物 线的解析式组成的二元二次方程组． 例 7 2009 年广州市中考第 25 题 如图 1，二次函数 )0(2 pqpxxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两 点，与 y 轴交于点 C（0，－1），△ABC 的面积为 4 5 ． （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与△ ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在， 请说明理由． 图 1 思路点拨 1．根据△ABC 的面积和 AB 边上的高确定 AB 的长，这样就可以把 两个点的坐标用一个字母表示． 2．数形结合，根据点 A、B、C 的坐标确定 OA、OB、OC 间的数量 关系，得到△AOC∽△COB，从而得到△ABC 是以 AB 为斜边的直 角三角形，AB 是它的外接圆直径，再根据对称性写出 m 的取值范围． 3．根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点 D 有两个，但是 求点 D 的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些． 满分解答 （1）因为 OC＝1，△ABC 的面积为 4 5 ，所以 AB＝ 2 5 ． 设点 A 的坐标为（a，0），那么点 B 的坐标为（a＋ 2 5 ，0）． 设抛物线的解析式为 )2 5)(( axaxy ，代入点 C（0，－1），得 1)2 5( aa ．解得 2 1a 或 2a ． 因为二次函数的解析式 qpxxy 2 中， 0p ，所以抛物线的对 称轴在 y 轴右侧．因此点 A、B 的坐标分别为 )0,2 1( ， )0,2( ． 所以抛物线的解析式为 12 3)2)(2 1( 2 xxxxy ． （2）如图 2，因为 1OBOA ， 12 OC ，所以 OB OC OC OA ．因此△ AOC∽△COB．所以△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，外接圆 的直径为 AB． 因此 m 的取值范围是 4 5 ≤m≤ 4 5 ． 图 2 图 3 图 4 （3）设点 D 的坐标为 ))2)(2 1(,( xxx ． ①如图 3，过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于 D，过点 D 作 DE ⊥x 轴于 E． 因 为 OBCDAB tantan ， 所 以 2 1 BO CO AE DE ． 因 此 2 1 2 1 )2)(2 1( x xx ．解得 2 5x ．此时点 D 的坐标为 )2 3,2 5( ． 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线于 D，过点 D作 DF⊥x 轴于 F．因 为 CAODBF tantan ，所以 2 AO CO BF DF ．因此 22 )2)(2 1( x xx ．解得 2 5x ．此时点 D 的坐标为 )9,2 5( ． 综上所述，当 D 的坐标为 )2 3,2 5( 或 )9,2 5( 时，以 A、B、C、D 为 顶点的四边形为直角梯形． 考点伸展 第（3）题可以用代数的方法这样解：例如图 3，先求得直线 BC 为 12 1 xy ，再根据 AD//BC 求得直线 AD 为 4 1 2 1 xy ，由直线 AD 和抛物线的解析式组成的方程组，得到点 D 的坐标． 1.6 因动点产生的面积问题 例 1 2012 年菏泽市中考第 21 题 如图 1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到三 角形 A′B′O． （1）一抛物线经过点 A′、B′、B，求该抛物线的解析式； （2）设点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点 P， 使四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，试指出四边形 PB′A′B 是哪种形状的四 边形？并写出它的两条性质． 图 1 思路点拨 1．四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍，可以转化为四 边形 PB′OB 的面积是 △A′B′O 面积的 3 倍． 2．联结 PO，四边形 PB′OB 可以分割为两个三角形． 3．过点向 x 轴作垂线，四边形 PB′OB 也可以分割为一个直角梯 形和一个直角三角形． 满分解答 （1）△AOB 绕着原点 O 逆时针旋转 90°，点 A′、B′的坐标分 别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与 x 轴交于 A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为 y＝a(x ＋1)(x－2)， 代入 B′(0, 2)，得 a＝1． 所以该抛物线的解析式为 y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2． （2）S△A′B′O＝1． 如果 S 四边形 PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么 S 四边形 PB′OB＝3 S△A′B′O＝3． 如图 2，作 PD⊥OB，垂足为 D． 设点 P 的坐标为 (x，－x2＋x＋2)． 2 3 2 ' 1 1 1 1( ' ) (2 2) 22 2 2 2PB ODS DO B O PD x x x x x x 梯形 ． 2 3 21 1 1 3(2 )( 2) 22 2 2 2PDBS DB PD x x x x x ． 所以 2 ' ' ' 2 +2PDBPB A D PB ODS S S x x 四边形 梯形 ． 解方程－x2＋2x＋2＝3，得 x1＝x2＝1． 所以点 P 的坐标为(1，2)． 图 2 图 3 图 4 （3）如图 3，四边形 PB′A′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯 形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴 对称图形，对称轴是经过两底中点的直线． 考点伸展 第（2）题求四边形 PB′OB 的面积，也可以如图 4 那样分割图形， 这样运算过程更简单． ' 1 1' 22 2PB O PS B O x x x ． 2 21 1 2( 2) 22 2PBO PS BO y x x x x ． 所以 2 '' ' 2 +2PB O PBOPB A DS S S x x 四边形 ． 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点 P： 作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点 E 的坐标 为(1，2)． 而矩形 EB′OD 与△A′OB′、△BOP 是等底等高的，所以四边形 EB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍．因此点 E 就是要探求的点 P． 例 2 2012 年河南省中考第 23 题 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 1 12y x 与抛物线 y＝ax2＋ bx－3 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3．