上海市中考数学试卷及解答Word版

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‎2017年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷 ‎ ‎（满分150分，考试时间100分钟） ‎ 一、 选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分) ‎ ‎1. 下列实数中，无理数是（ ） ‎ A. 0 ； B. ； C. –2 ； D. . ‎ ‎2. 下列方程中，没有实数根的是（ ） ‎ A. x2-2x=0； B. x2-2x-1=0； C. x2-2x+1=0； D. x2-2x+2=0 . ‎ ‎3. 如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数, k≠0）的图像经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（ ） ‎ ‎ A．k＞0,且b＞0 ； B．k＜0,且b＞0 ； ‎ C．k＞0,且b＜0 ； D．k＜0,且b＜0 . ‎ ‎4. 数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（ ） ‎ A. 0和6 ； B. 0和8 ； C. 5和6 ； D. 5和8 . ‎ ‎5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） ‎ A. 菱形； B. 等边三角形； C. 平行四边形； D. 等腰梯形． ‎ ‎6. 已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断平行四边形为矩形的是（ ） ‎ A. ∠BAC＝∠DCA； B. ∠BAC＝∠DAC； ‎ C. ∠BAC＝∠ABD； D. ∠BAC＝∠ADB． ‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分） ‎ ‎7. 计算：2a·a2=_______． ‎ ‎8. 不等式组的解集是_________． ‎ ‎9. 方程的根是_________． ‎ ‎10. 如果反比例函数y=( k是常数,k≠0)的图像经过点 (2, 3)，那么在这个函数图像所在的每一个项限内，y的值随着x的值的增大而_____．( 填“增大”,或“减小”) ‎ ‎11. 某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%. 如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降了10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是_____微克/立方米． ‎ ‎12. 不透明的布袋里有2个黄球，3个红球，5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是_______． ‎ ‎13. 已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为 (0, -1)，那么这个二次函数的解析式可以是_______．(只需写一个) ‎ 图1 ‎ 三月份 ‎ ‎45% ‎ 一月份 ‎ ‎25% ‎ 二月份 ‎ ‎14. 某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图1所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值平均数是是_____万元． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15. 如图2，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点E. 设，，那么向量用向量、表示为_____． ‎ C ‎ A ‎ B ‎ D ‎ E ‎ 图2 ‎ ‎(F ) ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D E ‎ 图3 ‎ ‎16. 一副三角尺按图3的位置摆放 (顶点C与F重合，边CA与边FE重合，顶点B、C、D在一条直线上). 将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转 n° 后 (0＜n＜180)，如果EF∥AB，那么n的值是_______． ‎ B ‎ A ‎ C ‎ 图4 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. 如图4，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC= 3，BC=4，分别以点A、B为圆心画圆，如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径的长r的取值范围是_________． ‎ ‎18. 我们规定：一个正n边形 ( n为常数,n≥4) 的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”。记为，那么=_________． ‎ 三、解答题（本大题共7题，满分78分） ‎ ‎19. （本题满分10分） ‎ 计算：． ‎ ‎ ‎ ‎20. （本题满分10分） ‎ 解方程：-=1． ‎ ‎ ‎ ‎21. （本题满分10分，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分6分） ‎ 如图5,一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC。 ‎ (1) 求sinB的值； ‎ 图5 ‎ A B C ‎ D E F (2) 现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且 ‎ EF⊥BC，垂足为F，求支架DE的长。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.（本题满分10分，每小题满分各5分） ‎ 甲、乙两家绿色养护公司各自推出了校园养护服务的收费方案。 ‎ 甲公司方案：每月养护费用y (元) 与绿化面积x (平方米) 是一次函数关系，如图6所示。 ‎ 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元。 ‎ (1) 求如图6所示的y与x的函数解析式；(不要求写出定义域) ‎ (2) 如果学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选 ‎ x(平方米) ‎ y(元) ‎ ‎100 ‎ O ‎400 ‎ ‎900 ‎ 图 6 ‎ 择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.（本题满分12分，第⑴小题满分7分，第⑵小题满分5分） ‎ 已知：如图7，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上的一点，且EA=EC. ‎ A ‎ B ‎ C D E ‎ 图7 ‎ (1) 求证：四边形ABCD是菱形； ‎ (2) 如果BE=BC，且∠CBE:∠BCE=2: 3， ‎ 求证：四边形ABCD是正方形。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎24.（本题满分12分，每小题满分各4分） ‎ 在平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2， 2)，对称轴是直线x=1，顶点为B. ‎ (1) 求这条抛物线的表达式和点B的坐标； ‎ (2) 点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结 ‎ AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值； ‎ (3) 将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上。 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ y ‎ ‎4 ‎ ‎3 ‎ x ‎ ‎-1 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎-2 ‎ ‎-3 ‎ ‎-1 ‎ ‎-2 ‎ ‎-3 ‎ O ‎ 图 8 ‎ 原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ， ‎ 求点Q的坐标。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） ‎ 如图9，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC . ‎ (1) 求证：△OAD∽△ABD； ‎ (2) 当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离； ‎ (3) 记△AOB、△AOD、△COD的面积分别是S1、S2、S3，如果S2 ‎ O ‎ 备用图 ‎ O ‎ A B C ‎ D 图9 ‎ 是S1和S3的比例中项，求OD的长。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ [参考答案] ‎ 一、选择题 (本大题共6题，每题4分，满分24分) ‎ ‎1. B 2. D 3. B 4. C 5. A 6. C ‎ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） ‎ ‎7. 2a3 8. x＞3 9. x=2 10. 减小 ‎11. 40.5‎ 12. ‎ ‎13. y= x2-1 14. 80 15. 2+ 16. 45° 17. 8＜n＜10 18. ‎ 三、解答题（本大题共7题，满分78分） ‎ ‎19. (本题满分10分)‎ 解：原式==2+ ‎ ‎20. (本题满分10分) ‎ 解：方程两边同乘公分母x(x-3)，去分母得3-x=x2-3 x ‎ 移项、整理得 x2-2 x -3=0，‎ 解得 x1=-1，x2=3， ‎ ‎ 经检验：x2=3是增根，舍去；x1=-1是原方程的根. ‎ ‎∴原方程的根是x=-1. ‎ ‎21.（本题满分10分，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分6分） ‎ 解：（1）∵BC =18， D是BC的中点，∴BD=9， ‎ 图5 ‎ A B C ‎ D E F 又AD=6，AD⊥BC， ‎ 在Rt△ABD中，由勾股定理得 ‎ AB==3， ‎ ‎∴ sinB===； ‎ ‎（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴ EF∥ AD， ‎ ‎∴△BEF∽△BAD，又BE=2AE， ‎ ‎∴==，∴EF=AD = 4， ‎ 又==，∴DF=BD = 3， ‎ 在Rt△DEF中，DE==5. ‎ ‎22.