连线中考全等三角形创新题型

连线中考全等三角形创新题型

连线中考全等三角形创新题型 在新课程理念的催生下，近年中考在题型设计上不断推陈出新。为能更好地与中考接轨，本文就与中考全等三角形问题中有关的创新题展示如下，以期抛砖引玉。‎ 一、条件探索题 D B C A O 图1‎ 例1．如图1，AB、CD相交于点O，AB=CD，试添加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条件是 （只需写一个）.‎ 解析：由对顶角相等，得∠AOD=∠COB，若加条件AO=CO，则由AB=CD，可得AB－AO= CD－CO，即BO=DO．由“SAS”得△AOD≌△COB．同理，也可以加条件BO=DO．如果连接DB，那么可加条件AD=CB，先说明△ADB≌△CBD，得∠A=∠C,再得出△AOD≌△COB．‎ 所以应填AO=CO，或BO=DO，或AD=CB等．‎ 评注：解答条件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件．解决这类题时，要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共边等．这类题的答案往往不唯一，只要合理即可．‎ Ｄ Ｇ Ｃ Ｂ Ｅ Ｈ Ｆ Ａ 图2‎ 二、结论探索题 例2．如图2，在与中，， 相交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点相交于点．图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对说明全等的理由（不添加任何辅助线）．‎ 解析：由题意可得，和都是直角三角形，它们与和互相都是全等三角形，下面说明≌．‎ 因为（已知），（已知），（公共边），‎ 所以≌（SAS）．‎ 评注：解答结论开放型试题的关键是执因索果，但在解题思路和推导深入度不同的情况下，所得答案往往不同，即答案具有不确定性．‎ 图3‎ 三、综合探索题 例3．如图3，AC交BD于点O，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一句正确的话，并说明正确的理由．‎ ‎①OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC．‎ 解析：由题意得，给出的三项中，任意选两项作为条件，另一项作为结论写出的句子都是正确的．如“AC交BD于点O，若①OA=OC，②OB=OD，则③AB∥DC．”这是正确的．又如“AC交BD于点O，若①OA=OC，③AB∥DC，则②OB=OD．”这也是正确的，理由如下．‎ 因为AB∥DC（已知），所以∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）．‎ 又OA=OC（已知），∠AOB=∠COD（对顶角相等），‎ 所以△AOB≌△COD（ASA）．‎ 所以OB=OD（全等三角形的对应边相等）．‎ 评注：条件和结论都开放的综合开放型试题，解题的方法是要充分利用所学的数学知识，通过观察、分析、综合、判断、推理等活动来探索、完善并进行证明．‎ 四、条件组合题 图4‎ 例4．如图4，在△ABC和△DEF中，D、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．‎ ‎①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF．‎ 已知：‎ 求证：‎ 证明：‎ 分析：根据三角形全等的条件和三角形全等的特征，本题有以下两种组合方式：组合一：条件：①②④，组合二：条件：①③④，结论：②，特别要注意若以①②③或②③④为条件组合，此时属于SSA的对应关系，则不能证明 ‎△ABC≌△DEF，也得不到相关结论．‎ 评注：这种题型是近几年来的中考题的新亮点，它通过“一题多变”与“一题多解”来考察学生的发散思维能力．‎ 五、猜想验证题 图5‎ 例5．如图5，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．‎ ‎（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，‎ 并证明你的猜想是正确的；‎ ‎（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？‎ 写出变化过程．‎ 分析：（1）猜想：AF=BD=CE，AE=BF=CD．‎ 由已知条件，只要证明：△AFE≌△BDF≌△CED即可．‎ ‎（2）这些线段可以看成是经过平移、旋转而得到的，如AE与BF绕着A点顺时针旋转600，再沿着AB方向平移使A点至F即可得BF，其余类同．‎ 评注：本题是一道具有挑战性的探索、猜想、验证、证明的试题，它与几何中图形的全等、图形的变换融合在一起，只要同学们认真观察、认真判断，问题就不难得到解决．‎ 六、拼图证明题 例6．一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．‎ ‎（1）求证AB⊥ED；‎ 图6‎ ‎（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．‎ 分析：（1）由已知的剪、拼图过程（将长方形沿对角线剪开），显然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D；又∠ANP=∠DNC，因而不难得到∠APN=∠DCN=900，即AB⊥ED．‎ ‎（2）若在增加PB=BC这个条件，再认真观察图形，就不难得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB．‎ 评注：本题的意图是让同学们在剪、拼图形的背景下，积极参与图形的变化过程，并在图形的变化过程中来探究图形之间的关系，用来考察学生的创新精神与能力．‎ 七、应用型 图7‎ 例7．如图7，将两根钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB△的理由是（　　　）‎ A. 边角边 (B)角边角 (C)边边边 (D)角角边 评注：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一。本题利用全等三角形来解决实际中的工件的测量问题，其理论依据是“边角边”，故答案为A。‎ 八、策略开放型 指运用所学的知识，根据问题的条件去分析、推理、判断得到的途径、手段可能是多种的，而这些不同的途径、手段就是不同的解题策略。‎ 例8．已知：如图8，△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB= A1B1 ，BC= B1C1，∠C=∠C1。求证：△ABC≌△A1B‎1C1。（请你将下列证明过程补充完整。）‎ 证明：分别过点B、B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C‎1A1于D1，则∠BDC=∠B1D‎1C1=900。‎ B1‎ A C B D1‎ C1‎ D A1‎ 图8‎ ‎∵BC= B‎1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B‎1C1D1，‎ ‎∴ BD=B1D1， 。‎ 解析：本题有多种解法。‎ 方法一：CD= C1D1，又∵AB= A1B1 ，‎ ‎∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，∴AD= A1D1，∴CA= C‎1 A1，又∵ AB= A1B1 ，BC= B‎1C1，∴△ABC≌△A1B‎1C1（SSS）。‎ 方法二：∠CBD=∠C1B1D1，又∵AB= A1B1 ，∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，‎ ‎∴∠ABD=∠A1 B1D1，∴∠CBA=∠C1B1A1，又∵ AB= A1B1 ，BC= B1C1，∴△ABC≌△A1B‎1C1（SAS）。‎ 方法三：∠CBD=∠C1B1D1，又∵AB= A1B1 ，∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，‎ ‎∴∠ABD=∠A1 B1D1，∴∠CBA=∠C1B1A1，又∵BC= B1C1，∠C=∠C1 ，∴△ABC≌△A1B‎1C1（ASA）。‎ Ａ ‎•‎ ‎•‎ ‎•‎ ‎•‎ ‎•‎ ‎•‎ ‎•‎ ‎•‎ Ｂ 图9‎ 方法四：又∵AB= A1B1 ，∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，∴∠A=∠A1 ，又∵∠C=∠C1 ，BC= B‎1C1，∴△ABC≌△A1B‎1C1（AAS）。‎ 九、操作应用题 例9．图9为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量 工具设计一种测量方案.‎ 要求:(1)画出你设计的测量平面图；‎ ‎(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用…‎ 表示；角度用…表示)；(3)根据你测量的数据,计算A、B两棵树间的距离.‎ 分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图10‎ ‎，步骤为：‎ B A C D O 图10‎ ‎（1）在地上找可以直接到达的一点O，‎ ‎（2）在OA的延长线上取一点C，使OC=OA；在BO的延长线 上取一点D，使OD=OB；（3）测得DC=a，则AB=a．‎ 评注：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望．‎