点 P 是 直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，作 PD⊥AB 于点 D． （1）求 a、b 及 sin∠ACP 的值； （2）设点 P 的横坐标为 m． ①用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大 值； ②连结 PB，线段 PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合 的 m 的值，使这两个三角形的面积比为 9∶10？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由． 图 1 思路点拨 1．第（1）题由于 CP//y 轴，把∠ACP 转化为它的同位角． 2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫． 3．△PCD 与△PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比． 4．两个三角形的面积比为 9∶10，要分两种情况讨论． 满分解答 （1）设直线 1 12y x 与 y 轴交于点 E，那么 A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)． 在 Rt△AEO 中，OA＝2，OE＝1，所以 5AE ．所以 2 5sin 5AEO ． 因为 PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此 2 5sin 5ACP ． 将 A(－2,0)、B(4,3)分别代入 y＝ax2＋bx－3，得 4 2 3 0, 16 4 3 3. a b a b 解得 1 2a ， 1 2b ． （2）由 21 1( , 3)2 2P m m m ， 1( , 1)2C m m ， 得 2 21 1 1 1( 1) ( 3) 42 2 2 2PC m m m m m ． 所以 2 22 5 2 5 1 5 9 5sin ( 4) ( 1)5 5 2 5 5PD PC ACP PC m m m ． 所以 PD 的最大值为 9 5 5 ． （3）当 S△PCD∶S△PCB＝9∶10 时， 5 2m ； 当 S△PCD∶S△PCB＝10∶9 时， 32 9m ． 图 2 考点伸展 第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边 PC 的两个三角 形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比． 而 25 2 5 1 1cos cos ( 4) ( 2)( 4)5 5 2 5DN PD PDN PD ACP m m m m ， BM＝4－m． ①当 S△PCD∶S△PCB＝9∶10 时， 1 9( 2)( 4) (4 )5 10m m m ．解得 5 2m ． ②当 S△PCD∶S△PCB＝10∶9 时， 1 10( 2)( 4) (4 )5 9m m m ．解得 32 9m ． 例 3 2011 年南通市中考第 28 题 如图 1，直线 l 经过点 A(1，0)，且与双曲线 my x (x＞0)交于点 B(2，1)．过点 ( , 1)P p p (p＞1)作 x 轴的平行线分别交曲线 my x (x＞0) 和 my x (x＜0)于 M、N 两点． （1）求 m 的值及直线 l 的解析式； （2）若点 P 在直线 y＝2 上，求证：△PMB∽△PNA； （3）是否存在实数 p，使得 S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所 有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明理由． 图 1 思路点拨 1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中． 2．第（3）题把 S△AMN＝4S△AMP 转化为 MN＝4MP，按照点 M 与 线段 NP 的位置关系分两种情况讨论． 满分解答 （1）因为点 B(2，1)在双曲线 my x 上，所以 m＝2．设直线 l 的 解析式为 y kx b ，代入点 A(1，0)和点 B(2，1)，得 0, 2 1. k b k b 解得 1, 1. k b 所以直线 l 的解析式为 1y x ． （2）由点 ( , 1)P p p (p＞1)的坐标可知，点 P 在直线 1y x 上 x 轴 的上方．如图 2，当 y＝2 时，点 P 的坐标为(3，2)．此时点 M 的坐 标为(1，2)，点 N 的坐标为(－1，2)． 由 P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为 等腰直角三角形． 由 P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB∽△PNA． 图 2 图 3 图 4 （3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边 MN 和 MP 在同一条直线上． 当 S△AMN＝4S△AMP 时，MN＝4MP． ① 如 图 3 ， 当 M 在 NP 上 时 ， xM － xN ＝ 4(xP － xM) ． 因 此 2 2 2( ) 4 ( 1)xx x x ．解得 1 13 2x 或 1 13 2x （此时点 P 在 x 轴下 方，舍去）．此时 1 13 2p ． ②如图 4，当 M 在 NP 的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因 此 2 2 2( ) 4 ( 1)xx x x ．解得 1 5 2x 或 1 5 2x （此时点 P 在 x 轴下 方，舍去）．此时 1 5 2p ． 考点伸展 在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？ 情形一，如图 5，∠AMN＝90°，此时点 M 的坐标为（1，2）， 点 P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图 6，∠MAN＝90°，此时斜边 MN 上的中线等于 斜边的一半． 不存在∠ANM＝90°的情况． 图 5 图 6 例 4 2011 年上海市松江区中考模拟第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，CB∥OA， OC＝4，BC＝3，OA＝5，点 D 在边 OC 上，CD＝3，过点 D 作 DB 的垂线 DE，交 x 轴于点 E． （1）求点 E 的坐标； （2）二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象经过点 B 和点 E． ①求二次函数的解析式和它的对称轴； ②如果点 M 在它的对称轴上且位于 x 轴上方，满足 S△CEM＝2S△ ABM，求点 M 的坐标． 图 1 思路点拨 1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算． 2．点 M 在抛物线的对称轴上且位于 x 轴上方，要分两种情况讨 论，分别为点 M 在线段 FB 和 FB 的延长线上．因为用点 M 的纵坐 标表示△ABM 的底边长，因点 M 的位置不同而不同． 