中考数学压轴题突破含答案

中考数学压轴题突破含答案

‎2014中考压轴题突破 训练目标 1. 熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；‎ 2. 书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。‎ 题型结构及解题方法 压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。‎ 考查要点 常考类型举例 题型特征 解题方法 问题背景研究 求坐标或函数解析式，求角度或线段长 已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息 研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。‎ 模型套路调用 求面积、周长的函数关系式，并求最值 速度已知，所求关系式和运动时间相关 ① 分段：动点转折分段、图形碰撞分段；‎ ② 利用动点路程表达线段长；‎ ③ 设计方案表达关系式。‎ 坐标系下，所求关系式和坐标相关 ① 利用坐标及横平竖直线段长；‎ ② 分类：根据线段表达不同分类；‎ ③ 设计方案表达面积或周长。‎ 求线段和（差）的最值 有定点（线）、不变量或不变关系 利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。‎ 套路整合及分类讨论 点的存在性 点的存在满足某种关系，如满足面积比为9:10‎ ① 抓定量，找特征；‎ ② 确定分类；.‎ ③ 根据几何特征或函数特征建等式。‎ 图形的存在性 特殊三角形、特殊四边形的存在性 ① 分析动点、定点或不变关系（如平行）；‎ ② 根据特殊图形的判定、性质，确定分类 ③ 根据几何特征或函数特征建等式。‎ 三角形相似、全等的存在性 ① 找定点，分析目标三角形边角关系；‎ ② 根据判定、对应关系确定分类；‎ ③ 根据几何特征建等式求解。‎ 答题规范动作 1. 试卷上探索思路、在演草纸上演草。‎ 2. 合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。‎ 作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。‎ 3. 作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。‎ ‎23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：‎ 几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；‎ 面积问题，要突出面积表达的方案和结论；‎ 几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；‎ 存在性问题，要明确分类，突出总结。‎ 4. ‎20分钟内完成。‎ 实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课程名称：‎ ‎2014中考数学难点突破 ‎1、图形运动产生的面积问题 ‎2、存在性问题 ‎3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题）‎ ‎4、2014中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练）‎ ‎ 一、图形运动产生的面积问题 一、 知识点睛 1. 研究_基本_图形 2. 分析运动状态：‎ ‎①由起点、终点确定t的范围；‎ ‎②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置．‎ 3. 分段画图，选择适当方法表达面积．‎ 二、精讲精练 1. 已知，等边三角形ABC的边长为‎4厘米，长为‎1厘米的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB方向以‎1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒．‎ ‎（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积．‎ ‎（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．‎ ‎ 1题图 2题图 2. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝， CD＝，高CE＝，对角线AC、BD交于点H．平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发，沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G，当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为，被直线RQ扫过的面积为，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．‎ ‎（1）填空：∠AHB＝____________；AC＝_____________；‎ ‎（2）若，求x 3. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC=‎8cm，BC=‎6cm，点P、Q同时从点C出发，以‎1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ'R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S（cm2）．‎ ‎（1）t为何值时，点Q' 恰好落在AB上？‎ ‎（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．‎ ‎（3）S能否为？若能，求出此时t的值；‎ 若不能，请说明理由．‎ ‎ ‎ 1. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=‎2cm，AC=‎4cm，动点P从点A出发，沿AB方向以‎1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以‎1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．以AP为边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形APDE和梯形BCFQ重叠部分的面积为Scm2．‎ ‎（1）当t=_____s时，点P与点Q重合；‎ ‎（2）当t=_____s时，点D在QF上；‎ ‎（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，‎ 求S与t之间的函数关系式．‎ 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（－2，0），作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．‎ ‎（1）填空：点B的坐标为________，点C的坐标为_________．‎ ‎（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．‎ O M A N B C y x 3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．‎ ‎（1）求M，N的坐标．‎ ‎（2）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．