《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】

《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】

一元二次方程总复习 考点 1：一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方 程叫一元二次方 程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。注意：判断某方程是否为一元二次 方程时，应首先将方程化为一般形式。‎ 考点 2：一元二次方程的解法 ‎1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次 方程的方法。‎ x+a= ± b x1 =-a+ b ‎x2 =-a- b ‎2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形 式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次 项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果 b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 b≤0，则原方程无解．‎ ‎3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一 元二次方程的求根公式是 x = - b ± ‎b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。步骤：①把方程转化为一般形 ‎2a 式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0 时代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：‎ 若 ab=0，则 a=0 或 b=0。步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一 次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程， 它们的解就是原一元二次方程的解． 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。‎ ‎5．一元二次方程的注意事项：‎ ‎⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调 a≠0．因当 a=0 时，不含有二次项，即不是 一元二次方程．‎ ‎⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定 a，b，c 的值；‎ ‎②若 b2－4ac＜0，则方程无解．‎ ‎⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如 ‎－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。‎ ‎⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一 元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．‎ ‎6．一元二次方程解的情况 ‎⑴b2－4ac≥0 Û 方程有两个不相等的实数根；‎ ‎⑵b2－4ac=0 Û 方程有两个相等的实数根；‎ ‎⑶b2－4ac≤0 Û 方程没有实数根。 解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首 先考虑用 b2－4ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。‎ 考点 3：根与系数的关系:韦达定理 对于方程 ax2＋bx+c=0(a≠0）来说， x + x =— b ， x ‎‎ x = c 。‎ ‎1 2 a ‎1 2 a 利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 x2 + x2 = (x ‎+ x )2 - 2x x ‎1 2 1 2 1 2‎ 解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用 韦达定理。 二、经典考题剖析：‎ ‎【考题 1－1】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ）‎ ‎1‎ A．ax²＋bx+c=0 B. k²x＋5k+6=0 C.3x²＋2x+‎ x ‎=0 D.( k²＋3) x²＋2x+1=0‎ ‎【考题 1－2】解方程：x²＋2x－3=0‎ ‎【考题 1－3】已知方程 5x2+kx－10=0 一个根是－5，求它的另一个根及 k 的值． 三、针对性训练：‎ ‎1、下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ）‎ A.3(x + 1)2 = 2(x + 1)‎ ‎B. 1 + 1 - 2 = 0‎ x2 y C. ax2 + bx + c = 0‎ ‎D. x2 + 2x = x2 -1‎ ‎2、若 2x²+3 与 2x-4 互为相反数，则 x 的值为 ‎ ‎3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）‎ A.x2-2x-99=0 化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0 化为(x+4)2=25‎ C.2t2-7t-4=0 化为 (t - 7 )2 = 81‎ ‎4 16‎ ‎D.3y2-4y-2=0 化为 ( y - 2)2 = 10‎ ‎3 9‎ ‎4、关于 x 的一元二次方程 (m + 1)x2 + x + m2 - 2m -3 = 0‎ ‎的一个根为 x=0，则 m 的值为（ ）‎ A．m=3 或 m=－1 B．m=－3 或 m= 1 C．m=－1 D．m=－3‎ ‎5、(2009 济南)若 x1 ，x2 是方程 x²－5x+6=0 的两个根，则 x1 +x2 的值是（ ） A .1 B.5 C. －5 D.6‎ ‎6、(2009 眉山) 若 x1 ，x2 是方程 x²－3x－1=0 的两个根，则 ‎1 + 1 的值为（ ）‎ ‎1‎ A.3 B.