- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
中考专题分类讨论题页
中考专题---分类讨论题 类型之一 直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 例 1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80° 【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°. 答案：D . 同步测试： 1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF； (2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明. 类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 例2.（•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __． 【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。 【答案】 3＜r≤4或r＝2.4 同步测试： 3.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，．如果圆O的半径为，且经过点B、C，那么线段AO的长等于 ． 4.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）． （1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？ 类型之三 方程、函数中的分类讨论 方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 例3.（·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点． （1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长； （3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长． 【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以为顶点的三角形与相似”，一定要注意分类讨论。 【答案】（1）取中点，联结， 为的中点，，． 又，． ，得； （2）由已知得． 以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切， ， 即． 解得，即线段的长为； （3）由已知，以为顶点的三角形与相似， 又易证得． 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②． ①当时，， ．． ，易得．得； ②当时，， ． ．又， ． ，即， 得． 解得，（舍去）．即线段BE的长为2． 综上所述，所求线段BE的长为8或2． 同步测试： 5.（·福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1）直接写出点E、F的坐标； （2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 同步测试答案： 1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角形． 【答案】D 2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，，，从而可求得B′E=BF；第(2)小题要注意分类讨论. 【答案】（1）证：由题意得，， 在矩形ABCD中，，， ， ．． （2）答：三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）三者存在的关系是． 证：连结BE，则． 由（1）知，． 在中，，． ，，． （ⅱ）三者存在的关系是． 证：连结BE，则． 由（1）知，． 在中，， ． 3.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，，可得BC边上的高AD为4，圆O经过点B、C则O必在直线AD上，若O在BC上方，则AO=3，若O在BC下方，则AO=5。 【答案】3或5． 4.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论. 【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t； 当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11． （2）两圆相切可分为如下四种情况： ①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3； ②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11； ④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13． 所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切． 5.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决． 【答案】（1）；． （2）在中，， ． 设点的坐标为，其中， 顶点， 设抛物线解析式为． ①如图①，当时，， ． 解得（舍去）；． ． ． 解得． 抛物线的解析式为 ②如图②，当时，， ． 解得（舍去）． ③当时，，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是． （3）存在点，使得四边形的周长最小． 如图③，作点关于轴的对称点， 作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点． ，． ． ． 又， ，此时四边形的周长最小值是． Ⅰ、专题精讲： 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于点D，OD＝2OB＝4OA＝4．求一次函数和反比例函数的解析式． 解：由已知OD＝2OB＝4OA＝4， 得A（0，－1），B（－2，0），D（－4，0）． 设一次函数解析式为y＝kx＋b． 点A，B在一次函数图象上， ∴ 即 则一次函数解析式是 点C在一次函数图象上，当时，，即C（－4，1）． 设反比例函数解析式为． 点C在反比例函数图象上，则，m＝－4． 故反比例函数解析式是：． 点拨：解决本题的关键是确定A、B、C、D的坐标。 【例2】（武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（－4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D. （1）求直线l的解析式； （2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O2第一次与⊙O2相切时，直线l也恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度； （3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结A O2、FG，那么FG·A O2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。 解（1）直线l经过点A（－12，0），与y轴交于点（0，）， 设解析式为y＝kx＋b，则b＝，k＝， 所以直线l的解析式为. （2）可求得⊙O2第一次与⊙O1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。 在5秒内直线l平移的距离计算：8＋12－＝30－， 所以直线l平移的速度为每秒（6－）个单位。 （3）提示：证明Rt△EFG∽Rt△AE O2 于是可得： 所以FG·A O2＝，即其值不变。 点拨：因为⊙O2不断移动的同时，直线l也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切〕，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况． 【例3】（衢州，14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N． (1)求过A、C两点直线的解析式； (2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围； (3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标． 解：(1)过点A、c直线的解析式为y=x－ (2)抛物线y=ax2－5x+4a． ∴顶点N的坐标为(－，－a)． 由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上， 又点N在半圆内，＜－a ＜2，解这个不等式，得－＜a＜－． (3)设EF=x，则CF=x，BF=2－x 在Rt△ABF中，由勾股定理得x= ，BF= 【例4】（杭州，8分）在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法) 解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得和； 以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得，，和 ；作OA的垂直平分线交坐标轴得和。 点拨：应分三种情况：①OA=OP时；②OP=P时；③OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点． Ⅲ、同步跟踪配套试题 （60分 45分钟） 一、选择题（每题 3分，共 15分） 1．若等腰三角形的一个内角为50＼则其他两个内角为（ ） A．500 ，80o B．650， 650 C．500 ，650 D．500，800或 650，650 2．若 A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1 3．等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ） A．5cm B.3cm C．5cm或3cm D．不确定 4．若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB所对的圆周角的度数为（ ） A．300 B、600 C．1500 D．300或 1500 5．一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9， 则kb值为（ ） A．14 B．－6 C．－4或21 D.－6或14 二、填空题（每题3分，共15分） 6．已知_______. 7．已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且 AB=8cm，CD=6cm ，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________. 8．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为__________. 9．已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________. 10 若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则的值是______. 三、解答题（每题10分，共30分） 11 已知 y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式． 12 解关于x的方程． 13 已知：如图3－2－8所示，直线切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，点B在直线上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？ Ⅳ、同步跟踪巩固试题 （10分 60分钟） 一、选择题（每题4分，共20分） 1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（ ） A．16 B．16或 17 C.17 D．17或 18 2．已知的值为（ ） 3．若值为（） A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－2或0 4．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（ ） 5．在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的交点的个数是（ ） A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个 二、填空题（每题4分，共24分） 6．已知点P（2，0），若x轴上的点Q到点P的距离等于2，则点Q的坐标为_________． 7．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________． 8．等腰三角形的一个内角为70°，则其预角为______． 9．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法． 10 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为___． 11 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____. 三、解答题（56分） 12．（8分）化简. 13．（9分）抛物线 与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式． 14．（13分）已知关于 x的方程. ⑴ 当k为何值时，此方程有实数根； ⑵ 若此方程的两实数根x1，x2满足，求k的值． 15．(13分)抛物线经过点A (1，0)． ⑴ 求b的值； ⑵ 设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长． 16．（13分）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． y x D N M Q B C O P E A 例一（2009年长春）如图，直线分别与轴、轴交于两点，直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向左运动．过点作轴的垂线，分别交直线于两点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分（阴影部分）的面积为（平方单位）．点的运动时间为（秒）． （1）求点的坐标．（1分） （2）当时，求与之间的函数关系式．（4分） （3）求（2）中的最大值．（2分） （4）当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围．（3分） 【参考公式：二次函数图象的顶点坐标为．】 分析：第二问求时与之间的函数关系式中正确合理分类是本题的关键所在。分界点应为正方形的边MN在直线AD上。 解：（1）由题意，得解得 ∴C（3,）. （2）根据题意，得AE=t，OE=8-t. ∴点Q的纵坐标为(8-t)，点P的纵坐标为t， ∴PQ= (8-t)-t=10-2t. 当MN在AD上时，10-2t=t，∴t=. 当0查看更多