中考总复习圆的切线专题

中考总复习圆的切线专题

题型专项(八)　与切线有关的证明与计算 类型1　与全等三角形有关　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M.‎ 求证：(1)△ACO≌△BDO；‎ ‎(2)CE＝DF.‎ ‎ 证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线，‎ ‎∴∠A＝∠B＝90°.‎ 又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，‎ ‎∴△ACO≌△BDO.‎ ‎(2)∵△ACO≌△BDO，‎ ‎∴OC＝OD.‎ 又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.‎ 又∵OM⊥EF，点O是圆心，‎ ‎∴EM＝FM.‎ ‎∴CM－EM＝DM－FM.‎ ‎∴CE＝DF.‎ ‎2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.‎ ‎(1)求证：△CDQ是等腰三角形；‎ ‎(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．‎ 解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.‎ ‎∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.‎ ‎∵CD是⊙O的切线，CO是半径，‎ ‎∴CD⊥CO.‎ ‎∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.‎ ‎∴∠DCQ＝∠Q.‎ 故△CDQ是等腰三角形．‎ ‎(2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝.‎ ‎∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，‎ ‎∴CQ＝CB＝.‎ ‎∴AQ＝AC＋CQ＝1＋.‎ ‎∴AP＝AQ＝.‎ ‎∴BP＝AB－AP＝.‎ ‎∴PO＝AP－AO＝.‎ ‎∴BP∶PO＝.‎ ‎3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE交CA于点D.‎ ‎(1)求证：△PAE∽△PEC；‎ ‎(2)求证：PE为⊙O的切线；‎ ‎(3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP.‎ 证明：(1)∵PE2＝PA·PC，‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠APE＝∠EPC，‎ ‎∴△PAE∽△PEC.‎ ‎(2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE.‎ ‎∵∠PCE＝∠AOE，‎ ‎∴∠PEA＝∠AOE.∵OA＝OE，‎ ‎∴∠OAE＝∠OEA.‎ ‎∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°，‎ ‎∴∠AOE＋2∠OEA＝180°，‎ 即2∠PEA＋2∠OEA＝180°.‎ ‎∴∠PEA＋∠OEA＝90°.‎ ‎∴PE为⊙O的切线．‎ ‎(3)设⊙O的半径为r，则AB＝2r.‎ ‎∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝r.‎ 过点O作OF⊥AC于点F，‎ ‎∴OF＝r.∵AP＝AC，‎ ‎∴AP＝.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝r.‎ 在△ODF与△PDE中，‎ ‎∴△ODF≌△PDE.∴DO＝DP.‎ 类型2　与相似三角形有关 ‎4．(2016·泰州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.‎ ‎(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．‎ 解：(1)AB是⊙O切线．‎ 理由：∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠CAE＋∠CEA＝90°.‎ ‎∵∠CAE＝∠ADF，∠CDF＝∠CEA，‎ ‎∴∠ADF＋∠CDF＝90°.‎ ‎∴AB是⊙O切线．‎ ‎(2)连接CF.‎ ‎∵∠ADF＋∠CDF＝90°，∠PCF＋∠CDF＝90°，‎ ‎∴∠ADF＝∠PCF.‎ ‎∴∠PCF＝∠PAC.‎ 又∵∠CPF＝∠APC，‎ ‎∴△PCF∽△PAC.∴＝.‎ ‎∴PC2＝PF·PA.设PF＝a，则PC＝2a.‎ ‎∴4a2＝a(a＋5)．‎ ‎∴a＝.‎ ‎∴PC＝2a＝.‎ ‎5．(2015·北海)如图，AB，CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C.‎ ‎(1)求证：PE是⊙O的切线；‎ ‎(2)求证：ED平分∠BEP；‎ ‎(3)若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．‎ 解：(1)证明：连接OE.‎ ‎∵CD是圆O的直径，‎ ‎∴∠CED＝90°.‎ ‎∵OC＝OE，‎ ‎∴∠C＝∠OEC.‎ 又∵∠PED＝∠C，‎ ‎∴∠PED＝∠OEC.‎ ‎∴∠PED＋∠OED＝∠OEC＋∠OED＝90°，即∠OEP＝90°.‎ ‎∴OE⊥EP.‎ 又∵点E在圆上，‎ ‎∴PE是⊙O的切线．‎ ‎(2)证明：∵AB，CD为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB＝∠CED＝90°.‎ ‎∴∠AEC＝∠DEB(同角的余角相等)．