广州中考数学试卷答案详解

广州中考数学试卷答案详解

秘密★启用前 广州市2014年初中毕业生学业考试 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改 液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分 选择题（共30分）‎ 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（）的相反数是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【考点】相反数的概念 ‎【分析】任何一个数的相反数为．‎ ‎【答案】A ‎2．下列图形是中心对称图形的是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【考点】轴对称图形和中心对称图形．‎ ‎【分析】旋转180°后能与完全重合的图形为中心对称图形．‎ ‎【答案】D ‎3．如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（ ）．‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎ 【考点】正切的定义．‎ ‎【分析】 ．‎ ‎【答案】 D ‎4．下列运算正确的是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【考点】整式的加减乘除运算．‎ ‎【分析】，A错误；，B错误；‎ ‎，C正确；，D错误．‎ ‎【答案】C ‎5．已知和的半径分别为2cm和3cm，若，则和的位置关系是（ ）．‎ ‎（A）外离 （B） 外切 （C）内切 （D）相交 ‎【考点】圆与圆的位置关系．‎ ‎【分析】两圆圆心距大于两半径之和，两圆外离．‎ ‎【答案】A ‎ ‎6．计算，结果是（ ）．‎ ‎（A） 　 （B） 　 （C） 　 （D） ‎ ‎【考点】分式、因式分解 ‎【分析】 ‎ ‎【答案】B ‎7．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，9，8．对这组数据，下列说法正确的是（ ）．‎ ‎（A）中位数是8 （B）众数是9 （C）平均数是8 （D）极差是7 ‎ ‎ 【考点】数据 ‎【分析】中位数是8.5；众数是9；平均数是8.375；极差是3．‎ ‎【答案】B ‎8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得，当时，如图，‎ ‎（ ）．‎ ‎（A） 　 （B）2 　 （C） 　 （D） ‎ ‎ 图2-① 图2-②‎ ‎【考点】正方形、有内角的菱形的对角线与边长的关系 ‎【分析】由正方形的对角线长为2可知正方形和菱形的边长为，当=60°时，菱形较短的对角线等于边长，故答案为．‎ ‎【答案】A ‎9．已知正比例函数（）的图象上两点（，）、（，），且，则下列不等式 中恒成立的是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） 　 （D）‎ ‎【考点】反比例函数的增减性 ‎【分析】反比例函数中，所以在每一象限内随的增大而减小，且当时，， 时，∴当时，，故答案为 ‎【答案】C ‎10．如图3，四边形、都是正方形，点在线段上，连接，和相交于点．设，（）．下列结论：‎ ‎①；②；③；‎ ‎④．其中结论正确的个数是（ ）．‎ ‎（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个 ‎【考点】三角形全等、相似三角形 ‎【分析】①由可证，故①正确；‎ ‎ ②延长BG交DE于点H，由①可得，（对顶角）‎ ‎∴=90°，故②正确；‎ ‎ ③由可得，故③不正确；‎ ‎ ④，等于相似比的平方，即，‎ ‎∴，故④正确．‎ ‎【答案】B 第二部分 非选择题（共120分）‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．中，已知，，则的外角的度数是_____．‎ ‎【考点】三角形外角 ‎【分析】本题主要考察三角形外角的计算，，则的外角为 ‎【答案】‎ ‎12．已知是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点，，则PE的长度为_____．‎ ‎【考点】角平线的性质 ‎【分析】角平分线上的点到角的两边距离相等．‎ ‎【答案】10‎ ‎13．代数式有意义时，应满足的条件为______．‎ ‎【考点】分式成立的意义，绝对值的考察 ‎【分析】由题意知分母不能为0，即，则 ‎【答案】‎ ‎14．一个几何体的三视图如图4，根据图示的数据计算该几何体的全面积为_______（结果保留）．‎ ‎【考点】三视图的考察、圆锥体全面积的计算方法 ‎【分析】从三视图得到该几何体为圆锥体，全面积=侧面积+底面积，底面积为圆的面积为：，侧面积为扇形的面积，首先应该先求出扇形的半径R，由勾股定理得，，则侧面积，全面积．‎ ‎【答案】‎ ‎15．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．‎ ‎【考点】命题的考察以及全等三角形的判定 ‎【分析】本题主要考察命题与逆命题的转换，以及命题真假性的判断 ‎【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．假命题．‎ ‎16．若关于的方程有两个实数根、，则的最小值为___.‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系，最值的求法 ‎【分析】该题主要是考察方程思想与函数思想的结合，由根与系数的关系得到：‎ ‎，，原式化简．因为方程有实数根，‎ ‎∴，．当时，最小值为．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．‎ ‎17．（本小题满分分）‎ 解不等式：，并在数轴上表示解集.‎ ‎【考点】不等式解法 ‎【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去，再同时加上，再除以，不等号的方向不变.注意在数轴上表示时，此题是小于等于号，应是实心点且方向向左.‎ ‎【答案】解：移项得，，‎ ‎ 合并同类项得，，‎ ‎ 系数化为1得，，‎ ‎ 在数轴上表示为：‎ ‎18．（本小题满分分）‎ 如图5，平行四边形的对角线相交于点，过点且与、分别交于点 ‎，求证：．‎ ‎ ‎ ‎ 图5‎ ‎ 【考点】全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质 ‎【分析】根据平行四边形的性质可知，，，又根据对顶角相等可知，，再根据全等三角形判定法则，，得证.‎ ‎【答案】证明：∵平行四边形的对角线相交于点 ‎ ∴，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 在和中，‎ ‎ ∴‎ ‎19．（本小题满分10分）‎ 已知多项式.