满分解答 （1）因为 BC∥OA，所以 BC⊥CD．因为 CD＝CB＝3，所以△ BCD 是等腰直角三角形．因此∠BCD＝45°．又因为 BC⊥CD，所 以∠ODE＝45°．所以△ODE 是等腰直角三角形，OE＝OD＝1．所 以点 E 的坐标是（1，0）． （2）①因为抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过点 B（3，4）和点 E（ 1， 0），所以 9 3 4, 1 0. b c b c 解得 6, 5. b c 所以二次函数的解析式为 y＝－ x2＋6x－5，抛物线的对称轴为直线 x＝3． ②如图 2，如图 3，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 F，点 M 的 坐标为（3，t）． CEM MEF COEOFMCS S S S 梯形 1 1 1(4 ) 3 2 1 4 42 2 2 2 tt t ． （ ⅰ ） 如 图 2 ， 当 点 M 位 于 线 段 BF 上 时 ， ttS ABM 42)4(2 1 ．解方程 )4(242 tt ，得 5 8t ．此时点 M 的 坐标为（3， 5 8 ）． （ ⅱ ） 如 图 3 ， 当 点 M 位 于 线 段 FB 延 长 线 上 时 ， 42)4(2 1 ttS ABM ．解方程 )4(242 tt ，得 8t ．此时点 M 的 坐标为（3，8）． 图 2 图 3 考点伸展 对于图 2，还有几个典型结论： 此时，C、M、A 三点在同一条直线上；△CEM 的周长最小． 可以求得直线 AC 的解析式为 4 45y x ，当 x＝3 时， 8 5y ． 因此点 M（3， 5 8 ）在直线 AC 上． 因为点 A、E 关于抛物线的对称轴对称，所以 ME＋MC＝MA＋ MC． 当 A、M、C 三点共线时，ME＋MC 最小，△CEM 的周长最小． 例 5 2010 年广州市中考第 25 题 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点 D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 1 2y x b 交折线 OAB 于点 E． （1）记△ODE 的面积为 S，求 S 与 b 的函数关系式； （2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对 称图形为四边形 O1A1B1C1，试探究四边形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的 重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改 变，请说明理由． 图 1 思路点拨 1．数形结合，用 b 表示线段 OE、CD、AE、BE 的长． 2．求△ODE 的面积，要分两种情况．当 E 在 OA 上时，OE 边对应 的高等于 OC；当 E 在 AB 边上时，要利用割补法求△ODE 的面积． 3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形． 4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理． 满分解答 (1)①如图 2，当 E 在 OA 上时，由 1 2y x b 可知，点 E 的坐标 为(2b,0)，OE＝2b．此时 S＝S△ODE＝ 1 1 2 12 2OE OC b b ． ②如图 3，当 E 在 AB 上时，把 y＝1 代入 1 2y x b 可知，点 D 的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把 x＝3 代入 1 2y x b 可知，点 E 的坐标为 3(3, )2b ，AE＝ 3 2b ，BE＝ 5 2 b ．此时 S＝S 矩形 OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD ＝ 1 3 1 5 13 3( ) ( )(5 2 ) 1 (2 2)2 2 2 2 2b b b b 2 5 2b b ． (2)如图 4，因为四边形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 关于直线 DE 对 称，因此 DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四 边形 DMEN 是菱形． 作 DH⊥OA，垂足为 H．由于 CD＝2b－2，OE＝2b，所以 EH ＝2． 设菱形 DMEN 的边长为 m．在 Rt△DEH 中，DH＝1，NH＝2 －m，DN＝m，所以 12＋(2－m)2＝m2．解得 5 4m ．所以重叠部分菱 形 DMEN 的面积为 5 4 ． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 把本题中的矩形 OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分 的形状是菱形（如图 5），那么这个菱形的最小面积为 1，如图 6 所示； 最大面积为 5 3 ，如图 7 所示． 图 5 图 6 图 7 例 6 2010 年扬州市中考第 28 题 如图 1，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上，过点 E 作直线与△ABC 的直角边相 交于点 F，设 AE＝x，△AEF 的面积为 y． （1）求线段 AD 的长； （2）若 EF⊥AB，当点 E 在斜边 AB 上移动时， ①求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围）； ②当 x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值． （3）若点 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A、C 不重合），点 E 在 斜边 AB 上移动，试问，是否存在直线 EF 将△ABC 的周长和面积同 时平分？若存在直线 EF，求出 x 的值；若不存在直线 EF，请说明 理由． 图 1 备用图 思路点拨 1．第（1）题求得的 AD 的长，就是第（2）题分类讨论 x 的临界点． 2．第（2）题要按照点 F 的位置分两种情况讨论． 3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程， 根据方程的解的情况作出判断． 满分解答 (1) 在 Rt△ABC 中， AC＝3，BC＝4，所以 AB＝5．在 Rt△ACD 中， 3 9cos 3 5 5AD AC A ． (2) ①如图 2，当 F 在 AC 上时， 90 5x ．在 Rt△AEF 中， 4tan 3EF AE A x ．所以 21 2 2 3y AE EF x ． 如 图 3 ， 当 F 在 BC 上 时 ， 9 55 x ≤ ． 在 Rt △ BEF 中 ， 3tan (5 )4EF BE B x ．所以 21 3 15 2 8 8y AE EF x x ． ②当 90 5x 时， 22 3y x 的最大值为 54 25 ； 当 9 55 x ≤ 时， 23 15 8 8y x x 23 5 75)8 2 32x ( 的最大值为 75 32 ． 因此，当 5 2x 时，y 的最大值为 75 32 ． 图 2 图 3 图 4 (3)△ABC 的周长等于 12，面积等于 6． 