‎ 又∵∠PED＝∠C，AE∥CD，‎ ‎∴∠PED＝∠DEB，‎ 即ED平分∠BEP.‎ ‎(3)设EF＝x，则CF＝2x.‎ ‎∵⊙O的半径为5，‎ ‎∴OF＝2x－5.‎ 在Rt△OEF中，OE2＝EF2＋OF2，即52＝x2＋(2x－5)2，解得x＝4，‎ ‎∴EF＝4.‎ ‎∴BE＝2EF＝8，CF＝2EF＝8.‎ ‎∴DF＝CD－CF＝10－8＝2.‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB＝90°.‎ ‎∵AB＝10，BE＝8，‎ ‎∴AE＝6.‎ ‎∵∠BEP＝∠A，∠EFP＝∠AEB＝90°，‎ ‎∴△EFP∽△AEB.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴PF＝.‎ ‎∴PD＝PF－DF＝－2＝.‎ ‎6．(2014·桂林)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过点C作CG⊥AD于点E，交AB于点F，交⊙O于点G.‎ ‎(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)求证：AG2＝AF·AB；‎ ‎(3)若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．‎ 解：(1)PA与⊙O相切．‎ 理由：连接CD.‎ ‎∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠D＋∠CAD＝90°.‎ ‎∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，‎ ‎∴∠PAC＝∠D.‎ ‎∴∠PAC＋∠CAD＝90°，即DA⊥PA.‎ ‎∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．‎ ‎(2)证明：连接BG.‎ ‎∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，‎ ‎∴＝.∴∠AGF＝∠ABG.‎ ‎∵∠GAF＝∠BAG，∴△AGF∽△ABG.‎ ‎∴AG∶AB＝AF∶AG.∴AG2＝AF·AB.‎ ‎(3)连接BD.‎ ‎∵AD是直径，∴∠ABD＝90°.‎ ‎∵AG2＝AF·AB，AG＝AC＝2，AB＝4，‎ ‎∴AF＝＝.‎ ‎∵CG⊥AD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.‎ ‎∵∠EAF＝∠BAD，∴△AEF∽△ABD.‎ ‎∴＝，即＝，解得AE＝2.‎ ‎∴EF＝＝1.‎ ‎∵EG＝＝4，‎ ‎∴FG＝EG－EF＝4－1＝3.‎ ‎∴S△AFG＝FG·AE＝×3×2＝3.‎ 类型3　与锐角三角函数有关　　　　　‎ ‎7．(2014·梧州)如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，BC，PA的延长线交于点E.‎ ‎(1)求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎(2)若sin∠E＝，PA＝6，求AC的长．‎ 解：(1)证明：连接OA.‎ ‎∵AC∥OP，∴∠AOP＝∠OAC，∠BOP＝∠OCA.‎ ‎∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠AOP＝∠BOP.‎ 又∵OA＝OB，OP＝OP，‎ ‎∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP＝∠OBP.‎ ‎∵BP⊥CB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴OA⊥PA.‎ ‎∴PA是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵PB⊥CB，∴PB是⊙O的切线．‎ 又∵PA是⊙O的切线，‎ ‎∴PA＝PB＝6.‎ 又∵sinE＝＝＝，∴AO＝3.‎ 在Rt△OPB中，OP＝＝3.‎ ‎∵BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°.‎ ‎∴∠CAB＝∠OBP＝90°，∠OCA＝∠BOP.‎ ‎∴△ACB∽△BOP.∴＝.‎ ‎∴AC＝＝＝.‎ ‎8．(2015·来宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，BD交AC于点F.‎ ‎(1)求证：BD平分∠ABC；‎ ‎(2)延长AC到点P，使PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎(3)如果AB＝10，cos∠ABC＝，求AD.‎ 解：(1)证明：∵OD∥BC，‎ ‎∴∠ODB＝∠CBD.‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠OBD＝∠ODB.‎ ‎∴∠CBD＝∠OBD.‎ ‎∴BD平分∠ABC.‎ ‎(2)证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，‎ ‎∴∠ACB＝90°.∴∠CFB＋∠CBF＝90°.‎ ‎∵PF＝PB，∴∠PBF＝∠CFB.‎ 由(1)知∠OBD＝∠CBF，‎ ‎∴∠PBF＋∠OBD＝90°.∴∠OBP＝90°.‎ ‎∴PB是⊙O的切线．‎ ‎(3)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，‎ ‎∴cos∠ABC＝＝＝.‎ ‎∴BC＝6，AC＝＝8.‎ ‎∵OD∥BC，‎ ‎∴△AOE∽△ABC，∠AED＝∠OEC＝180°－∠ACB＝90°.‎ ‎∴＝＝，＝＝.‎ ‎∴AE＝4，OE＝3.