求S与自变量t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围． ‎ 二、二次函数中的存在性问题 一、知识点睛 解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：‎ ‎①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．‎ ‎②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．‎ ‎③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．‎ 二、精讲精练.‎ 1. 如图，已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．‎ 2. 抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．‎ ‎（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；‎ ‎（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．‎ 3. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，‎ OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．‎ ‎（1）若抛物线经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________；‎ ‎（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，‎ 作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN 与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；‎ 若不存在，说明理由．‎ 1. 已知抛物线经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．.‎ 2. 抛物线与y轴交于点C，与直线y=x交于A(－2，－2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．‎ 三、二次函数与几何综合 一、知识点睛 ‎“二次函数与几何综合”思考流程：‎ 关键点坐标 几何特征 转 线段长 ‎ 几何图形 函数表达式 整合信息时，下面两点可为我们提供便利：‎ ‎①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b； ‎ ‎②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．‎ 二、精讲精练 1. ‎ 如图，抛物线y=ax2－5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA－MB|最大？‎ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 1. ‎ 如图，已知抛物线y=ax2－2ax－b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(－1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，‎ 且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．‎ 2. ‎ 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8． ‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，‎ 点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．‎ 3. ‎ 已知，抛物线经过A(－1，0)，C(2，)两点，‎ 与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 （不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，‎ 并直接写出自变量x的取值范围．.‎ 4. ‎ 已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，－3).‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），‎ ‎①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；‎ ‎②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．‎ 图1 图2‎ 四、中考数学压轴题专项训练 ‎1.如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（00）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为P，交x轴负半轴于点M，交射线AB于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．‎ 图1 图2‎ 附：参考答案 一、图形运动产生的面积问题 ‎1. （1）当t=时，四边形MNQP恰为矩形．此时，该矩形的面积为平方厘米．‎ ‎（2） 当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；‎ 当2＜t＜3时， ‎ ‎2．（1）90°；4 （2）x=2. ‎ ‎3．（1）当t=时，点Q' 恰好落在AB上.‎ ‎（2）当0＜t≤时，；当＜t≤6时， ‎ ‎（3）由（2）问可得，当0＜t≤时， ；‎ 当＜t≤6时，；‎ 解得，或，此时. ‎ ‎4．（1）1 （2）（3）当1＜t≤时，；‎ 当＜t＜2时，. ‎ ‎5．（1）（﹣1，3），（﹣3，2） （2）当0＜t≤时，；当＜t≤1时，；‎ 当1＜t≤时，. ‎ ‎6．（1）M（4，2） N（6，0）（2）当0≤t≤1时，；‎ 当1＜t≤4时，；‎ 当4＜t≤5时，；‎ 当5＜t≤6时，；‎ 当6＜t≤7时， ‎ 二、二次函数中的存在性问题 ‎1.解：由题意，设OA=m，则OB=‎2m；当∠BAP=90°时，‎ ‎△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；‎ ① 若△BAP∽△AOB，如图1，‎ 可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（‎5m，‎2m），‎ 代入，可知，‎ ② 若△BAP∽△BOA，如图2，‎ 可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（‎2m，），‎ 代入，可知，.‎ 当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；‎ ③ 若△ABP∽△AOB，如图3，‎ 可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（‎4m，‎4m），‎ 代入，可知，‎ ④ 若△ABP∽△BOA，如图4，‎ 可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，），‎ 代入，可知，‎ ‎2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.‎ 要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.‎ 过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.