先假设 EF 平分△ABC 的周长，那么 AE＝x，AF＝6－x，x 的 变 化 范 围 为 3 ＜ x ≤ 5 ． 因 此 1 1 4 2sin (6 ) ( 6)2 2 5 5AEFS AE AF A x x x x ．解方程 2 ( 6) 35 x x ，得 13 62x ． 因为 13 62x 在 3≤x≤5 范围内（如图 4），因此存在直线 EF 将△ABC 的周长和面积同时平分． 考点伸展 如果把第（3）题的条件“点 F 在直角边 AC 上”改为“点 F 在 直角边 BC 上”，那么就不存在直线 EF 将△ABC 的周长和面积同时 平分． 先假设 EF 平分△ABC 的周长，那么 AE＝x，BE＝5－x，BF＝ x＋1． 因此 21 1 3 3sin (5 )( 1) ( 4 5)2 2 5 10BEFS BE BF B x x x x ． 解方程 23 ( 4 5) 310 x x ．整理，得 2 4 5 0x x ．此方程无实数根． 例 7 2009 年兰州市中考第 29 题 如图 1，正方形 ABCD 中，点 A、B 的坐标分别为（0，10），（8， 4），点 C 在第一象限．动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发 沿 A→B→C→D 匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在 x 轴上运动， 当 P 点到 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒． （1）当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 x（长度单位）关 于运动时间 t（秒）的函数图象如图 2 所示，请写出点 Q 开始运动时 的坐标及点 P 运动速度； （2）求正方形边长及顶点 C 的坐标； （3）在（1）中当 t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标． （4）如果点 P、Q 保持原速度速度不变，当点 P 沿 A→B→C→ D 匀速运动时，OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由． 图 1 图 2 思路点拨 1．过点 B、C、P 向 x 轴、y 轴作垂线段，就会构造出全等的、 相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有 t 的式子表示 这些线段是解题的基础． 2．求点 C 的坐标，为求直线 BC、CD 的解析式作铺垫，进而为 附加题用两点间的距离公式作准备． 3．不论点 P 在 AB、BC 还是 CD 上，点 P 所在的直角三角形的 三边比总是 3∶4∶5，灵活运用方便解题． 4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对 称轴的位置关系． 满分解答 （1） Q (1,0)，点 P 每秒钟运动 1 个单位长度． （2）过点 B 作 BE⊥y 轴于点 E，过点 C 作 x 轴的垂线交直线 BE 于 F，交 x 轴于 H． 在 Rt△ABE 中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以 AB＝10．由△ ABE≌△BCF，知 BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以 EF＝8＋6＝14， CH＝8＋4＝12．因此点 C 的坐标为（14，12）． （3）过点 P 作 PM⊥y 轴于 M，PN⊥ x 轴于 N．因为 PM//BE， 所 以 AP AM MP AB AF BF ， 即 10 6 8 t AM MP ． 因 此 3 4,5 5AM t PM t ． 于 是 3 410 ,5 5PN OM t ON PM t ． 设 △ OPQ 的 面 积 为 S ( 平 方 单 位 ) ， 那 么 21 1 3 3 47(1 )(10 ) 52 2 5 10 10S OQ PN t t t t ，定义域为 0≤ t ≤10． 因为抛物线开口向下，对称轴为直线 47 6t ，所以当 47 6t 时，△ OPQ 的面积最大．此时 P 的坐标为( 94 15 ， 53 10 )． （4）当 5 3t 或 295 13t 时, OP 与 PQ 相等． 图 3 图 4 考点伸展 附加题的一般思路是：点 Q 的横坐标是点 P 的横坐标的 2 倍．先 求直线 AB、BC、CD 的解析式，根据直线的解析式设点 P 的坐标， 再根据两点间的距离公式列方程 PO＝PQ． 附加题也可以这样解： ①如图 4，在 Rt△AMP 中，设 AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m， 那么 OQ＝8m．根据 AP、OQ 的长列方程组 5 , 8 1 , m t m t 解得 5 3t ． ②如图 5，在 Rt△GMP 中，设 GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m， 那么 OQ＝8m．在 Rt△GAD 中，GD＝7.5．根据 GP、OQ 的长列方程 组 5 37.5 , 8 1 , m t m t 解得 295 13t ． ③如图 6，设 MP＝4m，那么 OQ＝8m．根据 BP、OQ 的长列方 程组 5 10 10, 8 1 , m t m t 解得 5 3t ，但这时点 P 不在 BC 上． 图 5 图 6 1.7 因动点产生的相切问题 例 1 2012 年河北省中考第 25 题 如图 1，A(－5,0)，B(－3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点 P 从点 Q(4,0)出发，沿 x 轴向 左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t 秒． （1）求点 C 的坐标； （2）当∠BCP＝15°时，求 t 的值； （3）以点 P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点 P 的运动而变化，当⊙P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值． 图 1 答案 （1）点 C 的坐标为(0,3)． （2）如图 2，当 P 在 B 的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°， 4 3t ； 如图 3，当 P 在 B 的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°， 4 3 3t ． 图 2 图 3 （3）如图 4，当⊙P 与直线 BC 相切时，t＝1； 如图 5，当⊙P 与直线 DC 相切时，t＝4； 如图 6，当⊙P 与直线 AD 相切时，t＝5.6． 图 4 图 5 图 6 例 2 2012 年无锡市中考模拟第 28 题 如图 1，菱形 ABCD 的边长为 2 厘米，∠DAB＝60°．点 P 从 A 出发，以每秒 3 厘米的速度沿 AC 向 C 作匀速运 动；与此同时，点 Q 也从点 A 出发，以每秒 1 厘 米的速度沿射线作匀速运动．当点 P 到达点 C 时， P、Q 都停止运动．