‎ ‎∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.‎ ‎∴AD＝＝＝2.‎ ‎9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D，BD＝2PA.‎ ‎(1)证明：直线PB是⊙O的切线；‎ ‎(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；‎ ‎(3)求sin∠OPA的值．‎ 解：(1)证明：连接OB.‎ ‎∵BC∥OP，OB＝OC，‎ ‎∴∠BCO＝∠POA，‎ ‎∠CBO＝∠POB，∠BCO＝∠CBO.‎ ‎∴∠POA＝∠POB.又∵PO＝PO，OB＝OA，‎ ‎∴△POB≌△POA.∴∠PBO＝∠PAO＝90°.‎ ‎∴PB是⊙O的切线．‎ ‎(2)2PO＝3BC.(写PO＝BC亦可)‎ 证明：∵△POB≌△POA，∴PB＝PA.‎ ‎∵BD＝2PA，∴BD＝2PB.‎ ‎∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO.‎ ‎∴＝＝.∴2PO＝3BC.‎ ‎(3)∵CB∥OP，∴△DBC∽△DPO.‎ ‎∴＝＝，即DC＝OD.‎ ‎∴OC＝OD.∴DC＝2OC.‎ 设OA＝x，PA＝y.则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y.‎ 在Rt△OBD中，由勾股定理得(3x)2＝x2＋(2y)2，即2x2＝y2.‎ ‎∵x＞0，y＞0，∴y＝x，OP＝＝x.‎ ‎∴sin∠OPA＝＝＝＝.‎ 类型4　与特殊四边形有关　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎10．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E，F，连接BF.‎ ‎(1)求证：BF是⊙O的切线；‎ ‎(2)已知圆的半径为1，求EF的长．‎ 解：(1)证明：连接OD.‎ ‎∵EF为⊙O的切线，‎ ‎∴∠ODF＝90°.‎ ‎∵四边形AOCD为平行四边形，‎ ‎∴AO＝DC，AO∥DC.‎ 又∵DO＝OC＝OA，‎ ‎∴DO＝OC＝DC.‎ ‎∴△DOC为等边三角形．‎ ‎∴∠DOC＝∠ODC＝60°.‎ ‎∵DC∥AO，‎ ‎∴∠AOD＝∠ODC＝60°.‎ ‎∴∠BOF＝180°－∠COD－∠AOD＝60°.‎ 在△DOF和△BCF中，‎ ‎∴△DOF≌△BOF.‎ ‎∴∠ODF＝∠OBF＝90°.‎ ‎∴BF是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵∠DOF＝60°，∠ODF＝90°，‎ ‎∴∠OFD＝30°.‎ ‎∵∠BOF＝60°，∠BOF＝∠CFD＋∠E，‎ ‎∴∠E＝∠OFD＝30°.‎ ‎∴OF＝OE.‎ 又∵OD⊥EF，‎ ‎∴DE＝DF.‎ 在Rt△ODF中，∠OFD＝30°.‎ ‎∴OF＝2OD.‎ ‎∴DF＝＝＝.‎ ‎∴EF＝2DF＝2.‎ ‎11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)求DE的长．‎ 解：(1)证明：连接OD.‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠DAE＝∠DAB.‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠ODA＝∠DAO.‎ ‎∴∠ODA＝∠DAE.‎ ‎∴OD∥AE.‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DE.‎ ‎∴DE是⊙O切线．‎ ‎(2)过点O作OF⊥AC于点F.‎ ‎∴AF＝CF＝3.‎ ‎∴OF＝＝＝4.‎ ‎∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，‎ ‎∴四边形OFED是矩形．‎ ‎∴DE＝OF＝4.‎ ‎12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点．‎ ‎(1)如图1，求⊙O的半径；‎ ‎(2)如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；‎ ‎(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B，C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直线CP于点N，求证：AM＝MN.‎ 解：(1)连接OD，OC.‎ ‎∵PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点，‎ ‎∴∠ODP＝∠OCP＝90°.‎ ‎∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，‎ ‎∴∠DOC＝90°，OD＝OC.‎ ‎∴四边形DOCP是正方形．‎ ‎∵AB＝4，∠ODC＝∠OCD＝45°，‎ ‎∴DO＝CO＝DC·sin45°＝4×＝2.‎ ‎(2)连接EO，OP.‎ ‎∵点E是BC的中点，‎ ‎∴OE⊥BC，∠OCE＝45°，‎ 则∠EOP＝90°.‎ ‎∴EO＝EC＝2，OP＝CO＝4.‎ ‎∴PE＝＝2.‎ ‎(3)证明：在AB上截取BF＝BM.‎ ‎∵AB＝BC，BF＝BM，‎ ‎∴AF＝MC，∠BFM＝∠BMF＝45°.‎ ‎∵∠AMN＝90°，‎ ‎∴∠AMF＋∠NMC＝45°，∠FAM＋∠AMF＝45°.‎ ‎∴∠FAM＝∠NMC.‎ ‎∵由(1)得PD＝PC，∠DPC＝90°，‎ ‎∴∠DCP＝45°.‎ ‎∴∠MCN＝135°.‎ ‎∵∠AFM＝180°－∠BFM＝135°，‎ 在△AFM和△MCN中， ‎∴△AFM≌△MCN(ASA)．‎ ‎∴AM＝MN.‎