－3 C.‎ ‎3‎ ‎‎ ‎1‎ D.－‎ ‎3‎ ‎x1 x2‎ ‎1 2‎ ‎7、(2009 潍坊)若 x1 ，x2 是方程 x²－6x+k－1=0 的两个根，且 x2 + x2 = 24 ，则 k 值为 ‎（ ）‎ A.8 B. －7 C.6 D.5‎ ‎8、(2009 成都)若方程 kx 2 －2x－1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A.k＞－1 B. k＞－1 且 k≠0 C. k＜1 D. k＜1 且 k≠0‎ ‎9、已知一元二次方程 x 2 +2x－8=0 的一根是 2，则另一个根是 .‎ ‎10、若关于 x 的方程－x 2 +（2k+1）x+2－k 2 =0 有实数根，则 k 的取值范围是 ‎ ‎11、解方程：(1)‎ ‎2(2x - 3)2 = 32 ; (2)3y（y-1）=2（y-1）‎ ‎(3) 3(4x² －9)－(2x－3)=0; (4) x²－6x+8=0‎ ‎12、(2009 鄂州)关于 x 的方程 kx 2 +(k+2)x+ k =0 有两个不相等的实数根，‎ ‎4‎ ‎(1)求 k 的取值范围；‎ ‎(2)是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在求出 k 的值；不存在说 明理由。‎ 考点：一元二次方程的应用 一、考点讲解： 1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：‎ ‎⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；‎ ‎⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据， 常见的等量关系是 a(1±x）2=b，其中 a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降 低率），b 表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过 1。‎ ‎⑶ 经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售 额－总成本。‎ ‎⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中 变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。‎ ‎2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流 畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．‎ 二、经典考题剖析：‎ ‎【考题 1】（2009、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一 个面积为 130 平方米的花圃（如图 1－2－1），打算一面利用长为 15 米的仓库墙面，‎ 三面利用长为 33 米的旧围栏，求花圃的长和宽． 解：设与墙相接的两边长都为 x 米，则另一边长为 (33 - 2x) 米，‎ 依题意得 x (33 - 2x) = 130 ，‎ ‎2x2 - 33x +130 = 0 ∴ x = 10‎ ‎x = 13‎ ‎1 2 2‎ 又∵ 当 x1 = 10 时， (33 - 2x) = 13‎ ‎13‎ 当 x2 = ‎时， (33 - 2x) = 20 ＞15‎ ‎2‎ ‎13‎ ‎∴ x = 不合题意，舍去．∴ x = 10‎ ‎2‎ 答：花圃的长为 13 米，宽为 10 米．‎ ‎【考题 2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇 居民的住房面积由现在的人均约为 10 平方米提高到 12.1 平方米，若每年的增长率相同， 则年增长率为（）‎ A.9﹪ B.10﹪ C. 11﹪ D.12 ﹪‎ 解：设年增长率为 x，根据题意得 10(1+x) 2 =12.1，‎ 解得 x1=0.1，x2 =－2.1． 因为增长率不为负，所以 x=0.1。故选 D。‎ ‎【考题 3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利 10 元，每 天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日 销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠， 那么每千克应涨价多少元？‎ 解：设每千克水果应涨价 x 元，依题意，得 (500－2 0 x)（10+x）=6000．‎ 整理，得 x 2 －15x＋50=0． 解这个方程，x 1 =5，x 2 =10． 要使顾客得到实惠，应取 x=5． 答：每千克应涨价 5 元．．‎ 点拨：①此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；②应根据“要使顾客 得到实惠”来取舍根的情况．‎ ‎【考题 4】如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点 P 从 A 点 开始沿 AB 边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动.‎ ‎（1）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于 4？‎ ‎（2）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于 5？‎ 解：（1）设经过 x 秒钟，△PBQ 的面积等于 4， 则由题意得 AP=x，BP=5－x，BQ=2x,‎ ‎1 1‎ 由 BP·BQ=4，得 ‎2 2‎ ‎（5－x）·2x=4，解得，x 1 =1，x 2 =4．‎ 当 x=4 时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。故 x=1‎ ‎2‎ ‎（2）由 BP ‎2‎ ‎+BQ ‎2 2‎ ‎=5 得（5－x）‎ ‎2‎ ‎+（2x）‎ ‎2‎ ‎=5 ,‎ 解得 x1=0（不合题意），x2=2．