‎ ‎（1）化简多项式；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【考点】（1）整式乘除 （2）开方,正负平方根 ‎【分析】（1）没有公因式,直接去括号,合并同类型化简 ‎ （2）由第一问答案,对照第二问条件,只需求出，注意开方后有正负 ‎【答案】解:（1）‎ ‎ 　　 ‎ ‎ ‎ ‎ （2）,则 ‎ ‎ ‎20．（本小题满分10分）‎ 某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：‎ 自选项目 人数 频率 立定跳远 ‎9‎ ‎0.18‎ 三级蛙跳 ‎12‎ 一分钟跳绳 ‎8‎ ‎0.16‎ 投掷实心球 ‎0.32‎ 推铅球 ‎5‎ ‎0.10‎ 合计 ‎50‎ ‎1‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；‎ ‎（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率．‎ ‎【考点】（1）频率（2）①频率与圆心角； ②树状图，概率 ‎【分析】（1）各项人数之和等于总人数50 ; 各项频率之和为1（2）所占圆心角=频率*360‎ ‎ （3）画出列表图，至多有一名女生包括有一个女生和一个女生都没有两种情况．‎ ‎【答案】（1） ‎ ‎ ‎ ‎ （2）“一分钟跳绳”所占圆心角=‎ ‎ （3）至多有一名女生包括两种情况有1个或者0个女生 ‎ 列表图：‎ ‎ ‎ 男A 男B 男C 女D 女E 男A ‎（A，B）‎ ‎（A，C）‎ ‎（A，D）‎ ‎（A，E）‎ 男B ‎（B，A）‎ ‎（B，C）‎ ‎（B，D）‎ ‎（B，E）‎ 男C ‎（C，A）‎ ‎（C，B）‎ ‎（C，D）‎ ‎（C，E）‎ 女D ‎（D，A）‎ ‎（D，B）‎ ‎（D，C）‎ ‎（D，E）‎ 女E ‎（E，A）‎ ‎（E，B）‎ ‎（E，C）‎ ‎（E，D）‎ ‎ 有1个女生的情况：12种 有0个女生的情况：6种 至多有一名女生包括两种情况18种 至多有一名女生包括两种情况===0.90‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为2．‎ ‎（1）求的值和点的坐标；‎ ‎（2）判断点的象限，并说明理由．‎ ‎【考点】一次函数；反比例函数；函数图象求交点坐标 ‎【分析】第（1）问根据点是两个图象的交点，将代入联立之后的方程可求出，再将点的横坐标代入函数表达式求出纵坐标；第（2）问根据一次函数与反比例函数的解析式分析两图像经过的象限，得出两图像交点所在象限.此题主要考查反比例函数与一次函数的性质 ‎【答案】解：（1）将与联立得：‎ 点是两个函数图象交点，将带入式得：‎ 解得 故一次函数解析式为，反比例函数解析式为 将代入得，‎ 的坐标为 ‎（2）点在第四象限，理由如下：‎ 一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，‎ 因此它们的交点都是在第四象限.‎ ‎22、（本小题满分12分）‎ 从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．‎ ‎（1）求普通列车的行驶路程；‎ ‎（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．‎ ‎【考点】行程问题的应用 ‎【分析】路程=速度×时间，分式方程的实际应用考察 ‎【解析】‎ ‎（1）依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1.3=520（千米）‎ ‎（2）设普通列车的平均速度为千米/时，则高铁平均速度为千米/时．‎ 依题意有：‎ 可得： ‎ 答：高铁平均速度为 2.5×120=300千米/时．‎ ‎23、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图6，中，，．‎ ‎（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点 ‎（保留作图痕迹，不写作法）：‎ ‎（2）综合应用：在你所作的圆中，‎ ‎①求证：；‎ ‎②求点到的距离． ‎ ‎【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理； ②勾股定理，等面积法 ‎【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆.‎ ‎ （2）①要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.‎ ‎ ②首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.‎ ‎【答案】（1）如图所示，圆为所求 ‎ （2）①如图连接，设,‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ②连接,过作于,过作于 cosC=, 又 ‎ ,‎ 又为直径 ‎ 设，则，‎ 在和中，‎ 有 即 解得：‎ 即 又 即 ‎24．（本小题满分14分）‎ 已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标．‎ ‎（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．‎ ‎（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法; ‎ ‎(2)存在性问题,相似三角形;‎ ‎(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短 ‎【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得: ‎ 抛物线解析式为 顶点横坐标,将代入抛物线得 ‎(2)如图,当时,设,‎ 则 过作直线轴, ‎ ‎(注意用整体代入法)‎ 解得 ‎,‎ 当在之间时，‎ 或时，为钝角.‎ ‎(3)依题意，且 设移动（向右，向左）‎ 连接 则 又的长度不变 四边形周长最小，只需最小即可 将沿轴向右平移5各单位到处 沿轴对称为 ‎∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时 ‎，设过的直线为，代入 ‎ ‎∴ 即 将代入，得：，解得：‎ ‎∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。‎ ‎25．（本小题满分14）‎ 如图7，梯形中，，，,，，点为线段上一动点（不与点 重合），关于的轴对称图形为，连接，设，的面积为，的面积为．‎ ‎（1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；‎ ‎（2）试用表示，并写出的取值范围；‎ ‎（3）当的外接圆与相切时，求的值．‎ ‎【答案】解：（1）如图，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：‎ 在中，有 在中，‎ 又 解得：‎ ‎（2）如图，交于点，与关于对称，‎ 则有：，‎ 又 又与关于对称，‎ ‎（3）如图，当的外接圆与相切时，则为切点.‎ 的圆心落在的中点，设为 则有，过点作，‎ 连接，得 则 又 解得：（舍去）‎ ‎ ① ② ③‎