设点 P 运动的时间为 t 秒． （1）当 P 异于 A、C 时，请说明 PQ//BC； （2）以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程 中，t 为怎样的值时，⊙P 与边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？ 图一 答案 （1）因为 2 AQ t AB ， 3 22 3 AP t t AC ，所以 AQ AP AB AC ．因此 PQ//BC． （2）如图 2，由 PQ＝PH＝ 1 2 PC ，得 1 (2 3 3 )2t t ．解得 4 3 6t ． 如图 3，由 PQ＝PB，得等边三角形 PBQ．所以 Q 是 AB 的中点， t＝1． 如图 4，由 PQ＝PC，得 2 3 3t t ．解得 3 3t ． 如图 5，当 P、C 重合时，t＝2． 因此，当 4 3 6t 或 1＜t≤3 3 或 t＝2 时，⊙P 与边 BC 有 1 个 公共点． 当 4 3 6 ＜t≤1 时，⊙P 与边 BC 有 2 个公共点． 图 2 图 3 图 4 图 5 1.8 因动点产生的线段和差问题 例 1 2012 年滨州市中考第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系中， y＝ax2＋bx＋c 经过 A(－2, －4 )、 O(0, 0)、B(2, 0)三点． （1）求抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM＋OM 的最小 值． 图 1 答案 （1） 21 2y x x 。 （2）AM＋OM 的最小值为 4 2 ． 图 2 图 3 例 2 2012 年山西省中考第 26 题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交 于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点． （1）求直线 AC 的解析式及 B、D 两点的坐标； （2）点 P 是 x 轴上的一个动点，过 P 作直线 l//AC 交抛物线于 点 Q．试探究：随着点 P 的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以 A、 P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合 条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请在直线 AC 上找一点 M，使△BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标． 图 1 思路点拨 1．第（2）题探究平行四边形，按照 AP 为边或者对角线分两种 情况讨论． 2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点 B 关于“河流” AC 的对称点 B′，那么 M 落在 B′D 上时，MB＋MD 最小，△MBD 的周长最小． 满分解答 （1）由 y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4， 得 A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)． 直线 AC 的解析式是 y＝3x＋3． （2）Q1(2, 3)，Q2(1 7, 3 )，Q3(1 7, 3 )． （3）设点 B 关于直线 AC 的对称点为 B′，联结 BB′交 AC 于 F． 联结 B′D，B′D 与交 AC 的交点就是要探求的点 M． 作 B′E⊥x 轴于 E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO． 在 Rt△BAF 中， 1 3 10 AF BF AB ，AB＝4，所以 12 10 BF ． 在 Rt△BB′E 中， ' ' 1 3 10 B E BE BB ， 24' 2 10 BB BF ，所以 12' 5B E ， 36 5BE ． 所以 36 2135 5OE BE OB ．所以点 B′的坐标为 21 12( , )5 5 ． 因为点 M 在直线 y＝3x＋3 上，设点 M 的坐标为(x, 3x＋3)． 由 ' ' ' ' ' ' DD MM B D B M ，得 ' ' ' ' yD yB yM yB xD xB xM xB ．所以 12 124 3 35 5 21 211 5 5 x x ． 解得 9 35x ．所以点 M 的坐标为 9 132( , )35 35 ． 图 2 图 3 考点伸展 第（2）题的解题思路是这样的： ①如图 4，当 AP 是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点 C、Q 关于抛物线的对称轴对称，点 Q 的坐标为(2, 3)． ②如图 5，当 AP 是平行四边形的对角线时，点 C、Q 分居 x 轴 两侧，C、Q 到 x 轴的距离相等． 解方程－x2 ＋2x＋3＝－3，得 1 7x ．所以点 Q 的坐标为 (1 7, 3 )或 (1 7, 3 )． 图 4 图 5 第二部分 函数图象中点的存在性问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6， 5 3sin B ，⊙B 的半径长为 1，⊙B 交边 CB 于点 P，点 O 是边 AB 上的动点． （1）如图 1，将⊙B 绕点 P 旋转 180°得到⊙M，请判断⊙M 与 直线 AB 的位置关系； （2）如图 2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时， 求 OA 的长； （3）如图 3，点 N 是边 BC 上的动点，如果以 NB 为半径的⊙N 和以 OA 为半径的⊙O 外切，设 NB＝y，OA＝x，求 y 关于 x 的函数 关系式及定义域． 图 1 图 2 图 3 思路点拨 1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱． 2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置 关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求 y 关于 x 的函数关系式，作△OBN 的边 OB 上的高，把 △OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形． 满分解答 （1）在 Rt△ABC 中，AC＝6， 5 3sin B ， 所以 AB＝10，BC＝8． 过点 M 作 MD⊥AB，垂足为 D． 在 Rt△BMD 中，BM＝2， 3sin 5 MDB BM ， 所以 6 5MD ． 因此 MD＞MP，⊙M 与直线 AB 相离． （2）①如图 4，MO≥MD＞MP，因此不存在 MO＝MP 的情况． ②如图 5，当 PM＝PO 时，又因为 PB＝PO，因此△BOM 是直 角三角形． 在 Rt△BOM 中，BM＝2， 4cos 5 BOB BM ，所以 8 5BO ．此时 42 5OA ． ③如图 6，当 OM＝OP 时，设底边 MP 对应的高为 OE． 在 Rt△BOE 中，BE＝ 3 2 ， 4cos 5 BEB BO ，所以 15 8BO ．此时 65 8OA ． 图 5 图 6 （3）如图 7，过点 N 作 NF⊥AB，垂足为 F．联结 ON． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以 ON＝x＋y． 