‎ 所以 2 秒后，PQ 的长度等于 5。 三、针对性训练：‎ ‎1．小明的妈妈上周三在自选商场花 10 元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场 搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜 0．5 元，结果小明的妈妈只比上次多花 2 元钱，却比上次多买了 2 瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？‎ ‎2．合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 ‎40 元。为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加 盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多 售出 8 件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少？‎ ‎3．在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分 作为耕地，要使耕地面积为 540 米 2，道路的宽应为多少？‎ ‎20m ‎32m ‎4．小红的妈妈前年存了 5000 元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税 ‎（利息税为利息的 20%），共取得 5145 元.求这种储蓄的年利率.（精确到 0.1%） 5．如图 12-3，△ABC 中，∠B=90°，点 P 从 A 点开始沿 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，‎ 点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动。‎ ‎（1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经几秒钟，使△ABQ 的面积等于 8cm²?‎ ‎(2)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 以 C 后又 继续在 AC 边上前进，经几秒钟，使△PCQ 的面积等于 12.6 cm²。‎ ‎1‎ 解：依题意，得：‎ ‎2‎ ‎（6-x）·2x=8‎ 解这个方程得：x1=2，x2=4‎ 即经过 2s，点 P 到距离 B 点 4cm 处，点 Q 到距离 B 点 4cm 处；经过 4s，点 P 到距离 B 点 2cm 处，点 Q 到距离 B 点 8cm 处。故本小题有两解。‎ ‎（2）设经过 x 秒，点 P 移动到 BC 上，且有 CP=（14-x）cm,点 Q 移动到 CA 上，且命名 CQ=（2x-8） cm，过 Q 作 QD⊥CB 于 D。‎ ‎∵△CQD∽△CAB，‎ QD AB ‎‎ ‎6(2x - 8)‎ ‎∴ = ‎2x - 8‎ ‎，即 QD=‎ AC ‎1‎ ‎。‎ ‎10‎ ‎6(2x - 8)‎ 依题意，得：‎ ‎2‎ ‎（14-x）·‎ ‎10‎ ‎=12.6，‎ 解这个方程得：x1=7，x2=11‎ 经过 7s，点 P 在 BC 距离 C 点 7cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 6cm 处，使 S△PCQ=12.6cm2 经过 11s，点 P 在 BC 距离 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 14cm 处， ∵14＞0,点 Q 已超出 CA 范围，此解不存在。故本题只有一解。‎ 中考真题 ‎1.钟老师出示了小黑板上的题目(如图 1－2－2）后，小敏回答：“方程有一根为 1”，小聪 回答：“方程有一根为 2”．则你认为（ ） A．只有小敏回答正确 B．只有小聪回答正确 C．两人回答都正确 D．两人回答都不正确 ‎2.解一元二次方程 x 2 －x－12=0，结果正确的是（ ）‎ A．x 1 =－4， x 2 =3 B．x 1 =4，x 2 =－3 C．x 1 =－4，x 2 =－3 D．x 1 =4，‎ x 2 =3‎ ‎3.方程 x(x + 3) = (x + 3) 解是（ ）‎ A．x 1 =1 B．x 1 =0，x 2 =－3 C．x 1 =1，x 2 =3 D．x 1 =1，x 2 =‎ ‎－3‎ ‎4.若 t 是一元二次方程 ax 2 ＋bx+c=0(a≠0）的根，则判别式Δ= b 2 －4ac 和完全平方式 M=(2at+b) 2 的关系是（ ）‎ A．Δ=M B．Δ＞M C．Δ＜M D．大小关系不能确定 ‎5.方程 ‎x2 (x -1) = 0‎ ‎的根是（ ）‎ A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎6.已知一元二次方程 x 2 －2x－7=0 的两个根为 x ，x ‎，则 x 1 + x 2‎ ‎的值为（ ）‎ A．－2 B．2 C．－7 D．7‎ ‎2‎ ‎7.已知 x 1 、x 2 是方程 x ‎1‎ ‎－3x＋1 ＝0 的两个实数根，则 x1‎ ‎+ 1 的值是( )‎ x2‎ ‎1‎ A、3 B、－3 C、‎ ‎3‎ ‎D、1‎ ‎8.用换元法解方程(x 2 ＋x) 2 ＋(x 2 ＋x)＝6 时，如果设 x 2 ＋x＝y，那么原方程可变形为（ ）‎ A、y 2 ＋y－6＝0 B、y 2 －y－6＝0 C、y 2 －y＋6＝0 D、y 2 ＋y＋6＝0 9.方程 x 2 －5x=0 的根是（）‎ A．0 B．0，5 C．5，5 D．5 10.若关于 x 的方程 x 2 ＋2x＋k=0 有实数根，则（ ）‎ A．k＜1，B．k≤1 C．k≤－1 D．k ≥－1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎11.如果一元二次方程 x 2 －4x＋2＝0 的两个根是 x ，x ‎，那么 x 1 ＋x 2‎ ‎等于（ ）‎ A. 4 B. －4 C. 2 D. －2‎ ‎12.用换元法解方程(x 2 －x)－‎ ‎x 2 -x ＝6 时，设 ‎x 2 -x ＝y，那么原方程可化为（ ）‎ A. y 2 ＋y－6＝0 B.‎ ‎y 2 ＋y＋6＝0 C.