‎ 则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正方形.‎ 则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）‎ 可得BQ解析式为y=－x+4.‎ ‎（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.‎ 而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.‎ ① 当∠DCE=30°时，‎ a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.‎ 则可证△DCH∽△DEK.则，‎ 在矩形DHQK中，DK=HQ，则..‎ 在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）‎ 则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.‎ b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.‎ ‎ 由对称性可得此时点P坐标为（1－,）‎ ① 当∠DCE=60°时，‎ a) 过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.‎ 则可证△DCM∽△DEN.则，‎ 在矩形DMQN中，DN=MQ，则.‎ 在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中，‎ ‎∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）.‎ 则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.‎ b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.‎ 由对称性可得此时点P坐标为（1－,）‎ 综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.‎ ‎3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）‎ 将A（6，0），B（0，－8）代入抛物线表达式，得，‎ ‎ （2）存在：‎ 如果△AMN与△ACD相似，则或 设M（00，∴a=1‎ ‎∴抛物线的解析式为：‎ ‎（2）当AB为平行四边形的边时，则BA∥EF，并且EF= BA =4 由于对称轴为直线x=1，∴点E的横坐标为1,∴点F的横坐标为5或者3 将x=5代入得y=12，∴F（5，12）．将x=－3代入得y=12，∴F（－3，12）． 当AB为平行四边形的对角线时，点F即为点D， ∴F（1，4）． 综上所述，点F的坐标为（5，12），（3，12）或（1，4）．‎ ‎ ‎ ‎3、解：（1）对于，当y=0，x=2；当x=8时，y=.‎ ‎∴A点坐标为（2，0），B点坐标为 ‎ 由抛物线经过A、B两点，得 ‎ 解得 ‎ ‎（2）设直线与y轴交于点M 当x=0时，y=. ∴OM=.‎ ‎∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2，∴AM= ‎ ‎∴OM：OA：AM=3：4：5.‎ 由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED.‎ ‎∴DE：PE：PD=3：4：5‎ ‎∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，‎ ‎∴PD=‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 由题意知： ‎ ‎4、解：(1) ∵拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，C(0，)两点，‎ ‎∴，∴，∴拋物线的解析式为y1= -x2+x+ ‎（2）解法一：过点M作MN⊥AB交AB于点N，连接AM 由y1= -x2+x+可知顶点M(1，2) ，A(-1，0)，B(3，0)，N(1，0)‎ ‎∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.‎ ‎∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形.‎ ‎∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°‎ ‎∴∠QPB=∠PMA 又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA ‎∴ 将AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，‎ 可得，即.‎ ‎∵点P为线段OB上一动点 （不与点B重合）∴0£x＜3 ‎ 则y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3)‎ 解法二：‎ 过点M作MN⊥AB交AB于点N.‎ 由y1= -x2+x+易得M(1，2)，N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，‎ ‎∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，ÐMBN=45° 根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2. ∴…①，‎ 又ÐMPQ=45°=ÐMBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y2´2‎ 由j、k得y2=x2-x+.‎ ‎∵0£x<3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3)‎ ‎5、解：（1）由题意，得，解得 ‎∴抛物线的解析式为.‎ ‎（2）①令，解得 ∴B（3， 0）‎ 则直线BC的解析式为 当点P在x轴上方时，如图1，‎ 过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，∴设直线AP的解析式为，‎ ‎∵直线AP过点A（1，0），∴直线AP的解析式为，交y轴于点.‎ 解方程组，得 ∴点 当点P在x轴下方时，如图1，‎ 根据点，可知需把直线BC向下平移2个单位，此时交抛物线于点，‎ 得直线的解析式为，‎ 解方程组，得 ‎∴ ‎ 综上所述，点P的坐标为：‎ ‎，‎ ‎②过点B作AB的垂线，交CP于点F.如图2，∵‎ ‎∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45°‎ 又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC ∴△ACB≌△FCB ‎∴BF=BA=2，则点F（3，－2）又∵CP过点F，点C ∴直线CP的解析式为.‎ 四、中考数学压轴题专项训练答案 ‎1．（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）t=1或2．‎ ‎2．（1），；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）存在，点P的坐标为．‎ ‎3．（1），；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）15．‎ ‎4．（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ ‎5．（1）；‎ ‎（2）①，当时，；‎ ‎②．‎ ‎6．（1）；‎ ‎（2）； （3）．‎