（本题满分10分，每小题满分各5分） ‎ x(平方米) ‎ y(元) ‎ ‎100 ‎ O ‎400 ‎ ‎900 ‎ 图 6 ‎ 解：（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b (k≠0)， ‎ ‎ 函数图像经过(0，400)，(100，900)， ‎ 得 ， ‎ ‎∴y关于x的函数解析式为y=5x+400； ‎ ‎（2）由（1）知，甲公司费用解析式为y=5x+400， ‎ 当x=1200时，y =5×1200+400=6400 (元)， ‎ 设乙公司费用为z，z=5500+ (1200-1000)× 4=6300 (元)， ‎ ‎∵6400＞6300，∴选择乙公司费用较少。 ‎ ‎23.（本题满分12分，第⑴小题满分7分，第⑵小题满分5分） ‎ A ‎ B ‎ C D E ‎ 图7 ‎ 证明：（1）在△ADE和△CDE中， ‎ ‎∵AD=CD，EA=EC，DE=DE， ‎ ‎∴△ADE≌△CDE (s s s)，∴∠ADE=∠CDE， ‎ ‎∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB=∠CDB， ‎ ‎∴BC=CD= AD， ‎ ‎∵AD∥BC，AD = BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ‎ 又AD=CD，∴四边形ABCD是菱形； ‎ ‎（2）∵BE=BC，∴∠BEC =∠BCE， ‎ 又∠CBE:∠BCE=2: 3，设∠CBE=2x，则∠BEC =∠BCE=3x， ‎ 在△BCE中，∠CBE+∠BCE+∠BEC =180°， ‎ 即2x+3x +3x =180°，解得x=22.5°，∴∠CBD=45°， ‎ ‎∴∠ADE=∠CDE=∠CBD=45°，∴∠ADC=90°， ‎ 又四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形. ‎ ‎24.（本题满分12分，每小题满分各4分） ‎ 解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A (2， 2)，∴2=-4+2b+c ①， ‎ B ‎ D ‎ O ‎ C ‎ A ‎ y= -x2+bx+c ‎ ‎ ‎ M ‎ x=1 ‎ ‎ ‎ y ‎ x ‎ ‎2 ‎ ‎1 ‎ 又对称轴x=-==1，即b=2，代入①得c=2， ‎ ‎∴这条抛物线的表达式为y=-x2+2x+2， ‎ 当x=1时，y=3，∴顶点B的坐标为 (1，3)； ‎ 或把y=-x2+2x+2配方成y=-( x-1) 2+3， ‎ ‎∴顶点B的坐标为 (1，3)； ‎ ‎（2）过点A作AD⊥对称轴BC，垂足为点D， ‎ 则M(1，m)，D(1，2)，AD=1，MD=m-2， ‎ 在Rt△AMD中，∠ADM=90°， ‎ cot∠AMB==m-2； ‎ ‎（3）∵对称轴x=1与x轴的交点为C，∴点C坐标为(1，0)，‎ 将顶点B (1，3)平移至点C，知抛物线y=-x2+2x+2向下平移3个单位，∴新抛物线解析式为y=-x2+2x-1， ‎ ‎1 ‎ x=1 ‎ ‎ ‎ O ‎ B ‎ ‎2 ‎ C ‎ P1 ‎ x ‎ Q1 ‎ y= -x2+2x+2 ‎ ‎ ‎ P2 ‎ Q2 ‎ y ‎ 连接PQ，∵OP=OQ，PQ ⊥x轴， ‎ ‎∴PQ关于x轴对称，PQ=3， ‎ ‎∴Q点纵坐标为-， ‎ 把y=-代入y=-x2+2x-1，解得x=， ‎ O ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ 图9 ‎ ‎∴Q1 (，-)，Q2 (，-). 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） ‎ 证明：（1）在△AOB和△AOC中，‎ ‎∵AB=AC，AO=AO，BO=CO， ‎ ‎∴△AOB≌△AOC，∴∠BAO=∠CAO， ‎ O ‎ A B ‎ C ‎ D ‎ ‎∵AO= BO，∴∠BAO=∠B，∴∠DAO=∠B， ‎ 又∠ODA=∠ADB，∴△OAD∽△ABD； ‎ 解：（2）∵∠C是等腰△AOC的底角，∴∠C≠90°. ‎ ‎△OCD是直角三角形有两种情况， ‎ 如图，① 当∠ODC=90°时，∠ADB=90°， ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ 由（1）知∠BAD=∠BAO+∠DAO=2∠B，∴∠BAD=60°， ‎ ‎∵AB=AC，∴联结BC，△ABC是等边三角形， ‎ ‎∴BC=AC =2DC=2OC•cos30°= ‎ ‎② 当∠DOC=90°时，∠BOC=90°， ‎ ‎∵BO=CO，∴联结BC，△BOC是等腰直角三角形， ‎ ‎∴BC=OC= ‎ 综上，BC=或； ‎ 解：（3）由（1）知△OAD∽△ABD，∴，即， ‎ ‎∵S2 是S1和S3的比例中项，∴，∴，∴，∴点D是线段AC的黄金分割点， ‎ A ‎ S1 ‎ O ‎ B ‎ C ‎ D ‎ S2 ‎ S3 ‎ ‎∴，∵OB=1，∴OD=. ‎ 解法2：如图，∵AB=AC， ‎ ‎∴圆心O到弦AB、AC的距离相等， ‎ ‎∴S1: S2: S3=AB: AD: DC， ‎ 又S2 是S1和S3的比例中项， ‎ ‎∴S22 =S1• S3 AD2=AB• DC，即AD2=AC• DC， ‎ ‎∴点D是线段AC的黄金分割点，∴， ‎ ‎∵，OB=1，∴OD=. ‎ ‎ ‎