‎ ‎y 2 －y－6＝0 D.‎ ‎y 2 －y＋6＝0‎ ‎2‎ ‎13.设 x 1 ，x 2 是方程 2x ‎+3x-2=0 的两个根，则 x 1 ＋x 2 的值是 ( )‎ ‎2 2‎ A．-3 B．3 C．－ D．‎ ‎3 3‎ ‎14.方程 x 3 -x=0 的解是（ ）‎ A．0，1 B．1，-1 C．0，-1 D．0，1，－1‎ ‎( x )2 - 5x ‎+ 4 = 0时，若设 x ‎=y,则原方程 ‎15.用换元法解方程 ‎x + 1‎ ‎x + 1 x+1‎ ‎_ _‎ ‎16.两个数的和为 6，差（注意不是积）为 8，以这两个数为根的一元二次方程是 ‎ ‎17.方程 x 2 －x=0 的解是 ‎ ‎18.等腰△ABC 中，BC=8，AB、BC 的长是方程 x 2 －10x+m= 0 的两根，则 m 的值是 .‎ ‎19. 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2 +2x+1=0 的 两 个 根 同 号 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ‎ _.‎ ‎20.解方程 ‎2x2 -9x+5=x-3‎ ‎21.解方程：x 3 －2x 2 －3x＝0.‎ ìy=x+1‎ ‎22.解方程组： í îx2 +y2 =5‎ ‎23.解方程：2（x－1） 2 +5（x－l）+2=0．‎ ‎24.解方程：x 2 －2x－2=0‎ ‎25.解方程：x 2 +5x+3=0‎ ‎26.已知关于 x 的一元二次方程 x2 - (k + 1)x - 6 = 0 的一个根是 2，求方程的另一根和 k 的值．‎ ‎27.已知关于 x 的一元 二次方程 (k + 4)x2 + 3x + k 2 + 3k - 4 = 0 的一个根为 0，求 k 的值．‎ 中考预测题 一、基础经典题( 44 分)‎ ‎(一)选择题(每题 4 分，共 28 分 )‎ ‎【备考 1】如果在－1 是方程 x 2 +mx－1=0 的一个根，那么 m 的值为（ ） A．－2 B．－3 C．1 D．2‎ ‎【备考 2】方程 2x(x - 3) = 5(x - 3) 的解是（ ）‎ A． x = 3‎ ‎‎ B.x = ‎5 C.x = 3, x = 5‎ ‎2 1 2 2‎ x2 + mx + n = 0‎ ‎‎ D.x = -3‎ ‎【备考 3】若 n 是方程 ‎的根，n≠0，则 m+n 等于（ ）‎ A．－7 B．6 C．1 D．－1‎ ‎【备考 4】关于 x 的方程 ‎x2 + mx + n = 0‎ ‎的两根中只有一个等于 0，则下列条件中正确的是（ ）‎ A．m＝0，n＝0 B．m＝0，n ≠0 C．m≠0，n = 0 D．m≠0，n≠0‎ ‎【备考 5】以 5－2 6 和 5+2 6 为根的一元二次方程是（ ）‎ ‎1‎ ‎2‎ A． x2 -10x + 1 = 0‎ ‎B． x 2 + 10x + 1 = 0‎ ‎C． x 2 - 10x - 1 = 0‎ ‎D． x 2 + 10x - 1 = 0‎ ‎2‎ ‎【备考 6】已知 x1 ， x2 是方程 x ‎－x－3=0 的两根，那么 x 2‎ ‎+ x 2 值是（ ）‎ ‎49‎ A．1 B．5 C．7 D、‎ ‎4‎ ‎【备考 7】方程 1 x2 - (m - 3)x + m2 = 0‎ ‎4‎ ‎有两个不相等的实根，那么 m 的最大整数是（ ）‎ A．2 B．－1 C．0 D．l ‎（二）填空题（每题 4 分，共 16 分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎【备考 8】已知方程 x 2 ＋3x+1=0 的两个根为 x ，x ‎那么（1+ x 1‎ ‎）（1+ x 2‎ ‎）的值等于 ‎ .‎ ‎【备考 9】已知方程 x 2 +px+l=0 的一个实数根的倒数恰是 它本身，则 P 的值是 .‎ ‎【备考 10】如图，在□ABCD 中，AE⊥BC 于 E，AE=EB=EC=a 且 a 是方程 x 2 +2x－3=0 的根，则□ABCD 的周长是 ‎ ‎【备考 11】关于 x 的方程 (k + 1)x2 + 3(k - 2)x + k 2 - 42 = 0 的一次项系数是－3，则 k= ‎ ‎【备考 12】关于 x 的方程 (a +1)x ‎a2 - 2a -1‎ ‎+ x - 5 = 0 是一元二次方程，则 a= .‎ 三、实际应用题（9 分）‎ 本题为增长率问题，一般形式为 a（1+x）²=b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时 间的有关数量 ‎【备考 13】2003 年 2 月 27 日《广州日报》报道：2002 年底广州自然保护区覆盖率(即自 然保护区面积占全市面积的百分比）为 4．65％，尚未达到国家 A 级标准，因此，市政 府决定加快绿化建设，力争到 2005 年底自然保护区覆盖率达到 8％以上，若要达到最 低目标 8％，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效 数字）．‎ ‎14. 据媒体报道，我国 2009 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次，2011 年公民出境旅 游总人数约 7200 万人次，若 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答 下列问题：‎ ‎（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；‎ ‎（2）如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2012 年我国公民出境旅游总人 数约多少万人次？‎ ‎15.商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元．为了尽快减少库存，商场决定采 取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设 每件商品降价 x 元．据此规律，请回答：‎ ‎（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示）；‎ ‎（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？‎