在 Rt△BNF 中，BN＝y， 3sin 5B ， 4cos 5B ，所以 3 5NF y ， 4 5BF y ． 在 Rt△ONF 中， 410 5OF AB AO BF x y ，由勾股定理得 ON2＝ OF2＋NF2． 于是得到 2 2 24 3( ) (10 ) ( )5 5x y x y y ． 整理，得 250 50 40 xy x ．定义域为 0＜x＜5． 图 7 图 8 考点伸展 第（2）题也可以这样思考： 如图 8，在 Rt△BMF 中，BM＝2， 6 5MF ， 8 5BF ． 在 Rt△OMF 中，OF＝ 8 4210 5 5x x ，所以 2 2 242 6( ) ( )5 5OM x ． 在 Rt△BPQ 中，BP＝1， 3 5PQ ， 4 5BQ ． 在 Rt△OPQ 中，OF＝ 4 4610 5 5x x ，所以 2 2 246 3( ) ( )5 5OP x ． ①当 MO＝MP＝1 时，方程 2 242 6( ) ( ) 15 5x 没有实数根． ②当 PO＝PM＝1 时，解方程 2 246 3( ) ( ) 15 5x ，可得 42 5x OA ③当 OM＝OP 时，解方程 2 242 6( ) ( )5 5x 2 246 3( ) ( )5 5x ，可得 65 8x OA ． 例 2 2012 年连云港市中考第 26 题 如图 1，甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发，点 O 为坐标原 点．甲沿 AO 方向、乙沿 BO 方向均以每小时 4 千米的速度行走，t 小时后，甲到达 M 点，乙到 达 N 点． （1）请说明甲、乙两人到达点 O 前，MN 与 AB 不可能平行； （2）当 t 为何值时，△OMN∽△OBA？ （3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长．设 s＝MN2，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 答案 （1）当M、N都在O右侧时， 2 4 1 22 OM t tOA ， 6 4 216 3 ON t tOB ， 所以 OM ON OA OB ．因此 MN 与 AB 不平行． （2）①如图 2，当 M、N 都在 O 右侧时，∠OMN＞∠B，不可 能△OMN∽△OBA． ②如图 3，当 M 在 O 左侧、N 在 O 右侧时，∠MON＞∠BOA， 不可能△OMN∽△OBA． ③如图 4，当 M、N 都在 O 左侧时，如果△OMN∽△OBA，那 么 ON OA OM OB ． 所以 4 6 2 4 2 6 t t ．解得 t＝2． 图 2 图 3 图 4 （3）①如图 2， 2 4OM t ， 1 2OH t ， 3(1 2 )MH t ． (6 4 ) (1 2 ) 5 2NH ON OH t t t ． ②如图 3， 4 2OM t ， 2 1OH t ， 3(2 1)MH t ． (6 4 ) (2 1) 5 2NH ON OH t t t ． ③如图 4， 4 2OM t ， 2 1OH t ， 3(2 1)MH t ． (2 1) (4 6) 5 2NH OH ON t t t ． 综合①、②、③，s 2 2 2MN MH NH 2 2 2 23(2 1) (5 2 ) 16 32 28 16( 1) 12t t t t t ． 所以当 t＝1 时，甲、乙两人的最小距离为 12 千米． 例 3 2011 年上海市中考第 25 题 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点 P 是 AB 边上任意一点，直线 PE⊥AB，与边 AC 或 BC 相交于 E．点 M 在线 段 AP 上，点 N 在线段 BP 上，EM＝EN， 12sin 13EMP ． （1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长； （2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合， 设 AP＝x，BN＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME∽△ENB（△AME 的顶点 A、M、E 分别与△ ENB 的顶点 E、N、B 对应），求 AP 的长． 图 1 图 2 备用图 思路点拨 1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三 角形，注意对应关系． 2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点 E 在 BC 上的图形画 在备用图中． 3．第（3）题当 E 在 BC 上时，重新设 BP＝m 可以使得运算简 便一些． 满分解答 （1）在 Rt△ABC 中，BC＝30，AB＝50，所以 AC＝40， 3sin 5A ， 3tan 4A ． 在 Rt△ACP 中， 3sin 40 245CP AC A ． 在 Rt △ CMP 中 ， 因 为 12sin 13 CPCMP CM ， 所 以 13 13 24 2612 12CM CP ． （2）在 Rt△AEP 中， 3tan 4EP AP A x ． 在 Rt△EMP 中，因为 12sin 13 EPEMP EM ，所以 12tan 5 EPEMP MP ． 因此 5 5 3 5 12 12 4 16MP EP x x ， 13 13 3 13 12 12 4 16EM EP x x ． 已知 EM＝EN，PE⊥AB，所以 MP＝NP 5 16 x ． 于是 5 2150 5016 16y BN AB AP NP x x x ． 定义域为 0＜x＜32． （3）①如图 3，当 E 在 AC 上时，由 AM EN ME NB ，得 5 13 16 16 13 215016 16 x x x x x ． 解得 x＝AP＝22． ②如图 4，当 E 在 BC 上时，设 BP＝m，那么 AP＝50－m． 在 Rt△BEP 中， 4 3EP m ． 在 Rt△EMP 中， 5 5 4 5 12 12 3 9MP EP m m ， 13 13 13412 12 9EM EP m m ． 所 以 5 1450 509 9AM AB BP MP m m m ， 5 45 9 9BN BP NP m m m ． 这时由 AM EN ME NB ，得 14 1350 9 9 13 4 9 9 m m m m ．解得 m＝BP＝8．所以 AP＝ 50－m＝42． 图 3 图 4 图 5 考点伸展 如果第（3）题没有条件“△AME 的顶点 A、M、E 分别与△ENB 的顶点 E、N、B 对应”，那么还存在图 5 所示的一种情况，∠EAM ＝∠EBN，此时 PE 垂直平分 AB，AP＝25． 2.2 由面积产生的函数关系问题 例 1 2012 年广东省中考第 22 题 如图 1，抛物线 21 3 92 2y x x 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 点 C，联结 BC、AC． （1）求 AB 和 OC 的长； （2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不 重合），过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 D．设 AE 的长为 m，△ ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取 值范围； （3）在（2）的条件下，联结 CE，求△CDE 面积的最大值；此 时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积（结果保留π）． 图 1 思路点拨 1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方． 2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比． 满分解答 （1）由 21 3 19 ( 3)( 6)2 2 2y x x x x ，得 A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)． 所以 AB＝9，OC＝9． （2）如图 2，因为 DE//CB，所以△ADE∽△ACB． 所以 2( )ADE ACB S AE S AB ． 而 1 81 2 2ACBS AB OC ，AE＝m， 所以 2 2 281 1( ) ( )9 2 2ADE ACB AE ms S S mAB ． m 的取值范围是 0＜m＜9． 图 2 图 3 （3）如图 2，因为 DE//CB，所以 9CD BE m AD AE m ． 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以 9CDE ADE S CD m S AD m ． 所以 2 2 29 1 1 9 1 9 81( )2 2 2 2 2 8CDE mS m m m mm ． 当 9 2m 时，△CDE 的面积最大，最大值为 81 8 ． 此时 E 是 AB 的中点， 9 2BE ． 如图 3，作 EH⊥CB，垂足为 H． 在 Rt△BOC 中，OB＝6，OC＝9，所以 3 3 13sin 1313 B ． 在 Rt△BEH 中， 9 3 13 27 13sin 2 13 26EH BE B ． 当⊙E 与 BC 相切时， r EH ．所以 2 729 52S r ． 考点伸展 在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？ 如图 2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所 以△CDE 与△BEC 不能相似． 例 2 2012 年河北省中考第 26 题 如图 1，图 2，在△ABC 中，AB＝13，BC＝14， 5cos 13ABC ． 探究 如图 1，AH⊥BC 于点 H，则 AH＝_____，AC＝______， △ABC 的面积 S△ABC＝________． 拓展 如图 2，点 D 在 AC 上（可与点 A、C 重合），分别过点 A、 C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E、F．设 BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当 点 D 与点 A 重合时，我们认为 S△ABD＝0） （1）用含 x，m 或 n 的代数式表示 S△ABD 及 S△CBD； （2）求(m＋n)与 x 的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值； （3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得 A、B、C 三点到这条直线的距 离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值． 图 1 图 2 图 3 图 4 答案 探究 AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84． 拓展 （1）S△ABD＝ 1 2 mx ，S△CBD＝ 1 2 nx ． （2）由 S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得 1 1 842 2mx nx ．所以 168m n x ． 由于 AC 边上的高 56 5BG ，所以 x 的取值范围是 56 5 ≤x≤14． 所以(m＋n)的最大值为 15，最小值为 12． （3）x 的取值范围是 x＝ 56 5 或 13＜x≤14． 发现 A、B、C 三点到直线 AC 的距离之和最小，最小值为 56 5 ． 例 3 2011 年淮安市中考第 28 题 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点 P 在 AB 上，AP＝2．点 E、F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立刻以原 速度沿 AB 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止．在 点 E、F 运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与△ABC 在 线段 AB 的同侧．设 E、F 运动的时间为 t 秒(t＞0)，正方形 EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为 S． （1）当 t＝1 时，正方形 EFGH 的边长是________；当 t＝3 时， 正方形 EFGH 的边长是________； （2）当 1＜t≤2 时，求 S 与 t 的函数关系式； （3）直接答出：在整个运动过程中，当 t 为何值时，S 最大？最 大面积是多少？ 思路点拨 1．全程运动时间为 8 秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位 置画 8 个图形，这叫做磨刀不误砍柴工． 2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、 仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择． 满分解答 （1）当 t＝1 时，EF＝2；当 t＝3 时，EF＝4． （2）①如图 1，当 60 11t＜ ≤ 时， 2EF t ．所以 24S t ． ②如图 2，当 6 6 11 5t＜ ≤ 时， 2EF EH t ， 2AE t ， 3 3 (2 )4 4NE AE t ． 于是 3 11 32 (2 )4 4 2NH EH NE t t t ， 21 1 4 2 2 2 3 3NHQS NH QH NH NH NH △ 22 11 3 3 4 2t ． 所以 2 2 22 11 3 25 11 34 3 4 2 24 2 2S t t t t ． ③如图 3，当 6 25 t＜ ≤ 时， 4EF ， 2AE t ， 2AF t ． 所以 2 23 3 38 8AFM AENS S S AF AE t △ △ ． 图 2 图 3 图 4 （3）如图 4，图 5，图 6，图 7，重叠部分的最大面积是图 6 所 示的六边形 EFNDQN，S 的最大值为1102 75 ，此时 146 25t ． 图 5 图 6 图 7 考点伸展 第（2）题中 t 的临界时刻是这样求的： 如图 8，当 H 落在 AC 上时， 2AE t ， 2EH EF t ，由 2 3 2 4 t t ，得 6 11t ． 如图 9，当 G 落在 AC 上时， 2AF t ， 2GF EF t ，由 2 3 2 4 t t ，得 6 5t ． 图 8 图 9 例 4 2011 年山西省中考第 26 题 如图 1，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形．直 线 l 经过 O、C 两点，点 A 的坐标为(8，0)，点 B 的坐标为(11，4)， 动点 P 在线段 OA 上从 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动， 同时动点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向 向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O—C—B 相交于点 M．当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设 点 P、Q 运动的时间为 t 秒（t＞0），△MPQ 的面积为 S． （1）点 C 的坐标为____________，直线 l 的解析式为____________； （2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围． （3）试求题（2）中当 t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？ 图 1 思路点拨 1．用含有 t 的式子表示线段的长，是解题的关键． 2．第（2）题求 S 与 t 的函数关系式，容易忽略 M 在 OC 上、Q 在 BC 上的情况． 3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的 最高点，运算比较繁琐． 满分解答 （1）点 C 的坐标为(3，4)，直线 l 的解析式为 4 3y x ． （2）①当 M 在 OC 上，Q 在 AB 上时， 50 2t＜ ≤ ． 在 Rt△OPM 中，OP＝t， 4tan 3OMP ，所以 4 3PM t ． 在 Rt△AQE 中，AQ＝2t， 3cos 5QAE ，所以 6 5AE t ． 于是 6 18 85 5PE t t t ．因此 21 2 16 2 15 3S PE PM t t ． ②当 M 在 OC 上，Q 在 BC 上时， 5 32 t＜ ≤ ． 因为 2 5BQ t ，所以 11 (2 5) 16 3PF t t t ． 因此 21 3222 3S PF PM t t ． ③当 M、Q 相遇时，根据 P、Q 的路程和 2 11 5t t ，解得 16 3t ． 因 此 当 M 、 Q 都 在 BC 上 ， 相 遇 前 ， 163 3t＜ ≤ ， PM ＝ 4 ， 16 2 16 3MQ t t t ． 所以 1 6 322S MQ PM t ． 图 2 图 3 图 4 （3）①当 50 2t＜ ≤ 时， 2 22 16 2 160( 20)15 3 15 3S t t t ． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随 t 的增大而增大， 所以当 5 2t 时，S 最大，最大值为 85 6 ． ②当 5 32 t＜ ≤ 时， 2 232 8 1282 2( )3 3 9S t t t ． 因为抛物线开口向下，所以当 8 3t 时，S 最大，最大值为128 9 ． ③当 163 3t＜ ≤ 时， 1 6 322S MQ PM t ． 因为 S 随 t 的增大而减小，所以当 3t 时，S 最大，最大值为 14． 综上所述，当 8 3t 时，S 最大，最大值为128 9 ． 考点伸展 第（2）题中，M、Q 从相遇到运动结束，S 关于 t 的函数关系式 是怎样的？ 此时16 13 3 2t＜ ≤ ， 2 16 3 16MQ t t t ．因此 1 6 322S MQ PM t ． 图 5 例 5 2011 年重庆市中考第 26 题 如图 1，矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝ 2 3 ，点 O 是 AB 的中点， 点 P 在 AB 的延长线上，且 BP＝3．一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动，到达 A 点后，立即以原速度沿 AO 返回；另一动点 F 从 P 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射 线 PA 匀速运动，点 E、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边△EFG，使△EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧．设运动的时间为 t 秒（t≥0）． （1）当等边△EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接 写出 S 与 t 之间的函数关系式和相应的自变 量 t 的取值范围； （3）设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H，是否存在这样的 t，使△AOH 是等腰三角形？若存在， 求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由． 思路点拨 1．运动全程 6 秒钟，每秒钟选择一个点 F 画对应的等边三角形 EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中． 2．用 t 表示 OE、AE、EF、AH 的长，都和点 E 折返前后相关， 分两种情况． 3．探求等腰三角形 AOH，先按顶点分三种情况，再按点 E 折返 前后分两种情况． 4．本题运算量很大，多用到 1∶2∶ 3 ，注意对应关系不要错乱． 满分解答 （1）在 Rt△ABC 中， 2 3 3tan 6 3 BCBAC AB ， 所以∠BAC＝30°． 如图 2，当等边△EFG 的边 FG 恰好经过 点 C 时， 在 Rt△BCF 中，∠BFC＝60°，BC=2 3 ， 所以 BF＝2．因此 PF＝3－2＝1，运动时间 t＝1． （2）①如图 3，当 0≤t＜1 时，重叠部分为直角梯形 BCNE， 2 3 4 3S t ． ②如图 4，当 1≤t ＜3 时，重叠部分为五边形 BQMNE， 23 4 3 3 3S t t ． ③ 如 图 5 ， 当 3 ≤ t ＜ 4 时 ， 重 叠 部 分 为 梯 形 FMNE ， 4 3 20 3S t ． ④如图 6，当 4≤t＜6 时，重叠部分为等边三角形 EFG， 23( 6)S t ． 图 3 图 4 图 5 （3）等腰△AOH 分三种情况：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝ HO． 在△AOH 中，∠A＝30°为定值，AO＝3 为定值，AH 是变化的． △AEH 的形状保持不变，AH＝ 3 AE．当 E 由 O 向 A 运动时，AE ＝3－t；当 E 经 A 折返后，AE＝t－3． 图 6 图 7 图 8 ①当 AO＝AH 时，解 3(3 ) 3t ，得 3 3t （如图 7）； 解 3( 3) 3t ，得 3 3t （如图 8）． ②当 OA＝OH 时，∠AOH＝120°，点 O 与点 E 重合，t＝0（如图 9）． ③当 HA＝HO 时，H 在 AE 的垂直平分线上，AO＝ 3 AH＝3AE． 解3(3 ) 3t ，得 t＝2（如图 10）；解3( 3) 3t ，得 t＝4（如图 11）． 图 9 图 10 图 11 考点伸展 图 3，图 4 中，点 E 向 A 运动，EF＝6；图 5，图 6 中，点 E 折 返，EF＝12－2t．查看更多